NOMBRES COMPLEXES (exercices)

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1 Exercice : NOMBRES COMPLEXES (exercices). Placer les points A,B,C,D et E d affixes a = i, b = - i, c = 4, d = -i, e = - + i dans le plan complexe.. Calculer l affixe du milieu I de [BD] Exercice : Placer le point M image de z sachant que :. z = et arg(z)= π 4 ( π). z = et arg(z)=!!! ( π) Exercice 3 : Lire graphiquement un argument des affixes des points A,B, C, D, et E placés sur la figure. Exercice 4 : Déterminer par lecture graphique le module et un argument de z :. z = i z = -i z = -. z = i z = z = - i. Exercice 5 : Représenter l ensemble de points M d affixes z tels que :. a. z = 3 b. z c. < z. a. arg(z)= 0 (π) b. arg(z)= π (π) c. arg(z)= 3π (π) 3. a. arg(z)= 0 (π) b. arg(z)= π (π) c. arg(z)= - π 3 (π) Exercice 6: Déterminer l ensemble des points M d affixe z tels que : a. z soit réel b. z soit imaginaire pur Exercice 7: Quel est l ensemble des points M d affixe z tels que : a. z = 5 b. arg(z) = 3π 4 (π) c. arg(z) = π (π)

2 Exercice 8: Déterminer les modules et arguments de z : a. z = i b. z = sin(α)+ i cos(α ) Exercice 9: Ecrire sous forme trigonométrique : i -3i. j = - + i 3 z = + i Exercice 0 : On note j le nombre complexe - + i!. Déterminer j et arg( j ).Comparer j et! puis en déduire le calcul de +j+j et j 3. Exercice : Résoudre dans IC l équation d inconnue z : ( -i )z i = z Exercice : Déterminer le module et un argument de z :. z = - i 3 z = - + i. z = + i z = - + i 3 3. z = i z = - 3 +i 4. z = - 3-3i z = - - i 5. z = i( - i 3 ) z = (-i) ( 3 +i)! Exercice 3: Ecrire z sous forme trigonométrique :. z = -4 z = -i 3 z = --i 3. z = 3 - i 3 3 z = - i 3 3. z = 4 + 4i z = - +i 3 4. z = (-i)(-3i) z = (+i 3) 5. z= - ( cos α + i sin α), α IR z = (sin α - i cos α), α IR

3 Exercice 4: Ecrire sous forme algébrique:. -i 3+i +i i. i +3i i -3i 7+i 3-i Exercice 5 : Soit z = +i et z = -i. Ecrire sous forme algébrique chacun des nombres suivants : z z -z z z z z +z z -z Exercice 6:. Déterminer le module et un argument de +i et de -i.. En déduire la forme trigonométrique de z = +i -i. 3. Ecrire z sous forme algébrique et retrouver le résultat de la question. Exercice 7 : Soit z = - 3+i +i.. Déterminer la forme trigonométrique de z.. Déterminer un argument de z. Exercice 8 : Déterminer les conjugués des complexes :. a. i(- i) b. (i-3)(4-i) c. (+i) 3. a. +i b. i(-i)3 -i -3+i Exercice 9 :. Ecrire z = 6-6 i 3 sous forme trigonométrique.. En déduire la forme trigonométrique de : -6+6i 3 6+6i 3-6-6i 3 Exercice 0 : Résoudre dans IC les équations proposées :. iz+(z-i)=0. (4+i)z= 3z 3. (z+i)(z-3+i)=0 4. (iz-3+i)((-i)z+4+3i)=0 5. z-i =-i iz+ 6. = z-i

4 7. i! =! 8. (iz+)(z+3i)(! + i)= 0 Exercice : Déterminer les racines carrées des complexes : - -5 i +i 3+4i -5+i Exercice : Résoudre dans IC les équations suivantes : ) z +i = 0 ) z + (3-i) - 3 i = 0 3) z - z - 4i - =0 4) - z - iz + i =0 5) z 3z +4 = 0 6) z = z - 7) z - ( +i )z ++i = 0 8)z - (3+i)z + +i =0 Exercice 3 : Après avoir trouvé une racine évidente, déterminer toutes les racines du polynôme : P(z)= z 3 - (3 + i )z + (3 + 6i)z + 3 4i Exercice 4 : Résoudre dans IC l équation : z 3 +4z +z 8 = 0 (on commencera par déterminer une solution évidente ) Exercice 5 :. Déterminer trois réels a,b et c tels que : z 3 - = (z - ) (az + bz + c ). Résoudre dans IC l équation z 3 = 3. Résoudre de même l équation z 3 = - Exercice 6 :. En utilisant la forme exponentielle, déterminer le module et un argument de. En déduire les valeurs de cos 5π et de sin 5π. -i 3-i. Exercice 7 :. Déterminer la notation exponentielle des complexes : - i 6-i -i 6 i. -i +i +i 3. En déduire que cos 5π = 3+ et sin 5π = 3 -

5 Exercice 8 : En utilisant la formule de Moivre démontrer les formules suivantes : cos x = cos x sin x sin x = sinx cosx cos 3x = 4 cos 3 x-3cosx sin 3x = 3 sinx-4sin 3 x Exercice 9 : Calculer: ( +i) 7 ( i ) 3 (+i 3) 5 Exercice 30 :. Déterminer l écriture exponentielle, puis algébrique des 3 racines troisièmes de. Représenter graphiquement les 3 racines troisièmes de. 3. Calculer la somme de ces 3 racines. Exercice 3 :. Déterminer l écriture exponentielle, puis algébrique des 4 racines quatrièmes de +i. Représenter graphiquement les 4 racines quatrièmes de +i. Exercice 3 :. Déterminer l écriture exponentielle des n racines n-ièmes de l unité.. Quelle figure obtient-on si l on représente graphiquement les n racines n-ièmes de l unité? 3. Démontrer que la somme des n racines n-ièmes de l unité est nulle. Exercice 33 : Déterminer l écriture exponentielle puis algébrique des racines carrées de +i. Exercice 34 : Déterminer l écriture exponentielle des trois racines troisièmes de +i 3 -i 3. Exercice 35 : Résoudre dans IC : (3+3i)z 4 = (- i 3)z 5 = -i ( 3+i)z 3 = -+i Exercice 36: Résoudre dans IC : a. z 4 +5z +3=0 b. (+z ) + =0 Exercice 37 : Décomposer en un produit de polynômes du premier degré à coefficients complexes :

6 a. z + 0 b. z 3 z + z c. z 3 z + Exercice 38 : Décomposer z 4 + z + en un produit de trinômes du second degré à coefficients réels. Déterminer les 4 racines complexes de l équation z 4 + z += 0 Exercice 39 : On considère l équation : z 3 8z + 4z 3 = 0 a. Montrer que 4 est solution de cette équation. b. Déterminer a et b réels tels que : z 3 8z + 4z 3= (z 4)(z +az +b) c. Mettre sous forme géométrique toutes les solutions de cette équation. Exercice 40 : Soit l équation suivante : z + ( 4i)z 3 3i = 0 a. Montrer que +i est solution de cette équation. b. Factoriser z + ( 4i)z 3 3i et en déduire toutes les solutions de cette équation. Exercice 4 : Trouver tous les nombres complexes z tels que ( z i z+i )3 +( z i z+i ) + ( z i z+i ) + =0 Exercice 4 : On considère l équation suivante : z 3 + 5z +7z 3 = 0 a. Déterminer une solution évidente de cette équation notée α. b. Factoriser le polynôme sous la forme : z 3 + 5z +7z 3 = (z α) (az +bz+c) c. Déterminer toutes les solutions de cette équation Exercice 43 : Résoudre z! + = 0 Ex 50 : Etablir si le nombre z est un réel ou imaginaire z = i [ ( cotg θ i )-n ( cotg θ + i ) -n ]

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