MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE SCIENTIFIQUE CLASSE DE PREMIÈRE

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1 Aexe MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE SCIENTIFIQUE CLASSE DE PREMIÈRE L eseigemet des mathématiques au collège et au lycée a pour but de doer à chaque élève la culture mathématique idispesable pour sa vie de citoye et les bases écessaires à so projet de poursuite d études. Le cycle termial de la série S procure u bagage mathématique solide aux élèves désireux de s egager das des études supérieures scietifiques, e les format à la pratique d ue démarche scietifique et e reforçat leur goût pour des activités de recherche. L appretissage des mathématiques cultive des compéteces qui facilitet ue formatio tout au log de la vie et aidet à mieux appréheder ue société e évolutio. Au-delà du cadre scolaire, il s iscrit das ue perspective de formatio de l idividu. Objectif gééral Outre l apport de ouvelles coaissaces, le programme vise le développemet des compéteces suivates : - mettre e œuvre ue recherche de faço autoome ; - meer des raisoemets ; - avoir ue attitude critique vis-à-vis des résultats obteus ; - commuiquer à l écrit et à l oral. Raisoemet et lagage mathématiques Comme e classe de secode, les capacités d argumetatio, de rédactio d ue démostratio et de logique fot partie itégrate des exigeces du cycle termial. Les cocepts et méthodes relevat de la logique mathématique e fot pas l objet de cours spécifiques mais preet aturellemet leur place das tous les champs du programme. Il importe toutefois de prévoir des momets d istitutioalisatio de certais cocepts ou types de raisoemet, après que ceux-ci ot été recotrés plusieurs fois e situatio. De même, le vocabulaire et les otatios mathématiques e sot pas fixés d emblée, mais sot itroduits au cours du traitemet d ue questio e foctio de leur utilité. Il coviet de prévoir des temps de sythèse, l objectif état que ces élémets soiet maîtrisés e fi de cycle termial. Utilisatio d outils logiciels L utilisatio de logiciels, d outils de visualisatio et de simulatio, de calcul (formel ou scietifique) et de programmatio chage profodémet la ature de l eseigemet e favorisat ue démarche d ivestigatio. E particulier, lors de la résolutio de problèmes, l utilisatio de logiciels de calcul formel peut limiter le temps cosacré à des calculs très techiques afi de se cocetrer sur la mise e place de raisoemets. L utilisatio de ces outils iterviet selo trois modalités : - par le professeur, e classe, avec u dispositif de visualisatio collective ; - par les élèves, sous forme de travaux pratiques de mathématiques ; - das le cadre du travail persoel des élèves hors de la classe. Diversité de l activité de l élève Les activités proposées e classe et hors du temps scolaire preet appui sur la résolutio de problèmes puremet mathématiques ou issus d autres disciplies. De ature diverse, elles doivet etraîer les élèves à : - chercher, expérimeter, modéliser, e particulier à l aide d outils logiciels ; - choisir et appliquer des techiques de calcul ; - mettre e œuvre des algorithmes ; - raisoer, démotrer, trouver des résultats partiels et les mettre e perspective ; - expliquer oralemet ue démarche, commuiquer u résultat par oral ou par écrit. Des élémets d épistémologie et d histoire des mathématiques s isèret aturellemet das la mise e œuvre du programme. Coaître le om de quelques mathématicies célèbres, la période à laquelle ils ot vécu et leur cotributio fait partie itégrate du bagage culturel de tout élève ayat ue formatio scietifique. La présetatio de textes historiques aide à compredre la geèse et l évolutio de certais cocepts. Miistère de l'éducatio atioale > 1 / 7

2 Fréquets, de logueur raisoable et de ature variée, les travaux hors du temps scolaire cotribuet à la formatio des élèves et sot absolumet essetiels à leur progressio. Ils sot coçus de faço à predre e compte la diversité et l hétérogééité de leurs aptitudes. Les modes d évaluatio preet égalemet des formes variées, e phase avec les objectifs poursuivis. E particulier, l aptitude à mobiliser l outil iformatique das le cadre de la résolutio de problèmes est à évaluer. Orgaisatio du programme Le programme fixe les objectifs à atteidre e termes de capacités. Il est coçu pour favoriser ue acquisitio progressive des otios et leur péreisatio. So pla idique pas la progressio à suivre. Les capacités attedues das le domaie de l algorithmique d ue part et du raisoemet d autre part sot rappelées e fi de programme. Elles doivet être exercées à l itérieur de chaque champ du programme. Plusieurs démostratios, ayat valeur de modèle, sot repérées par le symbole. Certaies sot exigibles et correspodet à des capacités attedues. De même, les activités de type algorithmique sot sigalées par le symbole. 1. Aalyse Le programme s iscrit, comme celui de la classe de secode, das le cadre de la résolutio de problèmes. Les situatios proposées répodet à des problématiques clairemet idetifiées d origie puremet mathématique ou e lie avec d autres disciplies. U des objectifs de ce programme est de doter les élèves d outils mathématiques permettat de traiter des problèmes relevat de la modélisatio de phéomèes cotius ou discrets. Aisi, o cosolide l esemble des foctios mobilisables, erichi de deux ouvelles foctios de référece, les foctios racie carrée et valeur absolue. O itroduit u ouvel outil : la dérivatio. L acquisitio du cocept de dérivée est u poit fodametal du programme de première. Les foctios étudiées sot toutes régulières et o se cotete d ue approche ituitive de la otio de limite fiie e u poit. Le calcul de dérivées das des cas simples est u attedu du programme ; das le cas de situatios plus complexes, o sollicite les logiciels de calcul formel. L étude de phéomèes discrets fourit u moye d itroduire les suites et leur géératio e s appuyat sur des registres différets (algébrique, graphique, umérique, géométrique) et e faisat largemet appel à des logiciels. Les iterrogatios sur leur comportemet amèet à ue première approche de la otio de limite qui sera développée e classe de termiale. L étude des suites se prête tout particulièremet à la mise e place d activités algorithmiques. CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Secod degré Forme caoique d ue foctio polyôme de degré deux. Équatio du secod degré, discrimiat. Sige du triôme. Étude de foctios Foctios de référece x x et x x. Détermier et utiliser la forme la plus adéquate d ue foctio polyôme de degré deux e vue de la résolutio d u problème : développée, factorisée, caoique. Coaître les variatios de ces deux foctios et leur représetatio graphique. Démotrer que la foctio racie carrée est croissate sur 0 ;. Justifier les positios relatives des courbes représetatives des 2 foctios x x et x x. x x, O fait le lie avec les représetatios graphiques étudiées e classe de secode. Des activités algorithmiques doivet être réalisées das ce cadre. Aucue techicité das l utilisatio de la valeur absolue est attedue. Ses de variatio des foctios u k, u, u et 1, la foctio u état u coue, k état ue foctio costate et u réel. Exploiter ces propriétés pour détermier le ses de variatio de foctios simples. O ourrit la diversité des raisoemets travaillés das les classes précédetes e motrat à l aide de cotre-exemples qu o e peut pas éocer de règle géérale doat le ses de variatio de la somme ou du produit de deux foctios. L étude géérale de la composée de deux foctios est hors programme. Miistère de l'éducatio atioale > 2 / 7

3 Dérivatio Nombre dérivé d ue foctio e u poit. Tagete à la courbe représetative d ue foctio dérivable e u poit. Foctio dérivée. Dérivée des foctios 1 usuelles : x x, x x et x x ( etier aturel o ul). Dérivée d ue somme, d u produit et d u quotiet. Lie etre sige de la dérivée et ses de variatio. Extremum d ue foctio. Suites Modes de géératio d ue suite umérique. Suites arithmétiques et suites géométriques. Tracer ue tagete coaissat le ombre dérivé. Calculer la dérivée de foctios. Exploiter le ses de variatio pour l obtetio d iégalités. Modéliser et étudier ue situatio à l aide de suites. Mettre e œuvre des algorithmes permettat : - d obteir ue liste de termes d ue suite ; - de calculer u terme de rag doé. Établir et coaître les formules doat 1 2 et 1 q q. Le ombre dérivé est défii comme limite du f ( a h) f ( a) taux d accroissemet quad h h ted vers 0. O e doe pas de défiitio formelle de la limite. L utilisatio des outils logiciels facilite l itroductio du ombre dérivé. O évite tout excès de techicité das les calculs de dérivatio. Si écessaire, das le cadre de la résolutio de problèmes, le calcul de la dérivée d ue foctio est facilité par l utilisatio d u logiciel de calcul formel. Il est itéressat de préseter le pricipe de démostratio de la dérivatio d u produit. Il est pas toujours utile de recourir à la dérivatio pour étudier le ses de variatio d ue foctio. O traite quelques problèmes d optimisatio. Il est importat de varier les approches et les outils. L utilisatio du tableur et la mise e œuvre d algorithmes sot l occasio d étudier e particulier des suites géérées par ue relatio de récurrece. Ses de variatio d ue suite umérique. Approche de la otio de limite d ue suite à partir d exemples. Exploiter ue représetatio graphique des termes d ue suite. O peut utiliser u algorithme ou u tableur pour traiter des problèmes de comparaiso d évolutios et de seuils. Par exemple, das le cas d ue suite croissate o majorée, o peut détermier u rag à partir duquel tout terme de la suite est supérieur à u ombre doé. Le tableur, les logiciels de géométrie dyamique et de calcul sot des outils adaptés à l étude des suites, e particulier pour l approche expérimetale de la otio de limite. O e doe pas de défiitio formelle de la limite. Miistère de l'éducatio atioale > 3 / 7

4 2. Géométrie L objectif est de reforcer la capacité des élèves à étudier des problèmes dot la résolutio repose sur des calculs de distaces et d agles, la démostratio d aligemet, de parallélisme ou d orthogoalité. L outil ouveau est le produit scalaire, dot il importe que les élèves sachet choisir la forme la mieux adaptée au problème evisagé. L itroductio de cette otio implique u travail sur le calcul vectoriel o repéré et la trigoométrie. La géométrie das l espace est source de situatios permettat de mettre e œuvre de ouveaux outils de l aalyse ou de la géométrie plae, otammet das des problèmes d optimisatio. CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Géométrie plae Coditio de coliéarité de deux vecteurs : xy yx 0. Vecteur directeur d ue droite. Équatio cartésiee d ue droite. Utiliser la coditio de coliéarité pour obteir ue équatio cartésiee de droite. Détermier ue équatio cartésiee de droite coaissat u vecteur directeur et u poit. Détermier u vecteur directeur d ue droite défiie par ue équatio cartésiee. O fait le lie etre coefficiet directeur et vecteur directeur. L objectif est de redre les élèves capables de détermier efficacemet ue équatio cartésiee de droite par la méthode de leur choix. Expressio d u vecteur du pla e foctio de deux vecteurs o coliéaires. Trigoométrie Cercle trigoométrique. Radia. Mesure d u agle orieté, mesure pricipale. Choisir ue décompositio pertiete das le cadre de la résolutio de problèmes. Utiliser le cercle trigoométrique, otammet pour : - - détermier les cosius et sius d agles associés ; - - résoudre das R les équatios d icoue x : cos x cos a et si x si a. O e se limite pas au cadre de la géométrie repérée. L étude des foctios cosius et sius est pas u attedu du programme. Produit scalaire das le pla Défiitio, propriétés. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs par différetes méthodes : - - projectio orthogoale ; - - aalytiquemet ; - - à l aide des ormes et d u agle ; - - à l aide des ormes. Choisir la méthode la plus adaptée e vue de la résolutio d u problème. Il est itéressat de démotrer l égalité des expressios attachées à chacue de ces méthodes. La démostratio du théorème de la médiae fourit l occasio de travailler le calcul vectoriel e lie avec le produit scalaire. Vecteur ormal à ue droite. Applicatios du produit scalaire : calculs d agles et de logueurs ; formules d additio et de duplicatio des cosius et sius. Détermier ue équatio cartésiee de droite coaissat u poit et u vecteur ormal. Détermier u vecteur ormal à ue droite défiie par ue équatio cartésiee. Détermier ue équatio de cercle défii par so cetre et so rayo ou par so diamètre. Démotrer que : cos( a b) cos acos b siasi b La relatio de Chasles pour les agles orietés est admise. Miistère de l'éducatio atioale > 4 / 7

5 3. Statistiques et probabilités L étude et la comparaiso de séries statistiques meées e classe de secode se poursuivet avec la mise e place de ouveaux outils das l aalyse de doées. L objectif est de faire réfléchir les élèves sur des doées réelles, riches et variées (issues, par exemple, de fichiers mis à dispositio par l Isee). La otio de loi de probabilité d ue variable aléatoire permet de modéliser des situatios aléatoires, d e proposer u traitemet probabiliste et de justifier certais faits observés expérimetalemet e classe de secode. L utilisatio des arbres podérés est développée pour modéliser la répétitio d expérieces idetiques et idépedates. Elle est restreite à ce cadre afi d éviter toute cofusio avec des situatios relevat des probabilités coditioelles. Das le cas particulier d expérieces idetiques et idépedates à deux issues, o itroduit la loi biomiale. E s appuyat sur cette loi, o poursuit la formatio des élèves das le domaie de l échatilloage. CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Statistique descriptive, aalyse de doées Caractéristiques de dispersio : variace, écart-type. Diagramme e boîte. Probabilités Variable aléatoire discrète et loi de probabilité. Espérace, variace et écart-type. Utiliser de faço appropriée les deux couples usuels qui permettet de résumer ue série statistique : (moyee, écart-type) et (médiae, écart iterquartile). Étudier ue série statistique ou meer ue comparaiso pertiete de deux séries statistiques à l aide d u logiciel ou d ue calculatrice. Détermier et exploiter la loi d ue variable aléatoire. Iterpréter l espérace comme valeur moyee das le cas d u grad ombre de répétitios. O utilise la calculatrice ou u logiciel pour détermier la variace et l écart-type d ue série statistique. Des travaux réalisés à l aide d u logiciel permettet de faire observer des exemples d effets de structure lors du calcul de moyees. À l aide de simulatios et d ue approche heuristique de la loi des grads ombres, o fait le lie avec la moyee et la variace d ue série de doées. O exploite les foctioalités de la calculatrice ou d u logiciel pour détermier l espérace, la variace et l écart-type d ue variable aléatoire. Modèle de la répétitio d expérieces idetiques et idépedates à deux ou trois issues. Représeter la répétitio d expérieces idetiques et idépedates par u arbre podéré. Utiliser cette représetatio pour détermier la loi d ue variable aléatoire associée à ue telle situatio. O démotre les formules suivates sur l espérace et la variace : E ( ax b) ae( X) b et V ( ax ) a V ( X ). 2 Pour la répétitio d expérieces idetiques et idépedates, la probabilité d ue liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. La otio de probabilité coditioelle est hors programme. O peut aussi traiter quelques situatios autour de la loi géométrique troquée. O peut simuler la loi géométrique troquée avec u algorithme. Épreuve de Beroulli, loi de Beroulli. Schéma de Beroulli, loi biomiale (loi du ombre de succès). Coefficiets biomiaux, triagle de Pascal. Recoaître des situatios relevat de la loi biomiale. Calculer ue probabilité das le cadre de la loi biomiale. La représetatio à l aide d u arbre est privilégiée : il s agit ici d istaller ue représetatio metale efficace. O peut aisi : faciliter la découverte de la loi biomiale pour des petites valeurs de ( 4 ) ; itroduire le coefficiet biomial comme ombre de chemis de l arbre réalisat k succès pour répétitios ; établir efi la formule géérale de la loi biomiale. k Miistère de l'éducatio atioale > 5 / 7

6 Espérace, variace et écarttype de la loi biomiale. Échatilloage Utilisatio de la loi biomiale pour ue prise de décisio à partir d ue fréquece. Démotrer que k k 1 k Représeter graphiquemet la loi biomiale. Utiliser l espérace d ue loi biomiale das des cotextes variés. Exploiter l itervalle de fluctuatio à u seuil doé, détermié à l aide de la loi biomiale, pour rejeter ou o ue hypothèse sur ue proportio Cette égalité est établie e raisoat sur le ombre de chemis réalisat k 1 succès pour 1 répétitios. O établit égalemet la propriété de symétrie des coefficiets biomiaux. L utilisatio des coefficiets biomiaux das des problèmes de déombremet et leur écriture à l aide des factorielles e sot pas des attedus du programme. E pratique, o utilise ue calculatrice ou u logiciel pour obteir les valeurs des coefficiets biomiaux, calculer directemet des probabilités et représeter graphiquemet la loi biomiale. La formule doat l espérace de la loi biomiale est cojecturée puis admise, celle de la variace est admise. O peut simuler la loi biomiale avec u algorithme. L objectif est d ameer les élèves à expérimeter la otio de «différece sigificative» par rapport à ue valeur attedue et à remarquer que, pour ue taille de l échatillo importate, o coforte les résultats vus e classe de secode. L itervalle de fluctuatio peut être détermié à l aide d u tableur ou d u algorithme. Le vocabulaire des tests (test d hypothèse, hypothèse ulle, risque de première espèce) est hors programme. Algorithmique E secode, les élèves ot coçu et mis e œuvre quelques algorithmes. Cette formatio se poursuit tout au log du cycle termial. Das le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sot etraîés à : - décrire certais algorithmes e lagage aturel ou das u lagage symbolique ; - e réaliser quelques-us à l aide d u tableur ou d u programme sur calculatrice ou avec u logiciel adapté ; - iterpréter des algorithmes plus complexes. Aucu lagage, aucu logiciel est imposé. L algorithmique a ue place aturelle das tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivet être e relatio avec les autres parties du programme (aalyse, géométrie, statistiques et probabilités, logique), mais aussi avec les autres disciplies ou le traitemet de problèmes cocrets. À l occasio de l écriture d algorithmes et programmes, il coviet de doer aux élèves de boes habitudes de rigueur et de les etraîer aux pratiques systématiques de vérificatio et de cotrôle. Istructios élémetaires (affectatio, calcul, etrée, sortie). Les élèves, das le cadre d ue résolutio de problèmes, doivet être capables : - d écrire ue formule permettat u calcul ; - d écrire u programme calculat et doat la valeur d ue foctio ; - aisi que les istructios d etrées et sorties écessaires au traitemet. Boucle et itérateur, istructio coditioelle Les élèves, das le cadre d ue résolutio de problèmes, doivet être capables de : - programmer u calcul itératif, le ombre d itératios état doé ; - programmer ue istructio coditioelle, u calcul itératif, avec ue fi de boucle coditioelle. Notatios et raisoemet mathématiques Cette rubrique, cosacrée à l appretissage des otatios mathématiques et à la logique, e doit pas faire l objet de séaces de cours spécifiques, mais doit être répartie sur toute l aée scolaire. Miistère de l'éducatio atioale > 6 / 7

7 E complémet des objectifs rappelés ci-dessous, u travail sur la otio d équivalece doit aturellemet être meé e série scietifique (propriété caractéristique, raisoemet par équivalece). Notatios mathématiques Les élèves doivet coaître les otios d élémet d u esemble, de sous-esemble, d apparteace et d iclusio, de réuio, d itersectio et de complémetaire et savoir utiliser les symboles de base correspodats :,,, aisi que la otatio des esembles de ombres et des itervalles. Pour le complémetaire d u esemble A, o utilise la otatio des probabilités A. Pour ce qui cocere le raisoemet logique, les élèves sot etraîés, sur des exemples, à : - utiliser correctemet les coecteurs logiques «et», «ou» et à distiguer leur ses des ses courats de «et», «ou» das le lagage usuel ; - utiliser à bo esciet les quatificateurs uiversel, existetiel (les symboles, e sot pas exigibles) et à repérer les quatificatios implicites das certaies propositios et, particulièremet, das les propositios coditioelles ; - distiguer, das le cas d ue propositio coditioelle, la propositio directe, sa réciproque, sa cotraposée et sa égatio ; - utiliser à bo esciet les expressios «coditio écessaire», «coditio suffisate» ; - formuler la égatio d ue propositio ; - utiliser u cotre-exemple pour ifirmer ue propositio uiverselle ; - recoaître et utiliser des types de raisoemet spécifiques : raisoemet par disjoctio des cas, recours à la cotraposée, raisoemet par l absurde. Miistère de l'éducatio atioale > 7 / 7