NOM : TS A/B/C DS5 Lundi 8 janvier 2018

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1 NOM : TS A/B/C DS5 Lundi 8 janvir 08 Ercic : sur 5.5 points Ds qustions indépndants. Calculr la dérivé dans chaqu cas : a. f() = 5-3+ b. f() = c. f ( ) =. Résoudr ls équations t inéquation :. 3 =. 3. Soit (u n) la suit défini par u u 0 n 0 u n = +. Démontrr par récurrnc qu la suit (u n) st croissant. Ercic : sur 6.5 points Étant donné un nombr rél k, on considèr la fonction f k défini sur R par f k k. Parti A Dans ctt parti, on choisit k =. On a donc, pour tout rél, f. La rprésntation graphiqu C d la fonction f dans un rpèr orthogonal st donné ci-contr. ) Détrminr ( par calcul) ls limits d f n + t n t intrprétr graphiqumnt ls résultats obtnus. ) Démontrr qu, pour tout rél, f. 3) On appll f ' la fonction dérivé d f sur R. Calculr, pour tout rél, f '(). En déduir ls variations d la fonction f sur R. Parti B Dans ctt parti, on choisit k = t on souhait tracr la courb C rprésntant la fonction f. Pour tout rél, on appll P l point d C d absciss t M l point d C d absciss. On not K l miliu du sgmnt [MP]. f f. ) Montrr qu, pour tout rél, ) En déduir qu l point K appartint à la droit d équation y. 3) En utilisant ls qustions précédnts, tracr la courb C sur la figur ci-dssus, n justifiant la démarch. Parti C Dans ctt parti, on n privilégi pas d valur particulièr du paramètr k. Pour chacun ds affirmations suivants, dir si ll st vrai ou fauss t justifir la répons. ) Qull qu soit la valur du nombr rél k, la rprésntation graphiqu d la fonction f k st strictmnt compris ntr ls droits d équations y = 0 t y =. ) Qull qu soit la valur du rél k, la fonction f k st strictmnt croissant.

2 Ercic 3 : sur 6 points On considèr la fonction f défini sur R par f ( ) L graphiqu ci-contr st la courb rprésntativ C d ctt fonction, affiché par un calculatric dans un rpèr orthonormé.. On considèr la fonction g défini sur R par g( ) a. Détrminr la limit d g n + b. Montrr qu pour tout rél, g( ) c. Calculr g'( ) t vérifir qu g'( ) 3 d. On admt, qu l tablau d variations d g st donné par l tablau ci-dssous :. En déduir la limit d g n. Montrr qu l équation g ( ) 0 possèd un uniqu solution dans R puis qu : 0, 0 0,. Détrminr l sign d g ( ). a. Calculr f '( ) t montrr qu f '( ) g( ) b. En déduir l sns d variation d f. ( ls limits t ls imags n sont pas dmandés ) Ercic 4 : sur,5 points L atmosphèr trrstr contint d l azot qui st transformé sous l fft du rayonnmnt cosmiqu n carbon 4 radioactif, noté 4 C. Ls êtrs vivants continnnt donc du 4 C qui st rnouvlé constammnt. À lur mort, il n y a plus d mprunt d 4 C à l tériur t l carbon 4 C qu ils continnnt s désintègr. L tmps écoulé dpuis la mort d un êtr vivant put donc êtr évalué n msurant la proportion d 4 C qui lui rst. Soit N(t) l nombr d atoms d 4 C istant à l instant t, primé n annés, dans un échantillon d matièr organiqu, on montr qu N(t) = N 0 0,00038 t, n applant N 0 l nombr d atoms d 4 C initial.. Qul st l pourcntag d atoms d carbon prdus au bout d ans?. On appll périod (ou dmi-vi) du carbon 4 C, l tmps au bout duqul la moitié ds atoms s sont désintégrés. Détrminr, par l calcul, à l anné près, la périod du 4 C.

3 Corrction du DS 5 Ercic ) a) f() = 5-3+ f () = b) f() = f st du typ uv donc f =u v+uv ainsi :f ()= + = (+) c.) f ( ) = f st du typ u donc f = u v uv v v² ( +) = ( )² (²+) ( +)² ainsi : f () = (²+) () (²+) = /5.5 = ).. 3 don 3 ln c S {0} ln car la fonction ln st croissantstrictmnt sur 0; ln ln donc S ; L'équation st définisurr*, 0car la fonction ln st croissantsur 0; ² ² 0 ( ) ² 0 donc S { } =.75 Pour montrr qu la suit (u n) st croissant, vérifions par récurrnc la propriété suivant : pour tout n ntir, un un u0 0 3) Initialisation : u 0 t u donc u u la propriété st vrai au prmir rang 0 0 Hérédité : Supposons qu pour un ntir n strictmnt positif on ait un un t montrons qu un un On a d après l hypothès d récurrnc : u u u n un n un u n n car la fonction ponntillst strictmnt croissantsur Conclusion : la propriété st vrai au prmir rang t st héréditair à partir d c rang. Donc, pour tout n ntir : un un la suit (u n) st donc croissant. ( strictmnt).5 Ercic A)) lim + = lim + + = + 0 = donc par quotint, lim f () =. + + C admt donc un asymptot horizontal n + d équation y= lim + = lim + = + car lim C admt donc un asymptot horizontal n - d équation y=0 = 0 + donc par quotint, lim f () = 0. /6.5 * Asyp =.5

4 )Pour tout rél, + = (+ ) = + (car 0) = f () 3) f st du typ u v donc f = u v uv Ainsi, f () = ( +) ( ) ( +) = ( +) > 0 v² car c st un quotint d un ponntill par un carré, ls du étant toujours strictmnt positifs Donc f st strictmnt croissant sur R =.5 B) ) Pour tout rél, f () + f () = ( ) = + + = ) y K = y M+y P = f ()+f () = donc K appartint à la droit d équation «y=/» 3) Ls du courbs sont symétriqus par rapport à la droit d équation y = d après la qustion précédnt : C) ) VRAI : n fft, f k () > 0 car k > 0 t + k > donc + k < par invrsion d du nombrs strictmnt positifs ) FAUX car ( par mpl) pour k = 0, f 0 () = + 0 = f 0st constant Rmarqu : on pouvait aussi prndr la fonction f - comm contr mpl mais il faut justifir par calcul qu ll st décroissant ( on a : u' f ( ) f st dtyp ddérivé donc f ' ( ) 0pour tout rél u u t par ( )² conséqunt, la fonction f - st décroissant sur ) Ercic 3 /6.a. lim lim : lim lim X donc par composition puis par produit lim X donc lim g( )

5 g( ) lim 0 donc lim 0 lim donc par composition : lim 0 donc lim 0 X lim 0 X donc lim g( ) b. c. g( ). g( ) st d la form u( ) v( ) avc u( ), v( ), u'( ) t v'( ) Donc g'( ) 3 d. L équation g ( ) 0 n possèd pas d solution sur ] ; 3[ car l maimum d g sur ct intrvall st < 0 g st continu t strictmnt croissant sur ] 3; [ donc d après l tablau d variation l équation g ( ) 0 possèd un uniqu solution sur ct intrvall. Donc l équation g ( ) 0 possèd un uniqu solution dans R D plus g( 0, 0) 0, 0 0 t g( 0, ) 0, donc 0, 0 0, Ou bin α 0 On put complétr l tablau d variation d g ( avc 0 t α corrctmnt placés) t écrir la phras «D après l tablau d variation d g, l équation g()=0 a un sul solution α t cll-ci st dans l intrvall ]-3 : + [ D plus g( 0, 0) 0, 0 0 t g( 0, ) 0, donc 0, 0 0,. D après l tablau d variation d g on déduit :

6 .a. f ( ) st d la form u( ) v( ) avc u( ), v( ), u'( ) t v'( ) Donc f g '( ) ( ) b. Ercic 4 /.5 N 0000 N N 8.4% N 0, Il rst donc nviron 8,4% d la quantité initial N 0 d atoms d carbon au bout d ans. L pourcntag d atoms d carbon prdus au bout d ans st donc d nviron 9.6% ( En fft, 00-8,4=9.6).5. La moitié ds atoms s sont désintégrés donc on chrch t tl qu : N0 0,00038 t N0 0,00038t N() t N0 ln() ln() ln() 0, 00038t ln( ) t 5598,9 0, , A l anné près, la périod du 4 C st donc d nviron 5599 ans