BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. Session Pondichéry (avril 2010) MATHÉMATIQUES (obligatoire) Correction. Série : S

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1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session Pondichéry vril ) MATHÉMATIQUES obligtoire) Correction Série : S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7

2 EXERCICE PARTIE A Soient et b deux réels tels que < b. Soient en outre deux fonctions f et g continues sur l intervlle [;b] telles que : Il vient : t [;b], f t) g t). t [;b], f t) g t) f t) g t) g f )t). D où, d près le deuxième résultt supposé connu, comme l ppliction g f est positive sur l intervlle [;b] : g t) f t)) dt. Du coup, en utilisnt le premier résultt supposé connu et comme l soustrction est l même opértion que l ddition de l opposé : g t) f t)) dt = et cette dernière proposition est équivlente à : g t) dt f t) dt PARTIE B g t) dt f t) dt f t) dt g t) dt comme voulu.. f est l fonction définie sur R + pr : x R +, f x) = ln + x).. Déterminons l limite de l fonction f en plus l infini : ) ) composition lim + x = + limln = + = lim f = +. x b. L fonction x + x est dérivble sur R + et est en outre strictement positive sur cet intervlle. D où f, composée de cette fonction pr le logrithme népérien est dérivble sur R +. x R +, f x) lnu) = u u = + x. Pour tout réel x positif, f x) est une quntité strictement positive. Pr conséquent, f est strictement croissnte sur R +.

3 c. L fonction x est continue donc primitivble sur R +. Choisissons comme fonction primitive x x. Il vient d près l règle d intégrtion pr prties : I = I = ln f x) dx = dx + dx x + f x) dx IPP = [x lnx + )] x dx x + ) u =ln u u = ln + [ln x + ] = ln. Pr continuité et positivité de l fonction f sur l intervlle [;], I est géométriquement l ire délimitée pr l courbe représenttive de l fonction f, les droites d éqution x =, x = et y =... Le segment d intégrtion est [;]. n N, x [;], x x n + x n croissnce = ln ln + x n) ln = de ln dx = I n ln. ln + x n) dx ln dx b. Pour étudier les vritions de l suite I n ) n N, déterminons le signe de I n+ I n pour tout entier nturel n non nul. n N linérité de, I n+ I n = l intégrle fn+ x) f n x) ) dx. Il s git de comprer f n et f n+ pour tout entier nturel n non nul. n N, x R +, x n+ > x n composition = ln + x n+) > ln + x n) = I n+ > I n. Du coup, l suite I n ) n N est strictement croissnte. c. L suite I n ) n N est bornée d près l question.. et est strictement monotone d près l question. b. donc elle converge.. Soit g l fonction définie sur R + pr g x) = ln + x) x.. g est une fonction dérivble comme combinison linéire de fonctions dérivbles et : x R +, g x) = + x + x + x = x + x, quntité strictement négtive sur R + et nulle si x =. Pr conséquent, g x) est strictement négtive sur R + et ne s nnule qu en un nombre fini de points sur R +, du coup l fonction g est strictement décroissnte sur R +. b. g ) = ln) = et g est strictement décroissnte sur R + donc g est nulle en et strictement négtive sur R +. Du coup : X R +, g X ) ln + X ) X. Soit n N fixé. En effectunt le chngement de vrible X = x n, comme x n R +, l reltion est vérifiée églement d où : n N, x R +,ln + x n ) x n.

4 c. Soit l l limite de l suite I n ) n N. Il est possible de déduire de l reltion trouvée en. b. : n N, ln + x n ) dx En pssnt ux limites, il vient : lim I n n + [ ] x n dx = I n n + xn+ = I n n +. lim n + = l. n + D près l question.., n N, I n ln, donc l limite l de l suite I n ) n N est comprise entre et ln. Pr pssge ux limites, nous obtenons : l ln. Finlement, il vient d près le théorème d encdrement : l = l = = lim I n =. 4

5 EXERCICE Cndidts n ynt ps suivi l enseignement de spécilité L espce est rpportée u repère orthonorml O; ı, j, k ).. Soit l droite de représenttion prmétrique : x = t + y = t z = t Un vecteur norml u pln d éqution crtésienne x +y + z = est le vecteur n ;;). Un vecteur directeur de cette droite est d ; ;). Si ces deux vecteurs sont orthogonux, lors le pln d éqution crtésienne x + y + z = ser prllèle à cette droite. n d = 4 + = = n d.. Donc cette première proposition est vrie.. Le système formé pr les équtions des trois plns : x y + z = x + y z = 6 4x y + 4z = 5t possède comme solutions tous les triplets de réels x = ; y = 8t ) 7 7 ; z = t vec un prmètre réel t. D où les trois plns possèdent une infinité de points en commun. Cette seconde proposition est fusse.. Soient t et u deux prmètres réels. Le système formé pr les représenttions prmétriques des deux droites : x = t y = + t z = + t x = 7 + u y = + u z = 6 u ne possède ps de solution. Pr conséquent, il n existe ps de point commun ux deux droites donc elles ne sont ps sécntes. Du coup, cette troisième proposition est fusse. 4. Le pln ABC ) une éqution de l forme : x + by + cz = d. Déterminons un vecteur norml u pln ABC ) à l ide du produit vectoriel. D où l éqution de ABC ) est de l forme : AB AC ) = 4 ı 4 k. ABC ) : 4x 4z = d. Le point A pprtient u pln donc ses coordonnées vérifient son éqution. 4 ) 4 ) = d = d = 4. 5

6 Du coup l éqution du pln ABC ) est dns l espce : ABC ) : 4x 4z = 4 x + z =. Pr conséquent cette qutrième proposition est vrie. 5. Si C est un brycentre des points A et B, il doit être sur l droite AB), ce qui signifie : k R / AC = k AB. Or il n existe ps de réel non nul k vérifint cette reltion, pr conséquent les deux vecteurs AB et AC ne sont ps colinéires et le point C ne peut ps être un brycentre des points A et B. Cette cinquième proposition est fusse. 6

7 EXERCICE.. Le cs où l vrible létoire X prend l vleur est soit le cs où une boule rouge puis une boule blnche ont été tirées, soit l inverse. Il vient, comme le jeu étudié est modélisble pr une sitution d équiprobbilité : ) ) PX = ) = n ) = n +!!9! n!!n )! n + )!!n + 8)! = n n + )n + 9) = n n + )n + 9). b. Les qutre cs possibles sont en fit : Une boule blnche puis une rouge c est-à-dire X = ; Une boule rouge puis une blnche c est-à-dire X = ; Deux boules rouges c est-à-dire X = 6 ; Deux boules blnches c est-à-dire X = 4. Les deux premiers cs ont été trités ; les utres s étudient de mnière similire : ) n n!!n )! PX = 6) = ) = = n + n + )!!n + 8)! nn ) n + )n + 9). )! PX = 4) = ) =!8! 9 = n + n + )! n + )n + 9).!n + 8)! c. Exprimons l espérnce mthémtique de l vrible létoire X : EX ) déf. = x i PX = x i ). Clculons l espérnce mthémtique de l vrible létoire X : EX ) = i= n n + )n + 9) 6 n n n + )n + 9) n + )n + 9) EX ) = n 6n + 6n + 6 n + )n + 9) = 6n 4n + 6. n + )n + 9) 7

8 d. L quntité n +)n +9) est strictement positive pour tout entier nturel n supérieur ou égl à. Pr conséquent, le signe de l espérnce mthémtique EX ) est celui de l quntité 6n 4n + 6). Le polynôme du second degré 6x 4x + 6 dmet pour discriminnt : 4) 4 6) 6) = 886 >. Pr conséquent, il possède deux rcines réelles distinctes, à svoir 9 et. En conséquence, d près les vleurs que peut prendre n et comme = 6, il vient : n ;6, 6n 4n + 6 > = EX ) >.. L sitution est modélisble pr une loi binomile. L probbilité d obtenir une boule blnche pr conséquent de fire un échec) est égle à : ) ) = n + n +. D où pour vingt occurences, le problème revient à déterminer n tel que : n +.. Déterminons PZ 5) : ),999 = n N n PZ 5) = 5 b. Clculons cette probbilité conditionnelle : P Z 5) Z 6) =, = n 5.,e,x dx = [ e,x] 5 = e,5. P5 Z 6) PZ 5) = e,5 e,6 e,5 = e,. 8

9 EXERCICE 4 Soit u n ) n N l suite numérique définie pr u = et pr l reltion de récurrence : n N,u n+ = u n + n.. Clculons u, u, u : u = u + = = 5. u = u + = 5 9 = 4 9. u = u + = = Soit P l propriété définie comme suit : n N\ ; ),Pn) u n et démontrons cette propriété pr récurrence. Initilistion Montrons que P4) est vrie. u 4 = u + = = 67 = P4). 8 Hérédité Supposons Pn) vrie pour un entier nturel n supérieur ou égl à 4 fixé ; montrons qu lors Pn + ) est vrie. Pn) = u n ). u n ) n > ) composition = u n+ = ) u n + n n = Pn + ). Conclusion D près l xiome de récurrence : P4) n N\ ; ),Pn) = Pn + ) ) = n N\ ; ),Pn). b. Il vient, pour tout entier nturel n supérieur ou égl à 4, d près l hérédité de l question.. : u n+ n = u n+ n + ) = u n n soit pour tout entier nturel n supérieur ou égl à 5, u n n. c. L suite u n ) n N est minorée pr une suite divergente cr : lim n = +. n + Comme à prtir du rng 5, u n n et que cette suite diverge vers plus l infini, pr comprison l suite u n ) n N diverge églement vers plus l infini. limu n = +. 9

10 . Soit v n ) n N l suite numérique définie pr l reltion de récurrence suivnte : n N, v n = u n + n.. Clculons v n+ pour tout entier nturel n : n N, v n+ = u n+ +n+ ) = u n + n +n+ = u n+n+ 7 = v n. D où v n ) n N est une suite géométrique de rison géométrique et de premier terme v = u + = 5. b. v n ) n N est une suite géométrique, du coup : ) déf. n n N, v n = v. D près l reltion de récurrence définissnt v n ) n N : n N, v n = u n + n u n = v n n + ). Du coup, il est isé d obtenir l expression de u n ) n N en fonction de n : n N,u n = 5 c. Soit n un entier nturel et : ) n n + ) = 5 4 ) n + n 4 comme voulu. n S n = k = k=u 5 4 ) n n + k= n n n k= k= 4. Clculons S n. L première somme est celle des termes d une suite géométrique de rison et de premier terme. S n = 5 4 ) n+ + nn + ) n + ) = 4 75 ) n+ ) + 6n + )n 7). 8