Exercices de dénombrement

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1 DOMAINE : Combiatoire AUTEUR : Atoie TAVENEAUX NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Grésillo 0 CONTENU : Exercices Exercices de déombremet Exercice Combie y a-t-il de sous-esembles d u esemble de cardial? Exercice Motrer que le ombre de diviseurs de y compris et est impair si et seulemet si est le carré d u ombre etier. Exercice 3 Soiet et k deux ombres etiers aturels. De combie de faços est-il possible de choisir k ombres etiers aturels i, i,..., i k tels que i i... i k? Exercice 4 Combie de tirages différets peut-o faire si l o tire des boules différetes et qu o les remet après chaque tirage sas se soucier de l ordre? Exercice 5 Cocours gééral 90 O dispose de 4 couleurs. Combie de tétraèdres différets peut-o peidre e peigat chaque face avec ue et ue seule couleur? Exercice Trouver ue expressio comparable à celle du biôme de Newto pour x x... x m. Exercice 7 Calculer u i mii, j Avec mi la foctio qui doe le plus petit des deux ombres. Exercice 8 Calculer p0 j p p q q0 Exercice 9 L idetité de Vadermode Motrer que si k mim, alors : m m m m... 0 k k k 0 k

2 Exercice 0 Combie y a-t-il de permutatios ayat qu u seul cycle? Exercice Soit p ue foctio associée à ue permutatio. O appelle ordre de cette permutatio le plus petit etier k tel que p k Id. Quelle est le plus grad ordre pour ue permutatio de taille? Exercice Quelle est le plus petit k tel que l o ait p k Id pour toutes les permutatios de logueur fixée o ote p pour la foctio correspodat à la permutatio. Exercice 3 O appelle déragemet ue permutatio de taille telle que pour tout i o ait pi i. Combie y a-t-il de déragemets de taille? Exercice 4 O dit qu ue permutatio x, x,..., x possède la propriété P s il existe u i tel que x i x i. Démotrer qu il y a plus de permutatios qui ot la propriété P que de permutatios qui e l ot pas. Exercice 5 M est u sous-esemble de {,,..., 5} tel que le produit de 3 élémets disticts de M e soit jamais u carré. Trouver le ombre maximal d élémets que peut avoir M. Exercice Quarate quatre stagiaires ot été elevés par le diabolique Fraçois qui, das sa grade boté, leur laisse ue chace de se sortir de so piège. Il les fait etrer u par u das ue grade pièce qui cotiet 44 tiroirs, chacu de ces tiroirs coteat le om d u stagiaire les oms sot supposés deux à deux disticts. Si e ouvrat mois de tiroirs le mathématicie trouve so om il passe das ue autre pièce où il doit attedre ses amis. Sio, Fraçois tue tout le mode. Trouver ue stratégie qui cofèret aux mathématicies au mois 30% de chace de survivre. - Correctio - Solutio de l exercice Le problème peut être résolu de plusieurs maières. O peut simplemet se coteter de faire le lie avec les suites de 0 et de de logueur il y e a qui sot ue forme de représetatio d u sous esemble puisqu o peut, par exemple, dire que le sous esemble associé à ue suite est costruit tel que le i ème élémet soit das le sous esemble si et seulemet si le i ème terme de la suite est. Pour chaque suite il existe doc u esemble et pour chaque esemble il existe ue uique suite. Il y a doc

3 exactemet sous esembles d u esemble de cardial. Ue autre méthode de démostratio cosiste à raisoer par récurrece sur. Nous laissos au lecteur le soi de rédiger la démostratio qui e devrait pas préseter de difficulté. Solutio de l exercice Pour chaque diviseur d de, o fait correspodre /d. Pour d, il existe bie u seul ombre /d et iversemet si o a a /d o a d /a. Si est pas le carré d u etier, pour tout diviseur d de alors d et /d sot différets et /d est aussi u diviseur de. O a doc formé des paires de diviseurs, et il existe doc u ombre pair de diviseurs de. Si est u carré d u etier, pour tous les diviseurs d tels que d o peut faire des paires, etre d et /d. Efi, il e reste qu u diviseur qui est et a u ombre impair de diviseurs. Solutio de l exercice 3 Le plus simple est sas doute de cosidérer les objets tous différets das u premier temps. Il y a doc! maières de les rager. Mais les mêmes solutios sot comptées plusieurs fois car certais objets sot idetique. Si o cosidère que seuls les i objets du i ème type sot idiscerables et tous les autres sot disticts alors o compte i! fois chaque solutio car chaque permutatio d objets du i ème type est possible. Aisi o compte!.!... k! fois la même solutio quad les objets tous différets. Il y a doc!!.!... k! ragemets différets de ces objets. Solutio de l exercice 4 L idée cosiste à trasformer légèremet le problème. O cosidère ue série de k k cases das lesquelles o va placer k cubes délimiteurs. A chacue de ces cofiguratios correspod ue somme : i est le ombre de cases avat le premier cube délimiteur et le ombre i k est le ombre de case etre le k ème délimiteur et la fi du casier. Réciproquemet, pour chaque somme, il existe u seul arragemet des cases et des blocs délimiteurs. Aisi il y a autat de sommes de k ombres dot la somme est que de choix de k cases parmi k. Il y a doc k k sommes possibles. Solutio de l exercice 5 O ote,,..., les couleurs o a doc u ordre sur les couleurs. Nous allos distiguer les differets cas, e foctio du ombre de couleurs utilisées. Si o utilise 4 couleurs différetes, toutes les faces sot de couleurs différetes. O place la plus petite couleur celle qui a le plus petit uméro 3

4 vers le bas et l o place la secode couleur face à ous. Il reste alors possibilités pour choisir la place des derières couleurs. Il existe doc et seulemet tétraèdres qui ot les 4 mêmes couleurs. Il y a doc. 4 tétraèdres avec 4 couleurs. Si o utilise 3 couleurs, il y a écessairemet ue couleur qui se répète, otos la i. O place alors les deux faces de couleur i vers le bas et l autre vers ous, esuite les deux faço de peidre les deux autres faces sot équivaletes à rotatio prés. Doc il y a 3 tétraèdres de 3 couleurs différetes. Si o utilise couleurs, soit ue couleur apparaît 3 fois, soit les deux couleurs apparaisset fois. Si ue des couleurs est représetée 3 fois, alors e plaçat la couleur représetée ue seule fois vers le bas o remarque qu il y a qu ue seule maière de peidre le tétraèdre. Si chaque couleur est représetée fois et si l o place la plus petite couleur vers le bas et face à ous o remarque que la positio de l autre couleur est aisi fixée. Il existe doc qu ue maière de peidre u tétraèdre avec deux couleurs qui se répètet deux fois chacues. Il y a doc. tétraèdres peits avec couleurs. Si o utilise ue seule couleur, il y a bie sûr qu u tétraèdre par couleur. Il y a doc tétraèdres d ue seule couleur. Le ombre de tétraèdres possibles est doc : ! 3! 3 3 Solutio de l exercice Nous allos motrer par récurrece sur m que x x... x m x k k, k,..., k xk...xk m m m k k...k m avec! k, k,..., k m k!k!...k m!. Pour m o retrouve la formule du biôme de Newto. Supposos alors que la formule soit vraie pour m, o a doc : x... x m x m x k k, k,..., K xk...xk m m x m x m K k k...k 4

5 avec la formule du biôme sur x m x m K o a : x k k, k,..., K xk...xk m m k k...k k m k m K K k m, k m x k m m x k m m Et par défiitio des coefficiets, o a K!! k, k,..., K k m, k m k!k!...k! k m!k m!! k!k!...k m! k,..., k m, k m Efi : x x... x m x m k...k m k, k,..., k m, k m x k xk...xk m m Solutio de l exercice 7 O sépare e deux la deuxième somme car mii, j j i mii, j mii, j j ji i j i j ji ii i. i O a doc u i mii, j j i ii i i i i i Solutio de l exercice 8 Nous chageos l ordre de la somme. Rassemblos les termes pour lesquels p q est costat. Posos doc i p q, o a doc : p p q i i ii i i p0 q0 i0 k0 i0 i0 i0 4 Solutio de l exercice 9 Regardos le polyôme x m x. x m. Das ce polyôme le coefficiet de x k peut être calculé de deux maières 5

6 différetes. Avec la partie gauche de l égalité o aboutit à m k et avec l autre membre o aboutit à : m m m m... p r i k i k i p,r prk i0 car o a choisi k 0 quad k >. Solutio de l exercice 0 Pour chaque permutatio ayat u seul cycle o peut lui associer so cycle exprimé comme u -uplet dot le premier ombre est. A l iverse pour chaque -uplet qui commece par u o peut lui associer la seule permutatio ayat ce seul cycle. Il y a doc! permutatios ayat qu u cycle. Solutio de l exercice Pour avoir p i il faut et il suffit que i soit u multiple de la logueur du cycle qui cotiet. Comme la somme de la logueur des cycles d ue permutatio de logueur est, alors l ordre maximum est le PPCM maximum que l o peut atteidre avec des ombres dot la somme vaut. Ce PPCM maximum est atteit pour et 5. Doc l ordre maximum d ue permutatio de logueur est Solutio de l exercice Si pour toute permutatio de logueur o a p k Id alors pour toute logueur i de cycle d ue permutatio de logueur le ombre k doit être u multiple de i. Or tous les ombres de i {,,..., } peuvet être la logueur d u cycle d ue permutatio de logueur. E effet, il suffit de predre la permutatio, 3,..., i, i,, i, i,..., qui a comme cycle,, 3,..., i qui est de logueur i. Ce ombre est doc PPCM,,...,. Si o ote p i le i ème ombre premier et α i le plus grad etier tel que p α i i, o a doc que PPCM,,..., p α.pα..pα i i.. Solutio de l exercice 3 O va plutôt compter les permutatios de taille qui possèdet au mois u i tel que pi i. Pour cela o va utiliser le pricipe d iclusio et d exclusio. Notos A i l esemble des permutatios tels que pi i. O a alors : CardA i! et pour ue itersectio de k esembles A i discticts o a CardA i A i A ik k!. Doc avec la formule du pricipe d iclusio et d exclusio o a : CardA A A! i0! Comme il y a! permutatios, le ombre de déragemets est :!!!!! 3!!!!! 3!!

7 Solutio de l exercice 4 Soiet A l esemble des permutatios qui possèdet la propriété P et B l esemble de celles qui e possèdet pas la propriété P. Il ous suffit de trouver ue ijectio ϕ de A das B. Soit p l uique élémet de {,,..., } tel que x p x mod. O a alors : ϕ : x, x,..., x p, x p, x p,..., x x,..., x p, x, x p, x p,..., x O remarque doc que tout élémet y,..., y de l image de ϕ vérifie P car si o choisi i p, o a y i y i x x p. Doc ϕ est ijective. Doc CardA CardB. Solutio de l exercice 5 Le produit de 3 élémets de {, 4, 9}, {,, }, {3, 5, 5} et {7, 8, 4} est u carré doc aucu d eux e peut être u sous-esemble de M. Comme ils sot disjoit, o a CardM. Si 0 M alors M 0. Sio 0 M. Das ce cas, aucu des esembles {, 5}, {, 5}, {, 4, 9}, {7, 8, 4} est u sous-esemble de M. Si {3, } M, o a M 0. Sio {3, } M et doc M. Efi, M 0. Aisi, das tous les cas M 0. Et fialemet o vérifie que {, 4, 5,, 7, 0,,, 3, 4} a la propriété désirée. Doc la valeur maximal de M est 0. Solutio de l exercice O umérote les stagiaires et les tiroirs. Le système des tiroirs correspod doc à ue permutatio. O ote doc pi le coteus du tiroir i. Le mathématicie i ouvre le tiroir i. S il y est pas, il ouvre le tiroir pi et il cotiue aisi et doc le k ème tiroir qu il ouvre est le tiroir p k i. Si la permutatio a que des cycles de logueur plus petite que, les stagiaires survivet. Cherchos quelle est la probabilité qu ue permutatio ait u cycle de logueur supérieure à 8. Il y exactemet k 44 k 4 k!k! permutatio qui ot u cycle de logueur k car il y a k! permutatio de k ombres. Et o a : k!k! < 0, 8 4! k k Et doc la probabilité de s e sortir pour les stagiaires est supérieure à 0, 8 0, 3. k 7