Probabilités générales

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1 Chapitre 4 termiale s Probabilités géérales Les probabilités (rappels) : ) Quelques otios de vocabulaire : Nous allos étudier selo quelle mesure u fait proveat du hasard peut être prévisible a) Ue expériece dot le résultat est le fruit du hasard est appelée ue expériece aléatoire Le résultat d ue expériece aléatoire est appelé issue Exemples : i) Lacer u dé à six faces ii) Tirer ue carte das u jeu de 32 cartes iii) Détermier le groupe sagui d ue persoe prise au hasard das ue ville b) L esemble de toutes les issues possibles d ue expériece aléatoire est appelé l uivers, gééralemet o le ote Ω Exemples : i) Ω ={ ;2;3;4;5;6 } ii) Ω = { co : 7;8;9;0; V; D; R; s; pi : 7;8;9;0; V; D; R; S; tr : 7;8;9;0; V; D; R; s; ca : 7;8;9;0; V; D; R; s } iii) Ω ={ O;, B, B } c) U évéemet est u résultat possible d ue expériece, c est ue partie de l uivers Si cet évéemet a qu u seul élémet o dit qu il est élémetaire Exemples : i) = Obteir ue face paire = { 2;4;6} B = Obteir 2 B = {2} ii) C = Obteir u trèfle C = {7 ;8 ;9 ;0 ;V ;D ;R ;s} D = Obteir le roi de cœur D = {R de cœur} iii) E = La persoe est du groupe E = {} Doc Ω est l esemble de tous les évèemets élémetaires d) La réuio de deux évéemets se ote B (Se lit ou B) Il est réalisé si au mois u des deux évéemets est réalisé Exemple : ii) F = Obteir u cœur ou u roi = {co 7 ;8 ;9 ;0 ;V ;D ;R ;S ;pi R ;tr R ;ca R} e) L itersectio de deux évéemets se ote B (Se lit et B) Il est réalisé si les deux évéemets sot réalisés e même temps Exemple : ii) G = Obteir u cœur et u roi = {Roi de cœur} f) L évéemet cotraire à se ote (o ) Il est réalisé quad est pas réalisé Exemple : i) = Obteir u ombre pair = Obteir u ombre impair g) Deux évéemet sot disjoits ou icompatibles s ils e peuvet pas être réalisé e même temps O ote B = Exemple : iii) = La persoe est du groupe O B = La persoe est du groupe B

2 2) Loi de probabilité : a) Pricipe : Chaque évèemet élémetaire a des chaces de se réaliser ; ous allos quatifier cette chace à l aide d u ombre réel positif ou ul appelé «probabilité que l évèemet se réalise» b) Défiitio : O défiit ue loi de probabilité sur l uivers Ω= { x ; x ;; x } e associat à chacu des élémets x i de Ω, 2 u réel positif ou ul p i, ces réels vérifiat la relatio : p+ p 2+ + p= p Gééralemet o présete les résultats das u tableau tel que : x i x x 2 x p i p p 2 p Exemple : Ue ure cotiet 3 boules blaches, 2 boules rouges et boule oire O tire ue boule das l ure et o s itéresse à sa couleur Couleurs x i B R N Probabilités p i 2 3 c) Probabilité sur u uivers : Soit Ω= { x ; x ;; x } u uivers associé à ue expériece aléatoire O cosidère la loi de probabilité sur Ωdéfiie par : 2 x i x x 2 x p i p p 2 p La probabilité associée à cette loi de probabilité est l applicatio P qui, à tout évèemet iclus das Ω, associe le réel P(), appelé probabilité de l évèemet et défiie par : Si = alors P( ) = 0 (O dit que l évèemet est impossible) Si, P() est la somme des réels p i, pour tous les x i apparteat à, c est-à-dire : P( ) = p d) Remarque : P (Ω) = (O dit Ωest l évèemet certai) Pour tout évèemet, o a 0 P( ) (Très importat) 6 xi i e) Modèle particulier : L équiprobabilité correspod au cas où tous les évéemets élémetaires ot la même probabilité ; tous les p i sot égaux O a doc p O parle aussi de loi équirépartie bre d 'élémets deω Cocrètemet, il y a équiprobabilité lorsque les objets sot équilibrés, il y a pas de trucage, o e peut pas tricher, le tirage se fait bie au hasard f) Das ue situatio d équiprobabilité : bre d 'élémet de bre de cas favorables à Soit u évèemet quelcoque, P() = = bre d 'élémets deω bre de cas total Ex : i) = «Obteir la face 5» P() = 6 3 B = «obteir ue face paire» P(B) = = 6 2 f) Théorème : Pour tous évéemets, B o a P( B) = P() + P(B) P( B) Si et B sot disjoits, alors P( B) = P() + P(B) g) Théorème : Pour tout évéemet, P( ) = P()

3 2 Coditioemet et idépedace : ) rbres podérés et tableaux : Pour représeter certaies expérieces aléatoires successives, o peut utiliser u arbre podéré ou u tableau à double etrée Pour l arbre : Règle de costructio : Les braches proveat d u même œud représetet toutes les issues d ue seule expériece aléatoire O écrit la probabilité de réalisatio de l issue au dessus de la brache Esuite chaque issue peut être le départ d u ouveau œud pour ue expériece aléatoire suivate Règle de costructio 2 : règle des œuds : La somme des probabilités affectées aux braches issues d u même œud est égale à Règle d utilisatio : Dès la deuxième expériece aléatoire, les probabilités affectées serot des probabilités coditioelles sachat l évèemet précédet Règle d utilisatio 2 : Le résultat d u chemi est l évèemet égal à l itersectio des évèemets qui costituet le chemi Règle d utilisatio 3 : La probabilité d u évèemet correspodat à u chemi est égale au produit des probabilités iscrites sur chaque brache de ce chemi P( B ) B B P( B) = P( ) P ( B) P( C ) P() C C P ( D ) P( E ) D D E E P E E ( ) P( E ) Pour le tableau à double etrée: Règle de costructio : O dispose l uivers de la première expériece e coloe et l uivers de la deuxième expériece e lige Règle de costructio 2 : O réserve ue coloe de plus et ue lige de plus pour le calcul des probabilités des évéemets élémetaires de chacue des expérieces Règle d utilisatio : Le coteu d ue case est la probabilité de l évéemet itersectio etre l évéemet de lige et l évéemet de coloe Règle d utilisatio 2 : La probabilité d u évéemet e lige se calcule e faisat la somme des probabilités de la lige et la probabilité d u évéemet e coloe se calcule e faisat la somme des probabilités de la coloe Règle d utilisatio 3 : La somme des probabilités de la derière lige aisi que la somme des probabilités de la derière coloe est égale à B C D P( D) P( B D) P( C D) P(D) E P( E) P( B E) P( C E) P(E) P() P(B) P(C) Remarque géérale : Il est plus judicieux de costruire u arbre lorsque l éocé doe les valeurs de probabilités coditioelles Par cotre si l éocé doe des valeurs de probabilités d itersectio d évèemet, il vaut mieux faire u tableau à double etrée

4 2) Probabilités coditioelles : a) Défiitio : Lorsque la probabilité de réalisatio d u évèemet B déped d u autre évèemet déjà réalisé (tel que p() 0), o peut défiir la probabilité coditioelle que B se réalise sachat que s est réalisé : p( B) La probabilité coditioelle de B sachat est otée p( B) ou p( B / ) et o a : p( B) = p( ) Remarque : o a p( B) = p ( B) p( ) p( B) Si p(b) 0, o a pb( ) = et doc p( B) = p( B) p( ) = pb( ) p( B) p( B) p( ) = et si et B sot disjoits, p( B) = 0 b) Idépedace de deux évèemets : Deux évèemets et b sot idépedats si o a : p( B) = p( ) p( B) ce momet-là, p ( B) = p( B) et p ( ) = p( ), c est-à-dire que la réalisatio de B e déped pas de et la réalisatio de e déped pas de B ttetio : Idépedat disjoit c) Formule des probabilités totales : B i) Défiitio : Cosidéros, 2,, des sous-esembles (évèemets) de Ω(l uivers) associé à ue expériece aléatoire O dit que, 2,, formet ue partitio de Ωsi ils sot o vides, ils sot deux à deux disjoits et si 2 =Ω Ω 2 3 Cas particulier : et formet ue partitio deω ii) Formule :, 2,, formet ue partitio de Ω lors la probabilité d u évèemet quelcoque B est doé par : p( B) = p( B ) + p( B ) + + p( B ) c est-à-dire si p( i ) 0 pour tout i : 2 p( B) = p ( B) p( ) + p ( B) p( ) + + p ( B) p( ) 2 2 Ω 2 3 B d) Théorème : Si et B sot deux évéemets idépedats alors et B sot idépedats Démostratio :

5 Exercices type : U joueur débute u jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives O admet que la probabilité qu il gage la première partie est de 0, ; s il gage ue partie, la probabilité de gager la suivate est égale à 0,8 ; s il perd ue partie, la probabilité de gager la suivate est égale à 0,6 O ote, pour tout etier aturel, o ul : G l évèemet «le joueur gage la -ième partie» et p la probabilité de l évèemet G O a doc p = 0, ) Motrer que p 2 = 0,62 O pourra s aider d u arbre podéré 2) Le joueur a gagé la deuxième partie Calculer la probabilité qu il ait perdu la première 3) Calculer la probabilité que le joueur gage au mois ue partie sur les trois premières parties 4) Motrer que pour tout etier o ul, p = 3 + p ) Motrer par récurrece que, pour tout etier o ul, p 6) Détermier la limite de la suite ( p ) quad ted vers = ) Pour quelles valeurs de l etier aturel a-t-o : 3 p <

6 3 Loi de probabilité d ue variable aléatoire ) Variables aléatoires : a) Défiitio : Ue variable aléatoire sur l uivers Ω= { x ; x ;; x } est ue foctio T défiie sur Ω Elle est doc à valeurs réelles 2 Soit { t ; t 2;; t} l esemble des images par T de toutes les évetualité de Ω (o a ) Pour tout etier i de { ; 2 ; ; }, o ote (T = t i ) l évèemet formé par les évetualités qui ot pour image t i par T Exemple : O lace u dé à 6 faces Si le résultat est pair o gage 2 ; sio o perd 3 T est la variable exprimat le gai L uivers est { ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} et l esemble des images est {-3 ; 2} O a (T = -3) = { ; 3 ; 5} et {T = 2) = {2 ; 4 ; 6} b) La loi de probabilité de T est défiie sur l uivers { t ; t 2;; t } par : Valeurs t t 2 t -3 2 Probabilité P(T = t ) P(T = t 2 ) P(T = t ) 0,5 0,5 c) L espérace de la variable aléatoire T est le ombre E(T) = t p+ t 2 p 2+ + t p= ti pi Ce ombre s iterprète comme ue moyee de la variable T d) La variace de cette loi est le ombre V(T) = ( t E) p+ ( t 2 E) p 2+ + ( t E) p= ( ti E) pi formule qui peut se simplifier par : = i i = V(T) = t p t p t p E t p E E( T) E( T) e) L écart-type de cette loi est le ombre σ ( T) = V( T) Plus l écart-type est petit plus o est sûr d obteir ue probabilité proche de l espérace (évaluatio du risque) 2) Lois de probabilité discrètes : a) Loi de Beroulli : succès-échec Ue épreuve de Beroulli de paramètre p est ue expériece aléatoire qui e comporte que deux issues, l ue appelée succès, de probabilité p, l autre appelée échec, de probabilité p b) Loi biomiale : Beroulli répétée fois de maière idépedate i) Défiitio : Lorsque l o répète fois, de faço idépedate, ue expériece de Beroulli de paramètre p, la variable aléatoire X, défiie par le ombre de succès obteus parmi les expérieces, suit ue loi biomiale de paramètres et p ii) Propriété : Pour tout etier tel que 0, o a P( X ) p ( p) = = Il s agit de la probabilité d obteir succès (et doc ( ) échecs) parmi épreuves répétées Démostratio : iii) Propriété admise : L espérace d ue loi biomiale de paramètres et p est E (X) = p, la variace est V (X) = p ( p) et l écart-type est σ ( X) = p( p) Exercice type : O cosidère des objets électroiques vedus par lots de 50 La probabilité qu u objet soit défectueux est égale à 0,3 L expériece cosiste à tester chaque objet das le lot et chaque test se fait de maière idépedate du précédet ) Justifier que la variable aléatoire suit ue loi biomiale de paramètre = 50 et p = 0,3 2) Détermier l espérace, la variace et l écart type de X 3) Détermier =25, 9, 0,>4,,0 20,0< 20