Exercices sur les courbes en coordonnées polaires dans le plan

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1 Exercces sur les courbes en coordonnées polares dans le plan Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,, polare sn. ) Détermner les symétres de ; en dédure un domane d étude. ) Etuder et tracer la courbe. 3 ) Détermner une équaton cartésenne de. Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,, polare cos. ) a) Détermner les symétres de ; en dédure un domane d étude. b) Etuder la courbe. ) onstrure et la placer par rapport aux deux cercles d équatons polares cos et cos. 3 ) Détermner les ponts où les tangentes sont parallèles à l axe des abscsses. ) Détermner une équaton cartésenne de la courbe. 3 Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,, polare cos. ) Détermner l ensemble de défnton et un domane d étude utle pour l étude de. Précser les symétres éventuelles. ) n donne le tableau de varaton sur ;. ' + a) Etuder la branche nfne de quand tend vers. b) Tracer la courbe. Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,, a où a est un réel strctement postf. sn sn Indcaton : développer cos sn et cos sn. 5 Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,, a où a est un réel strctement postf. cos ) Détermner la nature de et les éléments caractérstques de. ) Tracer., tracer la courbe d équaton polare, tracer la courbe d équaton polare 6 Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,, polare 3 cos 3 ) Détermner les symétres de ; en dédure un domane d étude. ) Etuder et tracer la courbe. 3 ) Détermner les ponts de en lesquels la tangente est horzontale et en lesquels la tangente est vertcale. 7 La strophoïde drote Le plan orenté P est mun d un repère orthonormé drect,,. Sot E un pont fxé de ]x) et F un pont moble de l axe (y). n note M et N les ponts de la drote (EF) tels que FM FN F. n pose a E a. ) Sot la mesure en radans de l angle orenté, M telle que. Détermner une masure en radans de l angle orenté F, FM. En dédure F en foncton de a et de. En dédure M en foncton de a et de. cos Démontrer que le leu des ponts M et N est la courbe d équaton polare a cos. ) Etuder et tracer. 3 ) Détermner une équaton cartésenne de. Remarque hstorque : ette courbe fut sans doute étudée pour la premère fos au XVII e sècle par Roberval (65). n l appelat alors «ptéroïde». Sot un cercle de centre et de rayon R et A un pont fxé de. Pour tout pont M de dstnct de A, on note P le pont d ntersecton de (AM) et de la perpendculare en à (M). Le but de cet exercce est de détermner l ensemble des ponts P lorsque M décrt \ { A }. A, M. n orente le plan et on note une mesure en radans de l angle orenté ) Détermner une mesure ne radans de l angle orenté MA, M ) En dédure une équaton polare de dans le repère polare, avec 3 ) Etuder et tracer. 9 Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,, ( ; polare tan ). pus de l angle orenté PM, P A. A. ) Etuder. ) Démontrer que admet un unque pont double et que les deux tangentes en ce pont sont orthogonales. 3 ) Détermner les ponts où la tangente est horzontale. Démontrer qu ls sont stués sur la deuxème bssectrce. ) Détermner une paramétrsaton ratonnelle de.

2 Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,,, on consdère la courbe d équaton cos polare sn. ) a) Détermner l ensemble de défnton D. b) Etuder l axe ou les axes de symétres de ; en dédure un domane d étude. Fare l étude correspondante. lm sn. Que peut-on en dédure? c) Détermner d) Tracer. ) Sot A le pont de assocé à et M un pont de assocé à D. a) alculer les coordonnées cartésennes de AM ; en dédure une mesure de l angle orenté, M en foncton de. b) Sot M le pont de assocé à. Démontrer que les ponts A, M, M sont algnés et démontrer que le produt scalare p AM AM ' est constant.. Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,, Parte A n consdère la courbe d équaton polare f où f est une foncton défne sur. ompléter le tableau. f ondton f f f f f f f onséquences graphques (symétre) Parte B n consdère la courbe d équaton polare sn. Fare apparaître la courbe sur l écran d une calculatrce graphque (se placer en mode polares). Justfer les symétres de. Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,, polare cos cos. ) Démontrer que la courbe est ncluse dans le dsque de centre et de rayon. ) Démontrer que admet un axe de symétre. 3 ) Résoudre l équaton ; en dédure le sgne de suvant les valeurs de pour ;. ) alculer '. 5 ) Détermner la tangente aux ponts de paramètres ; ; ;. 3 6 ) Tracer la courbe. 7 ) Détermner les ponts de en lesquels la tangente est horzontale et en lesquels la tangente est vertcale. 3 Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,, polare. f avec f tan ) Démontrer qu l sufft de lmter à appartenant à l ntervalle I ;. ) Résoudre les néquatons et l équaton suvante dans I : tan ; tan ; tan. En dédure le tableau de sgnes de I. 3 ) Détermner lm f n note x et Détermner les lmtes de et lm f pour f. y les coordonnées cartésennes du pont M() de. x et de y quand pus quand En dédure que admet une asymptote dont on donnera une équaton. ) Détermner les ponts M() et M ans que la tangente en ces ponts. 5 ) Tracé de. a) Tracer la drote b) Placer les ponts M() et M ans que les tangentes en ces ponts. c) Tracer la tangente au passage au pôle. d) Tracer la parte de la courbe pour ;, pour ;, pour ; pus pour ;. 6 ) Le tracé de la courbe fat apparaître un pont double A. a) Détermner un système de coordonnées polares pus les coordonnées cartésennes de ce pont A. b) Démontrer que les tangentes à en ce pont sont orthogonales. 3 Indcaton : on donne tan et tan. Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,, polare f avec tan f. ) Démontrer qu l sufft de lmter l étude à appartenant à l ntervalle I ;. ) Résoudre les néquatons et l équaton suvante dans I : tan ; tan ; tan. En dédure le tableau de sgnes de f pour I. 3 ) Détermner lm f n note x et et lm f. y les coordonnées cartésennes du pont M() de. Détermner les lmtes de x et de y quand pus quand En dédure que admet deux asymptotes et dont on donnera des équatons. ) a) Détermner la tangente au pont M(). b) Démontrer que la courbe admet une tangente vertcale au pont M. 5 ) Tracé de. a) Tracer les drotes et b) Placer les ponts M() et M ; tracer les tangentes en ces ponts.

3 c) Tracer la tangente au passage au pôle. d) Tracer la courbe. 5 Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,, polare cos. ) Démontrer que la courbe est ncluse dans le dsque de centre et de rayon 3. ) Démontrer que est pérodque ; en dédure que est globalement nvarante par la rotaton R 3 ) Démontrer que admet un axe de symétre. ) Dédure des questons précédentes qu l est possble de lmter l étude à l ntervalle I ;. alculer ' ; dresser le tableau de varaton de sur I. 5 ) Résoudre l équaton : ; en dédure le sgne de suvant les valeurs de pour I. 6 ) Tracer la courbe sur I pus compléter. cos cos. 5 Etuder et tracer la courbe d équaton polare ;. dm ' u v d M cos cos sn M cos cos sn M cos cos sn cos cos cos ) tan v ' sn sn cos sn cos x x' cos sn Pérode ; ; S S x Réponses ' y cos sn cos sn sn cos cos cos cos sn cos 3sn y' x 3 ) 3 x 6 x 3 x y x ) 3 ) a) La courbe admet seulement une drecton asymptotque de drecton Tracé de la courbe.

4 5 6 3 ) xx y ax y 7 Rappel cos Strophoïde drote sn. ) a) D \ b) est ant-pérode : la courbe est entèrement décrte sur un ntervalles d ampltude par exemple [ ; ]. Symétre par rapport à l axe (y) Etude sur ; c) Branche nfne en + sn cos. La drote d équaton y est asymptote. d) + ) A et cos cos M sn cos cos cos AM sn cos cos S, AM est colnéare à u omme, u est colnéare à cos sn cos cos v sn cos sn D où, AM k relaton non valable en b) ', AM k, AM' k AM et AM' colnéares. ' (M = A). cos cos cos sn AM cos cos sn cos sn cos AM' cos cos

5 p AM AM ' cos cos x Parte B S avec : y x 3 ) pour ) ' sn cos 5 ) ' S ; y S ; ; 3 ; pour ; pour ; , ', ' 3, ' S ; 3 3 k donc k k donc k ' tan b) dm ' u v d ' tan dm u v d tan 3 3 ' 3 3 tan dm 3 u 3 v 3 d dm 3 u v d tan dm dm 3 d d 3 6 ) a) tan tan tan tan tan tan donc tan ou tan. Grâce aux valeurs rappelées dans l énoncé, on trouve donc

6 + 3 n trace l'arc de courbe obtenu lorsque ( vare de à ), pus on complète par la symétre S, et, à cet arc de 3 ourbe courbe, on fat subr tros rotatons, pour reconsttuer complètement la courbe. 5 est pérodque de pérode et elle est défne sur. La courbe est obtenue complètement lorsque parcourt un ntervalle de longueur, et elle est nvarante par la rotaton R, de centre et d'angle. S l'on veut commencer par utlser la parté de la foncton, on prend l'ntervalle I ;. La courbe est symétrque par rapport à x. n l'étude sur I ;, et on complètera par la symétre S par rapport à x. n a ' sn. Dans I, la dérvée s'annule en et. Et s'annule en. n a le tableau de varaton suvant :

7 Questons de cours Vecteur vtesse ; vecteur accélératon en coordonnées polares. Tangente à une courbe défne par une équaton polare. 3 Noton d équaton polare. Asymptotes en coordonnées polares. 5 Parté et pérodcté : conséquences dans l étude d une courbe défne par une équaton polare. 6 Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,, défne par f, on consdère une courbe paramétrée e où est une foncton de classe sur un ntervalle I de. alculer f ' et f '' (expressons dans la base e ; e ). det f ', f '' en foncton de et ''. alculer Donner une nterprétaton du sgne de ce nombre. 7 Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,, défne par f n suppose que, on consdère une courbe paramétrée e où est une foncton dérvable sur un ntervalle I de. où I. Quelle est la tangente au pont M assocé à? Justfer. Dans le plan orenté mun d un repère orthonormé drect,, défne par f e. n note son support. n suppose que pour tout réel ;, on a : Dans quelle zone du plan, se stue la courbe? Fare une fgure avec Snequanon. La courbe se stue dans le premer quadrant.., on consdère une courbe paramétrée Donner la défnton d un cercle asymptote. 9 Règle du secteur angulare Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,,, on consdère une courbe paramétrée défne par f n note son support. e où est une foncton défne sur un ntervalle I de. n suppose que pour, on a :. Fare une fgure précsant dans quel secteur angulare se trouve la courbe. n suppose que pour, on a :. Fare une fgure précsant dans quel secteur angulare se trouve la courbe. Dans le plan orenté P mun d un repère orthonormé drect,, défne par f e où est une foncton dérvable sur un ntervalle I de. n note M le pont assocé à q. alculer dm (expresson dans la base e ; e ). d En dédure que le seul pont snguler possble est le pôle., on consdère une courbe paramétrée