ESG MANAGEMENT SCHOOL

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1 ESG MANAGEMENT SCHOOL ETABLISSEMENT D ENSEIGNEMENT SUPERIEUR TECHNIQUE PRIVE RECONNU PAR L ETAT DIPLÔME VISÉ PAR LE MINISTERE DE L ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE/ GRADE MASTER MEMBRE DE LA CONFERENCE DES GRANDES ECOLES CONCOURS D ENTREE EN ère ANNEE DE L ESG MANAGEMENT SCHOOL Sessio 0 EPREUVE DE MATHEMATIQUES Drée : here / Coefficiet : Vos e traiterez a choix qe 4 exercices sr les 6 proposés.

2 Sessio 0 NOM : PRENOM : N CANDIDAT : NOTE : OBSERVATIONS :

3 Epreve de Mathématiqes Exercice : Etde de foctio x 4 O cosidère la foctio f( x) 7 x ) Doer l esemble de défiitio de cette foctio. ) Calcler la dérivée de cette foctio. ) Détermier le sige de la dérivée. 4) Doer le tablea de variatio de cette foctio. Exercice : Etde de site. O cosidère la site défiie par la relatio : avec 0 0 et ) Calcler, et 4. ) Motrer par récrrece qe por tot. ) Qelle est la atre de la site? 4) E dédire e expressio de Exercice : Déombremet Ue etreprise a ses sites de prodctios répartis sr trois pays : A,B et C. Cette etreprise a 4 sites de prodctio das le pays A, 6 das le pays B et 9 das le pays C. O cherche à sélectioer trois sites por y istaller des cetres de recherche. ) De combie de faço pet-o choisir ces trois sites? ) Qelle est la probabilité qe chaqe dispose d cetre de recherche? ) Qelle est la probabilité d sel pays dispose de tos les cetres de recherche. 4) Qelle est la probabilité qe selemet dex pays disposet de cetres de recherche. Exercice 4 : Itégrale. x O cosidère la foctio f ( x) xl( x) l( x) ) Doer l esemble de défiitio de la foctio. ) Dériver cette foctio. 5 l ( x) l ( x) l( x) ) Doer la valer exacte de dx l ( x)

4 Exercice 5 : Statistiqes. O cosidère la série de valers : Valer Effectif ) Calcler la moyee de cette série. ) Calcler la médiae de cette série. ) Détermier les qartiles de cette série. 4) Calcler l écart-type de cette série. Exercice 6 : Evoltio de prix U prix d e valer iitiale de 40 eros agmete de % par as. ) Détermier se valer das a, das dex as et das trois as. ) Qelle serait sa valer das aées. ) A bot de combie de temps ce prix va t-il tripler (valer exacte)?

5 Corrigé de l Epreve de Mathématiqes Exercice : Etde de foctio x 4 O cosidère la foctio f( x) 7 x 5) Doer l esemble de défiitio de cette foctio. L esemble de défiitio est l esemble des réels privé de la valer 7. 6) Calcler la dérivée de cette foctio. 7 x ( x 4) ( ) f '( x) (7 x)² (7 x)² 7) Détermier le sige de la dérivée. Le mérater et le déomiater de cette dérivée sot positifs. La dérivée de cette foctio est doc positive et cette foctio est croissate. 8) Doer le tablea de variatio de cette foctio. x f (x) + + f Exercice : Etde de site. O cosidère la site défiie par la relatio : avec 0 0 et 5) Calcler, et ) Motrer par récrrece qe por tot. La relatio est évidete por =0,, et. Il reste à prover le caractère héréditaire de cette relatio. Spposos qe por doé o a. Calclos alors. O a. Or par hypothèse de récrrece aisi. Aisi por tot o a. 7) Qelle est la atre de la site? La relatio précédete idiqe qe la site est e site arithmétiqe de raiso et de premier terme ) E dédire e expressio de O a aisi.

6 Exercice : Déombremet Ue etreprise a ses sites de prodctios répartis sr trois pays : A,B et C. Cette etreprise a 4 sites de prodctio das le pays A, 6 das le pays B et 9 das le pays C. O cherche à sélectioer trois sites por y istaller des cetres de recherche. 5) De combie de faço pet-o choisir ces trois sites? O doit choisir ces trois sites parmi 4+6+9=9 sites. Le choix de trois sites est choix o ordoé. O déombre aisi les possibles par le ombre de combiaisos à élémets das esemble à 9 élémets. 9 9! !(9 )! 6) Qelle est la probabilité qe chaqe dispose d cetre de recherche? Il y a e faço parmi 4 de choisir site das le premier pays, parmi 6 das le secod et e parmi 9 das le derier. La probabilité cosidérée est aisi P ) Qelle est la probabilité d sel pays dispose de tos les cetres de recherche. Por q sel pays dispose de tos les cetres alors soit tos les cetres sot das le premier pays, soit das le secod soit das le derier. Aisi la probabilité cosidérée est p ) Qelle est la probabilité qe selemet dex pays disposet de cetres de recherche. Cette probabilité est la probabilité complémetaire des dex précédetes. Aisi P Exercice 4 : Itégrale. x O cosidère la foctio f ( x) xl( x) l( x) 4) Doer l esemble de défiitio de la foctio. La foctio l est défiie sr l esemble des réels strictemet positifs. Cette foctio 0; ; s ale por x=. L esemble de défiitio est doc 5) Dériver cette foctio. l( x) x O a f '( x) l( x) x x l( x) x (l( x))² (l( x))² (l( x))² 6) Doer la valer exacte de l( x) l ( x) l ²( x) l( x) 5 l ( x) l ( x) l( x) dx l ( x) O recoaît la dérivée de la foctio f sos cette itégrale. Aisi l ( x) l ( x) l( x) x 5 dx xl( x) 5l(5) l() l ( x) l( x) l(5) l() 5 5

7 Exercice 5 : Statistiqes. O cosidère la série de valers : Valer Effectif ) Calcler la moyee de cette série. La moyee est ) Calcler la médiae de cette série. O a 6 valers das cette série. La médiae est la 8 ième valer. Il s agit de 8. 7) Détermier les qartiles de cette série. Le premier qartile de cette série est 6. Le derier est 9. 8) Calcler l écart-type de cette série. L écart-type est 4.5. Exercice 6 : Evoltio de prix U prix d e valer iitiale de 40 eros agmete de % par a. 4) Détermier sa valer das a, das dex as et das trois as. Le prix évole e progressio géométriqe de raiso %. Aisi das a, P , das dex as P et das as, P ) Qelle serait sa valer das aées. L valer das aées est P ) A bot de combie de temps ce prix va t-il tripler (valer exacte)? l() La prix va tripler lorsqe.0 soit l(.0) l() soit l(.0)