CHAPITRE 2 OSCILLATEUR LINEAIRE A UN DEGRE DE LIBERTE. ÿ(t) Figure 2.1 : Oscillateur à 1 degré de liberté

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1 CHAPITRE OSCILLATEUR LINEAIRE A UN DEGRE DE LIBERTE. DEFINITION L'oscillaeur à degré de liberé es consiué d'un bloc rigide, de masse M connecé à un suppor. La figure. présene un el oscillaeur, sollicié par une force p() variable dans le emps. Le seul mouvemen auorisé pour l'oscillaeur es le déplacemen horizonal, u(), de la masse. L'oscillaeur es connecé à son suppor par un élémen qui développe une force F ( uu, ), foncion du déplacemen e de la viesse de la masse M. La relaion F ( uu, ) caracérise le comporemen de l'oscillaeur; la force p() caracérise la solliciaion. u() F(u, u) M p() ÿ() Figure. : Oscillaeur à degré de liberé. LOI DE COMPORTEMENT DE L'OSCILLATEUR Cee loi de comporemen dépend dans le cas le plus général du déplacemen u() de la masse e de sa viesse u () par rappor au suppor. La force de rappel F peu ne dépendre que du déplacemen u() (figure.). Si à ou insan il y a proporionnalié enre la force e le déplacemen (figure.a), l'oscillaeur es élasique linéaire. Ce cas es ypiquemen celui d'un ressor. 7

2 La relaion enre la force développée dans la liaison e le déplacemen relaif u des deux exrémiés de cee liaison s'écri simplemen : (.) F = k.u La dépendance de la force sur le déplacemen peu cependan êre non linéaire (figure.b); iniialemen il y a proporionnalié enre force e déplacemen (oscillaeur élasique linéaire) puis, au-delà d'un cerain seuil de déplacemen, la relaion cesse d'êre linéaire; par ailleurs la décharge peu s'effecuer suivan un raje disinc de la charge. C'es le cas par exemple d'une liaison masse-suppor consiuée d'un assemblage en série d'élémens de ressors linéaires e de froeurs de Coulomb (élémens rigides en-deçà d'un cerain seuil d'effor puis développan un effor consan au-delà du seuil). Noons que pour ceraines liaisons, il es possible que la décharge s'effecue le long de la même courbe que la charge; l'oscillaeur es alors élasique non linéaire. Dans ous les cas, l'oscillaeur es di non linéaire e la relaion force-déplacemen s'écri de façon symbolique : (.) F = f(u) F F k k U U Linéaire F = k U (a) (b) Non Linéaire F = f (U) Figure. : Relaion force-déplacemen Dans le présen chapire on se resreindra au cas de l'oscillaeur linéaire caracérisé par une loi de comporemen donnée par l'équaion (.). Le cas de l'oscillaeur non linéaire sera éudié au chapire 5. Dans les expressions F de la figure., le emps n'inervien pas. La relaion es la même que le chargemen de l'oscillaeur soi effecué rès lenemen ou rès rapidemen. Si en pariculier on considère une liaison consiuée d'un seul ressor linéaire e que l'on impose à la masse M un déplacemen iniial u 0 avan de la relâcher, celle-ci oscillera indéfinimen avec une ampliude maximale u 0. Dans la praique, on consae que l'ampliude décroî au cours du emps e que la masse rerouve au bou d'un cerain emps une posiion d'équilibre (figure.3). 8

3 Ampliude Temps Figure.3 : Oscillaion libre avec amorissemen Une parie de l'énergie élasique emmagasinée dans le ressor es dissipée au cours du emps; ce phénomène es dénommé de façon générique amorissemen. En fai, l'amorissemen peu résuler de différens mécanismes. Il peu s'agir d'un amorisseur physique (par exemple un amorisseur hydraulique) auquel on peu avoir recours dans les problèmes d'isolaion vibraoire. La dissipaion d'énergie peu égalemen provenir d'effes hermiques liés au chargemen répéé du maériau, de froemens inernes dans le maériau (glissemens enre grains dans un assemblage de paricules par exemple), de déformaions d'origine plasique. En règle générale, e sauf cas excepionnel, l'amorissemen ne peu êre calculé à parir des propriéés physiques du sysème. Par exemple dans le cas d'un bâimen soumis à une solliciaion sismique significaive, les sources de dissipaion d'énergie son muliples : fissuraion du béon, plasificaion des aciers, glissemens relaifs enre la srucure poreuse e les élémens secondaires (cloisons, baies virées ). Dans la praique, les phénomènes de dissipaion d'énergie son donc caracérisés de façon rès simplifiée en considéran qu'ils proviennen d'un amorisseur visqueux linéaire. Un amorisseur visqueux linéaire es caracérisé par une relaion linéaire enre la force développée dans l'amorisseur e la viesse relaive des deux exrémiés de celui-ci : (.3) F = cu La consane de proporionnalié c, caracérisique de l'amorisseur, a pour uniés une masse par unié de emps. La descripion des phénomènes de dissipaion d'énergie à l'aide d'un amorisseur équivalen es obenue en écrivan que l'énergie dissipée dans un cycle de vibraion du sysème es égale à l'énergie dissipée dans un amorisseur linéaire pour un cycle de même ampliude de déplacemen. 9

4 En se référan à la figure.4, considérons un sysème soumis à un cycle caracérisé par une ampliude maximale du déplacemen égale à u max. Si au cours de ce cycle on mesure la force nécessaire pour déformer la srucure, le diagramme force-déplacemen peu êre représené par la courbe limian l'aire hachurée de la figure.4. Force f D P= P sin( ω) 0 E D p 0 Déplacemen u max Figure.4 : Amorissemen équivalen L'aire de la boucle représene l'énergie E D dissipée par la srucure au cours d'un cycle de solliciaion. Considérons mainenan l'amorisseur linéaire de la figure.4 soumis à une force harmonique de pulsaion ω (.4) P= P sin( ω ) 0 Pour ce sysème, la consane de l'amorisseur c es donnée par : f P (.5) c = = u ω u D max 0 max max La courbe effor-déplacemen décrie par ce sysème es représenée par une ellipse, figurée en rai poinillé sur la figure.4. L'énergie dissipée au cours d'un cycle par l'amorisseur linéaire es donnée par : (.6) π ω = = C D π ω max 0 E f du (cu) u d= c u Ecrivan que cee énergie es égale à l'énergie E D dissipée par le sysème, la consane d'amorisseur es donnée par : 0

5 (.7) c = E πωu D eq max On noera que l'amorisseur équivalen es inversemen proporionnel à la pulsaion de la solliciaion. On verra au paragraphe 3.5 une aure façon de caracériser l'équivalence de dissipaion d'énergie enre le sysème e le modèle qui ne fai pas inervenir expliciemen la pulsaion ω. La modélisaion de l'énergie dissipée dans un sysème par un amorisseur équivalen se révèle rès uile dans la praique. Tan que les cycles de solliciaions son d'ampliudes faibles à modérées, l'approximaion se révèle saisfaisane. Lorsque l'ampliude de la déformaion croî, cee modélisaion se révèle inappropriée car les mécanismes de dissipaion mis en jeu on pour origine les déformaions plasiques du sysème e son rès éloignés d'une dissipaion visqueuse. La seule représenaion fiable de la dissipaion d'énergie s'obien alors à parir de la descripion de la courbe effor-déplacemen décrie lors des cycles de chargemen..3 EQUATIONS DE L'EQUILIBRE DYNAMIQUE Suivan les principes exposés au chapire, l'équaion d'équilibre dynamique peu êre obenue à parir de rois méhodes : méhode direce, méhode énergéique e principe des puissances viruelles. Ces rois méhodes son illusrées ci-après :.3. METHODE DIRECTE Les forces s'exerçan sur l'oscillaeur de la figure.5 son : la force exérieure appliquée p(), la force de liaison f S, reliée au déplacemen u de la masse; dans le cas d'un sysème linéaire, cee force es donnée par l'équaion (.), la force de liaison f D reliée à la viesse u de la masse; dans le cas d'un amorisseur visqueux linéaire, cee force es donnée par l'équaion (.3), les forces d'inerie f I s'exerçan sur la masse M égales au produi de celle-ci par l'accéléraion u de la masse. u() f D f S f I p() Figure.5 : Forces appliquées à l'oscillaeur

6 En écrivan que la résulane de oues ces forces es nulle : (.8) fs + fd = p() - fi Dans l'équaion précédene, on reconnaî le principe d'alember; les forces exérieures son égales aux forces direcemen appliquées à la masse, p(), diminuées des forces d'inerie f I. Ces forces exérieures son égales aux forces "inérieures", f S + f D, se développan dans la liaison. Pour un sysème visco-élasique linéaire, l'équaion (.8) devien en enan compe de (.) e (.3): (.9) Mu+Cu+ku=p().3. METHODE DES PUISSANCES VIRTUELLES Considérons une viesse viruelle δû pour la masse M. La puissance viruelle des effors exérieurs es : (.0) P ( δ ˆ) = ( ) δˆ e u p u La puissance viruelle des effors inérieurs es : (.) P ( δ uˆ) = f δuˆ f δuˆ i S D e la puissance viruelle des quaniés d'accéléraion es : (.) A ( δ uˆ) = Mu δuˆ En écrivan le principe des puissances viruelles, il vien : f f + p() δ u= Mu δu (.3) ( ) ˆ ˆ S D valable pour oue viesse viruelle u δ. La relaion (.8) en découle de manière riviale..3.3 METHODE ENERGETIQUE L'énergie cinéique du sysème de la figure. es donnée par :

7 (.4) T= Mu Son énergie poenielle, dans le cas d'un sysème linéaire par : (.5) V= ku Le ravail des forces non conservaives es égal au ravail des forces appliquées e des forces dissipaives. (.6) δ W = p() δu Cu δu Le principe d'hamilon perme d'écrire : nc (.7) [ ] [ () ] Mu δu ku δ u d + p Cu δ u d = 0 En inégran par paries le erme Mu δu d, il vien : (.8) [ ] Mu Cu ku+p() δ u d = 0 qui es valable pour oue variaion δu. L'équaion (.9) en découle immédiaemen..3.4 EXEMPLE D'OSCILLATEUR A UN DEGRE DE LIBERTE L'assemblage de la figure.6 consiue un oscillaeur à degré de liberé composé de deux barres rigides AB e BC avec une ariculaion en B, une liaison fixe en A e un appui verical en C, sans liaison horizonale. La solliciaion es représenée par une force ransverse p() appliquée à la barre AB. Les barres son supporées par des ressors e amorisseurs. La masse du sysème es consiuée d'une masse disribuée m(x) = m le long de AB e d'une masse poncuelle M. 3

8 a a a a a a p() Z() A m(x) B M m(x)=0 C C K C K Figure.6 : Assemblage de corps rigides Les deux barres éan supposées rigides, le sysème ne possède qu'un degré de liberé, le déplacemen verical Z() en B. En raison de la complexié du sysème, la mise en équaion es effecuée plus aisémen à l'aide de la méhode des puissances viruelles. Les forces s'exerçan sur le sysème son : les forces élasiques 3 (.9a) fs = KZ() fs = KZ() 4 3 les forces d'amorissemen (.9b) fd = CZ () fd = CZ () 4 les forces d'inerie (.9c) fi = a mz ( ) fi = MZ ( ) 3 Z () 4 M I = I0 = a mz () 4a 3 où I 0 représene l'inerie massique en roaion de la barre AB e Z ()/4a l'accéléraion angulaire. la force exérieure appliquée (.0) x = () = 4 ζ () x p p dx ap dans le cas où p() = pζ () 4

9 La puissance des effors inérieurs s'exprime par : 3 (.) P i ( δ uˆ) = fs δuˆ fs δuˆ fd δuˆ fd δuˆ La puissance des effors exérieurs vau : (.) P e ( δ uˆ) = p δuˆ La puissance des quaniés d'accéléraions vau : (.3) A ( δ uˆ) = fi δ uˆ + I δ uˆ + fi δuˆ 3 4a M D'après le principe des puissances viruelles, enan compe du fai que la viesse viruelle es arbiraire, il vien : (.4) () + + () + + () = ζ() 3 ma 9 M Z 6 C C Z 6 K 9 K Z pa L'équaion (.3) peu êre écrie sous la forme de l'équaion (.9) de l'oscillaeur simple : (.5) mz () + cz () + kz () = p () avec (.6) 4 4 m = ma + M c = C + C * 9 k = K+ K p = pa ζ( ) 6 9 dans laquelle m*, c*, k* e p* représenen la masse généralisée, l'amorisseur généralisé, la raideur généralisée e le chargemen généralisé du sysème..3.5 FORMULATION REDUITE DE L'EQUATION D'EQUILIBRE La mise en œuvre de l'une des rois méhodes exposées ci-dessus condui à l'équaion d'équilibre (.9) pour l'oscillaeur à degré de liberé. Divisan les deux membres de cee équaion par M, on obien la formulaion réduie de l'équaion d'équilibre : 5

10 (.7) p () u + ξω u +ω u= M L'écriure précédene monre que l'équaion d'équilibre fai inervenir les deux grandeurs fondamenales suivanes caracérisan l'oscillaeur : pulsaion propre (.8) ω= k M ou, de façon équivalene, la fréquence propre (.9) ou la période propre ω f = = π π k M (.30) π M T = = = π f ω k pourcenage d'amorissemen criique (.3) ξ = c c c km = Mω = c c où c c es par définiion l'amorissemen criique don la significaion physique sera expliciée au paragraphe 4.. L'amorissemen criique donné par l'équaion (.3) peu égalemen s'exprimer en foncion de la raideur k en enan compe de l'équaion (.9). (.3) k c c = ω Pour un sysème linéaire, don la courbe effor-déplacemen es représenée sur la figure.7, la raideur k peu êre exprimée en foncion de l'énergie élasique emmagasinée E S, égale à l'aire sous la courbe. 6

11 f S u u max Figure.7 : Sysème linéaire E (.33) k = u S max Revenan à l'équaion (.7) qui défini l'amorisseur équivalen du sysème viscoélasique linéaire don les propriéés dissipaives son égales à celles d'une srucure pour laquelle la naure exace de l'amorissemen es inconnue, il résule du rapprochemen des équaions (.7), (.3), (.3) e (.33) que, en se plaçan à résonance, le pourcenage d'amorissemen criique équivalen de la srucure es donné par : (.34) ED ξ= 4 πe S Le pourcenage d'amorissemen criique défini par l'équaion (.34) es indépendan de la fréquence de solliciaion ω si E D ne dépend pas de celle-ci (cas de la dissipaion d'énergie dans un maériau élasoplasique par exemple). Il es donc plus commode de représener les propriéés dissipaives de la srucure par son pourcenage d'amorissemen criique que par l'amorisseur équivalen de l'équaion (.7) qui dépend de ω. De plus le pourcenage d'amorissemen criique es une grandeur accessible par l'expérience, comme on le verra au paragraphe 4.. La soluion de l'équaion (.7) donnan la réponse de l'oscillaeur simple es obenue de façon classique en cherchan une soluion de l'équaion homogène, sans second membre (p() = 0) e une soluion pariculière. La résoluion de l'équaion homogène condui à l'éude des vibraions libres du sysème; la recherche d'une soluion pariculière à celle des vibraions forcées. 7

12 .4 VIBRATIONS LIBRES Les vibraions libres son soluions de l'équaion : (.35) u + ξω u +ω u= 0 sous ceraines condiions iniiales pour la viesse e le déplacemen. La soluion générale de l'équaion (.35) es recherchée sous la forme : (.36) u () =λ e Reporan (.36) dans (.35), l'inconnue s doi saisfaire l'équaion : s (.37) s + ξω s+ω = 0 don la soluion dépend du signe du déerminan : (.38) Δ =ω ( ξ ) qui lui-même dépend de la valeur de ξ. On disinguera rois cas possibles : sysème non amori ξ=0 ou à amorissemen sous-criique ξ< sysème à amorissemen criique ξ= sysème à amorissemen sur-criique ξ> ou en noan que le cas de l'amorissemen sous-criique es celui perinen pour la majorié des sysèmes physiques renconrés dans la praique..4. SYSTEME NON AMORTI ξ = 0 L'équaion (.35) se rédui à : (.39) u +ω u= 0 La soluion (.36) es obenue ou naurellemen en effecuan une ransformaion de Laplace de l'équaion (.35). 8

13 don la soluion s'écri pour des condiions iniiales du déplacemen u(0) e de la viesse u (0) : u (0) (.40) u() = sin( ω ) + u(0)cos( ω) ω ou de façon équivalene (.4) u() =ρcos( ω θ ) ρ désigne l'ampliude de la réponse e θ la phase (.4a) u (0) ρ= u (0) + ω u(0) (.4b) θ= Arcg ω u(0) La figure.8 représene la vibraion du sysème au cours du emps. Celle-ci se reprodui à l'idenique au bou d'un inervalle de emps égal à la période propre T=π/ω de l'oscillaeur e se prolonge indéfinimen avec une ampliude maximale égale à ρ. θ ω T = π ω Figure.8:Vibraion libre d'un sysème non amori.4. SYSTEME A AMORTISSEMENT SOUS-CRITIQUE Ce cas correspond à ξ< e C<Mω. La soluion de l'équaion (.37) condui aux deux soluions : (.43) s= ξω iω ξ 9

14 Inroduisan la quanié (.44) ω =ω ξ D - appelée pulsaion propre amorie, la réponse du sysème soumis aux mêmes condiions iniiales s'écri : u(0) +ξωu(0) -ξω (.45) u() = sin( ω D) + u(0)cos( ωd) ω e D La soluion (.45) peu êre écrie, de façon équivalene, en inroduisan l'ampliude ρ e la phase θ sous la forme : ξω (.46) u () =ρe cos( ω -) θ Elle es représenée sur la figure.9 en foncion du emps D U() ρ e - ξ ω T = π ω D Figure.9 : Vibraion libre d'un sysème à amorissemen sous-criique L'examen de la figure.9 monre que la réponse passe par des exrema espacés d'un emps T=π/ω D ; l'ampliude des exrema, égale à ρe -ξω, décroî en foncion du emps pour endre vers 0 au bou d'un emps infini. Le sysème revien à l'équilibre en oscillan auour de la posiion neure correspondan à un déplacemen nul. Ce reour à l'équilibre s'effecue d'auan plus rapidemen, e avec moins d'oscillaions, que le pourcenage d'amorissemen criique ξ es élevé (figure.0). 30

15 0.5 ξ = % ξ = 5% 0 u() / u(0) ξ = 0% ξ = 0% / T Figure.0 : Influence de l'amorissemen sur la vibraion libre d'un sysème sous-amori Si l'on considère deux exrema successifs, de même signe, dans la réponse vibraoire, le rappor des ampliudes es égal à : (.47) u u n n+ = e ω πξ ω D Prenan le logarihme des deux membres de l'équaion (.47), le pourcenage d'amorissemen criique équivalen es égal : (.48a) u n δ= = Ln u + n πξ ξ qui pour les faibles valeurs de ξ se rédui à : (.48b) δ= πξ La quanié δ es appelée décrémen logarihmique. La mesure expérimenale de ce décrémen logarihmique perme d'accéder au pourcenage d'amorissemen criique d'un sysème, sans nécessairemen connaîre la valeur de la consane d'amorisseur c. Alliée à la définiion du pourcenage d'amorissemen criique équivalen d'un sysème, el qu'il a éé défini aux paragraphes.0 e 3.5, on dispose ainsi d'une méhode expérimenale pour caracériser globalemen la dissipaion d'énergie dans une srucure sans en connaîre nécessairemen l'origine physique. Pour conclure sur l'oscillaeur à amorissemen sous-criique, on noera que pour les faibles valeurs de ξ (ypiquemen inférieures à 0%) elles qu'on les renconre dans la praique, on 3

16 peu sans préjudice confondre ω avec ω D. La figure. présene la variaion ω/ω D en foncion de ξ qui es représenée par un cercle de rayon unié. ω D ω Amorissemen criique ξ Figure. : Variaion de la pulsaion propre amorie en foncion de ξ.4.3 SYSTEME A AMORTISSEMENT CRITIQUE Ce cas correspond à ξ= e C=Mω. Sous les mêmes condiions iniiales u(0) e u(0), la réponse du sysème s'écri : (.49) () = [ +ω + ] u ( )u(0) u(0) e Elle es présenée sur la figure.. La réponse ne présene aucune oscillaion au cours du emps e le déplacemen end vers 0 au bou d'un emps infini. On peu en déduire que l'amorissemen criique correspond à la plus peie valeur de l'amorissemen pour laquelle la réponse en vibraion libre ne compore pas d'oscillaions. -ω U() Figure. : Vibraion libre d'un sysème à amorissemen criique 3

17 .4.4 SYSTEME A AMORTISSEMENT SUR-CRITIQUE Ce cas correspond à ξ> e C>Mω. La soluion de l'équaion (.37) s'écri : u(0) +ξωu(0) (.50) () ˆ ˆ u = Sh( ω ) + u(0)ch( ω) ωˆ e avec -ξω (.5) ω=ω ˆ ξ On noera que la vibraion libre d'un sysème sur-amori ne compore pas d'oscillaions e que le sysème revien à l'équilibre au bou d'un emps infini. La réponse es analogue à celle du sysème à amorissemen criique mais le reour à l'équilibre s'effecue d'auan moins rapidemen que le pourcenage d'amorissemen criique es élevé..5 VIBRATIONS FORCEES Dans ce paragraphe, on s'inéressera au cas où les vibraions de l'oscillaeur simple son engendrées par une solliciaion p() direcemen appliquée à la masse M. On se resreindra dans la suie au cas d'un sysème à amorissemen sous-criique, seul cas d'inérê dans la praique..5. SOLLICITATION HARMONIQUE La solliciaion appliquée p() es décrie par une expression : (.5) p () = p0 sin( ω ) L'équaion générale don on recherche la soluion s'écri : p0 (.53) u + ξω u +ω u= sin( ω) M La soluion générale s'écri sous la forme de la soluion générale de l'équaion homogène (éq. (.45)), soi : (.54) () = [ cos( ω ) + sin( ω )] u A B e D D ξω 33

18 e d'une soluion pariculière que l'on recherchera sous la forme : (.55) u ( ) =λsin( ω ) +μcos( ω ) Reporan (.55) dans (.53) e idenifian les consanes erme à erme, il vien en posan : (.56) (.57) ω β = ω - e ξω [ ] u () = Acos( ω ) + Bsin( ω ) D D P0 + (-β ) sin( ω) ξβcos( ω) k (- β ) +( ξ β) Le premier erme de l'équaion (.57) consiue la réponse ransioire de l'oscillaeur qui a éé éudiée au paragraphe.4. e le second la réponse forcée ou saionnaire de celui-ci (figure.3). La réponse ransioire s'amori au cours du emps, d'auan plus rapidemen que le pourcenage d'amorissemen criique es élevé e la réponse end vers la soluion saionnaire. Cee réponse s'effecue alors avec une période T = π / ω égale à celle de la solliciaion. Dans l'équaion (.57), les consanes A e B son déerminées par les condiions iniiales, viesse e déplacemen du sysème, à l'insan = 0. u() 0.5 Réponse oale Réponse saionnaire Réponse ransioire ξ= = 5% T = 0.4 s β= = / T Figure.3 : Réponse de l'oscillaeur soumis à une solliciaion harmonique 34

19 Pour un sysème même faiblemen amori (ξ 5%), dès que la durée devien supérieure à fois la période de vibraion propre T = π/ω de l'oscillaeur, la conribuion de la réponse ransioire peu êre négligée. La réponse saionnaire peu alors s'écrire, de façon similaire à l'équaion (.4) : (.58) u () =ρsin( ω θ ) où ρ représene l'ampliude de la réponse e θ la phase qui caracérise le déphasage enre l'effor appliqué e le déplacemen résulan. L'ampliude de la réponse es égale à (éq. (.57)) : (.59) ρ= P0 P0 D k ( β ) + ( ξβ) = k P 0 /k représene le déplacemen saique (à fréquence nulle) de la masse M lorsque la solliciaion vau P 0 e D le faceur d'amplificaion dynamique. Ce faceur d'amplificaion dynamique es représené sur la figure.4 en foncion du rappor β. Il vau bien évidemmen pour un chargemen saique. Lorsque ω end vers l'infini, D end vers 0 quelle que soi la valeur de ξ. A rès haue fréquence, les forces d'inerie deviennen prépondéranes devan les forces élasique f S e d'amorissemen f D ; elles enden vers l'infini e s'opposen au mouvemen : la masse rese "immobile". 4 ξ = 0 D 3 0 ξ =.0 ξ = 0. ξ = 0.5 ξ = β Figure.4 : Faceur d'amplificaion dynamique Lorsque la pulsaion ω de la solliciaion coïncide avec la pulsaion propre ω de l'oscillaeur, le faceur d'amplificaion D passe par un maximum égal à : (.60) D max = ξ 35

20 Ce phénomène es connu sous le nom de résonance. Lorsque l'amorissemen es nul, D max devien infini. Reprenan l'éude de l'équaion (.58), la phase θ es donnée par : ξβ (.6) θ= Arcg β Elle es représenée sur la figure.5 en foncion de β. A faible fréquence, la phase es nulle ou négligeable : le sysème répond insananémen à la solliciaion. Lorsque la résonance es aeine (β=), il se produi un déphasage de 90 enre force appliquée e déplacemen résulan : le déplacemen es nul lorsque la force es maximale, e vice-versa. A haue fréquence, le déplacemen es maximal, en valeur absolue, au même insan que la force mais se produi dans la direcion opposée à la force. Rappelons que corrélaivemen, comme on l'a vu précédemmen, son ampliude end vers 0. θ ξ=0. ξ = 0 ξ=0.5 ξ = 0.05 ξ = 0. ξ= ξ = 0.5 ξ=0.7 ξ = ξ= β Figure.5 : Phase de la réponse saionnaire.5. ETUDE DE LA RESONANCE On a vu que pour l'oscillaeur simple, lorsque la pulsaion de la solliciaion coïncidai avec la fréquence propre de l'oscillaeur, la réponse, en ermes de déplacemen, passai par un maximum qui pouvai êre infini si l'amorissemen de l'oscillaeur éai nul. Pour l'oscillaeur soumis à des condiions iniiales nulles en déplacemen e viesse, u(0) = u (0) = 0, l'équaion (.57) indique que la réponse s'écri : (.6a) p0 p0 A = B = k ξ k ξ 36

21 (.6b) p0 ξ ξω u ( ) = sin( ω ) cos( ) cos( ) D+ ωd e ω k ξ ξ qui se simplifie pour les faibles valeurs de ξ e un emps suffisammen élevé en : -ξω (.63) u() = (e ) cos( ω) k ξ P 0 Lorsque le sysème es non amori, le passage à la limie de l'équaion (.6b) pour ξ 0 donne pour réponse : P k 0 (.64) u() = [ sin( ω) ω cos( ω ) ] La figure.6 présene l'évoluion dans le emps des réponses données par les équaions (.63) e (.64). Pour le sysème non amori, l'ampliude de la réponse croî d'une quanié π à chaque cycle e end vers l'infini : le sysème devien insable. Pour le sysème, même faiblemen amori, l'ampliude de la réponse croî dans le emps mais rese bornée par la valeur P 0 /kξ qui es aeine d'auan plus rapidemen que l'amorissemen es élevé. La borne obenue pour l'ampliude du déplacemen es égale à celle de la réponse saionnaire à la résonance de l'oscillaeur (éq. (.60)). u() P / k 0 / ξ Figure.6 : Evoluion de l'ampliude de la réponse d'un sysème en résonance 37

22 .5.3 SOLLICITATION IMPULSIVE La solliciaion consise en une impulsion appliquée soudainemen à l'insan =τ (figure.7). p() τ Figure.7 : Solliciaion impulsive L'éude de la solliciaion impulsive revê une imporance oue pariculière car, comme on le verra au paragraphe 5.4, elle consiue la soluion fondamenale élémenaire de la réponse de l'oscillaeur, oue solliciaion générale pouvan êre considérée comme une succession d'impulsions élémenaires. Mahémaiquemen, la solliciaion impulsive es représenée par la foncion de Dirac δ égale à l'infini au emps =τ e nulle pour les aures valeurs du emps, mais don l'inégrale, appelée impulsion, es égale à l'unié : (.65a) p () =δ( τ ) + (.65b) I= p() d= D'après l'équaion fondamenale de la dynamique (éq. (.7)), la variaion de la quanié de mouvemen de la masse M es égale à la résulane des forces appliquées, soi : d Mu p ku cu d (.66) ( ) = () () () Si la force p() agi pendan une durée infinimen brève, le ressor e l'amorisseur n'on pas le emps de développer des forces e les deux derniers ermes du membre de droie de l'équaion (.66) son nuls. Par inégraion de l'équaion (.66), il vien : + (.67) pd () = MΔu où Δ u représene la variaion de viesse communiquée à la masse M. 38

23 Pour un sysème iniialemen au repos ( u = 0), enan compe de (.65b) : (.68a) u () τ = M Par ailleurs, pour τ, le déplacemen es nul, soi : (.68b) u() τ = 0 Les relaions (.68) consiuen les condiions iniiales de la réponse vibraoire de l'oscillaeur soumis à une impulsion unié à l'insan = τ. Pour les emps > τ la réponse de l'oscillaeur correspondra à sa vibraion libre, éudiée au paragraphe 4.0. Son déplacemen u() sera régi par l'équaion (.45) dans laquelle les condiions iniiales son inroduies : Mω ξω (.69) ( τ u () h ( τ ) = e ) sin [ ω ( τ) ] valable pour τ. h(-τ) consiue la soluion élémenaire pour une impulsion unié inervenan à l'insan = τ. La relaion (.67) peu égalemen êre obenue direcemen à parie des équaions de Lagrange (.8) paricularisées pour un impac. Par inégraion de ces équaions sur la durée de l'impac: +τ +τ +τ +τ d T T V (.70) du du du Qi du i,, n d + = = q i qi qi Le premier erme après inégraion s'écri D D (.7) T Δ q i où Δ représene la variaion de la quanié pendan la durée de l'impac. Les quaniés sous le signe inégral des deuxième e roisième ermes son bornées; il en résule que pour une durée d'impac infiniésimale les deuxième e roisième ermes de (.70) son négligeables. Le dernier erme représene l'impulsion I de la force appliquée. Avec l'expression classique de l'énergie cinéique (.4), il s'ensui que: (.7) I= MΔ u qui n'es aure que (.67). 39

24 Physiquemen, une impulsion de durée nulle n'exise pas e oue impulsion a une durée finie, rès coure. Sa variaion emporelle pendan la durée, peu êre, par exemple sinusoïdale, riangulaire ou êre représenée par un créneau (figure.8). Ces siuaions se renconren par exemple dans le cas d'un choc mou, d'une explosion ou d'un choc dur. p() p() (c) M k (b) (a) Figure.8 : Exemples d'impulsion Pour ces solliciaions, une soluion analyique explicie peu êre obenue pour la réponse de l'oscillaeur. Cependan il es plus fécond de s'inéresser à la réponse maximale de l'oscillaeur. Cee réponse peu se produire pendan la durée de l'impulsion ou pendan la phase de vibraion libre après la fin de l'impulsion. Dans ous les cas, la réponse maximale es aeine rès rapidemen e les forces d'amorissemen n'on pas le emps nécessaire pour absorber une énergie significaive; il es donc licie de s'inéresser à la réponse maximale de l'oscillaeur non amori (figure.8). Pour une force d'ampliude maximale p 0, on écrira que le déplacemen maximal es égal à : (.73) p0 max u ( ) = D k où D représene le coefficien d'amplificaion dynamique maximal. De façon générale, quelle que soi la forme de l'impulsion, D ne dépend que du rappor /T de la durée de l'impulsion à la période propre de l'oscillaeur. On peu donc représener la variaion de D en foncion de ce paramère. La figure.9 présene cee variaion pour les rois ypes d'impulsion de la figure.8. Un graphique de ce ype es dénommé specre de choc. On consae sur la figure.9 que la valeur de D es au plus égale à.0, ce qui jusifie que dans les analyses d'impac il es souven préconisé de reenir une force saique équivalene égale au double de la force appliquée. 40

25 Coefficien d amplificaion D.4 (a).0.6 (b) (c) / T Figure.9 : Specres de choc (voir symboles figure.8) L'examen de la réponse d'un oscillaeur à une impulsion du ype de celles de la figure.8, ou d'aures, monre que de façon générale la réponse maximale de l'oscillaeur se produi pendan la durée du choc si le rappor /T es supérieur à 0.5 e que pour les valeurs élevées de /T (>) la valeur maximale de l'amplificaion dépend de la variaion emporelle de l'impulsion; une monée graduelle de la force produi une amplificaion moindre qu'une monée soudaine (comparer sur la figure.9 les réponses à la solliciaion sinusoïdale e à l'impulsion recangulaire). Pour des durées de choc elles que /T <0.5, la réponse maximale se produi pendan la phase de vibraion libre suivan la phase d'impulsion e dépend de la valeur de l'impulsion oale I = 0 p() d. Exemple : impulsion recangulaire Une soluion pariculière de l'équaion différenielle du mouvemen (.7) avec ξ=0, es donnée par : p0 (.74) u () = k La soluion générale de l'équaion es donc : (.75) p0 u () = Acos( ω ) + Bsin( ω ) + k Imposan des condiions iniiales en déplacemen e viesse nulles, la réponse es donnée par : p k 0 (.76) u () = [ cos( ω ) ] 4

26 qui n'es valable que pendan la durée de l'impulsion <. A l'insan =, l'oscillaeur possède un déplacemen u( ) e une viesse u ( ) qui consiuen les condiions iniiales de la phase ulérieure pendan laquelle le mouvemen es régi par l'équaion (.40) des vibraions libres. La réponse es donnée par : u ( ) ω (.77) u () = sin [ ω( ) ] + u ( )cos[ ω( ) ] valable pour La réponse maximale pendan la phase de vibraion libre es donnée par : u ( ) ω (.78) u = + [ u( )] max soi en remplaçan u ( ) e u( ) par leurs valeurs respecives obenues à parir de l'équaion (.76) e enan compe de la relaion ω=π/t. p0 π (.79) umax = sin( ) k T La réponse maximale pendan la durée de l'impulsion vau : (.80) u u max max p π p π cos( ) sin ( ) 0.5 k T k T T p 0.5 k T 0 0 = = 0 = Le rapprochemen des équaions (.78) e (.80) monre que : Pour 0. 5, la réponse maximale es obenue pendan la phase de vibraion libre e T es donnée par l'équaion (.79). pour 0. 5, la réponse maximale es obenue pendan la phase d'impulsion e T vau. La courbe D = ku max /p 0 es représenée en foncion de /T sur la figure.9. 4

27 .5.4 SOLLICITATION QUELCONQUE La solliciaion es définie par sa variaion emporelle p() qui peu ouefois êre périodique (voir chapire ) ou oalemen quelconque. Les echniques d'obenion de la soluion diffèren suivan cee paricularié mais s'inspiren des développemens présenés précédemmen pour la solliciaion harmonique ou impulsive SOLLICITATION PERIODIQUE Une foncion périodique, de période T p, peu êre décomposée en la somme d'un nombre infini d'harmoniques en uilisan les séries de Fourier. πk πk (.8) p() = a0 + akcos( ) + bksin( ) k= T k= T que l'on peu égalemen écrire de façon condensée en uilisan les nombres complexes : iπk T p (.8) p () = c e k= k Les coefficiens c k son les coefficiens de Fourier de la foncion p(), donnés par : p p (.83) iπk Tp Tp ck = p() e d T 0 p L'expression des coefficiens de Fourier es obenue aisémen en muliplian les deux iπn membres de l'équaion (.8) par exp e en inégran de 0 à T T p e en noan que p les foncions exponenielles son orhogonales, auremen di que l'inégrale de leur produi es nulle pour n k e égale à T p pour n=k. Tenan compe de la relaion linéaire (.8), la réponse saionnaire de l'oscillaeur es alors simplemen obenue en résolvan l'équaion de la vibraion forcée pour chaque harmonique ω k e en addiionnan les réponses ainsi obenues. La soluion pour une solliciaion harmonique a éé obenue au paragraphe 5.. En conservan les noaions complexes inroduies dans ce paragraphe, la soluion pour une harmonique ω k d'ampliude unié s'écri : i k (.84) u () = H( ω ) e ω où k 43

28 ωk πk (.85) H ( ω k) =, β= = k ( β ) + iβξ ω T ω L'équaion (.84) es l'analogue en noaions complexes du deuxième erme du membre de droie de l'équaion (.59); elle es obenue aisémen en cherchan la soluion saionnaire de l'équaion du mouvemen (.53) dans laquelle la solliciaion exérieure (membre de droie de i k l'équaion) es égale à e ω La quanié H(ω k ) représene la foncion de ransfer de l'oscillaeur simple, c'es-à-dire sa réponse lorsqu'il es soumis à une solliciaion harmonique d'ampliude unié. La réponse saionnaire de l'oscillaeur soumis à la solliciaion p() es alors donnée par : iπk πk Tp (.86) u () = ck H( )e T k= p p.5.4. SOLLICITATION NON PERIODIQUE Toue solliciaion quelconque p() peu êre considérée comme égale à la somme d'impulsions p(τ)dτ agissan à l'insan = τ (figure.0). Cee impulsion produi la réponse don la soluion élémenaire es donnée par l'équaion (.69). Le déplacemen incrémenal vau donc : (.87) du() = h( τ) p() τ dτ p() p(τ) τ dτ Figure.0 : Principe d'obenion de l'inégrale de Duhamel 44

29 La réponse à l'insan es la somme des réponses aux impulsions produies aux emps τ <, soi : u = pτ sin ωd( τ dτ m ω 0 ( ) (.88) () () e ξω τ [ )] D Cee inégrale de convoluion es connue sous le nom d'inégrale de Duhamel caracérisan la réponse d'un oscillaeur simple iniialemen au repos à une solliciaion quelconque p(). Si p() n'es pas connue analyiquemen, ou es représenée par une foncion compliquée, l'inégrale de Duhamel doi êre évaluée numériquemen. Cee inégraion numérique ne se révèle pas pariculièremen compéiive e il es souven préférable d'inégrer direcemen l'équaion différenielle régissan l'équilibre dynamique de l'oscillaeur. On verra un schéma d'inégraion numérique possible au chapire 4 raian de l'oscillaeur non-linéaire. Une méhode alernaive d'obenion de la réponse de l'oscillaeur à une solliciaion quelconque es similaire à celle décrie pour une solliciaion périodique; elle fai appel à la ransformée de Fourier de la foncion p() qui s'exprime non plus en foncion d'une série, mais d'une inégrale : (.89) + iω p () = ( ω) ω π P e d P(ω) es la ransformée de Fourier de la foncion p() e s'exprime : + ω i (.90) P( ω ) = p( ) e d De façon analogue à l'équaion (.86), la réponse de l'oscillaeur es : (.9) + iω u () = H( ω) P( ω) e dω π Si l'évaluaion de l'inégrale (.90) pour la déerminaion de la ransformée de Fourier ne pose pas de difficulé, l'évaluaion de la ransformée de Fourier inverse (équaion.9) nécessie le recours à une inégraion le long de conours dans le plan complexe. Cee echnique n'es jamais uilisée dans la praique car difficile de mise en œuvre analyiquemen. L'inégraion numérique de ces inégrales nécessie de les ronquer pour les resreindre à un inervalle fini; cee roncaure es mahémaiquemen équivalene à rendre la foncion p() périodique. Considérons donc une solliciaion p() de durée finie d. La réponse maximale de l'oscillaeur à cee solliciaion peu inervenir après la fin de la solliciaion; il es donc nécessaire de déerminer cee réponse sur une durée T 0 suffisammen longue. Typiquemen, si la réponse maximale se produi après la fin de la solliciaion, elle sera aeine au cours du premier 45

30 demi-cycle de vibraion libre puisque, en raison de l'amorissemen, cee réponse s'aénue au cours du emps. La durée d'analyse doi donc êre elle que : T (.9) T0 d + où T es la période propre de l'oscillaeur. d T 0 Figure. : Exension périodique de la solliciaion Si au-delà d'un emps supérieur à T 0, la foncion p() es reproduie à l'idenique (figure.), la solliciaion es rendue périodique e suscepible du raiemen exposé au paragraphe 5.4. pour les solliciaions périodiques. La soluion es donc obenue en expriman cee foncion périodique en série de Fourier, en résolvan l'équaion d'équilibre pour chaque harmonique e en superposan les réponses. On di que la réponse es obenue par analyse fréquenielle. Avec l'avènemen des algorihmes de ransformaion de Fourier rapide (FFT), cee méhode de résoluion es devenue rès performane d'un poin de vue numérique. Il fau cependan observer que la soluion par cee echnique ne représene que la soluion saionnaire à une prolongaion périodique de la solliciaion. La soluion es d'auan plus précise que la durée T 0 es choisie grande. La ransformaion de Fourier éan non causale, les condiions iniiales qui devraien êre nulles ne le seron à la limie que si T 0. Pour un oscillaeur "normalemen amori", il es possible de choisir une valeur raisonnable de T 0 permean de respecer approximaivemen ces condiions iniiales. De plus, dans ce cas la conribuion de la réponse ransioire, non prise en compe dans la méhode, devien négligeable. La méhode devien plus problémaique pour un oscillaeur rès faiblemen amori e requier des adapaions don l'obje dépasse le cadre du cours. 46