Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

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1 Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée par (1 1,100) 0,99 tous les as et par 0, ,9044 avec 0, , doc, elle a dimiuée d eviro 9,56 % e 10 as. Questio : Soit ( u ) ue suite géométrique de raiso. O sait de plus que u 0 u 1 u... u O a doc : u u u doc u 0 est égal à 5. Questio 3 : Soit le tableau de variatio de la foctio f défiie sur [ 6] : x variatios de f Sur l itervalle [ 3], f admet pour maximum f(0) 3 doc l équatio f(x) 3 possède pour solutio 0 das l itervalle [ 3]. Sur l itervalle [3 6], f est cotiue et strictemet croissate avec f(3) 3 f(6) doc, d après le théorème des valeurs itermédiaires, f(x) 3 possède ue solutio uique das l itervalle [3 6]. L équatio f(x) 3 possède doc deux solutios d as [ 6] : 0 et. Questio 4 : O cosidère la foctio f défiie sur par f(x) x 3 1x 4x 5. f est dérivable sur et o a f (x) 6x 4x 4. f est dérivable sur et o a : f (x) 1x 4. De plus : 1x 4 0 pour x et 1x 4 0 x O e déduit que f s aule e e chageat de sige doc la courbe Cf de la foctio f admet comme poit d'iflexio le poit d abscisse et doc de coordoées ( 9). Questio 5 : O coait à ombres près la loi de probabilité de la variable aléatoire X. valeurs x i probabilités p i 0,10 0,0 0,30 0,40 O a : p 1 p p 3 p 4 1 d où : p 4 1 (0,10 0,0 0,30) 0,4 O sait de plus que l'espérace E de X est égale à 15 doc : 5 0, ,0 x 3 0,30 0 0, ,3 x 3 4,5 x 3 4,5 0,3 La valeur x 3 maquate est doc 15. 1/7

2 Exercice (5 poits) U magazie, uiquemet vedu par aboemet, comptait 8000 aboés e 005. Le directeur désirat alors avoir ue estimatio du ombre d aboés pour les aées suivates, avait commadé ue étude de marché qui avait prévu 1800 ouveaux aboés chaque aée mais 15 % des aboés qui e reouvelleraiet pas leur aboemet d ue aée sur l autre. Partie A O ote u le ombre, e milliers, d aboés l aée E 005, le ombre d aboés était de 8 milliers doc : u % des aboés de 005 e reouvellet pas leur aboemet e 006 doc 85 % le reouvellet soit 0,85 u 0 aboés et o compte 1800 ouveaux aboés doc u 1 0,85 u 0 1,8 soit u 1 8,6. De même : u 0,85 u 1 1,8, soit u 9, E raisoat comme das la questio précédete, o trouve : u 1 0,85 u 1,8. 4. Parmi les 3 algorithmes proposés ci-dessous, seul l algorithme permet de détermier les prévisios du ombre d aboés pour les aées 005 à 005. Algorithme 1 Algorithme Algorithme 3, i etiers aturels, u ombre réel Lire u pred la valeur 8 Pour i allat de 1 à u pred la valeur 0,85*u +1,8, i etiers aturels, u ombre réel Lire u pred la valeur 8 Pour i allat de 1 à u pred la valeur 0,85*u +1,8, i etiers aturels, u ombre réel Lire u pred la valeur 8 Pour i allat de 1 à u pred la valeur 0,85*u +1,8 L algorithme 1 e coviet pas car pour i, il affiche u (qui a pris la valeur u 1 das la boucle précédete) avat de calculer sa ouvelle valeur u. L algorithme 1 affiche doc u 0, u 1,..., u 1 mais pas u. L algorithme 3 e coviet pas o plus car pour i allat de 1 à, il calcule u i sas l afficher, puis les boucles état traitées, il affiche la derière valeur de u calculée c est-à-dire u. L algorithme affiche doc uiquemet u. 5. E programmat cet algorithme sur la calculatrice et e doat à la valeur 5 ( ), o obtiet comme affichages successifs : le derier affichage état u 5, soit ue prévisio de 10 5 aboés pour 010. Remarque : O peut égalemet utiliser la calculatrice pour calculer directemet le terme u 5 de la suite u. ( ) /7

3 Partie B O cosidère la suite ( v ) défiie par v u 1 pour tout etier aturel. 1. v 1 u ( 1) 1 0,85 u 1,8 1 0,85 u 10, 0,85 u 10, 8,5 0,85( u 1 ). O a doc v 1 0,85 v, ce qui prouve que la suite ( v ) est géométrique de raiso q 0,85 et de premier terme v 0 u 0 1, soit v D après la questio précédete, o a : v 4 0,85 avec 0 0,85 1 d où lim O e déduit que lim v 0. 0,85 0. De plus : v u 1 u v 1 d où : lim u 1. Cette limite idique que le ombre d aboés va se rapprocher de d aée e aée. Partie C E 010, le ombre d aboés était, d après la partie A, d eviro Suite à la cocurrece de la «presse umérique», ce magazie voit ses résultats chuter à partir de 010, le taux de reouvellemet état plus que de 80 % avec seulemet 1500 ouveaux aboés chaque aée. Soit w le ombre d aboés e 010. E raisoat comme das la partie A, o a : w 1 0,8 1,5 Sachat que l éditio de ce magazie est retable que si le ombre d aboés est supérieur à 8000, o cherche doc tel que w 8. Avec l algorithme suivat : etier aturel, w ombre réel w pred la valeur 10,5 pred la valeur 0 Tat que w 8 w pred la valeur 0,8*w +1,5 pred la valeur 1 Afficher o obtiet 8, ce qui sigifie que la parutio de ce magazie devrait s arrêter e 018 ( ). 3/7

4 Exercice 3 (5 poits) Das u garage automobile, o ved des voitures B1 e versios (Classique ou Sport) et 3 motorisatios (Essece, Diesel ou Hybride). 1. U cliet achète ue B1. O cosidère les évéemets suivats : C «la voiture achetée est ue B1 Classique», S «la voiture achetée est ue B1 Sport», E «la voiture achetée est ue B1 Essece», D «la voiture achetée est ue B1 Diesel», H «la voiture achetée est ue B1 Hybride». a) O sait : - que 70 % des voitures B1 vedues sot e versio Classique doc p(c) 0,70 - qu ue B1 sur 0 vedues est ue Classique Essece doc p(c E) 1 0, que 5 % des B1 vedues sot des versios Classique Hybride doc p(c H) 0,5 - que 50 % des B1 versio Sport vedues sot des versios Diesel p S (D) 0,50 -que B1 versio Essece sur 3 vedues sot des versios Sport doc p E (S) 3. b) B1 versio Essece sur 3 vedues sot des versios Sport doc o a deux fois plus de versio Essece Sport que de versios Classique Sport d où : p(s E) p(c E), soit p(s E) 0,10. Les évéemets C et S sot des évéemets cotraires doc p(s) 1 p(c) 0 0,70 0,30 et o a : p(s D) p S (D) p(s) 0,50 0,30 soit p(s D) 0,15. c) O place les résultats correspodat à p(c H), p(s), p(s E) et p(s D) das le tableau. E D H Total C 5 % 5 % 70 % S 10 % 15 % 30 % Total 100 % C et S format ue partitio de l uivers des voitures B1, o a : p(e) p(e C) p(e S) 0,15. E, D et H format ue autre partitio de l uivers des voitures B1, o a : p(s) p(s E) p(s D) p(s H), soit 0,30 0,10 0,15 p(s H) d où : p(s H) 0,05 et p(c) p(c E) p(c D) p(c H), soit 0,70 0,05 p(c D) 0,5 d où : p(c D) 0,40 d où : E D H Total C 5 % 40 % 5 % 70 % S 10 % 15 % 5 % 30 % Total 15 % 100 % Et efi, avec C et S format ue partitio de l uivers des voitures B1 : p(d) p(d C) p(d S) 0,40 0,15 0,55 et p(h) p(h C) p(h S) 0,5 0,05 0,30 E D H Total C 5 % 40 % 5 % 70 % S 10 % 15 % 5 % 30 % Total 15 % 55 % 30 % 100 % 4/7

5 d) U cliet achète u modèle Sport. La probabilité que la voiture ait ue motorisatio hybride est p S (H) p(s H) 0,05 et p(s) 0,30 d où 0,05 0,30, soit p S(H) 1 6. p(s H) p(s) avec, d après le tableau :. Le prix d'ue B1 classique essece ou diesel est de euros. Le modèle classique hybride est à euros. Il faut rajouter 3000 euros pour les modèles versio Sport. Soit X la variable aléatoire associée au prix e euros d ue B1 achetée par u cliet choisi au hasard. a) p(x 17000) p(c H) 0,5 p(x 0000) p(s H) 0,05 p(x 18000) p(s E) p(s D) 0,10 0,15 0,5 doc la loi probabilité de X est doée par : Prix x i Probabilités p i 0,45 0,5 0,5 0,05 b) E(X) , , , ,05 soit E(X) Doc l'espérace mathématique de X est égale à Au garage, Mosieur Clémet est chargé de la vete des B1. Au mois de javier 015, 30 cliets l'ot cotacté de maière idépedate pour acheter ue B1. O sait de plus que quad u cliet le cotacte, il ved ue B1 ue fois sur ciq. Soit Y la variable aléatoire associée au ombre de B1 vedues par Mr Clémet au mois de javier 015. a) O a ue successio de 30 épreuves idépedates et idetiques à issues possibles : - la réussite (le cliet achète ue B1) avec ue probabilité p 0,0 - l échec (le cliet 'achète pas ue B1) avec ue probabilité 1 p 0,80 Y suit doc la loi biomiale de paramètres 30 et p 0,0. b) D après le cours : p(y 7) ,0 7 0, , soit p(y 7) 0,154 c) Y suivat la loi biomiale de paramètres 30 et p 0, doc E(Y) p 30 0,0 soit E(Y) 6. d) Le salaire mesuel de Mr Clémet est e parties : u fixe de 100 euros auquel s ajoute 1 % du motat des vetes des B1. E(X) représete le prix moye d ue voiture B1 vedue et E(Y) le ombre de voitures que peut espérer vedre Mr Clémet e javier 015, doc E(X) E(Y) représete le motat des vetes qu il peut espérer e javier 015, d où : E(X) E(Y) 100 0, Ue estimatio de so salaire e javier 015 est doc de 190 euros. 5/7

6 Exercice 4 (5 poits) PARTIE A Soit f la foctio défiie sur [0 6] par f(x) e 3x x. O doe sa courbe représetative sur la figure ci-dessous : 1. f(x) 1 e 3x x 1 e 3x x 1 e 3x x e 0 3x x 0 x(3 x) 0 O a doc f(x) 0 x 0 ou 3 x 0. L esemble des solutios de l équatio f(x) 0 est doc S {0 3}.. a) f est de la forme k e u avec k et u :x 3x x dérivable sur, de dérivée u :x 3 x doc f est dérivable sur [0 6], de dérivée f u e u, d où : f (x) (3 x)e 3x x. b) La foctio expoetielle état strictemet positive, o a : e 3x x 0 pour tout x de [0 6]. f (x) est doc du sige de (3 x) avec : 3 x 0 x 3 x 3 d où : x sige de f + 0 f e e a) La foctio f est cotiue et strictemet croissate sur [0 1] avec f(0) 1 et f(1) e, soit e 5,4 d où : f(0) 0 f(1). O e déduit, d après le théorème des valeurs itermédiaires que l équatio f(x) 0 possède ue solutio uique das [0 1]. b) A la calculatrice, o obtiet successivemet : f(0,) 0 f(0,3) doc 0, 0,3 f(0,5) 0 f(0,6) doc 0,5 0,6 O admet que l'équatio admet u autre solutio apparteat à l itervalle [,74,75]. 6/7

7 4. U logiciel de calcul formel doe les résultats ci-dessous : 1 deriver(-+exp(3*x-x²)) deriver((3-*x)*exp(3*x-x²)) 3 factoriser((-)*exp(3*x-x²)+(3-*x)*(3-*x)*exp(3*x-x²)) 3x x lige 1 : o calcule f (x) et o obtiet : f (x) (3 x)e (3-*x)*exp(3*x-x²) (-)*exp(3*x-x²)+(3-*x)*(3-*x)*exp(3*x-x²) lige : o calcule f (x) et o obtiet : f (x) e 3x x 3x x (3 x)(3 x)e lige 3 : o factorise f (x) et o obtiet : f (x) ( 4x 3x x 1x 7) e (4*x²-1*x+7)*exp(3*x-x²) O a doc f (x) ( 4x 1x 7) e 3x x avec e 3x x 0 sur [0 6] doc f (x) est du sige du triôme du secod degré 4x 1x 7 avec b 4ac ( 1) , soit 0 doc le triôme admet deux racies x b et x b a 8 a 8 Doc le triôme est positif (du sige de a De plus : x 1 0,79 et x,1 doc : 4) à l extérieur des racies et égatif à l itérieur. x 0 x 1 x 6 f (x) O e déduit que la foctio f est covexe sur [ 0 x 1 ] et sur [ x 6 ] et f est cocave sur [ x 1 x ]. PARTIE B Ue usie produit chaque mois etre 0 et 600 kilogrammes de poudre de perlimpipi et ved toute sa productio. Le bééfice, e milliers d euros, est doé par la foctio f :x e 3x x où x est la productio e cetaies de kilogrammes, avec x [0 6]. 1. U déficit de 1000 euros se traduit pas f(x) 1 et, d après la questio 1 de la partie A, l équatio f(x) 1 a pour solutios 0 et 3 doc l usie a u déficit de 1000 euros pour ue productio ulle ou pour ue productio de 300 kg de poudre de perlimpipi.. D après la questio. b) : f est croissate sur 0 3 et s aule e doc f(x) 0 sur 3 avec 0,5 0,6 f est décroissate sur 3 6 et s aule e doc f(x) 0 sur 3 avec,74,75. U bééfice correspodat à f(x) 0, o e déduit que l usie est bééficiaire pour ue productio comprise etre 6 kg et 74 kg de poudre de perlimpipi. 3. D après la questio. b) de la partie A, f admet u maximum e x 3 avec f 3 7,488 doc le bééfice de l usie est maximal pour ue productio de 150 kg de poudre de perlimpipi et ce bééfice maximal s élève à 7488 euros. 4. La croissace du bééfice raletit lorsque sa dérivée deviet décroissate, ce qui correspod au premier poit d iflexio de la courbe d abscisse x 1 avec x 1 0,79 doc la croissace du bééfice raletit à partir d ue productio de 79 kg. 7/7