Dénombrement. 1 Dénombrer des listes Permutation Arrangement p-liste... 4

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1 1 Déombremet Table des matières 1 Déombrer des listes Permutatio Arragemet liste Combiaiso Défiitio Nombre de combiaisos U exemle : le jeu de cartes Résumé des situatios Critères à reteir Exemles Combiaisos Formules Formules relatives aux combiaisos Triagle de Pascal Le biôme de Newto

2 2 1 DÉNOMBRER DES LISTES 1 Déombrer des listes Défiitio 1 : Ue liste est ue suite d élémets ordoés d u esemble E. Ue liste iduit doc ue otio d ordre. 1.1 Permutatio Défiitio 2 : Ue ermutatio de élémets d u esemble E est ue liste de élémets de cet esemble E. Remarque : Toutes les ermutatios d u esemble E rerésete toutes les ossibilités d éumérer les élémets de cet esemble E. Exemles : 1) Trouver tous les classemets ossibles d ue éreuve sortive qui comorte 10 athlètes. 2) Trouver tous les aagrammes du mot «ACHILE». 3) Trouver tous les ombres de 4 chiffres que l o eut former avec les chiffres de Théorème 1 : Le ombre de ermutatios d u esemblee de élémets est égal à : ( 1) ( 2) 2 1!! est aelé «factorielle». Par covetio, o ose 0! 1. Exemles : 1) Le ombre de classemets ossibles d ue cométitio avec 10 athlètes est : 10! ) Le ombre d aagrammes que l o eut former avec le mot «ACHILE» (6 lettres distictes) est : 6! Par cotre le ombre d aagrammes avec le mot «ENSEMBLE» (8 lettres o distictes) est as 8!, car les 3 «E» e sot as discerables. Les ermutatios ossibles des 3 «E» sot de 3! 6. O a doc comté avec 8!, 6 fois lus d aagrammes. Le ombre d aagramme du mot «ENSEMBLE» est doc de : 8! 3!

3 1.2 ARRANGEMENT 3 3) Le ombre de ombres de 4 chiffres que l o eut former à artir des chiffres de est égal à : 4! Il est imortat de se familiariser avec la otatio factorielle. Voici quelques exemles de simlificatio sas l aide de la calculatrice. 21! 20! 21 20! 20! 6! 5! 5! 6 4! 5! 21 5!(6 1) 5! 6 4! 5 4! ! 5! 4! ! 5! (+1)! ( 1)! ( 1) ( 1)! ( 1)! 1! 1 (+1)! (+1) 1 (+1)! ! 3! 4! (+1)(+2) (+2)! ( 1)! 126 ( 1) (+1)! 1.2 Arragemet Défiitio 3 : U arragemet de élémets d u esemble E de élémets ( ) est ue liste comosée de élémets disticts 2 à 2 de l esemble E Remarque : Ue ermutatio de l esemble E est u arragemet des élémets de E. U arragemet eut être associé à tirages successifs sas remise das ue ure qui cotiet élémets. Exemles : 1) Trouver tous les tiercés, das l ordre, ossibles avec 20 chevaux au déart. 2) Trouver tous les bureaux (résidet, vice-résidet, trésorier et secrétaire) que l o eut élire das ue associatio de 30 membres. 3) Trouver le ombre de tirages successifs, sas remise, ossibles de 3 boules das ue ure qui comorte 9 boules umérotées de 1 à 9.

4 4 1 DÉNOMBRER DES LISTES Théorème 2 : Le ombre d arragemet de élémets d u esemble de élémets est égal à : A ( 1) ( +1) Par covetio, o a : A 0 1! ( )! Exemles : 1) Le ombre de tiercés das l ordre avec 20 chevaux au déart est de : A ) Le ombre de bureaux éligibles de 4 ersoes d ue associatio de 30 membres est de : A ) Le ombre de tirages successifs, sas remise, de 3 boules das ue ure comortat 9 boules umérotées de 1 à 9 est de : A liste Défiitio 4 : Ue -liste est ue liste de élémets disticts ou o d u esemble E de élémets. Remarque : Ue -liste eut être associée à tirages successifs avec remise das ue ure qui cotiet élémets. Exemles : 1. Trouver le ombre de codes ossibles à 4 chiffres our ue carte bacaire. 2. Trouver le ombre de uméros de téléhoe ortable ossible (uméro commaçat ar 06). 3. Trouver le ombre de résultats ossibles lorsque l o lace u dé à jouer trois fois de suite. 4. Trouver le ombre de choix ossibles our rager 5 aires de chaussettes das trois tiroirs. Théorème 3 : Le ombre de -liste das u esemble E à élémets est égal à : Exemles : 1) Le ombre de code à 4 chiffres our ue carte bacaire est de :

5 5 2) Le ombre de uméros de téléhoe ortable ossibles (06 lus 8 chiffres) est de : ) Le ombre de résultats ossibles lorsque l o lace u dé à jouer 3 fois de suite est de : ) Le ombre de ragemets ossibles de 5 aires de chaussetes das trois tiroirs (il eut y avoir u ou 2 tiroir(s) vide(s)) est de : Combiaiso 2.1 Défiitio Défiitio 5 : Soit E u esemble de élémets et u etier tel que 0. Ue combiaiso de élémets de E est u sous esemble de E à élémets. Remarque : Das ue combiaiso, cotrairemet à ue liste l ordre iterviet as. O eut alors associer ue combiaiso à u tirage simultaée de élémets das ue ure qui e cotiet. Exemles : 1) Soit u esemble E {a, b, c, d}. Les combiaisos de 2 élémets de E sot : {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d} 2) Trouver le ombre de délégatios de 4 ersoes que l o eut désiger das u groue de 15 ersoes. 3) Trouver le ombre de mais de 5 cartes ossibles avec u jeu de 32 cartes. 4) Trouver le ombre de oigées de mai échagées si toutes les ersoes d u groue de 18 se saluet de cette faço. 2.2 Nombre de combiaisos Théorème 4 : Le ombre de combiaisos de élémets das u esemble E de élémets (0 ) est égal à : ( 1) ( +1)! O rooce : «C».!!( )! Exemles : 1) Le ombre de délégatios de 4 ersoes que l o eut désiger das u groue de 15 ersoes est : ( )

6 6 2 COMBINAISON 2) Le ombre de mais de 5 cartes ossibles avec u jeu de 32 cartes est de (avec la calculatrice) : ( ) ) le ombre de oigées de mais échagées das u groue de 18 ersoes est de : ( ) Il est bo de se familiariser avec cette formule das u remier tems ( ) ( ) ! 8!(12 8)! (7 5 ) ( 9 6 ) 7! 5!2! 6!3! 9! 7!6!3! 5!2!9! 7! 6 5! 3 2 5! 2 7! ( ) ( ) Trouver our que : O obtiet alors : 3 ( 1)( 2)( 3) 4! ( 2)( 3) ( 1) 2 O calcule , o trouve alors la solutio U exemle : le jeu de cartes O tire ciq cartes d u jeu de 32 cartes (du 7 à l as). Combie y-a-t-il de mais coteat : 1) Le valet de trèfle? 2) Exactemet deux cœurs? 3) Exactemet u roi, ue dame et deux valet? 4) Ni le roi de trèfle, i u ique? 5) Au mois u roi? 6) L as de ique et au mois deux trèfles? 7) Exactemet u roi et deux carreaux?

7 2.3 UN EXEMPLE : LE JEU DE CARTES 7 Pour résoudre ce tye d exercice, il est imortat de réaliser ue artitio de ce jeu de 32 cartes. Défiitio 6 : O aelle artitio d u esemble E, u esemble de sous-esembles E i deux à deux disjoits dot l uio est cet esemble E E 1 E 2 E E et (i, j) E i E j 1) O réalise la artitio comosée du valet de trèfle et des 31 autres cartes. 1 Valet de trèfle 31 autres cartes O obtiet alors le ombre de combiaisos : ( )( ) ) O séare les cœurs des autres cartes. 8 cœurs 24 autres cartes O obtiet alors le ombre de combiaisos : ( )( ) ) O séare les rois, les dames, les valets des autres cartes. 4 rois 4 dames 4 valets 20 autres cartes O obtiet alors le ombre de combiaisos : ( )( )( )( ) ) O séare le roi de trèfle et les iques des autres cartes. 1 roi de trèfle 8 iques 23 autres cartes O obtiet alors le ombre de combiaisos : ( )( )( ) ) Ici, ue astuce cosiste à asser ar la combiaiso cotraire «aucu roi». O soustrait esuite le ombre totale de mais ossibles avec le ombre de combiaisos cotraires 4 rois 28 autres cartes

8 8 3 RÉSUMÉ DES SITUATIONS O obtiet alors le ombre de combiaisos : ( ) ( )( ) ) O doit ici sommer les différetes ossibilités : avoir l as de ique avec 2 trèfles, l as de ique avec 3 trèfles et l as de ique avec 4 trèfles : 1 as de ique 8 trèfles 23 autres cartes O obtiet alors le ombre de combiaisos : ( )[( )( ) ( )( ) ( )( )] ) Ici deux choix se résetet : soit o a le roi de carreau et 1 carreau sulémetaire soit o a u roi (o de carreau) et deux carreaux. 1 roi de carreau 3 autres rois 7 autres carreaux 21 autres cartes O obtiet alors le ombre de combiaisos : ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) Résumé des situatios 3.1 Critères à reteir Les critères sot : les élémets euvet-ils être réétés? L ordre des élémets est-il à redre e comte? O eut résumer les différetes réoses ar le tableau suivat : Critères O tiet comte de l ordre O e tiet as comte de l ordre Les élémets euvet être réétés Utiliser des -listes Hors rogramme! Les élémets sot disticts Utiliser des arragemets Utiliser des combiaisos 3.2 Exemles 1) Le loto : o tire, au hasard, 6 boules armi 49. Combie de tirages ossibles? (O e tiet as comte du uméro comlémetaire) Peut-o obteir lusieurs fois le même uméro lors d u tirage? No! Doc les élémets sot disticts.

9 3.3 COMBINAISONS 9 L ordre d aaritio des différets uméros a-t-il de l imortace? No! O cosidère les six uméros globalemet! Doc l ordre a as d imortace. Nous devos doc utiliser les combiaisos! 2) La course et le odium : das ue course de 100m, il y a huit artats umérotés de 1 à 8. Sur le odium, il y aura les trois médaillés (or - arget - broze). Combie y a-t-il de odiums ossibles? Peut-o obteir lusieurs fois le même uméro sur u odium? No! U même coureur e eut as être à la fois médaillé d or et d arget! Doc les élémets sot disticts. L ordre d aaritio des différets uméros sur le odium a-t-il de l imortace? Oui! Car les médailles sot différetes. Autremet dit l ordre est ici détermiat. Nous devos doc utiliser les arragemets! 3.3 Combiaisos Quad o utilise lusieurs combiaisos, faut-il additioer ou multilier? Cela déed de la situatio! Cocrètemet : Si les différetes étaes sot reliées ar u "et", o multilie. Si les différets cas sot reliés ar u "ou", o additioe. 4 Formules 4.1 Formules relatives aux combiaisos Théorème 5 : Pour tous et, tels que 0, o a : ( ) 1) 1 0 ( ) ( ) 2) 1 1 ( ) ( ) 3) ( ) ( ) ( ) 1 1 4) + 1 Démostratio : Les 2 remières formules sot immédiate. Formule 3 : Choisir élémets das u esemble E qui e comte reviet à e as choisir ( ) élemets das E (le comlémetaire). Leur ombre est doc idetique. Formule 4 : Peut se démotrer de deux faço différete : soit à l aide de la formule des combiaisos, soit à l aide de la artitio de l esemble E

10 10 4 FORMULES 1) A l aide de la formule des combiaisos : ( ) ( ) O met au même déomiateur ( 1)! ( 1)!( )! + ( 1)!!( 1 )! ( 1)! +( 1)! ( )!( )! ( 1)!( )!( )!!!( )! 2) O cosidère u esemble E de élémets. Soit a u élémet de E. Cosidéros les sous esembles de E à élémets. Il y e a doc : Parmi ces sous-esembles, ceux qui cotieet a sot au ombre de : ( )( ) Parmi ces sous-esembles, ceux qui e cotieet as a sot au ombre de : ( )( ) ( ) O a doc bie : ( ) 7 Exemle : Calculer. 5 D arès la série (1), o a : Exemle : Calculer ( ) ( ) ( ) D arès la série (2), o a : ( ) ( ) 7. 2 ( ) 7 2 ( ) ( )

11 4.2 TRIANGLE DE PASCAL Triagle de Pascal Grâce à la derière série de formules, o eut remlir le tableau suivat, aelé triagle de Pascal \ O a our les cases rouges : ( ) ( ) ( ) ce qui doe Le biôme de Newto Théorème 6 : Pour tout etier aturel, o a : (a+b) a + 0 a 1 b+ + 1 a b + + b Soit ecore : (a+b) 0 a b Exemle : Develoer (x 1) 7 et (i+1) 6. D arès le biôme de Newto et le triagle de Pascal ci-dessus, o a : (x 1) 7 x 7 + 7x x x x x 2 + 7x+1 (i+1) 6 i 6 + 6i i i i 2 + 6i+1 1+6i+15 20i 15+6i+1 8i

12 12 4 FORMULES Démostratio : Par récurrece : Iitialisatio : our 1, o a : our 2, o a : ( ) 1 a+ 0 ( ) 2 a ( ) 1 b a+b (a+b) 1 1 ( ) 2 ab+ 1 ( ) 2 b 2 a 2 + 2ab+b 2 (a+b) 2 2 O retrouve bie la formule aux rags 1 et 2 Hérédité : O admet que l o a : (a+b) 0 a b (our 0 immédiat) O a : Motros que : (a+b) (a+b) +1 (a+b) (a+b) a a b + b 0 a +1 b + a ( a +1 b + ) a +1 b a b a b a b +1 + b +1 Das la deuxième somme, o chage +1, o obtiet alors a +1 + a +1 + a a +1 b + a ( 1) b + b a +1 b + a +1 b + b [( ) ( )] + a +1 b + b +1 1 D arès la formule sur les combiaisos, o obtiet : +1 a ( ) a +1 b +1 a +1 b + +1 b +1 +1

13 4.3 LE BINÔME DE NEWTON 13 D arès l iitialisatio et l hérédité, o a bie : N (a+b) 0 a b Alicatio : Nombre de sous-esemble d u esemble E. Soit u esemble E qui cotiet élémets. Nous avos vu que le ombre de sous-esemble à élémets est égal à : Le ombre de sous-esemble - c est à dire de 0 à élémets - est doc de : or si l o calcule : 2 (1+1) Théorème 7 : Le ombre de sous-esembles que l o eut former à artir d u esemble E à élémets est égal à : 2