Nombres complexes. 1 Rappels de trigonométrie 1. Table des matières. 1.1 Le cercle trigonométrique, sinus et cosinus remarquables NOMBRES COMPLEXES
|
|
- Dorothée Jean
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Nombres complexes Table des matières 1 Rappels de trigonométrie 1.1 Le cercle trigonométrique, sinus et cosinus remarquables 1 Rappels de trigonométrie Le cercle trigonométrique, sinus et cosinus remarquables Propriétés trigonométriques Equations trigonométriques du type cos(a) = b ou sin(a) = b... Forme algébrique d un nombre complexe 3 Représentation géométrique 4 Opérations sur les nombres complexes 4.1 Opérations Egalité de deux nombres complexes Propriétés du conjugué d un nombre complexe Résolution d équations du second degré dans C Forme trigonométrique d un nombre complexe Module Définition Propriétés du module Argument d un complexe non nul Définition Comment le calculer Propriétés d un argument Formes trigonométriques et exponentielle d un nombre complexe non nul Exercices de synthèse 6 C est un cercle orienté de rayon 1. Les cosinus des angles en radian se lisent sur l axe des abscisses, les sinus sur l axe des ordonnées. 1. Propriétés trigonométriques Propriété 1.1 Pour tout x réel, pour tout k entier relatif, cos (x) + sin (x) = 1 cos(x + kπ) = cos(x) et sin(x + kπ) = sin(x) (cos et sin sont π-périodiques) cos( x) = cos(x) et sin( x) = sin(x) (cos est paire et sin est impaire) cos(x + π) = cos(x π) = cos(x) et sin(x + π) = sin(x π) = sin(x) Exemple 1. cos( 7π 3 ) = cos(π 3 + π) = cos(π 3 ) = 1 Propriété 1.3 Formules d addition : Année E.Pagnoud
2 cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) cos(a b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) sin(a b) = sin(a) cos(b) cos(a) sin(b) 1.3 Equations trigonométriques du type cos(a) = b ou sin(a) = b Exemple 1.4 Résoudre l équation cos(x) =. Pour cela, on se sert du cercle trigonométrique et du fait que les angles ayant un cosinus de sont opposés et égaux à 3π 4 ou 3π, à π près. Les solutions sont 4 donc S = { 3π 4 + kπ; 3π + kπ, k Z} 4 Définition.4 Le nombre complexe x iy est appelé conjugué de z et noté z : z = x iy. Exemple.5 Le conjugué de 3 4i est 3 + 4i. 3 Représentation géométrique Dans le plan muni d un repère orthonormé (O, u, v ), à tout point M de coordonnées (x; y) on associe de façon unique le nombre complexe z = x + iy, et réciproquement. z s appelle alors l affixe de M, et M le point image de z. Par exemple, les réels sont représentés par l axe des abscisses et les imaginaires purs par l axe des ordonnées. Un point du plan complexe d affixe a + ib : Forme algébrique d un nombre complexe Définition.1 Un nombre complexe, souvent noté z, est un nombre de la forme x + iy, où x et y sont deux nombres réels et i un nombre imaginaire possédant la propriété suivante : i = 1. L ensemble des nombres complexes est noté C. x + iy est la forme algébrique de z. x est appelé partie réelle de z et notée Re(z). y est appelé partie imaginaire de z et notée Im(z) (attention le partie imaginaire est un réel, i n en fait pas partie). Exemple. Si z = + 4i, Re(z) = et Im(z) = 4. Si z = 1 i, Re(z) = 0 et Im(z) = 1 Remarque En électricité, i se note j pour ne pas confondre avec l intensité. Propriété.3 Un nombre réel x peut s écrire x + 0i donc c est aussi un nombre complexe : R C. Un complexe dont la partie réelle est nulle est appelé imaginaire pur (par exemple : 3i). Remarque Le vecteur OM a aussi pour affixe z. Exercice 1 Pour quelles valeurs de x le nombre complexe z = x 1 + i( x ) est-il : 1. réel. imaginaire pur 3. l affixe du point A de coordonnées ( 3; ) 4 Opérations sur les nombres complexes 4.1 Opérations Les règles de calcul dans R s étendent aux nombres complexes, en pensant à utiliser i = 1 : Année E.Pagnoud
3 Exemple 4.1 Addition : + 3i 6 + 8i =... Multiplication : ( + 3i)( 8 + i) =... Quotient : Pour mettre un quotient z z sous forme algébrique, on multiplie haut et bas par z le conjugué de z : 5i 5i(1 i) 5i 5i = = 1 + i (1 + i)(1 i) 1 i = 5i = i car i = i i =... Remarque L ordre ou < n existe pas sur C. En particulier dire qu un nombre complexe est positif ou négatif n a pas de sens. Exercice Calculer 1 + i + i i 7. Exercice 3 Soient les nombres complexes z = + 3i et z = 1 + i. Ecrire sous forme algébrique : 1. z 3z. zz 3. z Exercice 4 Soient les nombres complexes z = 3i et z = 4 i. Ecrire sous forme algébrique les nombres 1 z et z z. Réponses : i et i Exercice 5 Mettre sous forme algébrique le nombre complexe 1 i 3 3 i. 4. Egalité de deux nombres complexes Propriété 4. Deux nombres complexes z et z sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Donc : z = z Re(z) = Re(z )et Im(z) = Im(z ) Exercice 6 Résoudre l équation d inconnue réelle x : 3x ix = 1x + i. 4.3 Propriétés du conjugué d un nombre complexe Propriété z + z = Re(z) donc z + z est réel. z z = iim(z) donc z z est imaginaire pur 3. z est réel si et seulement si z = z (ou z z = 0). 4. z est imaginaire pur si et seulement si z = z (ou z + z = 0). 5. Si z = x + iy alors zz = x + y. 6. pour tout z, z complexe, on a z + z = z + z et z z = z z 7. pour tout z 0, ( 1 z ) = 1 z 8. pour tout z, z avec z 0, ( z z ) = z z Exercice 7 On donne z 1 = 5 + 9i 13 i et z = 5 9i. Sans calcul, expliquer pourquoi 13 + i z 1 + z est réel, et z 1 z imaginaire pur. 4.4 Résolution d équations du second degré dans C Théorème 4.4 Pour résoudre une équation du type az + bz + c = 0, avec a, b, c réels et a 0, On calcule le discriminant de l équation : = b 4ac et : Si > 0 alors l équation a deux solutions réelles Réponse : 3 1 i z 1 = b et z = b + a a Année E.Pagnoud
4 Si = 0 alors l équation a une seule solution réelle z 0 = b a Si < 0 alors l équation n a pas de solutions réelles mais a deux solutions complexes conjuguées z 1 = b i et z = b + i a a Exemple 4.5 Pour 4z + 3z + 1 = 0, on obtient = 7 donc les solutions sont complexes et z 1 = 3 i 7 et z = 3 + i Exercice 8 Résoudre dans C les équations suivantes : 1. z + 1 = 0. z 1 = z + z 0, 5 = 0. Réponses : { } 1. S = ± i { }. S = ± 3. S = { 1 10 ± 3 } 10 i Exercice 9 1. Résoudre dans C l équation z + z + 1 = 0.. Déterminer les réels a, b, c tels que pour tout z, z 3 1 = (z 1)(az + bz + c). On pourra effectuer une division polynômiale. 3. En déduire les solutions de z 3 1 = 0. 5 Forme trigonométrique d un nombre complexe 5.1 Module Définition Définition 5.1 (Forme trigonométrique) Soit z = x + iy un nombre complexe. Le module de z est le réel positif x + y. Il est noté z ou souvent r. Exemple 5. 1 i = 1 + ( ) = 5. Dans le plan complexe, si M est le point d affixe z, z est aussi la distance OM entre M et l origine du repère. Géométriquement, on peut donc calculer la distance entre deux points A et B grâce à la formule 5.1. Propriétés du module AB = z B z A Propriété 5.3 z et z étant deux complexes, z = 0 si et seulement si z = 0 z + z z + z z z = x + y = z z z = z z 1 z = 1 (z 0) z z z = z z (z 0) z n = z n (n N) Exercice 10 Déterminer le module de 3i, (3 + 5i)(11 7i), Réponses : 3 ; 34 5 ; Argument d un complexe non nul 5..1 Définition ; 5 1 (4 + 3i) 3, 5 (1 i). Définition 5.4 z est un nombre complexe non nul, et M le point image associé à z dans le plan complexe muni du repère orthonormé (O, u, v ). On appelle argument de z, et on note arg(z) ou souvent θ, une mesure en radians de l angle orienté ( u ; OM). Un complexe non nul a donc une infinité d arguments définis modulo π. Année E.Pagnoud
5 5..3 Propriétés d un argument Propriété 5.6 z et z étant deux nombres complexes non nuls : 1. z est un réel strictement positif si et seulement si arg(z) = 0 [π]. z est un réel strictement négatif si et seulement si arg(z) = π [π] 3. z est imaginaire pur si et seulement si arg(z) = π ou π [π] 4. arg( z) = arg(z) [π] 5. z = z si et seulement si z = z et arg(z) = arg(z ) [π] 5.. Comment le calculer Si z = x + iy 0, on calcule d abord r = z le calcul de cos(θ) et de sin(θ) avec les formules suivantes permettront d en déduire une mesure de l argument : cos(θ) = x r et sin(θ) = y r soit en reconnaissant un sinus et cosinus remarquables, soit en approximant à l aide de la calculatrice si on ne reconnait pas de valeurs remarquables. Exemple 5.5 Un argument de z = i 3 est π 3 car : cos(θ)= z = 4 et 4 = 1 sin(θ)= 3 3 = 4 On reconnait le cosinus et le sinus de π 3, d où arg(z) = π 3 [π]. Exercice 11 Déterminer un argument de z = 3 i. Exercice 1 Donner une valeur approchée arrondie à 10 près de arg(4 i). Réponse : -0,46 rad. Propriété 5.7 Opérations sur les arguments : z et z étant deux nombres complexes non nuls : 1. arg(z z ) = arg(z) + arg(z ) [π]. arg( 1 ) = arg(z) [π] z 3. arg( z z ) = arg(z) arg(z ) [π] 4. arg(z n ) = n arg(z) [π] pour tout n N Exercice 13 En justifiant que Z = ( 3 ) + i( 3 + ) s écrit ( + i)( 3 + i), donner le module et un argument de Z. 5.3 Formes trigonométriques et exponentielle d un nombre complexe non nul Définition 5.8 (Forme trigonométrique) Tout nombre complexe z non nul s écrit z = r(cos(θ) + i sin(θ)) où r est le module de z et θ un argument de z. Définition 5.9 (Forme exponentielle) On pose cos(θ) + i sin(θ) = e iθ. Tout nombre complexe non nul z peut alors s écrire z = re iθ avec r = z > 0. C est la forme exponentielle de z. Exemple 5.10 La forme trigonométrique de i est cos( π ) + i sin(π ). La forme exponentielle de i est e i π. La forme exponentielle de 1 est e iπ. D après un exemple précédent, la forme exponentielle de z = i 3 est 4e i π 3. Année E.Pagnoud
6 Les propriétés du module et de l argument peuvent alors s écrire de façon plus simples : Propriété re iθ r e iθ = r r e i(θ+θ ) 1. re iθ = 1 r e iθ re iθ 3. r = r ) e iθ r ei(θ θ 4. (re iθ ) n = r n e inθ Exercice 18 Pour z C, on définit P (z) = z 3 + 3z + 3z Calculer P ( 3).. Déterminer des réels a, b, c tels que P (z) = (z + 3)(az + bz + c). 3. Indiquer les trois racines complexes de P (z) sous forme algébrique puis exponentielle. On retrouve en particulier la formule de Moivre : (e iθ ) n = e inθ qui s écrit aussi (cos(θ) + i sin(θ)) n = cos(nθ) + i sin(nθ) Exercice 14 Ecrire sous forme algébrique : e i 3π ; e 4iπ ; 6 e 3iπ ; 1 3 ei 7π 6. Il reste à présenter les formules d Euler : Propriété 5.1 cos(θ) = eiθ + e iθ et sin(θ) = eiθ e iθ i Exercice 15 Grâce aux formules d Euler, linéariser cos 3 (θ). Réponse : cos 3 (θ) = 1 4 cos(3θ) cos(θ). 6 Exercices de synthèse Exercice 16 Calculer (1 + i) 8 à l aide de la forme exponentielle de 1 + i. Réponse : 16. Exercice 17 Déterminer le module et un argument de Z = réelle et imaginaire. En déduire une valeur exacte de cos( 5π ) et sin(5π 1 1 ). Réponse : cos( 5π ) = et sin( 5π ) = 3 + i 1 i puis ses parties Année E.Pagnoud
NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détail4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE
4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Introduction. 1. 1 Justication historique. La résolution de l'équation du degré (par la méthode de Cardan) amena les mathématiciens italiens du seizième 3ème siècle
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailNombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation
1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis
Plus en détailCours de mathématiques Première année. Exo7
Cours de mathématiques Première année Eo7 2 Eo7 Sommaire Logique et raisonnements 9 Logique 9 2 Raisonnements 4 2 Ensembles et applications 9 Ensembles 20 2 Applications 23 3 Injection, surjection, bijection
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailIntroduction. Mathématiques Quantiques Discrètes
Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailFonctions Analytiques
5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailQ x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2
Exo7 Nombres complexes Vdéo parte. Les nombres complexes, défntons et opératons Vdéo parte. Racnes carrées, équaton du second degré Vdéo parte 3. Argument et trgonométre Vdéo parte 4. Nombres complexes
Plus en détailLes travaux doivent être remis sous forme papier.
Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailPremiers pas avec Mathematica
Premiers pas avec Mathematica LP206 : Mathématiques pour physiciens I Année 2010/2011 1 Introduction Mathematica est un logiciel de calcul formel qui permet de manipuler des expressions mathématiques symboliques.
Plus en détailAnnexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Physique, chimie et sciences de l ingénieur (PCSI) Discipline : Mathématiques Première année Classe préparatoire
Plus en détailDéveloppements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailCorps des nombres complexes, J Paul Tsasa
Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa One Pager Février 2013 Vol. 5 Num. 011 Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com Corps des Nombres Complexes Définitions, Règles de Calcul et Théorèmes «Les idiots
Plus en détailRepérage d un point - Vitesse et
PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailChapitre 2 Les ondes progressives périodiques
DERNIÈRE IMPRESSION LE er août 203 à 7:04 Chapitre 2 Les ondes progressives périodiques Table des matières Onde périodique 2 2 Les ondes sinusoïdales 3 3 Les ondes acoustiques 4 3. Les sons audibles.............................
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailNathalie Barbary SANSTABOO. Excel 2010. expert. Fonctions, simulations, Groupe Eyrolles, 2011, ISBN : 978-2-212-12761-4
Nathalie Barbary Nathalie Barbary SANSTABOO Excel 2010 Fonctions, simulations, bases bases de de données expert Groupe Eyrolles, 2011, ISBN : 978-2-212-12761-4 Du côté des mathématiciens 14 Il n est pas
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailMATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */.
Page 1 de 9 MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Aide help, help nom_de_commande Fenêtre de travail (Command Window) Ligne
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailDéveloppements limités
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailPROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailMais comment on fait pour...
Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailOnveutetudierl'equationdierentiellesuivante
Quelques resultats sur l'equation des ondes Onveutetudierl'equationdierentiellesuivante (Ondes) @tu xu=f surr Rd: C'est dratique une equation +jj designature(;d).cettenoteestorganiseedela hyperbolique
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détailGlossaire des nombres
Glossaire des nombres Numérisation et sens du nombre (4-6) Imprimeur de la Reine pour l'ontario, 008 Nombre : Objet mathématique qui représente une valeur numérique. Le chiffre est le symbole utilisé pour
Plus en détailL ALGORITHMIQUE. Algorithme
L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques
Plus en détailManipulateurs Pleinement Parallèles
Séparation des Solutions aux Modèles Géométriques Direct et Inverse pour les Manipulateurs Pleinement Parallèles Chablat Damien, Wenger Philippe Institut de Recherche en Communications et Cybernétique
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détail315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détail