Epreuve de la Mécanique quantique

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1 Fculté poldiscipliire de Sfi Filière : SMC Semestre : 4 Sessio de rttrpge Epreuve de l Mécique qutique Problème N : Effet Compto (7 poits) Uiversité cdi d Ludi : Jui 5 Durée : miutes Compto observ que les ros X diffusés possédiet ue fréquece ν iférieure à celle des ros X icidets de fréquece ν, et que l gle de dévitio θ des ros X diffusés étit foctio de l différece des fréqueces. Ds cet eercice, O cherche à étblir cette reltio. ) L fréquece de l ode icidete est ν =, H et l fréquece de l ode diffusée est ν =,79 H. Quelles sot les logueurs d ode ds le vide correspodtes et l ture de ce roemet? ) Quelle est l éergie E e de l électro diffusé (supposé primitivemet u repos) e ev? 3) Quelle serit l vitesse de l électro diffusé e mécique clssique si s msse m est 9, -3 kg? Justifier l écessité de cosidérer u modèle reltiviste. 4) Doer l epressio de l éergie d u photo e foctio de s qutité de mouvemet. 5) Plus géérlemet, l éergie reltiviste (éergie de msse plus éergie ciétique) d ue prticule de msse m et de qutité de mouvemet p (de orme p) s écrit sous l forme : 4 E = p C + m C Retrouver l epressio de l éergie du photo de l questio précédete. 6) E écrivt l coservtio de l qutité de mouvemet du sstème photo-électro u cours du choc, vec l idice pour photo icidet ( p ), pour photo diffusé ( p ) et ps d idice pour l électro ( p ), motrer que l o obtiet l reltio : p = p + p p p.cos θ 7) E écrivt l coservtio de l msse-éergie, motrer que l o obtiet l reltio : p = (p p ) mc(p p ) 8) E utilist les deu résultts précédets, motrer que l dévitio θ vérifie : Clculer l gle θ. h λ λ = ( cos θ ) mc SVTP /

2 Fculté poldiscipliire de Sfi Uiversité cdi d Problème N : Puits de potetiel ifii (8. poits) Soit ue prticule de msse m et d éergie E. Elle se trouve piégé ds u puits de potetiel crré qui est ifiimet grde devt l éergie E de l prticule. Le potetiel est défii comme suit : pour V ( ) = pour pour - Représeter grphiquemet le potetiel crré V() - Résoudre l équtio de Schrödiger sttioire ds les différetes régios. 3- E écrivt les coditios de cotiuité u poits = et =, déduire les vleurs possibles de l éergie E de l prticule ds le puits et l foctio d ode () ssociée ( () doit ormée). 4- Représeter les 3 premières foctios d ode isi que les desités de probbilités de présece. 5- Géérliser à 3 dimesios pour trouver les éergies de l prticule. Epliquer l dégéérescece des iveu d éergie (le degré de dégéérescece des trois plus bs iveu d éergie)..5.5 Problème N 3 : Probbilité de présece et vleurs moees (5 poits) Ds u problème à ue dimesio, ue prticule est décrite à l istt t = pr l foctio d oe : (, ) = ( ) = N ep( ) ep( ) Où et p sot des costtes réelles. ) Doer les dimesios des costtes et p. ) Clculer l costte de ormlistio N. Déduire s dimesio. 3) Trcer l foctio desité de probbilité de présece. 4) O mesure l positio de l prticule ; quelle est l probbilité de l trouver etre / et +/? 5) Clculer les vleurs moees de et de. E déduire =. Iterpréttio phsique. ip O doe : & r 3 + r e dr = 4 X = = * ( ) ( ) d /

3 Fculté poldiscipliire de Sfi Correctio de l épreuve de l Mécique Qutique Uiversité cdi d Solutio du Problème N : Effet Compto ) O déduit l logueur d ode d près l reltio λ = C/ν: λ =,5. - m =,5 pm et λ =,68. - m =,68 pm O est bie ds le domie des ros X durs. ) E suppost l coservtio de l éergie u cours du choc, o obtiet : E e = E E =, J = 87,6 kev 3) E suppost u modèle clssique, l éergie ciétique de l électro s eprime pr : Ee 8 Ee = mv v = =,8 m / s.58 C m Nous trouvos ue vleur o égligeble devt C = 3,.8 m.s -. Il fut doc psser e mécique reltiviste. 4) O retrouve l epressio de l éergie E = hν = hc/λ e foctio de l qutité de mouvemet grâce à l reltio de Louis de Broglie λ = h/p : E = pc. 5) Le photo t ue msse ulle, o retrouve bie pour so éergie E = pc. 6) L coservtio de l qutité de mouvemet vt (électro immobile) et près le choc s écrit : p = p + p p = p p et e élevt u crré, scht que le produit sclire p.p correspod à p p cosθ, o obtiet : p = p + p pp cos θ 7) L coservtio de l msse-éergie s écrit, scht qu vt le choc l électro étit qusi immobile : p C + mc = p C + p C + m C E élevt u crré, o obtiet : p C = [(p p )C + mc ] 4 4 = [(p p )C] + mc (p p )C + m C O trouve près simplifictio : p = (p p ) + mc(p p ) 8) E églt les deu epressios de l qutité de mouvemet de l électro : p + p p p cos θ = (p p ) + mc(p p ) = p + p p p + mc(p p ) O déduit l reltio : p.p ( - cos θ) = mc.(p - p ) vec : p = h/λ et p = h/λ Soit : h h h h h. ( cos θ ) = mc( ) λ λ = ( cos θ) λ λ λ λ mc Pour l diffusio Compto étudiée, o clcule l gle de dévitio : mc ν ν cos θ = θ =.6 h ν ν Solutio du problème N : Puits de potetiel ifii - L représettio grphique du potetiel crré V() Puits de potetiel ifii - Résolutio de l équtio de Schrödiger sttioire ds les différetes régios. L équtio de Schrödiger sttioire s écrit : 3/

4 Fculté poldiscipliire de Sfi Uiversité cdi d + V = E m m + (E V) = * ds l régio I et III: V() = () = * ds l régio II : V() = () = A cos k + Bsi k me k = 3- Les coditios de cotiuité u poits = et = : * les vleurs possibles de l éergie E de l prticule ds le puits. I() = II () = A = () = () = k = π II III D où l éergie E de l prticule ds le puits π E = m π Et les foctios d ode ssociée () = Bsi + * π ( ) ( )d = B si ( )d = B π B ( cos d = = B = π () = si pour = pour et π O peut ecore écrire () = si λ E ssocit ue logueur d ode λ = à l prticule. 4- Représettio des 3 premières foctios d ode isi que les desités de probbilités de présece. Eergies discrètes et foctios d ode des trois premiers étts de l prticule 4/

5 Fculté poldiscipliire de Sfi Uiversité cdi d Les desités de probbilité ssociées 5- Géérlistio à 3 dimesios pour trouver les éergies de l prticule. Les éergies propres et foctios propres suivtes de l prticule. π E ( ) m,, = + + π π π,, (,, ) = A si( ) si( ) si( ) L costte A s obtiet e ormlist l foctio d ode : * π π π,, (,, ),, (,, ) dv = A si ( )d si ( )d si ( )d o ur près u clcul d itégrtio simple : E post A = 8 3 = + +, o peut écrire efi : π 8 π π π E = N m,, (,, ) = si( 3 ) si( ) si( ) Ds ce cs, ue même éergie peut correspodre à plusieurs foctios propres cr plusieurs jeu des ombres etiers,, peuvet doer ue même vleur de N. O dit lors que l éergie est dégéérée; so degré de dégéérescece g est le ombre de foctios propres liéiremet idépedtes correspodt à cette même vleur de l éergie. Il est fcile de détermier le degré de dégéérescece g comme le motre le tbleu suivt : O : = π m Eergie Combiisos (,, ) Degré de dégéérescece E 3 E (,, ) 6 E (,, ), (,, ), (,, ) 3 9 E (,, ), (,, ), (,, ) 3 Solutio du problème N 3 : Probbilité de présece et vleurs moees ) Les dimesios des costtes et p. [ ] = L [ p ] M LT = cr [ p ] (, ) = ( ) = N ep( ) ep( ) [ ] [ ] M L T = = = M LT L 5/ ip : qutité de mouvemet

6 Fculté poldiscipliire de Sfi Uiversité cdi d ) L dimesio de l costte de ormlistio N. + ( ) d = N e d = N e d = N ( )[ e ] = N = N = N = à ue phse prés / [ N ] L = * Clcul de N 3) Trçge de l foctio desité de probbilité de présece. 4) Mesure l positio de l prticule : L probbilité de l trouver etre / et +/. + + P( ) = ( ) d N e d ( )[ e ].63 = = = = e 5) Clcul des vleurs moees de et de. = = = + + = ( ) d = N e d = = 4 3 6/