LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES

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1 Ercic. ) Eprimr foctio d l ls ombrs suivats : A l8 B l 6 ) Eprimz foctio d l t l ls réls suivats : a l b l ) Ecrir ls ombrs A t B à l'aid d'u sul logarithm : A l + l + l C l6 8 c l 9 D l B l9 l Ercic. Complétr l tablau suivat, à partir d crtais valurs (arrodis à,) près d la foctio logarithm épéri a l ( ) l 6 ( 6) l( a ),7, Ercic. Comparz ls réls t y : l t y l l5 l t y l l 5 Ercic. Simplifir au maimum : a l ( ) b l ( ) c l d l ( ) l ( ) Ercic 5. L so s maifst par ds variatios d prssio d l air. L uité d msur d la prssio d l air st l Pascal. La prssio d l air s rc sur l tympa d l orill humai. Pour u prssio supériur ou égal à 6 Pascals s rçat sur so tympa, l orill humai prçoit u so dot l ivau s msur décibls. O ot 6 p. Pour u prssio d p Pascals s rçat sur l tympa, avc p p, l ivau soor prçu st égal à f ( p) l ( 5 p) l() ) Qul st l ivau soor prçu pour u prssio d Pascals?, Pascals?, Pascals? Calculr f (p ). ) A partir d u ivau soor d décibls, o rsst u doulur. Détrmir la prssio p corrspodat à c ivau soor. ) Motrr qu pour tout rél p : f() + f(). O déduit "l ivau soor augmt d décibls quad la prssio s rçat sur l tympa st multiplié par ". ) Eprimr, pour tout rél p, f() foctio d f() t éocr la propriété du ivau soor corrspodat. Ercic 6. Précisz l'smbl d défiitio puis résoudr ls équatios suivats : ( + l ) ) l( + 5 ) l( + 6) ) l ( ) + l ( ) l ) l ) 5) ( l ) + l 6 6) l( 5) 7) l 8) l 9) l ( ) l ( ) Ercic 7. ) l ( ) l ( ) ) l ( ) l ( ) ) Dévloppr l prssio : A ( )( + )( ) LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES + +. (b) l ( + ) l ( + ) ) Résoudr ls équatios suivats : (a) l ( ) l ( ) (c) l ( + ) l ( + ). (d) l ( ) l ( ) +. Ercic 8. Résoudr l systèm d'équatios suivat : ) y l + l y ) 5l + l y 6 l l y ) l y (l )(l y) Pag /9

2 Ercic 9. Précisz l'smbl d défiitio puis résoudr ls iéquatios suivats : ( + l ) ) l( + 5 ) l( + 6) ) l ( ) + l ( ) < l ) l ) > l + l 6 6) l( 5),,8,, N 5) 7) Ercic. Etudir l sig ds prssios suivats : A l (l + ) B l( ) C, N 8) Ercic. U capital d 5 D st placé à itérêts composés au tau aul d 6%. Détrmir l ombr d aés à partir duqul l capital acquis sra supériur à D l( + ) Ercic. Détrmir l smbl d défiitio ds foctios suivats : ) f l( + ) ) f : l ) f : l ( ) l Ercic. Détrmir ls limits suivats : lim l lim l ) + l 6) lim ) + ) ( ) ) lim ( l l ) ) lim( l ) + 7) lim l 8) ) f : l l( ) lim l lim l + + (Posr l( + ) X ) 9) lim (Posr X ) Ercic. Détrmir ls smbls d défiitio t d dérivabilité puis calculr ls dérivés ds foctios ci-dssous l ) f + + l ) f ( ) ) f l( ) + l l ) f l 5) f l 6) f l( 5) 7) f l( + ) 8) f l( + + ) 9) f l + ) f l(l ) ) f l( ) ) f ( l ) l l ) f ) f 5) f ( l ) l 6) f l 7) f ( l ) 8) f l Ercic 5. O cosidèr la foctio f défii par f l( a + b), t C sa courb rpréstativ. ) Détrmir ls ombrs a t b tls qu f () t f () Qul st alors l smbl d défiitio d f? Qul st l ss d variatio d f? ) Détrmir ls ombrs a t b tls qu la courb C pass par l poit A( ;) t la tagt A ait pour cofficit dirctur. Ercic 6. Parti I O cosidèr la foctio umériqu g défii sur ] ;+ [ par g l ) Etudir l ss d variatio d g ) E déduir l sig d g() sur ] ;+ [ Parti II + l O cosidèr la foctio umériqu f défii sur ] ;+ [ par f +. O appll (C) la courb rpréstativ d f das u rpèr orthoormal ( O; i ; j ) (uité graphiqu : cm) ) Détrmir la limit d f. Itrprétr graphiqumt c résultat. y st asymptot à la courb (C). coup (C) u poit A qu l o précisra ) Détrmir la limit d f +. Motrr qu la droit ( ) d équatio Détrmir la positio d (C) par rapport à ( ) sur ] ;+ [. Motrr qu ) Etudir l ss d variatio d f. Drssr l tablau d variatio d f Pag /9

3 ) Motrr qu il ist u uiqu poit B d la courb (C) où la tagt (T) st parallèl à ( ). Précisr ls coordoés du poit B 5) Motrr qu l équatio f() a u uiqu solutio α. Eprimr dirctur d la tagt à (C) au poit d absciss α st supériur à. O admttra qu,<α <,5 6) Rpréstr succictmt la courb (C) t ls droits ( ) t (T). l α foctio d α. Motrr qu l cofficit Ercic 7. Parti I La foctio f st défii sur ] ;+ [ par f + l ) Etudir l ss d variatios d f. Calculr l slimits d f au bords d l smbl d défiitio t drssr l tablau d variatios d f. ;+. Détrmir l tir tl qu ) Motrr qu l équatio f ( ) admt u uiqu solutio l das l itrvall ] [ l ] ; + [ ) Détrmir l sig d f ( ) Parti II si La foctio g st défii sur [ ;+ [ par : g 7 + l si > 8 ) Motrr qu la foctio g st cotiu. Détrmir la limit d g + ) Motrr qu pour tout >, g f + l ) Motrr qu O calcul g. Drssr l tablau d variatio d g. l 8 l ) Dor ls équatios ds tagts à la courb Γ rpréstativ d g au poits d abscisss t l. Calculr lim g t itrprétr graphiqumt ctt limit. 5) Rpréstr succictmt Γ t ss tagts das u rpèr orthoormé ( O; i ; j ) Ercic 8. Détrmiz u primitiv d la foctio f proposé sur l'itrvall I doé : + + ) f 5 + sur I ] ;+ [ ) f sur I ] ;+ [ 7 5 ) f + + I ] ;+ [ ) f sur I ; + 5) f + sur I ] ; + [ 6) f + sur I ] ; [ 7) f 8) f 5 sur [ ;+ [ 9) + f sur R ) f + + Ercic 9. O cosidèr la foctio défii sur I[ ;+ [ par f c ) Trouvr trois réls a,b, t c tls qu f a + b + sur ] ;+ [ sur ] ;[ ) E déduir u primitiv d f sur [ ;+ [ Pag /9

4 Ercic. Détrmiz u primitiv d la foctio f proposé sur l'itrvall I doé : cos π l ) f sur I ; si ) f sur I[ ;+ [ ) f l sur ] ;+ [ π ) f ta sur ; π Ercic. Calculz ls itégrals d ) ) + d ) 5 d + ) d 5) + + d 6) Ercic. Soit f la foctio défii sur ] [ ) Motrz qu pour tout d ] [ ) Calculz + d + l d 7) + ;+ par f ;+, f + + l( ) d Ercic. Soit f la foctio défii sur ; + par f + ) Trouvr trois ombrs réls a, b t c tls qu pour tout d ; +, c f a + b ) Calculz d + Ercic. Soit g la foctio défii sur ] [ ) Détrmiz la dérivé g' d g ) Calculz l d ; + par g l Ercic 5. Calculz l'itégral I utilisat la formul d'itégratio par partis: Ercic 6. O cosidèr l'applicatio f défii pour tout t d +* R par f ( t) t t ( + ) ) Détrmir ls réls a, b t c tls qu pour tout rél t strictmt positif : f ( t) ) Motrr qu : f ( t) + l + ) A l'aid d'u itégratio par partis, calculr : t l t ( t + ) I l d, où st u tir strictmt positif. + t t t + t ( + ) at + b c Pag /9

5 Ercic 7. O cosidèr la suit ( u) d réls strictmt positifs, défii par : u, t pour tout N, l( u+ ) + l( u). ) Eprimr u + foctio d u t précisr la atur d la suit ( u ). ) Détrmir la mootoi d la suit ( u ), t précisr sa limit. ) Eprimr la somm k u k foctio d. ) Eprimr la somm l( uk ) foctio d. E déduir l calcul d u u... u foctio d. k Ercic 8. +* l Soit la foctio f défii sur R par f t Cf sa courb rpréstativ das u rpèr orthoormal. ) Dor la dérivé d f. ) Dor l ss d variatio d f. ) Dor u équatio d la tagt à Cf au poit d'absciss. +* ) Dor u primitiv d f sur R. 5) Qul st l ss d variatio d la foctio G défii sur +* R par G f ( t) dt Ercic 9. Soit f la foctio défii sur l itrvall [ ;+ [ par f l si > t f () f ) Détrmir la limit d lorsqu td vrs. f st-ll dérivabl? ) Etudir l ss d variatios d f t étudir la limit d f + ) Démotrr l istc t l uicité d la solutio d l équatio f ( ) das [ ; + [ ) Soit T la tagt à la courb rpréstativ (C) d f au poit d absciss. Détrmir l équatio d T. O; i ; j 5) Tracr la courb rpréstativ C) d f t la droit T das u rpèr orthoormal 6) Soit λ ] ;]. O ops I ( λ ) λ a) Calculr I ( λ ) pour λ ] ;] b) Calculr la limit d f d I λ lorsqu λ td vrs c) E déduir l air d la parti d pla limité par la courb (C), l a ds abscisss t ls droits d équatios rspctivs ( ) t Ercic. Soit la foctio f défii par f l ( ) ) Dor l domai d défiitio D d la foctio f ; détrmir u parité évtull ; t étudir lslimits au bors du domai d défiitio. Calculr pour tout d D la dérivé d f (si ll ist!) ) O étudi, pour ctt qustio, l cas >. Motrr qu il ist u uiqu λ tl qu f ( λ ) ; motrr qu l o a ;, λ, (o pourra utilisr l fait qu l rél tl qu l vérifi,5 ) E déduir l tablau d variatios d f (sur D) g l (o précisra l domai sur lqul o travaill ) Détrmir u primitiv d g défii par Pag 5/9

6 Ercic FONCTION LOGARITHME NEPERIEN CORRECTION l l l l 6 D l l l l l() ) A l8 l ( ) l ( B ) C l6 l ( ) l l ) a l l ( 8) l + l ( ) l + l b l l ( ) l l ( ) l + l ( ) l + l l + l 8 c l l 8 l 9 l ( ) l ( ) l l 9 ) A l + l + l l ( ) + l l 9 + l() l 9 B l9 l l 9 l l l l l Ercic A partir d l(),7 t l(), à près, o calcul : ( ) ( ) ( ) ( ) l l l(), 7, l 9 l l(),, l 7 l l(),, l 6 l 7 l + l 7, +, 5, l 6 l l() + l(), 7 +,,8 l 8 l l(), 7, l 7 l 9 8 l 9 + l 8, +,, ( 6 ) ( ) l l 6,8 D où l tablau l l6 l l(),7,8 6 a l ( ) l 6 ( 6) l( a ),7,,,8,,,, 5, -,8 -,8 Ercic O trasform ls écriturs : l l ( ) l8 t Puisqu la foctio l st strictmt croissat sur ] [ O trasform ls écriturs : y l l l9 ;+, o aura l 8 < l 9 c st-à-dir < y 5 l 5 l l t y l l5 l 5 ;+, t puisqu < 5, o aura 5 Puisqu la foctio l st strictmt croissat sur ] [ > y Ercic a l l( ) c l l l l l( ) + l( ) + b l l( ) d l l l( ) 5 l < l 5, c st-à-dir Pag 6/9

7 Ercic 5 ) O calcul 5 f () l ( 5 ) l ( ) l ( ) 5l ( ), l() l() l() l() f (, ) l ( 5,) l ( ) l ( ) l ( ) 8, l() l() l() l() t f (, ) l ( 5, ) l ( ) l ( ) l ( ) 6. Efi, l() l() l() l() 6 6 f ( p ) l ( 5 p ) l ( 5 ) l ( ) l ( ) l l() l() l() l() l() ) O résout : l ( ) f ( p) l ( 5 p) l ( 5 p) l() 6 ( p) ( p) l 5 6l l 5 l Par strict croissac d la foctio logarithm sur ] [ 6 l 5 l p p doc 6 ;+, o déduit 5 p. La prssio corrspodat au ivau soor d décibls st doc d Pascals 5 ) Pour tout rél p, o calcul f ( ) l ( 5 ) l ( 5) l ( 5 ) l l() l() l() + l ( 5) + l ( ) f + l() l() l ivau soor augmt d décibls quad la prssio s rçat sur l tympa st multiplié par ) Pour tout rél p, o calcul f ( ) l ( 5 ) l ( 5) l ( 5 ) l l() l() l() + l ( 5) + l ( ) l ( 5) + l ( ) l() l() l() l() l ( 5) + l ( ) f + l() l() l ivau soor augmt d décibls quad la prssio s rçat sur l tympa st multiplié par Ercic 6 ) L équatio st défii si t sulmt + 5 > > ; ; ] 6; [ ; > 6 > ] 6; + [ Pour tout ; + 5, l( 5 ) l( 6) 5 6. Comm ; +, S 5 ) L équatio st défii si t sulmt > > ] ; + [ ] ; + [ ] ; + [ ] ; + [ > > ] ; + [ Pour tout ] ; + [, () Mais ] ; + [ doc S { } { } l( ) + l l l l (car l( a) + l( b) l( a b)) ou. Pag 7/9

8 ) L équatio st défii si t sulmt ] ; + [ { } l l l l l l. S ) L équatio st défii si t sulmt ] ; + [ ( + l ) + l car u fractio st ull ssi so umératur l'st l. S 5) E posat X l, l équatio dvit équivalt à l équatio du scod dgré X + X 6, qu l o sait résoudr : X ou X E rvat à la variabl o a : X l t X l. Fialmt, S { ; } 6) L équatio st défii si t sulmt 5 5 > ; l( 5) l( 5) l ( ) 5. Comm ; +, + 5 S 7) L équatio l st défii qu si t sulmt si >. O drss u tablau d sigs d l prssio : L équatio l st doc défii qu si t sulmt si ; ] ; + [. E utilisat la bijctivité d la foctio l, o obtit l. Puisqu ; ] ; [ +, o coclut qu S { } 8) L équatio l st défii qu si t sulmt si, doc d après l tablau d sigs ci-dssus, qu si t sulmt si ; ; ] ; + [. E utilisat la bijctivité d la foctio l, o obtit l ou. La prmièr équatio a été résolu das la qustio. La duièm st +. Cs du solutios appartat à l smbl d défiitio d l équatio, o coclut qu S ; l l > ; + t 9) L équatio ( ) ( ) st défii si t sulmt si o a simultaémt ] [ > ; + ; ; ; ; l l, doc si t sulmt si + ] + [ ] + [ l : Pour tout ] + [, ( ) ( ). Or ] ; [ solutio réll.. O utilis la bijctivité d la foctio +, doc l équatio admt ps d ) L équatio l ( ) l ( ) st défii si t sulmt si o a simultaémt ] ;[ ] ; [ > ; + + t, doc si t sulmt si ; + ( ] ;[ ] ; + [ ) ; ] ; + [ ; ; bijctivité d la foctio l : Pour tout ] + [,. O utilis la l l, c qui équivaut à Pag 8/9

9 du équatios : (déjà résolu das la qustio ) t +. Puisqu sul ctt drièr solutio appartit à l smbl d défiitio d l équatio, o coclut qu S l l ; ; + ) L équatio ( ) ( ) st défii si t sulmt si o a simultaémt ] [ ] [ t ; ; +, doc si t sulmt si ; ; (] ;[ ] ; [) ; ; ] ; [ \ ; R. O utilis la bijctivité d la foctio l : Pour tout ; ; ] ; + [ l l, c qui équivaut à du équatios : (déjà résolu das la qustio ) t + (déjà résolu das la qustio ) Puisqu cs du solutios appartit à l smbl d défiitio d l équatio, o coclut qu S ; Ercic 7 ) A + + ) (a) Eamios d abord l smbl d défiitio d l équatio l ( ) l ( ) L équatio st bi défii si t sulmt si + +. > + > > + > L smbl d défiitio d l équatio st doc ; ] ; + [ pour tout ; ] ; + [, ( + ) > ; ] ; + [. Par bijctivité d la foctio logarithm épéri, l + l D après la factorisatio d la qustio (), ( )( )( ) + +. Pour qu u produit d facturs soit ul, il faut t il suffit qu au mois l u d tr u l soit. + ou ou. Ls trois solutios sot compatibls avc l smbl d Aisi défiitio. Aisi S { ;; } a (b) L équatio st défii sur R, puisqu ls quatités pour tout rél,, o va posr X dvit alors équivalt à l ( X ) l ( X X ) + t + sot strictmt positivs. E rmarquat qu. L équatio l ( + ) l ( ) ( ) ( ) + l + l + + +, avc la coditio X (puisqu X ). D après la qustio (a), o a X- ;. La valur X- st élimié par la coditio X (l équatio admt pas d solutio). E «rvat» à l icou, o a doc X ou ou X ou. Aisi b { ; ;; } S (c) Eamios d abord l smbl d défiitio d l équatio l ( ) l ( ) + +. Notos f + t g +. E rmarquat qu f, o put doc factorisr f. O obtit f ( )( ), d où u factorisatio abouti égal à f ( )( )( ) +, qui ous prmt d drssr l tablau d sigs d f ( ) : Aisi ; ; f > +., par Pag 9/9

10 L étud du sig d g + st plus simpl puisqu pour tout rél, g ( ) g > ] ;[ ] ; + [., doc Ls du coditios dvat êtr réalisés simultaémt, l smbl d défiitio d l équatio st doc ; ; + Par bijctivité d la foctio logarithm épéri, l + l Ctt drièr équatio ayat pour solutio ; t, par compatibilité avc l smbl d défiitio d l équatio, o S ; obtit { } c (d) Eamios d abord l smbl d défiitio d l équatio l ( ) l ( ) L mmbr d gauch l ( + ) st défii si t sulmt si ; ; qu l mmbr d droit st défii si t sulmt si ] [ +. + (cf qustio ()), tadis > ;. Ls du coditios dvat êtr réalisés simultaémt, l smbl d défiitio d l équatio st doc ;. Pour tout ;, par bijctivité d la foctio logarithm épéri, l ( + ) l ( ) l ( + ) l ( ) Ctt drièr équatio ayat pour solutio ; t, par compatibilité avc l smbl d défiitio d l équatio, o S obtit { } d Ercic 8 y ) L systèm st défii qu si t sulmt si > t y >. O l résout par substitutio : l + l y y L y L y L y L l + l y L l + l L l L L O résout l équatio calculat so discrimiat d où l istc d du solutios rélls disticts t. La sul valur compatibl avc l smbl d y L défiitio du systèm st doc. Aisi S ; L 5l + l y 6 ) L systèm st défii qu si t sulmt si > t y > l l y 5l + l y 6 O ffctu u chagmt d variabl posat X l t Y l y. L systèm dvit alors l l y 5X + Y 6 L équivalt au systèm. Comm 5 ( ), c systèm admt u uiqu solutio X Y L Pag /9

11 9X 76 L L 5X + Y 6 L 5 X + 6Y 78 L X + X Y L X 6Y L Y L 76 X L L 9 X L L. Aisi S {( ;) } + Y L Y L O «rvit au icous t y» : X l t Y l y y { } Fialmt S ( ; ) l y ) L systèm st défii qu si t sulmt si > t y > (l )(l y) Puisqu pour tout > t y >, l y l + l y, l systèm dvit équivalt à O ffctu u chagmt d variabl posat X l t Y l y. l + l y L systèm dvit alors équivalt au systèm. (l )(l y) X + Y L XY L l + l y (l )(l y) Y X L Y X L Par substitutio, X ( X ) L X + X + L O résout l équatio X + X + X X calculat so discrimiat d où l istc d du solutios rélls disticts X t X 6. A chaqu valur d X corrspod u valur d Y : X Y X ( ) 6 t X 6 Y X 6 X + Y L Ls solutios du systèm sot S {( 6; );( ;6) } (Comm X t Y jout ds rôls symétriqus, o XY L put cosidérr qu il ist qu u sul solutio : 6 t ) O «rvit au icous t y» : 6 X 6 l 6 t Y l y y, ou symétriqumt l t X { } Y 6 l y 6 y 6, { } 6 6 Fialmt S ( ; ) ; ( ; 6 ) ou d maièr symétriqu S ( ; ) Ercic 9 ) L iéquatio st défii si t sulmt + 5 > > ; ; ] 6; [ ; > 6 > ] 6; + [ Pour tout ; + 5, l( 5 ) l( 6) L smbl ds solutios st doc S ; + ] ;] ; 5 5 ) L iéquatio st défii si t sulmt > > ] ; + [ ] ; + [ ] ; + [ ] ; + [ > > ] ; + [ Pour tout ] ; + [, Pag /9

12 () ( )( ) < < ( ) < ] ;[ L smbl ds solutios st doc S ] ; [ ] ; + [ ] ;[ ) L iéquatio st défii si t sulmt ] ; + [ l( ) + l < l l < l (car l( a) + l( b) l( a b)) l l l l (car l( ) ) l l (car l( a) l a ). S ; + ) L iéquatio st défii si t sulmt ] ; [ +.Puisqu >, + l > + l > l > >. S ; + 5) L iéquatio st défii si t sulmt ] ; [ E posat +. X l, l iéquatio dvit équivalt à l iéquatio du scod dgré X + X 6, qu l o sait ; X ; l. S ; résoudr : X [ ] E rvat à la variabl o a : [ ] 5 6) L iéquatio st défii si t sulmt 5 > ; l( 5) l( 5) l ( ) S ; + ; ; + +, 7) L iéquatio st défii sur R. (, ) l (, ) l() l (, ) l() car l ( a ) l ( a) l() car l (, ) > l, Si N, alors 8 8) L iéquatio st défii sur R. (,8), l (,8 ) l(,) l (,8) l(,) car l ( a ) l ( a) l(,) car l (,8 ) < l,8 Si N, alors Ercic 6 L capital acquis au bout d aés s élvat à 5 + 5, 6, il suffit d résoudr l iéquatio 5, 6, 6, 6, 5 l (,) l (,6 ) l (,) l (,6) l (,) 5, l,6 Puisqu N, c st au cours d la 5 èm aé (doc au début d la 6 èm aé) qu l capital dépassra D Pag /9

13 Ercic ) Etudios séparémt ls sigs d l t l +, puis résumos das u tablau d sigs ; +, Pour ] [ l t l > ] ; + [ D plus l + l t l l D où l tablau d A l (l + ) : + > > > l > ] ; + [ ) Etudios séparémt ls sigs d t l( ), puis résumos das u tablau d sigs > < ; Notos d abord qu l prssio st défii qu si t sulmt si ] [ Pour ] ;[, t > > D plus l( ) t l( ) > > < D où l tablau d B l( ) : ) Etudios séparémt ls sigs d + t l, puis résumos das u tablau d sigs + > > ; + Notos d abord qu l prssio st défii qu si t sulmt si ] [ Pour tout ] ; + [, t D plus l( + ) + t l( + ) > + > > D où l tablau d C l( + ) : Pag /9

14 Ercic ) La foctio f sra défii pour touts ls valurs d pour lsqulls + > Si o ot P 5, d où l istc d du racis +, o calcul so discrimiat : rélls disticts t. D après ls règls d sig d u triôm, D ; ; + +. Aisi f ] [ ] [ ( )( + ) ) La foctio f défii par f l l summt si ] ; [ ] ; [ ( )( + ) > (avc ) O drss l tablau d sigs d l prssio A + D ; ; Aisi > ] ; [ ] ; [ O coclut ] [ ] [ f ) La foctio f défii par + > si t ist pour touts ls valurs d pour lsqulls ( )( + ) f : l l ist pour touts ls valurs d pour lsqulls o a simultaémt > t > (pour qu ls du mmbrs d la foctio soit bi défiis) > < ;. Or ] [ Si o ig d plus qu >, alors D ] ;[ ] ; + [ ] ;[ ) La foctio f défii par f f : l l( ) ist pour touts ls valurs d pour lsqulls o a simultaémt > t > < (pour qu ls du mmbrs d la foctio soit bi défiis) > > ; ; +. Or ] [ ] [ Si o ig d plus qu <, alors D f (] ; [ ] ; + [ ) ] ;[ ] ; [ Ercic ) lim + t lim l + + ) lim t lim l + ) lim l + ) lim 5) Puisqu +, doc par somm, lim ( l ) , doc par produit, lim ( ) doc par soustractio, lim ( l l ) + t liml doc par somm lim( l ) lim +, o pos u, t puisqu lim l u u + l + + l 6) liml t lim o coclut par quotit qu lim + o coclut qu lim l ( ) + Pag /9

15 7) Puisqu lim + t lim l +, ous somms présc d u form idétrmié. O trasform + + l l écritur : l. Comm l l lim (limit cou), o déduit succssivmt qu lim, + + l puis par produit, qu lim +, c st-à-dir qu lim l ) Puisqu lim + t lim l l() +, ous somms présc d u form idétrmié. E posat X, puisqu lim X, la limit chrché dvit lim l ( + X ). Or u résultat du cours ous idiqu + + X X l ( + X ) qu lim doc lim l + + X X + l( + ) l( + X ) l ( + X ) 9) E posat X, la limit chrché dvit lim lim. Et puisqu lim, o + X X X l( + X ) l( + ) coclut qu lim, c st-à-dir lim X Ercic ) La foctio défii par f l sot, t pour tout ] ; + [, f + + l ) La foctio défii par l f l, f l l l ) La foctio défii par f l( ) l ] ;[, + + t défii t dérivabl sur ] [ ;+ tat qu somm d foctios qui l f st défii t dérivabl sur ] ; + [ t puisqu pour tout ] ; [ + st défii t dérivabl sur ] ; [ ] ;[ ] ;[ ( ) + f + ) La foctio défii par f l st défii t dérivabl sur ] [ +, + t pour tout ;+ tat qu produit d foctios qui l sot. Puisqu pour tout ] ; + [, l u v où u u t v l v, o aura f u v + u v l + l + l 5) La foctio défii par f l ;+ tat qu produit d foctios qui l sot. st défii t dérivabl sur ] [ Puisqu pour tout ] ; + [, f u v où u u t v l v, o aura f u v + u v l + l + 5 6) La foctio défii par f l( 5) st défii t dérivabl sur ; + (car l X X st défii t dérivabl 5 sur ] ;+ [ t 5 > ; + ). Puisqu pour tout 5 ; +, f l( u ( )) avc u 5 u, o aura u f u 5 Pag 5/9

16 7) La foctio défii par f l( + ) st défii t dérivabl sur ; (car l X X st défii t dérivabl sur ] ;+ [ t + > ; ). Puisqu pour tout ;, f l( u ( )) avc u u + u, o aura f u + 8) La foctio défii par f l( + + ) st défii qu pourls valurs d pour lsqulls + + >. Si o ot P + +, l calcul d so discrimiat fourit <. Aisi, pour tout R, + + >, doc f st défii t dérivabl sur R, t pour tout R, f l( u ) avc u + + u +. Aisi u + f u + + 9) La foctio défii par f l + st défii qu pourls valurs d pour lsqulls >. Si o ot + P, l tablau d sigs d P st doé par : + ; ; + Aisi, f st défii sur ] [ ] [ +, > + ; ; + Puisqu P st dérivabl sur ] ; [ ] ; + [, puisqu pour tout ] ; [ ] ; [ X l X st défii t dérivabl sur ] ;+ [, o coclut qu f sra dérivabl sur ] [ ] [ P Pour tout ] ; [ ] ; + [, puisqu f l ( P ), o aura f. Puisqu P P + u v u v ( ) ( ) u u t v + v, o aura P ( v ) ( + ) ( ) t puisqu u v doc f ( + ) ( + ) ( + )( ) + ) La foctio défii par f l(l ) st défii qu pourls valurs d pour lsqulls l >, c st-à-dir D f ] ; + [. Pour tout ] ; + [, puisqu f l ( u ) où u l u u f u l l où o aura ) La foctio défii par f l( ) st défii t dérivabl sur ; + tat qu produit d foctios qui l sot (car X l X st défii t dérivabl sur ] ;+ [ t > ; + ) Puisqu pour tout ; + f u v avc u u t v l v, o, déduit f u v u v l ( ) l ( ) l Pag 6/9

17 ) La foctio défii par f ( l ) st défii t dérivabl sur ] ;+ [ tat qu produit d foctios qui l sot. Puisqu pour tout ] ; + [, f u v avc u u t v l v, o déduit f u v + u v ( l) + l l l ) La foctio défii par f st défii t dérivabl sur ] ;+ [ tat qu quotit d foctios qui l sot. u Puisqu pour tout ] ; + [, f où u l u t v v, o aura v v ( v ) u v u v ( l ) l f l ) La foctio défii par f st défii t dérivabl sur ] [ ;+ tat qu quotit d foctios qui l u sot. Puisqu pour tout ] ; + [, f où u l u t v u v u v f v ( ) l 5) La foctio défii par f ( l ) l st défii t dérivabl sur ] [ d foctios qui l sot. Pour tout ] ; + [, f 6) La foctio défii par f l v v + l + l l ;+ tat qu somm t composé ( ) l l l st défii t dérivabl sur ] ;[ ] ; [ +. E fft st défii t dérivabl sur R, tadis qu X l ( X ) st défii t dérivabl qu sur ] [ +, f ] ; + [ ] ;[ ] ; + [. Pour tout ] ;[ ] ; [ 7) La foctio défii par f ( l ) st défii t dérivabl sur ] [ sot. E fft l st défii t dérivabl sur ] ;+ [, tadis qu X Pour tout ] ; + [, f l l 8) La foctio défii par f l ] [ ] [ ] [ ; ; ; ;+. Or ;+ tat qu composé d foctios qui l st défii t dérivabl sur R. X st défii t dérivabl pour touts ls valurs d tlls qu +. Slo la valur d, l prssio d f ( ) st pas la mêm. Pour tout ] ; [ ] ; + [, < doc t par suit f l ( ). Alors f Pour tout ] ; [, > doc t par suit f l ( ). Alors f Aisi, o put affirmr qu pour tout ] ; [ ] ; + [, f Ercic 5 ) f () s traduit par l équatio l( a + b) a + b a a D plus f doc f () s traduit par a ( a b) 5a b a + b a + b + + a L L a + b L 6a + b L a L L O doit résoudr l systèm 5a 5a + b L 5a + b L b L b 5 L Pag 7/9

18 Aisi, f l ( 5) 5, qui st défii si t sulmt si 5 > ; +. Aisi 5 D f ; + 5 La foctio f st la composé d du foctios strictmt croissats doc st strictmt croissat sur ; + ) La courb C pass par l poit A( ;) impliqu f l( a + b) a + b. La tagt A ait pour a cofficit dirctur impliqu f (), c st-à-dir a ( a b) 5a b a + b + +. O doit a L L a + b L a + b L a L L résoudr : 5a 5a + b L 5a + b L b L b 5 L Aisi, f l ( + 5) Ercic 6 Parti I ) g st défii t dérivabl sur ] ; + [ tat qu somm d foctios qui l sot, t pour tout ] ; [ ( ) ( )( + ) g g +, prssio dot ls racis sot t +, Puisqu >, l sig d sra doé par l sig d Aisi, pour ] ;[, g < doc g st strictmt décroissat sur ] ;[, t pour tout ] ; + [, g g st strictmt croissat sur ] ;+ [ ) Sur ] ;+ [, g attit doc so miimum lorsqu, t comm l tout ] ; + [, g ( ) > Parti II ) Puisqu lim l >, o déduit par quotit t somm, qu lim f > doc g, o put affirmr qu pour >. La droit d équatio (c stà-dir l a ds ordoés) st doc asymptot vrtical à la courb (C) l ) O trasform l écritur d f() : Pour tout ] ; + [, f + + l E utilisat la limit d croissac comparé lim t puisqu lim t lim +, o déduit par somm l qu lim f +. D plus, pour tout ] ; + [, f + +, t puisqu l lim t lim, + + lim + o aura doc f. La droit d équatio y st asymptot obliqu à (C) +. + l Pour coaîtr la positio rlativ d (C) t ( ), o étudi l sig d la différc f. Or f + l l t f > + l > l > > Aisi (C) t ( ) sot sécats au poit A d absciss t d ordoé f D plus, sur ;, (C) st dssous d, t sur ;, (C) st au dssus d. Pag 8/9

19 ) f st défii t dérivabl sur ] ;+ [ tat qu somm t quotit d foctios qui l sot, t pour tout ] ; [ ( + l ) l f + g +, g Puisqu pour tout ] ; [ ( l ) +, > t > (qustio d la parti ), o coclut qu pour tout ] ; [ >, doc qu f st strictmt croissat sur ] ;+ [ f L tablau d variatios d f st doc : ) La droit L cofficit dirctur d la tagt (T) u poit d absciss a st égal à +, a u cofficit dirctur égal à l a f a a si t sulmt si cs du droits ot mêm cofficit dirctur, doc si t l a f a l a a. C st doc au poit B d absciss t d ordoé f a La tagt (T) sra parallèl à sulmt si qu la tagt (T) sra parallèl à 5) Sur ] [ ;+, f st cotiu tat qu somm t quotit d foctios qui l sot. D plus ll st strictmt croissat sur ] ; + [. Efi, puisqu lim f t lim f +, o a lim f ; lim f > + théorèm d la valur itrmédiair affirm doc l istc d u valur α tll qu f ( α ) > f α +. L. Par défiitio, α + lα α + lα. L cofficit dirctur d la tagt à (C) au poit d absciss α α st égal à : f ( α ) 6) α lα >. C cofficit st doc supériur à α α α α Pag 9/9

20 Ercic 7 Parti I ) f st défii t dérivabl sur ] ;+ [ tat qu somm t foctios qui l sot, t pour tout ] ; [ f + +. Mais comm ] ; + [, o aura f croissat sur ] ;+ [. D plus lim l > Efi, pour tout ] ; + [, doc lim f > +, + > >. f st doc strictmt. l f +. Par croissac comparé, l lim, t puisqu + lim t lim l +, o coclut, par différc t produits qu lim f L tablau d variatios d f st doc : ) Sur l itrvall ] ; + [, f st cotiu t strictmt croissat. D plus lim f t lim f Comm lim f ; lim f > l à l équatio > + +., l théorèm d la valur itrmédiair affirm l istc d u uiqu solutio + f. Grâc à la calculatric, o put drssr u tablau d valurs d f sur <, c st-à- ] ;+ [. Puisqu f()< t f()>, o put affirmr qu l ] ;[, doc ) Puisqu f st strictmt croissat sur ] ;+ [, pour tout ] ; l[, f f ( l) dir f ( ) <, t pour tout ] l; + [, f > f ( l), c st-à-dir f ( ) >, Parti II ) O utilis la limit d croissac comparé lim l > pour coclur, par somm, qu lim g g ( ) 7 doc qu g st cotiu. Pour tout ] ; + [, + l lim l +, o a + lim g + ) g st dérivabl sur ] [ >, g 8. Puisqu lim t + 7 lim + l, t puisqu lim +, o coclut par produit qu ;+ tat qu somm t produits d foctios qui l sot, t pour tout >, 7 g + ( u v + u v ) où u u t v l v l g + l l f + l l l Aisi O calcul par aillurs O a bi l égalité ) O calcul g f 7 7 g + l + + l 8 l l l l 8l l l l l Pag /9

21 Or par défiitio f l l + l l l l ( l). O rmplac doc das l calcul d g l : 7 7 l 7 + 8l + ( l ) + l g + + ( ( l) ) + +, d où l égalité dmadé. l 8l l l 8l l l 8l 8l Pour tout >, g aura l mêm sig qu f. Aisi : Si ; l, o aura l > doc f > t par suit g >. Si ; + l, o aura l < doc f < t par suit g <. Efi g f ( l) l l La foctio g st doc strictmt croissat sur ; l t strictmt décroissat sur ; + l So tablau d variatios st doc : ) U équatio d la tagt à la courb Γ rpréstativ d g au poit d absciss st y g ( ) g g f f t poit d absciss st +. Or g. Aisi u équatio d la tagt à la courb Γ rpréstativ d g au 8 9 y + +. U équatio d la tagt à la courb Γ rpréstativ d g au 8 8 poit d absciss l st y g ( l)( l) + g ( l). Or g ( l) + l t g. Aisi u équatio d la tagt à la l 8 l + l courb Γ rpréstativ d g au poit d absciss l st y 8l E rprat l écritur g + l, t utilisat la limit d croissac comparé lim l, o coclut par somm qu g prmièr bissctric. 5) lim. Graphiqumt, cla sigifi qu Γ admt O u dmi tagt parallèl à la > > Pag /9

22 Ercic 8 ) f 5 +. f st cotiu sur ] [ ;+ tat qu somm d foctios qui l sot, doc admt ds 5 primitivs sur ] ;+ [, t pour tout ] ; + [, F 5 + l ( ) + l puisqu ] ; + [ ) f + +. f st cotiu sur ] [ s aulat pas, doc admt ds primitivs sur ] ;+ [, t pour tout ] ; [ F l l ) f puisqu ] ; + [ + +. f st cotiu sur ] [ ;+ tat qu quotit d foctios qui l sot, l déomiatur +, puisqu + + f + +, ;+ tat qu quotit d foctios qui l sot, doc admt ds primitivs sur ] ;+ [, t pour tout ] ; + [, F 7 l ( ) l +,car ] ; + [ ) f. f st cotiu sur ; + s aulat pas, doc admt ds primitivs sur, u u 5) f. f st cotiu sur ] ; [ + s aulat pas, doc admt ds primitivs sur ] ; [ tat qu quotit d foctios qui l sot, l déomiatur F l u l l car ; +, t puisqu u f u ; + + tat qu quotit d foctios qui l sot, l déomiatur +, t puisqu F l ( u ) l ( + ) l ( + ) car ] ; + [ 6) Si ] ; [, 7) f F l + l + l( ). f st cotiu sur ] [ u f + u où u u où +, ;+ tat qu quotit d foctios qui l sot, l déomiatur u s aulat pas, doc admt ds primitivs sur ] ;+ [, t puisqu f u où u u, F l u l l car ] ; + [ f 5 8) sur [ ;+ [. f st cotiu sur [ [ s aulat pas, doc admt ds primitivs sur [ ; + [, t pour tout [ ; [ u f, ou u 5 u, F l ( 5 ) l ( 5) car [ ; + [ 5 u ;+ tat qu quotit d foctios qui l sot, l déomiatur +, puisqu + 9) f sur R. f st cotiu sur R tat qu quotit d foctios qui l sot, l déomiatur + + s aulat pas, (l discrimiat du triôm + + st strictmt égatif) doc admt ds primitivs sur R, t pour + u tout R, puisqu f, ou u + + u +, + + u ( ) F l u l + + l + +, puisqu R + + > Pag /9

23 ) f sur ] ;[. f st cotiu sur ] ; [ s aulat pas, doc admt ds primitivs sur ] ;[, t pour tout ] ;[ u f, où u u, u ; < puisqu ] [ tat qu quotit d foctios qui l sot, l déomiatur, puisqu F l u l l Ercic 9 c ( a + b)( ) + c a + ( b a) b + c ) Pour tout [ ; + [, a + b + a a c Aisi a + b + f b a b +. Pour tout [ ; + [, f + + b + c c + ;+ tat qu somm t quotit d foctios qui l sot, l déomiatur ) f st défii t cotiu sur [ [ f + +, o déduit F + l + l car s aulat pas, doc admt ds primitivs sur [ ; + [ A partir d l écritur l prssio d u primitiv F d f sur [ ;+ [ : [ ; + [ > Ercic cos π ) f. f st défii t cotiu sur ; si tat qu quotit d foctios qui l sot, l déomiatur π s aulat pas, doc admt ds primitivs sur ;, t pour tout ; π, puisqu cos u f, ou si u si cos, u u ) f l. f st défii t cotiu sur [ [ π F l u l si l si, puisqu ; si >. ;+ tat qu quotit d foctios qui l sot, l déomiatur s aulat pas, doc admt ds primitivs sur [ ; + [, t pour tout [ ; [ ( u ) ( l ) f l u u, ou u l u, F( ) ) f l. f défii st cotiu sur ] [ s aulat pas, doc admt ds primitivs sur ] ;+ [, t pour tout ] ; [ +, puisqu ;+ tat qu quotit d foctios qui l sot, l déomiatur ( ) +, puisqu / u f, ou l u u l u, F l u l l l ( l ) car ] ; + [ l > π ) f ta. f défii st cotiu sur ; π tat qu quotit d foctios qui l sot, l déomiatur π π s aulat pas, doc admt ds primitivs sur ; π, t pour tout ; π, puisqu si u f, ou cos u cos si, u u π F l ( u ) l ( cos ) l ( cos ), puisqu ; π cos <. Pag /9

24 Ercic d ) F() F() où F st u primitiv d + Comm pour tout [ ;], + >, o aura F l ( ) ) u f + u + doc ( ) ( ) d F F où F st u primitiv d + ( ) ( + ). Comm pour tout [ ; ] F l u l doc F l u l +. d l() l( + ) l + ( ( + )) ( ) doc ( ) ( ) F l l ) () () 5 d F F où F st u primitiv d u f + u doc, + <, o aura l l l l() l d + u f 5 5 u F l ( u ) l ( 5 ). Comm pour tout [ ;], 5 >, o aura 5 5 F l ( 5) doc l ( 5 ) l ( 5 ) l() 5 d l + + l + + l + l ) d d ( ) 5) + d + l l + + l ( ) l ( ) l ( ) l ( ) l ( ) + l 6) u ( l ) ( l ) ( l) l d u u d 7) ( l( ) ) l( ) u d l( ) d u u d ( l( ) ) ( l() ) ( l() ) + Ercic ( + )( ) ) Pour tout d ] ;+ [, + + f + ) Pour calculr l itégral d, o utilis la trasformatio d écritur précédt. Aisi +, + >. O coclut d l ( ) l ( ) + l l l d + + d + + l + + l ( ) car pour tout [, ] doc Pag /9

25 Ercic ) Pour tout d a + b + c a + a + b + b c a + b f ; +, c a 6 a a sulmt si a + b b b. Aisi, pour tout d ; + b c c b c ) Pour calculr d, o utilis la trasformatio d écritur ci-dssus d + d + l + + +, f + + l ( + ) + l ( + ) l 8 + l + l 8 Ercic + ) g st défii t dérivabl sur ] ; + [ tat qu produit d foctios qui l sot, t pour tout ] ; [ g l l l + +. g st doc u primitiv d la foctio l sur ] ;+ [ ) O déduit doc qu d g [ ] Ercic 5 I l d u v d l l l l où u l u D après la formul d itégratio par partis, t v v si t +, sot cotiûmt dérivabls. + I u v l l l u v d d + Ercic 6 ) E réduisat au mêm déomiatur : Pour tout t strictmt positif, at + b c t ( at + b) + c( t + ) ( a + c) t + bt + c +, si t sulmt si, par idtificatio, t + t t t + t t + t t + a + c a t b b. Aisi, pour tout t strictmt positif, + c t ( t + ) t + t c t ) O utilis l écritur f ( t) + pour calculr l itégral : t + t f ( t) dt + dt l ( t + ) + l ( t) l ( + ) + l + l ( + ) + l ( ) t t + t l ( ) l ( ) l l l ( ) l + + t w ( t) ) O pos u ( t) l t u ( t) t v ( t) t t + w ( t) v t w t ( t + ), t aisi : ( t + ) w t où t l t dt u t v t dt u t v t u t v t dt t +, doc Pag 5/9

26 l t l + t t t t dt dt ( + ) t ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) l + + l + Ercic 7 ) Puisqu pour tout N, l( u+ ) + l( u) l( ) + l( u) l( u), o déduit qu pour tout N, u u. La suit ( u ) st doc u suit géométriqu d raiso t d prmir trm u + ) Puisqu la raiso d ctt suit st > t qu u >, o déduit qu la suit ( u ) st strictmt croissat t qu lim u + + ) Puisqu la suit ( u ) st u suit géométriqu d raiso t d prmir trm u, la somm u prmir trm ombr d trms raiso k u k vaut doc ) Puisqu la suit ( u ) st u suit géométriqu d raiso t d prmir trm u, o établit qu pour tout. Aisi, pour tout N, ( ) ( ) ( ) N, u u l u l l + l l + l( ) l l La somm l( uk ) vaut doc : l( uk ) ( l + k ) l + k l + k k k k k E utilisat ls propriétés d la foctio logarithm épéri, puisqu k + + l l u u... u l( uk ) o déduit qu Ercic 7 ) f st quotit d du foctios dérivabls sur tout doc f ) Pour tout + * R, f u u... u + + l + * R, dot l déomiatur s aul pas sur u avc u l u t v v v u v u v l l( ) ( v ) + * >, doc f R, aura l mêm sig qu l., Aisi f l l, t l l aisi coclur qu f st strictmt croissat sur ] ; ], t strictmt décroissat sur [ ; + [ ) U équatio d la tagt à Cf au poit d absciss st doé par y f ( ) f y ( ) +, c st-à-dir y +* R, doc pour f > > < <. O put l +* u l, o déduit qu u primitiv d f sur R st F u ( l ) +* 5) La foctio G st la primitiv sur R, d la foctio f, qui s aul. Aisi, pour tout +, c st-à-dir ) E rmarquat qu l écritur d f st f ( ), doc d la form f u u Etudios l sig d f ( ) sur f strictmt décroissat sur ] ] +* R, qui st l mêm qu clui d l (car avc. + * R, G f R + * > < < < t f > >. Aisi G < < < t G ; t strictmt croissat sur [ ;+ [. ), doc > >, doc G st Pag 6/9

27 Ercic 8 ) Pour tout >, f l l. Or lim l (limit cou dit «d croissac comparé»), t f lim. Par somm, o coclut qu lim. Puisqu f (), o put doc réécrir l résultat précédt sous la f f () form lim, c qui démotr qu f st dérivabl t,qu f ( ) ) Pour tout f > > > > >, f l + l + l ( l ) sig d l. Aisi l l f st doc strictmt décroissat sur ] ; ] t strictmt croissat sur [ ; [ D plus, lim l + t + lim + l f < ) O calcul plus f ( ) < t lim f + +, doc par produit lim f Sur l itrvall [ ; [. Puisqu >, f st du + f st cotiu t strictmt croissat. D +. Puisqu f ( ); lim f, l théorèm ds valurs itrmédiairs ous prmt + d affirmr l istc t l uicité d la solutio d l équatio f ( ), sur [ ; + [ ) L équatio d T st y f ( ) + f D après ls calculs ds qustios précédts, f l() 5) Courb rpréstativ 6) a) Pour calculr ( λ ). L équatio d T st doc y ( ) I f d l d, o doit λ λ, c st-à-dir ffctur u itégratio par partis O pos l u u t v v, 6 foctios touts du cotiûmt dérivabls sur tout itrvall d la λ ; (avc λ > ). L calcul dvit alors : form ] ] I ( λ ) f d l d λ λ λ λ λ v u d u v u v d y + λ λ λ l d 6 l l d l 6 6 λ λ λ λ λ λ λ 5 λ λ l λ l λ b) Puisqu lim λ l λ t lim λ λ λ 6 c) Puisqu pour tout ] ; ],, o déduit, par somm, qu lim I ( λ ) f <, l itégral I λ λ 5 6 f l() t λ f d rprést, uité d airs, l opposé d l air du pla λ délimité par la courb (C), l a ds abscisss, t ls droits d équatios rspctivs λ t. Si o fait tdr λ vrs, o put doc affirmr qu l air du pla délimité par la courb (C), l a ds abscisss, t ls droits d équatios rspctivs t vaut 5. 6 λ Pag 7/9

28 Ercic 9 ) f st défii pour touts ls valurs d tlls qu >, c st-à-dir ] ;[ ] ; [ D t f l ( ) l ( ) f D +. L smbl d défiitio d f état symétriqu par rapport à zéro, pour tout, D doc f st impair. Puisqu lim lim l u +, alors posat u lim l +, puis par produit + +, t puisqu u + +, c st-à-dir lim f lim l ( ) + + lim l ( ) +, doc par produit lim l ( ) Efi, lim +, t puisqu liml ( u) u u>, o obtit + +. D la mêm maièr, puisqu lim, c st-à-dir lim f, o déduit, posat u., qu liml ( ) o obtit alors u form idétrmié. Pour la résorbr, du solutios s offrt à ous : - ou o appliqu la règl d croissac comparé : lim l ( ) t ( ) > < +, o obtit. Puisqu lim, lim l car tout foctio polyômial «l mport» sur la foctio logarithm épéri - ou o distigu du cas (c qu ous auros à fair tôt ou tard!) : Si >, f l lim f lim l (limit bi cou, ll aussi d «croissac comparé») Si <, lim u u> doc t alors > > doc f l ( ) ( ) l ( ). E posat u u l ( u) qui st idtiqu à la précédt. Aisi lim ( ) l ( ) c st-à-dir f Sur ] ;[ t ] [ Pour tout ] ;[, puisqu f l <, o s rtrouv à amir la limit lim. < ;+, f st dérivabl tat qu composé t produit d foctios qui l sot. u u, o déduit, par applicatios succssivs ds formuls d dérivatio l + l + l + l + ( u v) u v + u v t ( l( u) ), qu f ( ) ( ) ( ) Pour tout ] ; + [, puisqu f l, o déduit qu f ) Puisqu pour tout ] ; + [, f l +, o résout : f ( λ ) ( λ ) l λ Puisqu,5,. Comm,,5 t,, o trouv l cadrmt aocé.,5 ) Pour tout ] ; + [, f > l > > λ. Aisi, la foctio f st strictmt décroissat sur ] [ strictmt croissat sur ] λ ; + [, d où l tablau d variatios (avc f ( λ ) λ l ( λ ) l ) O ffctu u itégratio par partis sur l itrvall [ ] E otat u( t) l( t) u ( t) t v ( t) v( t) t t ) ;, avc > : G g( t) dt l( t) dt, foctios touts ls du cotiûmt dérivabls sur [ ] G u( t) v( t) u ( t) v( t) dt t l t tdt l l() t l + t obtit [ ] [ ] [ ] ;λ t ;, o Pag 8/9

29 La foctio G défii sur [ [ ; + par G l + st doc la primitiv d la foctio g défii par g l, qui s aul. Mais puisqu touts ls primitivs d la foctio g sot défiis «à u costat près» ; la foctio l st aussi u primitiv d g. Pag 9/9