Exercice 20*. Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, x I et h 0. En utilisant le théorème 4

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1 S Dériaion Eercices (sie) Opéraions sr les foncions dériées Eercice * Soi e de foncions dériables sr n ineralle I, I e En ilisan le éorème e en ransforman l epression, démonrer qe ( + ) + Eercice * Soi ne foncion dériable sr n ineralle I, k R, I e En ilisan le éorème e en ransforman l epression k k, démonrer qe (k ) k Eercice * Soi ne foncion dériable sr n ineralle I, I el qe () e soi En ilisan f f le éorème e en ransforman l epression où f, démonrer qe Eercice Soi e des foncions dériables sr n ineralle I e I Soi On noe f f f Démonrer qe En ilisan le éorème, démonrer qe ( ) + Eercice * Soi e des foncions dériables sr n ineralle I el qe () sr I Démonrer, en ilisan les formles e ( ) + qe Eercice Por cacne des foncions f définies e dériables sr R, déerminer f () a f () + b f () + c f () d f () g f () e f () + f f () + f () Eercice Déerminer f () por les foncions sianes, définies e dériables sr ] ; + [ a f () + b f () + c f () d f () e f () f f () sin

2 Eercice 7 Déerminer f () por les foncions sianes, définies e dériables sr ] ; + [ a f () ( ) ( + + ) b f () ( + ) ( + ) c f () d* f () e* f () ( + ) ( + ) f* f () ( ) g f () sin f () sin i f () ( + ) Eercice * Déerminer la foncion dériée des foncions sianes e définies e dériables sr ] ; + [ Mere le résla a même dénominaer e facoriser lorsqe nécessaire a f () c () b R (), + + d l () Eercice Por cacne des foncions sianes, définies e dériables sr o ineralle ne conenan pas les alers inerdies, déerminer f () e préciser les alers inerdies a f () c f () b f () d f () e f () sin ( an ) f f () Eercice Por cacne des foncions sianes, définies e dériables sr o ineralle ne conenan pas les alers inerdies, déerminer f () e préciser les alers inerdies a f () c f () e f () b f () d f () f f () sin Eercice Por caqe foncion donnée, déerminer son ensemble de définiion, sa foncion dériée, la rédire a même dénominaer, facoriser le nméraer, e déerminer l ensemble de dériabilié a f () 7 d f () + g f () sin b f () e f () f () c f () f f () + + i f ()

3 Eercice Déerminer l ensemble de définiion de f, calcler la foncion dériée f e donner l ensemble de définiion de f a f () ( + ) b f () c f () ( ) d f () e f () f f () sin Eercice Déerminer l ensemble de définiion de f, calcler la foncion dériée f e donner l ensemble de définiion de f a f () 7 b f () c f () ( + ) Dériée e sens de ariaion Eercice Soi f définie par f () + por [ ; ] Calcler f() Edier le signe de f() Faire le ablea de ariaions de f Eercice Soi f définie par f () 7 Calcler f() Edier le signe de f() Faire le ablea de ariaions de f por [ ; ] Eercice Soi f définie par f () por [ ; ] Calcler f() Résodre f() e édier le signe de f() Faire le ablea de ariaions de f Eercice 7 La foncion f es définie sr [ ; ] par f () On appelle C f la corbe représenaie de f dans n plan P mni d n repère orogonal a Calcler f () b Edier le signe de f () e en dédire les ariaions de f a Calcler l epression f () b Edier le signe de f () c En dédire la posiion de la corbe C f par rappor à la droie D d éqaion y O ; i ; j a Déerminer les coordonnées d poin A, poin d inersecion de la corbe C f aec l ae des abscisses b Déerminer l éqaion de la angene T à C f a poin A Sr n même dessin, consrire la corbe C f, la droie D e la angene T

4 Eercice On considère la foncion f définie sr R {} par : f () C es sa corbe représenaie c Monrer q il eise rois réels a, b, c els qe, por o, on a : f () a + b + Déerminer la foncion dériée de la foncion f pis édier son signe sr R {} Dresser le ablea des ariaions de la foncion f Monrer qe le poin A ( ; ) es cenre de symérie de la corbe C Résodre l éqaion f () + Édier la posiion relaie de la corbe C e de la droie D d éqaion y + 7 Déerminer les abscisses des poins d inersecion de la corbe C aec l ae des abscisses Tracer C e D dans n repère oronormé, d nié grapiqe cm a b Eercice φ es la foncion définie par : φ Les réels a e b éan à déerminer On appelle C sa corbe représenaie dans n repère oronormé Qels son les ensembles de définiion e de dériabilié de φ (calcler la foncion dériée φ ) Déerminer a e b por qe la angene à C a poin d abscisse ai por éqaion y + Monrer qe le poin I ( ; ) es cenre de symérie de C Préciser la posiion de C par rappor à cee angene Dresser le ablea de ariaions de la foncion φ La foncion φ adme-elle des erema sr R? Lesqels? Jsifier la réponse 7 Préciser la posiion de C par rappor à la droie d éqaion y Tracer la corbe représenaie de la foncion φ, les droies d éqaion y + e y Eercice On considère la foncion f définie par f () ( ) On noe C sa corbe représenaie dans n repère oronormé Préciser son ensemble de définiion D f Eablir l accroissemen moyen de f enre e + por En dédire qe la foncion f es dériable sr [ ; + [ e donner f sr ce ineralle Jsifier qe f es sricemen croissane sr [ ; + [ Déerminer ne éqaion de la angene à C a poin d abscisse Tracer C e cee angene Eercice Démonrer qe, por o [ ; + [, on a : sin Indicaion, considérer la foncion f () sin En dédire qe, por o [ ; + [ : En dédire, par n même raisonnemen, qe por o [ ; + [ : sin

5 Eercice Éde générale des éqaions d roisième degré On considère la foncion f définie sr R par f () + p + q où p e q son de nombres donnés a Monrer qe, si p, la foncion f n adme ni minimm, ni maimm b Monrer qe, si p <, la foncion f adme n minimm local m e n maimm local M c Calcler le prodi m M en foncion de p e q On sppose désormais qe p es sricemen négaif a Monrer, en s appyan sr des considéraions grapiqes, qe : si m < M < o si < m < M, alors l éqaion f () adme ne solion e ne sele ; si m o M, alors cee éqaion adme de solions ; si m < < M, alors cee éqaion adme eacemen rois solions dans R b Dédire des qesions précédenes, qe l éqaion + p + q adme rois solions disinces dans R, si e selemen si : p + 7 q < c En dédire le nombre de solions des éqaions sianes, pis conrôler les réslas aec ne calclarice + ; + ; + ; + On considère ne éqaion générale d roisième degré : + b + c + d a Monrer, q en faisan le cangemen d inconne X b, on se ramène à ne éqaion d roisième degré ne comporan pas de ermes en X b En dédire le nombre de solions des éqaions sianes, e conrôler les réslas aec ne calclarice : + 7 ; + + ; c Reroer ces réslas en édian les ariaions des foncions correspondanes

6 Foncions rigonomériqes Eercice On considère la foncion définie sr R par : f () sin a Démonrer qe la foncion f es périodiqe de période b Edier la parié de la foncion f On décide alors de rédire l éde de la foncion f à l ineralle [ ; ] a Jsifier, à l aide d ne figre, qe la corbe d ne foncion f définie sr R adme la droie d éqaion a comme ae de symérie si e selemen si, f (a ) f (a + ) b En dédire qe la corbe de la foncion f adme la droie d éqaion comme ae de symérie On décide alors de rédire l éde de la foncion f à l ineralle [ ; ] c Epliqer commen on pe reconsier la corbe de f sr R à parir de la corbe obene sr [ ; ] Calcler f (), édier son signe e faire le ablea de ariaions de f sr [ ; ] pis sr [ ; ] à l aide de la symérie Eercice On considère la foncion définie sr R par : f () Edier la parié de la foncion f Edier la périodicié de la foncion f Epliqer en qoi l éde de f sr [ ; ] perme d obenir l éde de f sr R Calcler f (), édier son signe e faire le ablea de ariaions de f sr [ ; ] Tracer la représenaion grapiqe de f sr [ ; ] en plaçan les poins de C f d abscisses,,, e en indiqan les nombres dériés respecifs En dédire le racé de C f sr l ineralle [ ; ]

7 S Dériaion Correcion des eercices (sie) Opéraions sr les foncions dériées Eercice * Soi e de foncions dériables sr n ineralle I, I e Transformons l epression : Par le éorème, comme lim e lim alors : ( + ) () lim Eercice * Soi ne foncion dériable sr n ineralle I, k R, I e Transformons l epression k k : k k k k k Par le éorème, comme lim alors (k ) () k k lim Eercice * Soi ne foncion dériable sr n ineralle I, I el qe () e soi Transformons l epression f f où f : f f Par le éorème, comme lim e lim alors : lim

8 Eercice Soi e des foncions dériables sr n ineralle I e I Soi Noons f Transformons l epression f f : f f Comme lim e lim alors le éorème perme d écrire qe lim () () + () () On a donc démonré qe ( ) () () () + () () Eercice * Soi e des foncions dériables sr n ineralle I el qe () sr I On a Eercice Por cacne des foncions f définies e dériables sr R, déerminons f () a f () + f () b f () + f () c f () f () + + d f () f () e f () + f () + f f () + f () g f () f () f () f () + Eercice Déerminons f () por les foncions sianes, définies e dériables sr ] ; + [ a f () + f () + b f () + f () + c f () f () d f () f () e f () f () f f () sin f () + sin

9 Eercice 7 Déerminons f () por les foncions sianes, définies e dériables sr ] ; + [ Les foncions proposées dans ce eercice son de la forme (saf ecepion), on roe lers dériées à l aide de la formle ( ) + Dans n premier emps, on idenifie les foncions e, pis on déermine e Enfin on appliqe la formle Parfois il es ile de simplifier le résla oben (en facorisan o pls raremen en déeloppan) a f () ( ) ( + + ) (), () + +, (), () + Donc f () () () + () () ( + + ) + ( + ) ( ) Soi f () b f () ( + ) ( + ) () +, () +, (), () Donc f () () () + () () ( ) ( + ) + ( ) ( + ) Soi f () ( ) ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ( ( + ) + + ) D où f () ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) c f () (), () +, (), () Donc f () () () + () () d* f () (), (), (), () Donc f () () () + () () e* f () ( + ) ( + ) () +, () +, () +, () Donc f () () () + () () f* f () ( ) (), (), (), () Donc f () () () + () () g f () sin (), () sin, () sin, () Donc f () () () + () () sin sin + sin Soi f () sin sin sin ( sin ) ( + sin ) f () sin Posons g () sin (), () sin, (), () Donc g () () () + () () sin + ( sin + ) D où f () ( sin + ) + sin

10 i f () ( + ) f () () aec () +, () + Donc f () () () ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Eercice * Déerminons la foncion dériée des foncions sianes e définies e dériables sr ] ; + [ Meons le résla a même dénominaer e facorisons lorsqe nécessaire a f () f () b R (), + + R () + ( ) ( ) ( + ) c () d l () l () + Eercice Por cacne des foncions sianes, définies e dériables sr o ineralle ne conenan pas les alers inerdies, déerminons f () e précisons les alers inerdies Toes les foncions proposées son de la forme f () aec (), (), (), () à préciser Pis on déermine les foncions dériées à l aide de la formle f () a f () Recerce des alers inerdies, on réso +, soi (sele aler inerdie) Donc f es définie sr R { } (), () +, (), () Donc f () L ensemble de dériabilié (c es-à-dire l ensemble sr leqel la foncion f es définie) de f es assi R { } b f () Recerce des alers inerdies, on réso, soi (sele aler inerdie) Donc f es définie sr R { } () +, (), (), () Donc f () 7 L ensemble de dériabilié de f es assi R { } c f () Recerce des alers inerdies, on réso +, soi e (sele aler inerdie) Donc f es définie sr R () + +, () +, () +, () Donc f () Soi f () L ensemble de dériabilié de f es assi R

11 d f () Recerce des alers inerdies, on réso + +, soi ( + ), d où + e (sele aler inerdie) Donc f es définie sr R { } () + +, () + +, () +, () + Donc f () Soi f () D où f () L ensemble de dériabilié de f es assi R { } e f () sin ( an ) Recerce des alers inerdies, on réso, soi k aec k Z Donc f es définie sr R { k aec k Z} () sin, (), (), () sin Donc f () sin sin sin L ensemble de dériabilié de f es assi R { k aec k Z} f f () Recerce des alers inerdies, on réso +, soi, d où Cee éqaion n a pas de solion (n carré es ojors posiif) Par conre le calcle de nécessie qe soi posiif, donc l ensemble de définiion de f es R + [ ; + [ (), (), (), () Donc f () L ensemble de dériabilié de f es ] ; + [ (remarqer qe es ne aler inerdie de f )

12 Eercice Por cacne des foncions sianes, définies e dériables sr o ineralle ne conenan pas les alers inerdies, déerminons f () e précisons les alers inerdies Toes les foncions proposées son de la forme f () déermine les foncions dériées à l aide de la formle f () aec (), (), (), () à préciser Pis on a f () Recerce des alers inerdies, on réso, soi (sele aler inerdie) Donc f es définie sr R { } (), (), (), () Donc f () L ensemble de dériabilié es assi R { } b f () Recerce des alers inerdies, on réso +, soi Cee éqaion n a pas de solion (n carré es ojors posiif) Donc f es définie sr R () +, () +, (), () Donc f () L ensemble de dériabilié es assi R c f () Recerce des alers inerdies, on réso, soi, donc o Donc l ensemble de définiion de f es R { ; } () +, (), (), () Donc f () Soi f () L ensemble de dériabilié es assi R { ; } d f () Recerce des alers inerdies, on réso +, soi, cee éqaion n a pas de solion (n carré es ojors posiif) Donc l ensemble de définiion de f es R (), () +, (), () Donc f () Soi f () L ensemble de dériabilié es assi R e f () Recerce des alers inerdies, on réso +, soi, cee éqaion n a pas de solion (ne racine carrée es ojors posiie) Toefois, le calcl de nécessie qe soi posiif Donc l ensemble de définiion de f es R + [ ; + [

13 (), () +, (), () Donc f () Soi f () L ensemble de dériabilié de f es ] ; + [ (remarqer qe es ne aler inerdie de f ) f f () Recerce des alers inerdies, on réso sin, soi sin Donc f es définie sr R { k aec k Z} (), () sin, () sin, () Donc f () Soi f () sin sin sin sin L ensemble de dériabilié de f es R { k aec k Z} sin k aec k Z sin Eercice Por caqe foncion donnée, déerminons son ensemble de définiion, sa foncion dériée, rédisons la a même dénominaer, facorisons le nméraer, e déerminons l ensemble de dériabilié a f () 7 Donc f es définie sr R { 7 } Cee foncion es de la forme f () Donc f () Recerce des alers inerdies, on réso 7, soi 7, donc aec () 7, () 7 L ensemble de définiion de f es assi R { 7 } (ensemble de dériabilié) 7 7 b f () discriminan b a c Recerce des alers inerdies, on réso + On calcle le ( ) + On a donc de alers inerdies : b a e b a Donc f es définie sr R ; Cee foncion es de la forme f () Donc f () aec () +, () + L ensemble de définiion de f es assi R ; (ensemble de dériabilié)

14 c f () Recerce des alers inerdies, on réso +, soi, d où Donc f es définie sr R { } f () g aec g () +, g () Donc f () g g L ensemble de définiion de f es assi R { } (ensemble de dériabilié) d f () + Recerce des alers inerdies, on réso +, soi Donc f es définie sr R { } f () + g aec g () +, g () Donc f () Soi f () L ensemble de définiion de f es assi R { } (ensemble de dériabilié) e f () Recerce des alers inerdies, on réso e + On roe alors les de alers inerdies e Donc f es définie sr R { ; } Por dérier f, on dérie les de ermes e à l aide de la formle Donc f () Soi f () D où f () L ensemble de définiion de f es assi R { ; } (ensemble de dériabilié) f f () + + Recerce des alers inerdies, on réso, soi Donc f es définie sr R {} Pis f () L ensemble de définiion de f es assi R {} (ensemble de dériabilié)

15 g f () Recerce des alers inerdies, on réso sin, soi sin Donc f es définie sr R { k aec k Z} Comme f (), alors f () sin sin sin L ensemble de définiion de f es assi R { k aec k Z} (ensemble de dériabilié) k aec k Z f () Recerce des alers inerdies, on réso, soi, d où Le calcl de nécessie qe soi posiif Donc f es définie sr ] ; + [ f () aec g (), g () g g Ainsi f () g g Donc f () g L ensemble de définiion de f es assi ] ; + [ (ensemble de dériabilié) i f () Recerce des alers inerdies, on réso, soi, soi k Z Donc f es définie sr R { k aec k Z} f () Donc f () aec (), () sin donc f () sin sin L ensemble de définiion de f es assi R { k aec k Z} (ensemble de dériabilié) k aec Eercice Déerminons l ensemble de définiion de f, calclons la foncion dériée f e donnons l ensemble de définiion de f a f () ( + ) L ensemble de définiion de f es R f () () n aec () +, () Donc f () n () () n ( + ) ( + ) L ensemble de définiion de f es assi R (ensemble de dériabilié) b f () Por roer l ensemble de définiion de f, on réso ( + ), soi, donc e f () (a + b) aec (), () Donc f () a (a + b) ( ) Remarqer qe Donc f es définie sr ] ;, a + b ] es ne aler inerdie de f Donc f es définie sr ] ; [

16 c f () ( ) L ensemble de définiion de f es R f () () n aec (), () Donc f () n () () n ( ) ( ) ( ) L ensemble de définiion de f es assi R (ensemble de dériabilié) d f () Por roer l ensemble de définiion de f, on réso, soi, donc Donc f es définie sr [ ; + [ f () (a + b) aec (), () Donc f () a (a + b), a + b Remarqer qe es ne aler inerdie de f Donc f es définie sr ] ; + [ e f () L ensemble de définiion de f es R f () (a + b) aec (), () sin, a + b + Donc f () a (a + b) sin L ensemble de définiion de f es assi R (ensemble de dériabilié) f f () sin L ensemble de définiion de f es R f () (a + b) aec () sin, (), a + b + Donc f () a (a + b) L ensemble de définiion de f es assi R (ensemble de dériabilié) Eercice Déerminons l ensemble de définiion de f, calclons la foncion dériée f e donnons l ensemble de définiion de f a f () 7 Por déerminer l ensemble de définiion de f, on réso + >, soi > e > Donc f es définie sr ] f () ; + [ 7 aec () e () Donc f () 7 L ensemble de définiion de f es assi ] 7 Donc f () 7 ; + [ (ensemble de dériabilié) 7

17 b f () Por déerminer l ensemble de définiion de f, on réso, soi, donc Donc f es définie sr R {} f () aec (), (), () sin, () Donc f () sin Soi f () sin sin L ensemble de définiion de f es assi R {} (ensemble de dériabilié) sin c f () ( + ) Por déerminer l ensemble de définiion de f, on réso +, soi, donc Donc f es définie sr [ ; + [ f () () () aec () +, (), (), () Donc f () () () + () () Soi f () Remarqer qe es ne aler inerdie de f Donc l ensemble de définiion de f es ] ; + [ Dériée e sens de ariaion Eercice Soi f définie par f () por [ ; ] Calclons f() + Ede d signe de f() Pisq n carré es ojors posiif, f () > por o [ ; ] Faisons le ablea de ariaion de f f () + f ()

18 Eercice Soi f définie par f () 7 por [ ; ] Calclons f() Ede d signe de f() Pisq n carré es ojors posiif, f () < por o [ ; ] Faisons le ablea de ariaions de f f () f () Eercice Soi f définie par f () por [ ; ] Remarqons q il n y a pas de aler inerdie pisqe n carré es ojors posiif donc + Calclons f(), en ilisan la formle Soi f () aec () ², () +, (), () On réso l éqaion f(), soi Une fracion es nlle lorsqe son nméraer es nl e son dénominaer non nl, donc, d où Ede d signe de f () Pisqe es sricemen posiif por o [ ; ], le signe de f () es le même qe celi de Ainsi, f() lorsqe e f() lorsqe Faisons le ablea de ariaions de f f () +,7,7 f ()