TS DS 1 Lundi 25/09/ Recopier et compléter l algorithme dessous, pour qu il affiche la plus petite valeur de n pour laquelle u 4,999
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- Gauthier Gaulin
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1 TS DS Ldi /0/07 Exercice : sr 6 poits O cosidère la site défiie par 0 0 et por tot, 3.. Démotrer, par récrrece, qe por tot,.. Etdier le ses de variatio de la site 3. Détermier la limite de la site 4. Recopier et compléter l algorithme dessos, por q il affiche la pls petite valer de por laqelle 4,. O cosidère la somme S k. Exprimer k 0 S e foctio de Exercice : sr 4. poits O cosidère la site défiie par et por tot etier atrel,. O admet qe por tot etier atrel, 0.. a. Calcler, 3, 4 ( O détaillera les calcls ) b. Démotrer qe la site est décroissate c. La site est-elle covergete, divergete? Jstifier.. Por tot etier atrel, o pose v. a. Démotrer qe la site v est géométriqe. O précisera sa raiso. b. Qelle est la limite de la site v? Exercice 3 : sr. poits. Das les dex cas sivats, étdier la limite de la site : ( e rédactio précise est attede ) a. b. 3 si est la site défiie par por tot. a. Motrer qe, por tot,. b. E dédire la limite de 3. Motrer qe la site ( ) défiie por tot etier par : 3 est majorée par 6.
2 Exercice 4 : sr poits O cosidère la site ( v ) défiie por tot etier atrel par v 0 = et v 6 v. O sohaite écrire algorithme affichat, por etier atrel doé, tos les termes de la site, d rag 0 a rag. Parmi les trois algorithmes sivats, sel coviet. Préciser leqel e jstifiat votre répose. Algorithme Algorithme Algorithme3. Variables : Variables : Variables: v est réel v est réel v est réel a. i et sot des etiers atrels i et sot des etiers atrels i et sot des etiers atrels Débt algorithme Débt algorithme Débt algorithme Etrer Etrer Etrer v pred la valer Por i variat de à v pred la valer Por i variat de à v pred la valer Por i variat de à v pred la valer Fipor Fi algorithme 6 v v pred la valer Fipor Fi algorithme 6 v v pred la valer Fipor Fi algorithme 6 v Démotrer par récrrece qe por tot etier atrel, 0 < v < 3. b. Démotrer qe por tot etier atrel, v - v = ( v 3)². 6 v c. E dédire le ses de variatio de la site ( v ).
3 Exercice :. Notos P la propriété : Iitialisatio CORRIGE O vet motrer qe P est vraie por tot etier atrel 0 0 O a 0 0 et 0 doc 0 Hérédité Soit etier atrel fixé qelcoqe, 0. Spposos qe et motros qe P est vraie c'est-à-dire qe : O a doc P est vraie c'est-à-dire qe : P est vraie O e dédit qe P est vraie por =0 Coclsio La propriété P est vraie a rag = 0 et elle est héréditaire, o e dédit qe P est vraie por tot etier atrel. 3 3 Or, por tot etier atrel, 3 0, car 3 > 0 et 0 doc 0 doc la site 3. doc lim 0 doc lim 0doc lim 4. est croissate. ( o bie : pred la valer (/)*+3)
4 . 3 S k k ( e cosidérat la somme des premiers termes coséctifs de la site géométriqe de raiso / et de premier terme / : q+q²+ +q q = q ) q O bie : e tilisat l écritre de 0=- (/) 0 0 S... 0 ( )... ( ) ( ) 3 Remarqe : o pet vérifier qe les dex expressios obtees por S sot égales. E effet : ( ) Exercice :. a ; 3 ; b. Méthode : Or, por tot etier atrel, 0, 0 et 0 doc 0 doc 0. O e dédit qe la site est décroissate. Méthode : le texte dit qe por tot etier, o pet tiliser ici le critère de comparaiso avec >0 ; la site est doc à termes strictemet positifs et Or, por tot etier atrel o a + + soit + et doc ( e divisat par qi est >0) o a : doc décroissate.. La site O e dédit qe la site est décroissate et miorée par 0 ( pisqe por tot etier atrel, 0 ) doc elle coverge ( d après le théorème de la covergece mootoe ) ( remarqe : elle coverge vers réel l 0) est
5 3. a. v v O e dédit qe la site v est géométriqe de raiso q =. b. O a alors por tot etier atrel, v v q. Comme >, Atre méthode : lim. O sait qe ( Or v ) coverge vers e limite l 0 doc o pet coclre qe lim v Exercice 3 :. a. lim doc lim 0 doc lim b. 3 O abotit à e forme idétermiée lim Por tot 0, 3 ² ²(3 ) lim ² doc par prodit lim ²(3 ) lim 0 doc lim 3 3 lim si est la site défiie par por tot. a) Motros qe, por tot, O tilise ecadremet bie co : x, si x, doc, si. O e dédit doc qe :, si e mltipliat par etier atrel. pis e mltipliat par expressio strictemet positive, qe si ² ² ² b) Détermios lim ² O a e forme idétermiée mais, por 0, Or ² ²( ) ( ) ² ² ² lim 0 doc lim 0soit ecore lim 0 lim 0 doc lim doc lim ² ² ² ² ²
6 De faço similaire o motre qe lim 0. ² De l ecadremet de obte a a) (par dex expressios qi tedet vers 0 qad ted vers + ), o pet dédire e tilisat le théorème des gedarmes qe la site ( ) coverge et qe sa limite est 0. c) Motros qe la site ( ) défiie por tot etier par : 3 Ue méthode : o pet étdier le sige de 6. por tot etier est majorée par ( ) Or doc et - >0 doc le qotiet 0 la site est majorée par 6.. U atre méthode : o pet remarqer qe = 6. et démotrer ( e étdiat le sige de + par exemple ) qe la site est décroissate. Pis e dédire q elle est majorée par so premier terme. Exercice 4 :. Le sel algorithme qi coviet est le 3. E effet, c'est-à-dire qe 6. 0 et doc. a. Notos P la propriété : 0 < v < 3. O vet motrer qe P est vraie por tot etier atrel. Iitialisatio : v doc 0 v 3doc la propriété P est vraie por = Hérédité : O sppose qe por etier atrel qelcoqe, la propriété P est vraie. O vet motrer q'alors la propriété P + est vraie. O a par hypothèse de récrrece, 0 < v <3 d'où e mltipliat par, 0 > v > -3 et e ajotat 6, 3 < 6 v < 6 alors,,car la foctio iverseest strictemet décroissate sr 0; 6 6 v 3 3 d'où,,e mltipliat par soit v 3 6 v 3 Or 0,et v doc0 v 3 6 v L'hérédité est établie pisqe P + est vraie Coclsio : Par le pricipe de récrrece, la propriété 0< v <3 est vraie por tot etier atrel.
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