TRAVAUX DIRIGÉS DE EC 6

Transcription

1 TD EC 6 Corrction PCSI TVUX DIIGÉS DE EC 6 Exrcic : C séri n SF On considèr l circuit ci-contr alimnté par l génératur d tnsion d f.é.m (t) sinusoïdal d fréqunc f 50 Hz, 500 Ω, 0, H t C µf. a valur fficac du courant travrsant l circuit st I ff 0,03. En prnant l intnsité comm origin ds phass, c st à dir, i I m cos ωt, détrminr (t). i i C C I m C jcω jω circuit évoluant n SF, on utilisra la méthod ds complxs. On commnc par rprésntr l équivalnt du circuit n SF n rmplaçant chaqu dipôl par son impédanc équivalnt. Sur ctt figur, on rprésnt égalmnt l intnsité du courant t la forc élctromotric du génératur par lurs amplituds complxs I m t tlls qu i(t) I m. jωt I m. j(ωt+0) d où I m I m 2I ff (la phas à l origin d i(t) st null) t (t). jωt. j(ωt+ϕ) si (t). cos(ωt + ϕ). On appliqu nsuit un simpl loi ds maills :.I m.i m C.I m 0 [ + j(ω ] Cω ).I m. jϕ vc 2 + (ω Cω )2 I m 35,4 V t ϕ arg( ) arctan ω On a donc (t) 35,4 cos(00πt,4) Exrcic 2 : ésolution d un circuit n SF On considèr l circuit rprésnté ci contr. Il st alimnté par un génératur d tnsion sinusoïdal : (t) E 2 cos ωt.. Détrminr i (t), l intnsité du courant qui travrs. 2. En déduir la pulsation pour qu l courant dans soit indépndant d. Cω,4 rad. i (t) B C ¹ i (t) B I B E I C E C ¹ C ¹» C B. Comm on s plac n régim sinusoïdal forcé, on put utilisr la méthods ds complxs : on rmplac l circuit par son équivalnt n faisant apparaîtr ls impédancs complxs puis on l transform pour obtnir I la valur fficac complx d i (t).

2 TD EC 6 Corrction PCSI Comm la référnc ds phass st la phas à l origin d (t), on a (t) E 2. j(ωt+0) E 2. jωt, c st à dir E E. On utilis l passag Thévnin Norton pour fair apparaîtr l génératur d courant d courant élctromotur E jcωe t l pont divisur d courant tl qu C I / E Y + / + Y C C jcωe + + jcω jω jcωe + j(cω ω ) On a ainsi i(t) I 2 cos(ωt + ϕ) avc I I CωE + 2 (Cω arg(jcωe) arg( + j(cω ω )) π 2 arctan((cω ω )). 2. On rmarqu qu I n dépnd plus d si Cω ω 0 ω C. Exrcic 3 : ésolution d un circuit n SF On étudi l montag rprésnté ci contr. (t) st la f..m d un génératur d tnsion sinusoïdal : (t) cos ωt. i 0 (t) st l c..m d un génératur d courant altrnatif sinusoïdal n phas avc l précédnt : i 0 (t) I 0 cos ωt. Détrminr l courant i(t) rprésnté sur la figur. On donnra i(t) sous la form i(t) I m cos(ωt + ϕ). (t) ω )2 t ϕ arg(i ) i 0 (t)º C ¹ i(t) Comm on s plac n régim sinusoïdal forcé, on put utilisr la méthod ds complxs : (t). jωt. jωt, i 0 (t) I 0. jωt I 0. jωt t i(t) I m. jωt I m. j(ωt+ϕ). On rprésnt l circuit n faisant apparaîtr ls impédancs complxs t ls amplituds complxs. On simplifi l circuit n utilisant ls lois d association ds dipôls t ls transformation Thévnin Norton. I0º.I 0.I 0 C ¹ m I» C E m I ¹ m I C. C + +.Y C jω Cω 2 t E. Par application d la loi d Pouillt, on n déduit immédiatmnt Cω 2 I m E I ( Cω 2 )I 0 2( Cω 2 ) + jω I m I m ( Cω 2 )I ( Cω 2 ) 2 + (ω) 2 Puis n multipliant numératur t dénominatur par j afin d avoir un parti réll du dénominatur toujours positiv, I m j( ( Cω 2 )I 0 ) 2j( Cω 2 ) + ω ϕ arg(i m) π 2 + arctan 2( Cω2 ) ω 2

3 TD EC 6 Corrction PCSI Exrcic 4 : Quartz Piézo-élctriqu : résonanc t antirésonanc On considèr, comm schéma élctriqu simplifié équivalnt d un quartz piézo-élctriqu dstiné à srvir d étalon d fréqunc dans un horlog, un dipôl B composé d dux branchs n parallèl. Dans l un, un inductanc pur n séri avc un condnsatur d capacité C ; dans l autr, un condnsatur d capacité C 0. On posra C C 0 a, t on gardra ls variabls, C 0, ω t a.. dipôl B étant alimnté par un tnsion sinusoïdal d pulsation ω, calculr l impédanc complx B. Calculr son modul, t son argumnt ϕ. 2. Étudir n fonction d la pulsation l impédanc ; pour cla : on précisra tout particulièrmnt ls limits d quand ω tnd vrs zéro ou l infini; on appllra ω t ω 2, ls valurs finis non nulls d la pulsation pour lsqulls st rspctivmnt null t infini. Qul st l comportmnt élctriqu simpl d B pour ω ω t ω ω 2? Donnr f(c 0,ω,ω,ω 2 ). 3. présntr graphiqumnt n fonction d ω. 4. Précisr par un graph à main lvé, t sans aucun calcul, commnt qualitativmnt st modifié la courb f(ω) si l on tint compt d la résistanc du bobinag d inductanc.. dipôl B st n régim sinusoïdal forcé. On rprésnt son équivalnt n notation complx. Pour simplifir ls calculs, on calculra Y l admittanc complx du dipôl. C 0 B C C B C0 Y Y C0 + + C jc 0ω+ + jω jc 0ω+ jcω Cω Cω 2 jcω 2 jc 0 ω( Cω 2 ) + jcω Et avc C ac 0, on n déduit ac 0 ω 2 j C 0 ω( + a ac 0 ω 2 ) ac 0 ω 2 C 0 ω + a ac 0 ω 2 t ϕ ±π 2 car st un imaginair pur. 2. Étud d : (ω) N(ω) st l rapport d un polynôm du scond dgré N(ω) D(ω) ac 0 ω 2 par un polynôm d dgré trois D(ω) C 0 ω + a ac 0 ω 2 n ω. Quand ω 0, N(ω) t D(ω) 0 donc (ω). D mêm, quand ω, N(ω) ac 0 ω 2 t D(ω) ac0ω 2 3 donc (ω) C 0 ω 0. a pulsation ω fini pour laqull 0 vérifi N(ω ) 0 ω C ac0. D mêm, ω 2 0 pour laqull (B intrruptur ouvrt, I 0, anti résonanc) vérifi D(ω 2 ) 0 + a ac 0 ω2 2 0 ω 2 a+ ac 0 ω a + > ω Pour ω ω, B s comport comm un intrruptur frmé t quand ω ω 2, B s comport comm un intrruptur ouvrt. On put écrir sous la form ω2 ω 2 C 0 ω ω 2 ω 2 2 3

4 TD EC 6 Corrction PCSI On n déduit l graph (ω) : asymptots vrticals n ω 0 t ω 2 t 0 pour ω ω < ω 2 t ω. 4 3 (ω) (ω) lissé 2 0 ω ω a présnc d un résistanc intrn au dipôl B va mpêchr d attindr un valur null ou infini, cla va donc "lissr" la courb précédnt. ω Exrcic 5 : Pont d Whatston n régim sinusoïdal t application On considèr un pont d Whatston alimnté par un génératur d tnsion altrnativ u(t) U m cos ωt. T st un écoutur téléphoniqu d impédanc complx T.. Qull condition doivnt satisfair ls impédancs complxs, 2, 3 t 4 pour qu i soit nul? 2. Qul st l rôl d T? 3. pplication : T 2 i(t) D B E 3 u(t) 4 ls impédancs t 2 sont rspctivmnt ds résistancs étalons t 2. 3 s compos d un résistor d résistanc variabl n séri avc un condnsatur d capacité C. 4 s compos d un résistor d résistanc variabl idntiqu n parallèl avc un condnsatur d mêm capacité C. Trouvr ls conditions d équilibr du pont t n déduir un application.. En notation complx, on a u B v v B T.i. Pour qu i(t) soit nul, il faut t il suffit qu u B 0. Si i(t) st nul, ls dipôls t 2 sont travrsés par l mêm courant t par application d la formul ds ponts divisurs d tnsion, u 2 u E u DE u. D mêm, u 4 u BE u t 2 D T i(t) B E 3 4 u(t) u B 0 u E + u EB 0 u E u BE

5 TD EC 6 Corrction PCSI Si i(t) n st pas nul, l pont n st pas équilibré t l écoutur téléphoniqu émt un son. Cla prmt d fair un réglag à l orill (il faut qu la fréqunc d travail corrspond à cll d un son audibl). 3. pplication : on a ici, 2 2, 3 + t Y jcω 4 + jcω d où Y 4 2 (+ jcω )( +jcω) 2 +jcω+ jcω + On obtint finalmnt j(cω ) 0. Cω Il faut donc 2 2 t Cω 0 ω. Cω C C pont put êtr utilisé comm fréquncmètr : on règl t 2 2 connus, on modifi C jusqu à c qu on n prçoiv plus d son, on a alors f. 2πC 5