ICNA - SESSION 2006 ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE CORRIGÉ

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1 IN - SESSION 6 ÉPEUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE OIGÉ Élecrocinéiqe : réime sinsoïdal.. En réime éabli, la chare Z es somise à ne ension d'amplide complexe e es raversée par n coran don l'inensié présene l'amplide complexe moyenne absorbée par ce dipôle es alors : E e{ U.I* } P ( + ) + ( X + X) U E I Z + Z Z Z + Z E. La pissance. ee pissance sera maximale si on a simlanémen aisémen : P e X X Z Z * e P X. On en dédi 3. Il en résle qe : P max E 8 4. L'amplide complexe d énéraer de Thévenin éqivalen a circi enre les bornes e D es celle de la ension ax bornes de Z car le coran es nl dans Z. En ilisan le diviser de ension il vien : Z jxe Eh E Z + + jx 5. L'impédance inerne d énéraer de Thévenin défini dans la qesion précédene es elle qe : Z j( X+ X) XX Zh Z + + Z + jx 6. On branche ne chare de résisance ( ) < enre les bornes d énéraer de Thévenin défini précédemmen. La pissance moyenne absorbée par es maximale si on a simlanémen e Z I m Z. On en dédi : (analoie avec les qesions e ) { } e { } h X e X h j 7. On a respecivemen Z jx jlωe Z jx. Il en résle qe : ω L 3, 33H e 333nF ω ω

2 96 IN - SESSION 6 E 8. Dans les condiions précédenes la chare résisive absorbe ne pissance maximale P max ; 8 E ' par conre,la pissance absorbée devien P si elle es direcemen branchée ax ( + ) bornes d énéraer. Le rappor de ces pissances es donc el qe : P ( ) max + η 3 P ' 4 ycle de Diesel. 9. cors de la compression isenropiqe B le az - spposé parfai avec γ e - si la loi de Laplace, d'où : B p γ T γ B pb TB γ γ pb TB T 73K p 3 3 Par aillers V V V,76. m V α 9,. V. De même por la déene isenropiqe D on a : T D ; il en résle n ax de compression V T VD γ T T T γ B TB TB TB Or V D V car la ransformaion B es isobare e V V V D es isochore. Il en résle qe : T TD T 44K TB V TB On pe noer qe le rappor de déene es β 3, V α T. γ. car l'évolion. cors de la phase de combsion (déene isobare irréversible B ) la qanié de chaler Q c échanée enre le az e le milie exérier es éale la variaion d'enhalpie d az. ompe en q'n az parfai si la dexième loi de Jole, il vien : γ pv Qc HB ncp( T TB) ( T TB) 4,kJ γ T. cors de la phase de refroidissemen isochore irréversible D la qanié de chaler Q f échanée enre le az e le milie exérier es éale à la variaion d'énerie inerne d az. ompe en q'n az parfai si la première loi de Jole il vien : pv Qf UD ncv( T TD) ( T TD), 9kJ γ T 3. L'efficacié hermodynamiqe d moer es alors : W Qf TD T η +,46 Q Q γ T T c c B

3 ÉPEUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE - OIGÉ Dans le cas d'n moer décrivan, de manière réversible, n cycle de arno e foncionnan enre dex sorces de chaler de empérares respecives T e T, on obien : T η,86 T Poin maériel sr n ide circlaire. 5. On appliqe à la bille le héorème de l'énerie cinéiqe enre l'insan où on l'abandonne sans viesse iniiale en e l'insan où elle aein le poin O. En l'absence de froemens il vien : mv mh d'où : h 6. La même démarche enre O e M nos condi à : mvm mv ma cos θ On en dédi, compe en de l'expression de v : vm a( cosθ ) + h v 7. On appliqe la dexième loi de Newon à la bille dans le référeniel lié a ide e spposé aliléen : ma( M/ ) + m Tan qe la bille rese en conac avec le ide elle a n movemen circlaire d'accéléraion : v M a( M/ ) a ( θeθ θ er) a θeθ e r a Par aillers on a ( cosθer sinθe θ ) e e r car il n'y a pas de froemens. La réacion d ide circlaire sr la bille es alors : v M h er mcosθ m er m + 3cosθ r a a e 8. La liaison bille/ide es nilaérale ; la bille pe avoir n movemen révolif si ( π ) <, soi si : 5 h > hmin a 9. On lâche la bille, sans viesse iniiale, d'ne haer h a < hmin ; elle va donc qier le ide por ne valer θθ <π elle qe ( θ ), soi : cos θ θ 3,8 3. En ce poin la viesse de la bille es la même sr le cercle e sr la parabole osclarice qe va décrire le poin maériel sos la sele acion de la pesaner. Elle présene sivan Ox ne composane : vox vm ( θ ) cosθ a 3 3. somme de la parabole la viesse de la bille es niqemen horizonale e éale à v Ox. On appliqe le héorème de l'énerie cinéiqe à la bille enre l'insan où elle qie le ide e l'insan où elle aein son alide maximale : mvox mvm ( θ ) m ( hm a ( cos θ )) qi nos donne :

4 98 IN - SESSION 6 Disposiif des ros d'yon. 5 hm a < a 7. L'éclairemen d plan d'observaion (démonsraion de cors) es défini par : ax ax E ( x) 4ψ cos π ψ + cos π λf λf 3. Les franes d'inerférence - corbes iso-éclairemen sr l'écran - son des droies (en fai on observe des semens de droie) définies par x e, éqidisanes de : λf i,mm a 4. Dans ce cas la différence de marche en M(x) devien : x δ '( x) a θ f Le sysème de franes a sbi, en bloc, ne ranslaion éale a déplacemen de la frane d'ordre zéro, soi : d fθ,4mm 5. Les sorces son mellemen incohérenes donc, dans le plan d'observaion, les éclairemens s'ajoen : a x θ x a x θ E ψ + cos π + ψ + cos π + λ f λ f soi : aθ ax E ( x) 4ψ + cosπ cosπ λ λf aθ 6. Le facer de visibilié es V cos π λ ; il s'annle (broillae des franes) por θ fixé lorsqe la disance enre les ros prend les valers : λ ak k+ ( k ) θ 7. Les franes disparaissen la première fois por a ssociaion de condensaers. λ θ 6, " a mm ce qi correspond à : 8. On ferme l'inerrper K e on laisse over K. La chare d condensaer de capacié 3 rese nlle : Q3 Les condensaers de capaciés respecives e, monés en série, prennen la même chare sos la ension oale E. On a donc : Q Q Q Q e E + ( Q+ Q) ce qi nos donne : Q Q E 3 9. L'énerie élecrosaiqe oale d sysème es :

5 ÉPEUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE - OIGÉ 99 Q Q E + E 3 3. On ovre l'inerrper K pis on ferme K. La chare élecriqe d condensaer de capacié ne varie pas car il es isolé : Q' Q E 3 La chare Q porée par le condensaer de capacié va se réparir sr e 3. Les dex condensaers éan monés en parallèle ils son somis à la même ension. insi on a : Q' Q' 3 Q Q' + Q' 3 E e Q' 3Q' d'où on dédi : Q' E,Q' 3 E 6 3. L'énerie élecrosaiqe oale d sysème dans ce novel éa d'éqilibre es : Q' Q' Q' 3 5 E ' + + E 8 3 Noons qe E' E E < ; l'énerie perde a éé dissipée dans la résisance d circi Le énéraer es remplacé par n cor-circi, l'inerrper K rese fermé e on ferme K. La chare oale porée par les rois condensaers va se réparir sr, e 3 monés en parallèle. On a alors : Q" Q" Q" 3 Q" Q" ( Q" + Q" 3) Q' ( Q' + Q' 3) e Q" 3Q" 3 3 Il en résle qe Q" Q" Q" 3 donc E " e : 5 E E" E ' E 8 Élecromécaniqe. 33. Il apparaî dans la ie, qi se déplace à la viesse v v e x dans le champ manéiqe niforme e consan B, ne f.é.m. indie : e() ( v B )(. dy e y ) abv() MN On nélie la résisance des fils de joncion e des rails ainsi qe le phénomène d'ao-indcion. L'éqaion élecriqe d circi s'écri alors : q E abv() + i() La ie condcrice, parcore par le coran i() e plonée dans le champ manéiqe niforme e consan B, es somise : à la force de Laplace F i() dye Be abi e ; L y z x MN à son poids me z ; à la réacion des rails Ne z (pas de froemens). Le héorème de la réslane dynamiqe appliqé à la ie T dans le référeniel lié ax rails e spposé aliléen nos donne en projecion selon ex : dv m abi() d

6 IN - SESSION 6 On dérive l'éqaion élecriqe par rappor a emps e on élimine v() à l'aide de l'éqaion mécaniqe. Il vien : di( ) m+ a B + i () d m ee éqaion différenielle homoène d premier ordre à coefficiens consans adme ne solion de la forme i() I exp τ si on pose : m τ m+ a B 34. Sachan q'à l'insan on a q e v, l'éqaion élecriqe nos donne : E I i 35. parir de l'éqaion mécaniqe, compe en qe v, on obien : v() v exp τ où v, viesse limie aeine par la ie, es elle qe : abeτ v m 36. L'énerie fornie par le énéraer enre les insans e es : + E τ E Ei() d 37. L'énerie emmaasinée par le condensaer pendan la même drée es : + q ( + ) E q()() i d Or, d'après l'éqaion élecriqe on a : Eτ q( + ) ( E abv ) Il en résle qe : E τ E 38. L'énerie dissipée sos forme de chaler par effe Jole dans la résisance de la ie, ojors pendan la même drée, es : + E τ E J i () d 39. Enfin le ravail des forces de Laplace enre les insans e es : + + abeτ W abi() v() d mv() dv() mv m Il correspond à la variaion d'énerie cinéiqe de la ie enre ces dex insans. 4. Le bilan éneréiqe se radi par : E E + E J + W L'énerie fornie par le énéraer : ser en parie à charer le condensaer e à commniqer à la ie de l'énerie cinéiqe ; es dissipée, por l'are parie, dans la résisance de la ie par effe Jole.