Chapitre 5 : Dérivation

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1 Chapitre 5 : Dérivation Newton fut, avec Leibniz l un des deux inventeurs du calcul infinitésimal. La dérivation est un calcul que l on fait sur une fonction et qui permet d obtenir son tableau de variation. I. Nombre dérivé et tangente à une courbe On va commencer à chercher un moyen d approximer une fonction avec une fonction affine au voisinage d un point. Soient a et h deux nombres réels avec h 0. On va considérer une fonction f définie dans un intervalle contenant a R. Notons les points de coordonnées A(a; f(a)) et M(a + h; f(a + h)) appartenant à la courbe C f. Nous savons que le coefficient directeur de la droite (AM) est égal à y M y A x M x A Remarques : On remarque que lorsque le point M se rapproche du point A, c est-à-dire lorsque h tend vers 0, notre droite (AM) approxime correctement la fonction au voisinage du point A. Définition : Tangente La tangente à une courbe C f en un point A est Remarques : On a réussi à trouver une droite qui approxime correctement notre fonction autour un point. Ainsi le coefficient directeur de la fonction affine représenté par la tangente donne une information sur la variation de notre fonction autour du point en question. Définition : Nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a R. Dire que f est dérivable en a, c est dire que lorsque h tend vers 0, le taux de variation tend vers un réel l, ce que l on note Cette limite l est appelé le nombre dérivé de f en a. On le note f (a). Remarques : lim h 0 f(a+h) f(a) h = l se lit limite de f(a+h) f(a) h quand h tend vers 0. 1

2 Propriété : Equation de la tangente Soit f une fonction dérivable en a et C f sa courbe représentative. Soit A le point de C f d abscisse a, c est-à-dire de coordonnée A(a; f(a)). La tangente à C f en A est par définition une droite passant par A et de coefficient directeur f (a). L équation de cette tangente est donnée par : Remarques 1 : On a réussi à approximer notre fonction au voisinage du point a. Par conséquent, on appelle approximation affine de f en a la fonction x f(a) + f (a)(x a). Elle permet de dire que tout nombre x dans un voisinage de a vérifie f(x) f(a) + f (a)(x a). On en verra une application pour approximer racine cubique de 2. Remarques 2 : Dans le supérieur, vous allez voir une façon d approximer une fonction à l aide de polynôme de degré n et ainsi obtenir une manière d approximer un nombre x dans un vosinage de a par f(x) f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) fn (a) (x a) n = n f k (a) (x a) k 2! n! k=0 k! où f k (a) représente le nombre dérivé k-ième de f en a en réappliquant la définition de nombre dérivé en a à f k 1. Exemple 1 : Montrons que f est dérivable en 1 avec f(x) = x 2 3 pour tout x R. Exemple 2 : On a tracé ci-contre la courbe représentative C f d une fonction fet ses tangentes en A, B et C. Lire graphiquement f ( 2), f(1) et f (3). Graphiquement, on peut lire que :. Méthodologie : 2

3 II. Fonction dérivée On va définir la notion de fonction dérivée à partir des notions précédentes. Définition : Fonction dérivée Une fonction f est dérivable sur un intervalle (ou une réunion d intervalles) D si et seulement si Si f est dérivable sur D, on appelle fonction dérivée de f sur D la fonction f définie sur D par Remarque : Dans l écriture d une fonction, le nom de la variable n a pas d importance, on peut aussi bien écrire f : a f (a) que f : t f (t) ou encore f : x f (x). Ce nom est souvent choisi d après le contexte, comme t pour le temps. Propriété : Formules de dérivations Fonction f Ensemble de dérivabilité de f Dérivée f f(x) = k (constante) sur R f(x) = x sur R f(x) = x 2 sur R f(x) = x n (n entier, n 1) sur R f(x) = 1 sur R x f(x) = x sur R + = [0; + [ Remarque 1 : La fonction racine carrée est définie en 0 mais elle n est pas dérivable en 0. Remarque 2 : On peut écrire 1 x = x 1 et x = x 1 2. On peut généraliser le tableau précédent avec la fonction f(x) = x s où s R pour tout x R + est dérivable sur R + par f (x) = sx s 1. 3

4 Démonstration : On suppose dans tous les cas a D, a + h D et h 0 4

5 III. Dérivées et opérations Dans toute la suite, D désigne un intervalle ou une réunion d intervalles. Propriété : Dérivée de la somme de deux fonctions et dérivée du produit par un réel Si f(x) = u(x) + v(x) avec u et v deux fonctions dérivables sur D, alors f est dérivable sur D avec Si f(x) = λ u(x) avec u une fonction dérivable sur D et λ R, alors f est dérivable sur D avec Exemple 1 : Soit f(x) = 4x 2 sur R. Exemple 2 : Soit f(x) = x 3 + x sur R. Propriété : Dérivée d un polynôme Une fonction f définie sur R est une fonction polynôme si f(x) peut s écrire comme somme de termes de la forme kx n, n N et k R une constante. Toute fonction polynômes sont dérivables sur R. Exemple : Soit f(x) = 3x 4 + 2x 3 5x + 6 sur R. Remarque : g: x 2 x et h: x 2 3 ne sont pas des fonctions polynômes. x 5

6 a. Produit, inverse et quotient Propriété : Dérivée du produit de deux fonctions Si f(x) = u(x) v(x) avec u et v deux fonctions dérivables sur D, alors f est dérivable sur D avec f (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) Si f(x) = u(x) avec u et v deux fonctions dérivables sur D et v(x) 0 sur D, v(x) alors f est dérivable sur D avec f (x) = u (x)v(x) u(x)v (x) v(x) 2 Exemple 1 : Soit f(x) = (x 2 + 1)(4x 3) sur R. Exemple 2 : Soit f(x) = 2x+1 x 3 sur R\{3}. Cas particulier : En particulier si on a u(x) = 1 pour tout x D f(x) = 1 pour x D avec v(x) 0. v(x) f (x) = 1 v(x) 2 6