Différentes formules de Taylor pour une fonction d une variable réelle

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1 25 Différentes formules de Taylor pour une fonction d une variable réelle Il y a beaucoup de résultats dans cette proposition de leçon (en prévision de questions que pourrait poser le jury). Comme il n est pas possible de tout exposer, le lecteur fera un choix en fonction de ses connaissances La formule de Taylor-Lagrange Du théorème de Rolle on déduit le résultat suivant qui généralise le théorème des accroissements finis. Théorème 25.1 Si f est une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle compact [a, b] non réduit à un point, de classe C n sur cet intervalle et n + 1 fois dérivable sur l intervalle ouvert ]a, b[, alors il existe un point c ]a, b[ tel que : f (b) = (b a) k + f (n+1) (c) (n + 1)! (b a)n+1. Dans le cas où a = 0 cette formule est appelée formule de Mac-Laurin. Pour n = 0 on retrouve le théorème des accroissements finis. Pour les fonctions à valeurs dans R p ou dans un espace vectoriel normé E, on a le résultat suivant qui se montre en utilisant les fonctions définies sur [a, b] par g (x) = f (b) f (k) (x) (b x) k et h (x) = M (n + 1)! (b x)n+1. Théorème 25.2 (inégalité de Taylor-Lagrange) Si f est une fonction à valeurs dans R p (ou plus généralement dans un espace vectoriel normé E) définie sur un intervalle compact [a, b] non réduit à un point, de classe C n sur cet intervalle et n + 1 fois dérivable sur l intervalle ouvert ]a, b[ avec f (n+1) majoré sur ]a, b[ par une constante M, alors : f (b) (b a) k M (b a)n+1 (n + 1)! Exercice 25.1 Soient f une fonction de classe C n+1 à valeurs réelles définie sur un intervalle ouvert I et a est un point de I. Pour tout réel h ]0, b a[, on désigne par θ h un réel dans 469

2 470 Différentes formules de Taylor pour une fonction d une variable réelle ]0, 1[ tel que : f (a + h) = h k + hn+1 (n + 1)! f (n+1) (a + θ h h). Montrer que si f est dérivable à l ordre n + 2 en a avec f (n+2) (a) non nul, alors : lim θ h = 1 h 0 n Formule de Taylor avec reste intégral Parfois la formule de Taylor avec reste intégral permet d obtenir des résultats plus fins que la formule de Taylor-Lagrange. Cette formule nécessite une hypothèse supplémentaire de continuité de la dernière dérivée et elle est valable pour les fonctions à valeurs dans un espace de Banach. Théorème 25.3 Soit n N. Si f est une fonction à valeurs réelles (ou dans un espace de Banach) définie et de classe C n+1 sur un intervalle compact [a, b] non réduit à un point, alors : f (b) = (b a) k + b a f (n+1) (t) (b t) n dt Cas des fonctions de plusieurs variables Si f est une fonction définie sur un ouvert de R n, à valeurs réelles et suffisamment dérivable, en utilisant les formules de Taylor pour la fonction d une variable réelle ϕ : t f (a + th), on déduit des formules de Taylor pour f au voisinage de a. Pour simplifier, on s intéresse aux fonctions de deux variables réelles. Théorème 25.4 (Taylor-Lagrange) Soient p un entier naturel non nul, U un ouvert non vide de R 2, f une fonction de classe C p de U dans R, A = (a, b) un point de U et M = (x, y) un point de U tel que le segment [AM] d extrémités A et M soit contenu dans U. Il existe un réel θ dans ]0, 1[ tel que : f (x, y) = i+j p 1 + i+j=p (x a) i (y b) j i!j! (x a) i (y b) j i!j! i+j f (a, b) x i yj p f (a + θu, b + θv). x i yj Comme dans le cas du théorème de Rolle, cette formule n est plus valable pour les fonctions à valeurs dans R q où q 2. En munissant R 2 de la norme (x, y) (x, y) = max ( x, y ) (ou de n importe quelle autre norme), le théorème précédent nous fournit un développement limité de f à l ordre p au voisinage de (a, b). Corollaire 25.1 (Taylor-Young) Avec les mêmes hypothèses que dans le théorème précédent, on désigne par B une boule ouverte centré en A = (a, b) et de rayon r > 0 contenue dans U. Il

3 Applications de la formule de Taylor-Lagrange 471 existe alors une fonction ε : B R telle que on ait : f (x, y) = i+j p (x a) i (y b) j i!j! lim ε (x, y) = 0 et pour tout (x, y) dans B (x,y) (a,b) i+j f x i y j (a, b) + (x a, y b) p ε (x, y). Dans le cas des fonction de n variables de classe C 2 et à valeurs réelles, on a le résultat suivant, où df (a) désigne la différentielle de f en a, c est-à-dire la forme linéaire définie sur R n par : h R n f, df (a) (h) = (a) h i x i et d 2 f (a) désigne la forme quadratique définie sur R n par : h R n, d 2 2 f f (a) (h) = (a) h 2 x 2 i + 2 i i=1 i=1 1 i<j n 2 f x i x j (a) h i h j. Théorème 25.5 Soient U un ouvert de R n, f une fonction de classe C 2 de U dans R et a un point de U. Pour x voisin de a dans U, on a : f (x) = f (a) + df (a) (x a) d2 f (a) (x a) + o ( x a 2) Applications de la formule de Taylor-Lagrange Développements limités Dans le cas des fonctions d une variable réelle à valeurs réelles, la formule de Taylor- Lagrange nous permet d obtenir le résultat suivant. Théorème 25.6 (Taylor-Young) Soient f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle I et a est un point intérieur à I. Si f est dérivable à l ordre n 1 en a, elle admet alors, au voisinage de a, le développement limité d ordre n : f (x) = Problèmes d extremum (x a) k + o ((x a) n ). On sait que si une fonction dérivable f : I R admet un extremum local en un point a intérieur au domaine de définition alors f (a) = 0, la réciproque étant fausse comme le montre l exemple de la fonction x 3 au voisinage de 0. L utilisation de la formule de Taylor-Lagrange permet de donner une condition nécessaire et suffisante d extremum. Théorème 25.7 Soient f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle ouvert I, de classe C n avec n 2 et a dans I tel que = 0 pour tout k compris entre 1 et n 1 et f (n) (a) 0. La fonction f admet un maximum [resp. minimum] local en a si, et seulement si, n est pair et f (n) (a) < 0 [resp. f (n) (a) > 0]. Dans le cas n = 2, si f (a) = 0 et f (a) 0, on a donc : f (a) < 0 maximum local en a, f (a) > 0 minimum local en a.

4 472 Différentes formules de Taylor pour une fonction d une variable réelle Inégalités L utilisation de l inégalité de Taylor-Lagrange permet d obtenir facilement les inégalités classiques suivantes : x R, sin (x) x x 3 3! x3 x R, sin (x) x + 3! x 5 5! x R, cos (x) 1 x2 2 x R +, e x 1 x x2 2 ex x R, e x 1 x x Développements en série entières Pour simplifier, on se place au voisinage de 0. Si f est une fonction de classe C au voisinage de 0, la série entière + f (n) (0) x n peut être de n=0 rayon de convergence nul ou converger vers une autre fonction que le fonction f. Par exemple, la fonction f définie par f (0) = 0 et f (x) = e 1 x 2 pour x 0 est indéfiniment dérivable sur R avec toutes ses dérivées en 0 qui sont nulles et donc la série entière + f (n) (0) x n converge vers g = 0 f. On a toutefois le résultat classique suivant. Théorème 25.8 Soit f une fonction de classe C sur un voisinage ouvert I de 0 et à valeurs réelles (ou complexes). La fonction f est développable en série entière au voisinage de 0 si, et seulement si, il existe un réel r > 0 tel que ] r, r[ I et la suite de fonctions (R n ) n N définie par : f (k) (0) R n (x) = f (x) x k converge simplement vers 0 sur ] r, r[. Dans ce cas f (x) = + f (n) (0) x n pour tout x ] r, r[ n=0 et le rayon de convergence de cette série entière est supérieur ou égal à r. Pour montrer que la suite (R n ) n N des restes converge simplement vers 0, on peut utiliser l expression de Lagrange du reste R n (x) = f (n+1) (θx) x n+1 avec 0 < θ < 1 ou sa représentation (n + 1)! intégrale : R n (x) = x 0 f (n+1) (t) (x t) n dt = xn n=0 f (n+1) (θx) (1 θ) n dθ. Par exemple dans le cas de la fonction exponentielle réelle, on a pour tout réel x : R n (x) = eθx (n + 1)! x n+1 e x (n + 1)! x n+1 n + 0.

5 Applications de la formule de Taylor-Lagrange 473 Il en résulte que e x = + 1 n=0 xn pour tout x R et le rayon de convergence de cette série est infini. À partir de ce résultat on est amené à définir la fonction exponentielle complexe par e z = + 1 n=0 zn pour tout z C. Ce exemple est un cas particulier du résultat suivant. Corollaire 25.2 Soit f une fonction de classe C sur un voisinage ouvert I de 0 et à valeurs réelles (ou complexes). S il existe un réel r > 0 tel que ] r, r[ I et pour tout x dans ] r, r[ on peut trouver une constante M x avec : n N, f (n) (x) Mx, alors f est développable en série entière dans ] r, r[ avec f (x) = + n=0 f (n) (0) x n Majoration de l erreur dans la méthode de Newton Soit f C 2 ([a, b], R) telle que : { f (a) f (b) < 0, x [a, b], f (x) 0 et f (x) 0. Pour tout x 0 dans [a, b] tel que f (x 0 ) f (x 0 ) > 0, on peut définir la suite (x n ) n N de points de [a, b] par : n 0, x n+1 = x n f (x n) f (x n ) Théorème 25.9 La suite (x n ) n N converge vers l unique solution α ]a, b[ de f (x) = 0 et une majoration de l erreur est donnée par : où : m 1 = Majorations de dérivées x n α x 0 α 2n ( M2 2m 1 ) 2 n 1 inf f (x), M 2 = sup f (x) x [a,b] x [a,b] Théorème Si f est une fonction de classe C n+1, avec n 1, de R dans R telle que f et f (n+1) soient bornées sur R, alors toutes les dérivées f (k), pour k = 1,, n sont également bornées sur R. Théorème (Inégalités de Kolmogorov) 1. Si f est une fonction de classe C 2 de R dans R telle que f et f soient bornées sur R, alors f est bornée sur R et : f 2 f f. 2. Si f est une fonction de classe C n+1, avec n 1, de R dans R telle que f et f (n+1) soient bornées sur R, alors toutes les dérivées f (k), pour k = 1,, n, sont bornées sur R avec : f (k) 2 k(n+1 k) 2 f 1 k n+1 f (n+1) k n+1.

6 474 Différentes formules de Taylor pour une fonction d une variable réelle Estimation de l erreur dans la méthode des rectangles À toute fonction f C 0 ([0, 1], R) on associe la suite de ses sommes de Riemann définie par : n 1, S n (f) = 1 n 1 f n ( ) k. n Théorème Pour toute fonction f C 3 ([0, 1], R) on a le développement asymptotique : S n (f) = 1 0 f (t) dt 1 ( ) 1 1 (f (1) f (0)) + 2n 12n (f (1) f (0)) + O. 2 n 3 Exemple 25.1 Application à f (t) = t Applications de la formule de Taylor avec reste intégral Un théorème de Bernstein On a vu avec l exemple de la fonction f définie par f (0) = 0 et f (x) = e 1 x 2 pour x 0 qu une fonction indéfiniment dérivable sur R n est pas nécessairement développable en série entière. Le théorème de Bernstein qui suit nous dit qu avec l hypothèse supplémentaire de positivité des dérivées d ordres pairs de la fonction f, on est assuré du développement en série entière. Lemme 25.1 Soit f une fonction à valeurs réelles de classe C sur ] a, a[ avec a > 0. Si f est paire et f (2k) (x) 0 pour tout entier naturel k et tout x ] a, a[ alors f est développable en série entière sur ] a, a[. Théorème Soit f une fonction à valeurs réelles de classe C sur ] a, a[ avec a > 0. Si f (2k) (x) 0 pour tout entier naturel k et tout x ] a, a[ alors f est développable en série entière sur ] a, a[.