Cours et exercices de mathématiques SUITES NUMERIQUES EXERCICES CORRIGES
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- Cyprien Lheureux
- il y a 6 ans
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1 Cors et exercices de mathématiqes SUITES NUMERIQUES EXERCICES CORRIGES Exercice. Les sites sot défiies par f (. ( Doer la foctio mériqe f correspodate, idiqer le terme iitial de la site, pis calcler les termes et 8 + π cos Exercice. Por chace des sites de terme gééral, idiqer à partir de qel rag elles sot défiies, pis calcler les trois premiers termes ( Exercice. Soit la site défiie por tot etier atrel par + +. ( + ; ; Exprimer e foctio de les termes siats : ; et la différece. Exercice 4. 5 Soit ( la site défiie por tot etier atrel par + (. + Vérifier qe le rapport est idépedat de. Exercice 5. Les sites sot défiies par e relatio de récrrece f ( ( +. Doer la foctio mériqe f correspodate, pis les qatre premiers termes de la site Exercice 6. Motrer qe la site défiie por tot etier atrel par, érifie la relatio de récrrece ( ( Exercice 7. Compléter le tablea siat por etier égal à,,, et 4 + ( Exercice 8. Résodre l iéqatio x + x + Détermier le ses de ariatio de la site ( défiie par + Page /7
2 Cors et exercices de mathématiqes Exercice 9. Etdier le ses de ariatio des sites siates :, Exercice. Démotrez qe les sites siates sot périodiqes, e détermiat e période : π si Exercice. ; ; ; ; ; ;... 4 est costitée de dex sites extraites décroissates Soit ( la site défiie par la liste de ses termes : Démotrez qe Page /7
3 Cors et exercices de mathématiqes SUITES NUMERIQUES - CORRECTION Exercice + x + Si alors f ( aec f ( x x + 5 site por. Aisi 8 et Si alors f ( aec por. Aisi défiie sr ] ; [ ] ;[ ] ; [ f ( x x x défiie sr ] ;] [ ; [ et xπ π Si cos alors f ( aec f ( x cos π π Aisi cos cos et 8π 8 cos cos 4π Exercice +. O défiira doc la +. O défiira doc la site défiie sr. O défiira doc la site por. La site de terme gééral ( est défiie por tot. Aisi ( ( et, La site de terme gééral est défiie si et selemet si. Or 9 7 ( est doc défiie qe por. O calcle, et 7 Exercice Si, por tot, + +, alors Efi, Exercice ( Por tot, + / ( ( ( ( 5/ + Le rapport est bie idépedat de. Exercice 5 La site défiie par + O calcle aisi est doc défiie par aec + f pis f ( x x et efi Page /7
4 Cors et exercices de mathématiqes La site défiie par + + est doc défiie par aec + f O calcle + + 5, 5 Exercice 6 Por tot, o calcle + f x x et 6 ( Aisi, por tot, ( Exercice 7 Compléter le tablea siat por etier égal à,,, et ( 4 9 ( ( 9 64 ( ( Exercice 8 x+ x+ x. S ; + O remarqe d abord qe por tot etier,. ( + > ( De pls, por tot etier, >, O résot < < + < + ( D après la qestio précédete, + < >, ce qi est assré pisqe + Aisi > <. Comme por tot, >, ceci etraîe, et os permet < + d affirmer qe la site ( est strictemet décroissate. Page 4/7
5 Cors et exercices de mathématiqes Exercice 9 Si por tot,, o calcle ( 4 ( + Or por tot etier, >, c est-à-dire + > + >. La site est doc strictemet croissate. +,75,75 Si por tot, Or por tot etier,, o calcle ( + + +,75,75,75 ( +,75 + < < < < et pisqe <,75<, o e dédit qe + + por tot, >, ceci etraîe doc la site + < ère méthode Si por tot, +, o calcle : Pisqe le calcl d discrimiat d polyôme P + + forit est doc strictemet décroissate. + <. Pisqe 4 4<, o pet affirmer qe por tot, > +, doc la site est doc strictemet croissate. ème méthode Pisqe por tot, + f aec f ( x x + x, le ses de ariatio de f os reseigera sr + > celi de (. Or f est dériable sr, et por tot x, f ( x, et o retroe bie le résltat : La site ( 4 Si por tot, (, o pet affirmer qe la site E effet pair > et impair < La site ( est doc i croissate i décroissate est doc strictemet croissate. 6x + >, doc f est strictemet croissate sr est pas mootoe. 5 Si por tot, + +, il est préférable d étdier la foctio f défiie par f ( x x + x+ Pisqe, il sffit d étdier f sr [ ; + [. Si o ote P( x x + x+, le calcl d discrimiat forit 4 <, doc P x > por tot x. Aisi la foctio f est défiie sr. Elle est égalemet x + dériable sr car P l est, et pisqe por tot x, P( x >. Por tot x, f ( x x + x+. Pisqe l o se restreit à [ ; + [, o pet affirmer qe por tot x [ ; + [, x+ > f ( x >, doc f est strictemet croissate sr [ [ et aisi la site ( est strictemet croissate. 6 Si por tot, ; + +, il est préférable d étdier la foctio f défiie sr [ ; + [ par f ( x f est dériable sr ] ; + [, et por tot x ] ; + [, f ( x x, doc f est strictemet croissate sr [ ; + [ et aisi la site f x > 7 Si por tot,, o calcle : ( + x x( + x Por, doc. Dès qe, + > Aisi, mis à part, la site est strictemet croissate à partir de est strictemet croissate. +. Por tot x ] ; + [, x Page 5/7
6 Cors et exercices de mathématiqes 8 Si por tot,, o calcle, por tot Por comparer à, o calcle. + Or por tot,, ce qi sigifie qe. De pls por tot >, <. Aisi por tot >, + <. Comme por tot,, l iégalité + < éqiat à. < + Aisi, mis à part, la site est strictemet croissate à partir de 9 Si por tot, f x, la site ( ara le même ses de ariatio qe la foctio défiie sr ] [ ( x. Cette foctio est strictemet croissate sr ] [ décroissate sr ] ; + [, doc la site est strictemet croissate ; + par ; + (e tat q opposé d e foctio strictemet Exercice Si por tot, π π π π si, o calcle si si, si si, π π 4π π π si si si si si et π si si π. Il semblerait qe ( soit périodiqe de période. Por le érifier, o calcle, por tot, ( + π π π π π + si si + si + π si Ais, la site est périodiqe de période. 5 5 Si por tot, 5, o calcle , pis et efi + +. O retombe sr et il semblerait qe la site soit périodiqe de période. Démotros qe por tot, +. Soit. Effectos la diisio eclidiee de par, et écrios q+ r aec r < Motros par récrrece sr qe r (où r est le reste de la diisio eclidiee de par La propriété est raie por,,, Spposos là raie por etier fixé, c est-à-dire (où r est le reste de la diisio eclidiee de par, et motros qe + s (où s est le reste de la diisio eclidiee de + par Si q+r, r <, alors + q+ r+. De trois choses l e : Si q, c est-à-dire r, alors (hypothèse de récrrece doc Comme + q+, c est-à-dire s, alors o porra bie affirmer qe + s Page 6/7 r
7 Cors et exercices de mathématiqes Si q+, c est-à-dire r, alors (hypothèse de récrrece doc Comme + q+, c est-à-dire s, alors o porra ecore affirmer qe + s Si q+, c est-à-dire r, alors (hypothèse de récrrece doc Comme + q+ ( q+, c est-à-dire s, alors o porra bie affirmer qe. Das tos les cas, + s + s (où s est le reste de la diisio eclidiee de + par La phase d hérédité est acheée, et la propriété est doc raie por tot. La périodicité de période de la site sr ses trois premiers termes etraîe doc sa périodicité de période sr. Exercice est costitée de dex sos-sites de rag pair et impair : Por tot etier, + + Por tot etier, + Notos, por tot,. Il est éidet qe por tot,. De pls, por tot + >, ( + + < < ++. Aisi + < doc la (sos-site ( est strictemet > décroissate. + Notos, por tot, w +. Il est éidet qe por tot, w. De pls, por tot >, w ++ + w+ ( < < + +. Aisi w w+ < w doc la (sos-site ( w w + + est w > strictemet décroissate. Page 7/7
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