COURS D ANALYSE. Licence de Mathématiques, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE Licence de Mthémtiques, première nnée Lurent Michel Automne 2011

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Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires..................... 5 1.1.2 Enoncés complexes...................... 6 1.2 Nier un énoncé............................ 8 1.3 Prouver ou infirmer un énoncé................... 9 1.3.1 Démonstrtion directe.................... 9 1.3.2 Démonstrtion pr contrposition............. 9 1.3.3 Démonstrtion pr l bsurde................ 10 1.3.4 Démonstrtion pr récurrence................ 10 1.4 Propriétés élémentires des nombres réels............. 11 1.5 Quelques nottions de théorie des ensembles............ 12 2 Notion de limite 15 2.1 Cs des suites............................. 15 2.1.1 Limite finie.......................... 15 2.1.2 Monotonie et limite..................... 19 2.1.3 Critère de Cuchy...................... 20 2.1.4 Limite infinie......................... 20 2.2 Cs des fonctions........................... 22 2.2.1 Limite en un point...................... 22 2.2.2 Limites infinies........................ 29 2.2.3 Limites en l infini....................... 30 2.2.4 Pssge à l limite dns les inéglités........... 32 3 Continuité et dérivbilité des fonctions numériques 35 3.1 Rppels sur les fonctions....................... 35 3.1.1 Injectivité, surjectivité.................... 35 3.1.2 Monotonie........................... 36 3.2 Continuité............................... 37 3.2.1 Propriétés élémentires................... 37 3.2.2 Théorème de l vleur intermédiire............ 38 3.2.3 Notion d extremum...................... 39 3.2.4 Résultts globux...................... 40 3.3 Dérivbilité.............................. 41 3.3.1 Définition et propriétés élémentires............ 41 3.3.2 Théorèmes de Rolle et des ccroissements finis...... 44 3.3.3 Représenttion grphique.................. 46 3

4 TABLE DES MATIÈRES 3.3.4 Dérivées d ordre superieur.................. 46 3.4 Rppels sur les fonctions usuelles.................. 46 3.4.1 L fonction exponentielle.................. 46 3.4.2 Les fonctions trigonométriques............... 48 4 Intégrtion des fonctions continues morceux 49 4.1 Introduction.............................. 49 4.2 Définition de l intégrle....................... 51 4.2.1 Cs des fonctions en esclier................ 51 4.2.2 Cs des fonction continues.................. 52 4.2.3 Cs des fonction continues pr morceux......... 55 4.3 Théorème fondmentl de l Anlyse................ 56 4.4 Intégrtion pr prties........................ 57 4.5 Chngement de vrible....................... 58 5 Formule de Tylor, développements limités 61 5.1 Ordre de grndeur.......................... 61 5.1.1 Générlités.......................... 61 5.1.2 Cs des puissnces...................... 62 5.2 Formule de Tylor.......................... 63 5.3 Développements limités....................... 65 5.4 Développements limités usuels.................... 69 5.5 Appliction u clcul de limites................... 70

Chpitre 1 Éléments de logique Dns cette première prtie du cours, on introduit très rpidement quelques outils permettnt de formliser les idées mthémtiques et d obtenir des moyens systémtiques de triter les problèmes. 1.1 Fbriquer des énoncés 1.1.1 Enoncés élémentires Dns cette prtie, on tente de donner les outils nécessires à l formultion précise d énoncés mthémtiques. On veut pr exemple formliser des phrses du type suivnt : l somme de deux nombres positifs quelconques est un nombre positif le crré de n importe quel nombre réel est un nombre positif. tout nombre réel positif est le crré d un nombre réel. etc. Plus précisément, on cherche une mnière systémtique décrire des énoncés utilisnt le moins de mots possible (de mnière à éliminer toute mbiguité et de rccourcir les énoncés. On introduit donc les nottions suivntes (ou quntificteurs) : Définition 1.1.1 pour tout se note il existe se note pprtient se note On ppeler énoncé élémentire toute phrse fbriquée l ide des symboles précédents, ynt un sens. Exemple 1.1.1 Avec ces nottions on peut trduire de l mnière suivnte : l somme de deux nombres positifs quelconques est un nombre positif se trduit pr [0, + [, b [0, + [, + b 0 le crré de n importe quel nombre réel est un nombre positif se trduit pr x R, x 2 0 5

6 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE tout nombre réel positif est le crré d un nombre réel se trduit x R +, y R, x = y 2 Exercice 1.1.1 Trduire il existe un nombre rtionnel dont le crré vut deux. Exercice 1.1.2 Soit f : E F. On dit que f est surjective si tout élément de F est l imge pr f d u moins un élément de E. Trduire cette définition vec des quntificteurs. Remrque 1.1.1 (importnte) Les quntificteurs et ne commutent ps. Pr exemple les énoncés suivnt ne sont ps du tout équivlents : x R, y R, x y y R, x R, x y. Les quntificteurs permettent de fbriquer des énoncés élémentires. Pour obtenir des énoncés plus complexes, on peut utiliser des mots de liison entre énoncés : et, ou, implique, contrire. 1.1.2 Enoncés complexes Disposnt d énoncés élémentires, il possible de fbriquer des énoncés plus compliqués. Pr exemple, si A et B sont deux ssertions, on voudr prler des enoncés : A et B, A ou B, etc. Définition 1.1.2 A et B se note A B A ou B se note A B A implique B se note A = B contrire de A se note A. Soient E et F deux ensembles et f une ppliction de E dns F. On dit que f est injective si deux éléments quelconques de E et différents ont des imges différentes. Avec l ide des quntificteurs, cel se trduit Définition 1.1.3 Soit f : E F une ppliction. On dit que f est injective si x R, y R, (x y = f(x) f(y)) De même, on dir que f est surjective si tout élément de l ensemble d rrivée F est l imge d u moins un élément de E. Avec l ide des quntificteurs, cel se trduit Définition 1.1.4 Soit f : E F une ppliction. On dit que f est surjective si y F, x E, f(x) = y. Exemple 1.1.2 L fonction f : R R définie pr f(x) = x 2, n est ni injective ( cr1 1 et f(1) = f( 1)) ni surjective (cr f(x) 1 pour tout x R). Soit mintennt f : R R une fonction. On dit que f est croissnte si deux éléments quelconques de R ordonnés ont leurs imges pr f rngées dns le même ordre. Plus précisément, on l définition suivnte :

1.1. FABRIQUER DES ÉNONCÉS 7 Définition 1.1.5 Soit f : R R une fonction. On dit que f est croissnte si x R, x R, (x x = f(x) f(x )). On dit que f est strictement croissnte si x R, x R, (x < x = f(x) < f(x )). On peut de même définir l notion de fonction décroissnte : Définition 1.1.6 Soit f : R R une fonction. On dit que f est décroissnte si x R, x R, (x x = f(x) f(x )). On dit que f est strictement croissnte si x R, x R, (x < x = f(x) > f(x )). Définition 1.1.7 On ppeler énoncé mthémtique ou ssertion toute phrse fbriquée l ide des symboles précédents, ynt un sens. Si l on une informtion à priori sur l vércité des ssertions A et B on peut conclure sur l vercité d ssertions fbriquées vec A et B, en utilisnt les tbles de vérité. Dns les tbleux suivnts on note V une ssertion vrie et F une ssertion fusse. 1. Tble de vérité du contrire A = V A = F A = F A = V 2. Tble de vérité du et B = V B = F A = V A B = V A B = F A = F A B = F A B = F 3. Tble de vérité du ou B = V B = F A = V A B = V A B = V A = F A B = V A B = F 4. Tble de vérité du implique B = V B = F A = V A = B = V A = B = F A = F A = B = V A = B = V Exercice 1.1.3 Ecrire l tble de vérité de A ou B. Comprer vec celle de A = B.

8 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE 1.2 Nier un énoncé Tout énoncé mthémtique peut être nié en utilisnt les règles suivntes : ÉNONCÉ Pour tout élément x de l ensemble E, l propriété P(x) est vérifiée Il existe un élément x de l ensemble E tel que l propriété P(x) est vérifiée L ssertion A et l ssertion B sont vries L ssertion A est vrie ou (non exclusif) l ssertion B est vrie. Si l ssertion A est vrie lors l ssertion B est vrie ÉNONCÉ CONTRAIRE Il existe un élément x de l ensemble E tel que l propriété P(x) n est ps vérifiée Pour tout élément x de l ensemble E, l propriété P(x) n est ps vérifiée L ssertion A est fusse ou (non exclusif) l ssertion B est fusse. L ssertion A et l ssertion B sont fusses. L ssertion A est vrie ET l ssertion B n est ps vrie En utilisnt les quntificteurs, les règles précédentes prennent l forme suivnte : ÉNONCÉ x E, P (x) x E, tq P (x) A B A B A = B ÉNONCÉ CONTRAIRE x E, tq P (x) x E, P (x) A B A B A et B Remrque 1.2.1 On noter que l négtion trnsforme les quntificteurs en et en. Exemple 1.2.1 Considérons l ssertion A suivnte L ssertion contrire de A est x Q, tq x 2 = 2. x Q, x 2 2. Exemple 1.2.2 On rppelle qu une fonction f : E F est injective si x E, y E, (x y = f(x) f(y)). Avec les règles précédentes, on obtient l négtion de f est injective : x E, y E, tq x y et f(x) = f(y). Exercice 1.2.1 Nier les énoncés suivnts : f : E F est surjective. R, b R, c R, x R, x 2 + bx + c = 0.

1.3. PROUVER OU INFIRMER UN ÉNONCÉ 9 Exercice 1.2.2 On rppelle qu une fonction f : R R est croissnte si l propriété suivnte est vérifiée : Nier cet énoncé. x R, y R, (x y = f(x) f(y)). 1.3 Prouver ou infirmer un énoncé 1.3.1 Démonstrtion directe Les règles élémentires pour démontrer une ssertion sont les suivntes : 1. Enoncé du type x E, A(x). On se donne x u hsrd dns E (on ne prend surtout ps de vleur prticulière pour x) et on démontre l propriété A(x) en utilisnt des propriétés connues. 2. Enoncé du type x E, A(x). On doit prouver l existence d un x E tel que A(x) est vrie (il n est ps nécessire et souvent ps possible de montrer A(x) pour tout x). 3. Enoncé du type A et B. On démontre A puis on démontre B (ou inversement). 4. Enoncé du type A ou B. On suppose que A est fux et on en déduit que B est vrie (ou inversement). 5. Enoncé du type A = B. On suppose que A est vrie et on démontre B. A l ide de ces règles bsiques et en procédnt inductivement on peut tenter de démontrer n importe quel énoncé. Pour infirmer un énoncé A, on doit démontrer A. Exemple 1.3.1 L énoncé A suivnt : x [0, 2], x 2 + 1 < 6 est vri. Preuve. L énoncé est de l forme x [0, 2], A(x) vec l propriété A(x) : x 2 + 1 < 6. On fit ppel à l première des règles ci-dessus. On se donne x [0, 2] et on démontre A(x). Comme x [0, 2], x 2 4 et donc x 2 + 1 5. Pr suite x 2 < 6. Exercice 1.3.1 Soient f : R R et g : R R deux fonctions croissntes. Montrer que f g est croissnte. On suppose en outre que f et g ne prennent que des vleurs positives. Montrer que f g est croissnte. 1.3.2 Démonstrtion pr contrposition Ce type de démonstrtion s utilise pour les ssertions du type A = B. Une ssertion du type A = B est vrie si et seulement si s contrposée B = A est vrie. 1 Pour démontrer A = B, on peut donc supposer que B est vrie et étblir A. 1. En effet, l ssertion (A = B) est équivlente à A et B. De même, ( B = A est équivlent à B et A

10 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE Exemple 1.3.2 L fonction f : R R définie pr f(x) = 2x 5 est injective. Preuve. On doit démontrer l ssertion suivnte : x R, y R, (x y = f(x) f(y)). D près l règle 2, on commence pr se donner x R et y R u hsrd. On doit montrer l impliction suivnte : (x y = f(x) f(y)). On montre plutot s contrposée, qui s écrit : f(x) = f(y) = x = y. On invoque ensuite l règle 1. On suppose que f(x) = f(y) et on doit démontrer que x = y. Or f(x) = f(y) implique 2x 5 = 2y 5. On retrnche 5 ux deux membres de l éqution et on divise pr deux. Il vient x = y. Ceci montre bien que f est injective Exercice 1.3.2 Soient f : R R et g : R R deux fonctions injectives. Montrer que f g est injective. Exercice 1.3.3 Soit p un entier nturel. Montrer que si p 2 est pir lors p est pir. 1.3.3 Démonstrtion pr l bsurde Pour démontrer une ssertion A on peut supposer que son contrire A est vri et boutir à une contrdiction. Exercice 1.3.4 Démontrer que 2 n est ps rtionnel. On pourr procéder pr l bsurde et supposer qu il existe deux entiers et b premiers entre eux tels que b = 2. 1.3.4 Démonstrtion pr récurrence Ce type de preuve s utilise pour étblir des ssertions du type n N, A n. Le schém de l démonstrtion est le suivnt. Etpe 1 On démontre A n pour n = 0. Etpe 2 On se donne n N quelconque, on suppose que A n est vrie on démontre A n+1. Attention, dns l étpe 2, on doit prendre un entier n quelconque. Il est interdit de prendre une vleur prticuliere pour n. L vlidité de ce type de preuves découle de l construction xiomtique des entiers nturels pr le mthémticien Giuseppe Peno. Exercice 1.3.5 Démontrer pr récurrence les propriétés suivntes : 1. Démontrer que pour tout n N on n k=1 1 p(p + 1) = n n + 1

1.4. PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DES NOMBRES RÉELS 11 2. Démontrer que pour tout n N, on 1 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 = n(n + 1)(2n + 1). 6 1.4 Propriétés élémentires des nombres réels On note R l ensemble des nombres réels (c est à dire les nombres à virgule vec un nombre fini ou infini de décimles). On note N l ensemble des entiers nturels, (c est à dire les nombres sns chiffre près l virgule) et Z l ensemble des entiers reltifs (c est à dire les entiers vec un signe ±). Enfin, on note Q l ensemble des nombres rtionnels : Q = { p q, p Z, q N }. Ces ensembles sont strictement inclus les uns dns les utres : N Z Q R. Un résultt importnt ffirme que l ensemble Q est ssez gros dns R et bien réprti. Théorème 1.4.1 Pour tout nombre réel x et pour tout ɛ > 0, il existe un nombre z Q tel que x z < ɛ. On dit que Q est dense dns R. En d utres termes, le théorème précédent dit qu on peut pprocher n importe qu el réel pr un rtionel vec une érreur (quntifiée ici pr ɛ) ussi petite que voulue. Définition 1.4.1 Soit E un sous ensemble de R. On dir que E est mjoré (respect. minoré) s il existe M R (respect. m R) tel que pour tout x E on i x M (respect. x m). Un élément M vérifint l propriété ci dessus s ppelle un mjornt de E (respect. m s ppelle un minornt de E). Un ensemble qui est à l fois mjoré et minoré est dit borné. Exemple 1.4.1 L intervlle A =], 1[ est mjoré, mis il n est ps minoré. Les nombres 5, π, 2, 1 sont des mjornts de A. Il en existe une infinité d utres. L ensemble A ne possède ucun minornt. Définition 1.4.2 Soit E un sous ensemble de R. On dir que E possède un mximum s il existe M E tel que pour tout x E, on x M. On dir que E possède un minimum s il existe m E tel que pour tout x E, on x m. L différence fondmentle entre cette définition et l précédente porte sur le fit que le mjornt M pprtient ou ps à l ensemble E. Pr exemple, l ensemble A = [0, 1] possède un mximum et un minimum : mx(a) = 1 et min(a) = 0. Pr contre, l ensemble B = [0, 1[ n ps de mximum (bien qu il soit borné). Etnt donné un ensemble E, on peut définir l ensemble Mj(E) de tous les mjornts de E : A Mj(E) si et seulement si A est un mjornt de E. On peut ussi définir l ensemble Min(E) de tous les minornts de E : A Min(E) si et seulement si A est un minornt de E. Définition 1.4.3 Soit E un ensemble mjoré (respect. minoré). On dir que E possède une borne supérieure (respect. une borne inferieure ), si l ensemble M j(e) possède un minimum (respect. M in(e) possède un mximum). Dns ce cs, on note sup(e) = min(mj(e)) et inf(e) = mx(min(e)). L borne supérieure et l borne inférieure d un ensemble (qund elles existent) sont uniques.

12 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE On remque que si un ensemble A possède un mximum, lors ce mximum est ussi l borne supérieure de A. Pr suite l borne supérieure de l ensemble A = [0, 1] est sup(a) = 1 = mx(a). L ensemble B = [0, 1[ est mjoré. L ensemble de tous ces mjornts est Mj(B) = [1, + [ dont le minimum est 1. Pr suite sup(b) = 1. Théorème 1.4.2 Soit E R un ensemble non vide et mjoré (respect. minoré). Alors E possède une borne supérieure (respect. une borne inférierure). Cette propriété est fondmentle. Elle est propre ux nombres réels. Elle est fusse si on cherche à l trnsposer ux nombres rtionels. Pr exemple, l ensemble A = {x Q, x 2 < 2} n ps de borne supérieure dns Q. En fit, il bien une borne supérieure dns R qui est 2, mis ce nombre n pprtient ps à Q. 1.5 Quelques nottions de théorie des ensembles On ppeller ensemble une collection d objet. Un ensemble peut etre défini pr l énumértion de tous ses éléments ou pr des rêgles d pprtennce. Pr exemple A = {1, 2, 3} désigne l ensemble des nombres 1, 2 et 3. L ensemble B = {n N, p N, n = 2p} désigne l ensemble des entiers pirs. Définition 1.5.1 Etnt donnés deux ensembles A et B, on dir que A est inclus dns B (noté A B) si tout élément de A pprtient nécessirement à B. Autrement dit, A B ssi x A, x B) (1.1) Deux ensembles A et B sont égux si A B et B A. On défint mintennt des moyens de construire de nouveux ensembles. Définition 1.5.2 Soient A et B deux ensembles. On définit l réunion de A et B pr A B = {x, x A ou x B}. On définit l intersection de A et B pr A B = {x, x A et x B}. On définit le produit crtesien de A et B pr A B = {(x, y), x A, y B}. Si A est un sous ensemble de B on définit le complémentire A dns B pr B \ A = {x B, x / A}. Il est très fcile de montrer les inclusions suivntes : A B A A B (l même vec B est vrie ussi). Donnons nous mintennt E, F deux ensembles et f : E F une ppliction (c est à dire un moyen de fbriquer un unique élément de F à prtir d un élément de E ). On peut fbriquer de nouveux ensembles à l ide de f. Définition 1.5.3 Soit f : E F une ppliction et soient A E, B F. On définit l imge de A pr f pr f(a) = {f(x), x A}. C est un sous ensemble de B. On définit l imge réciproque de B pr f pr f 1 (B) = {x E, f(x) B}. C est un sous ensemble de E. Plus précisemment, c est le sous ensemble de E constitué des éléments dont l imge pr f pprtient à B.

1.5. QUELQUES NOTATIONS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 13 Attention, dns l définition précédente, l nottion f 1 ne signifie ps que f est bijective. C est juste une nottion! On verr en TD, comment les opértions d imge et imge réciproque se comportent vis à vis des opértions de réunion, intersection, etc. Pr exemple, on : Exercice 1.5.1 Soit f : E F une ppliction et soient A F, B F. Montrer que f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B).

14 CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE LOGIQUE

Chpitre 2 Notion de limite 2.1 Cs des suites Une suite numérique u est une ppliction de l ensemble des entiers nturels N vleurs dns R. Cel peut ussi être vu comme une collection de nombres réels indéxée pr N. On note u = (u n ) n N une telle collection. Cel signifie que le premier élément de l collection est u 1, le second u 2, etc. Définition 2.1.1 (Opértions élémentires)soient u = (u n ) n N et v = (v n ) n N deux suites numériques. i) On définit l suite w = u + v pr n N, w n = u n + v n. ii) On définit l suite w = u.v pr n N, w n = u n.v n. ii) On suppose que n N, v n 0. On définit l suite w = u v N, w n = u n vn. pr n Remrque 2.1.1 Si on sit seulement que v n 0 pour n n 0 pour un certin n 0 (pr exemple n 0 = 34), il est possible de définir l suite quotient pour des indices superieurs n 0.On note cette suite ( un v n ) n n0. 2.1.1 Limite finie On veut donner une définition précise de l notion suivnte : les termes de l suite ssociés à des entiers de plus en plus grnds sont de plus en plus proches d une vleur fixe. Pour se fire une idée intuitive de l limite d une suite on peut clculer les vleurs successives de l suite. Pr exemple, si u n = e 1 n+1, on u 0 = e 2.7; u 1 1.64; u 2 1.39;..., u 100 1.009; u 1000 1.0009,... Ceci semble suggérer que l suite (u n ) tend vers 1 lorsque n tend vers l infini. On en verr une preuve plus trd. Cependnt, cette technique de clculs des termes successifs de l suite peut être très trompeuse. Considérons en effet l suite v n = sin(n π 2 ) et clculons u 2 = 0, u 4 = 0,... u 100 = 0,... 15

16 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Ceci suggere que l suite tend vers 0 qund n tend vers l infini. Or si l on clcule u 1 = 1, u 3 = 1,... u 101 = 1, u 103 = 1,... on se rend compte que cette suite ne converge ps vers 0. On verr plus trd que cette suite n en fit ps de limite. Au terme de cette discussion, il pprit nécessire de formliser précisément l notion de limite. Définition 2.1.2 Soient u = (u n ) n N une suite numérique et l R. On dit que l suite (u n ) n N converge vers l qund n tend vers l infini si : Dns ce cs on note lim n + u n = l. ɛ > 0, N N, n N u n l < ɛ (2.1) Exercice 2.1.1 Montrer que (u n ) n N tend vers l qund n tend vers l infini dns les cs suivnts : 1. u n = 2 + 3 n et l = 2. 2. u n = 2 + 3 n et l = 2. 2 3. u n = 4 + 1 n et l = 2. Exercice 2.1.2 Soit (u n ) n N une suite convergent vers un réel l. On suppose que l 0. Montrer qu il existe un entier N N tel que n N, u n 0 (2.2) Proposition 2.1.1 Soit (u n ) n N une suite convergente vers une limite l R. Alors cette limite est unique. Preuve. Supposons pr l bsurde que (u n ) n converge à l fois vers l 1 et vers l 2 vec l 1 l 2. Prenons ɛ = l1 l2 4 dns l définition de l convergence de (u n ) vers l 1 et vers l 2. Alors il existe N 1 N tel que et il existe N 2 N tel que n N 1, u n l 1 < ɛ n N 2, u n l 2 < ɛ. Prenons mintennt n mx(n 1, N 2 ). Alors 4ɛ = l 1 l 2 u n l 1 + u n l 2 < 2ɛ ce qui est bsurde. Définition 2.1.3 Soit u = (u n ) n N une suite numérique. On dit que u est mjorée si M R, n N, u n M.

2.1. CAS DES SUITES 17 On dit que u est minorée si On dit que u est bornée si m R, n N, u n m. M 0, n N, u n M. Exercice 2.1.3 Montrer que toute suite ynt une limite finie est nécessirement bornée. Montrer que l réciproque est fusse. Proposition 2.1.2 (Propriétés élémentires) Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites numériques. On suppose que lim n + u n = l 1 et lim n + v n = l 2. On les résultts suivnts : i) lim n + (u n + v n ) = l 1 + l 2 ii) lim n + (u n v n ) = l 1 l 2 ii) Si l 2 0 lors lim n + ( u n vn ) = l 1 l2 Preuve. Preuve de i) Soit ɛ > 0. Comme lim n + u n = l 1 lors ɛ > 0, N 1 N, n N 1, u n l 1 < ɛ. On utilise cette définition vec ɛ = ɛ 2. Il existe donc N 1 tel n N 1, u n l 1 < ɛ 2 (2.3) De même, puisque lim n + v n = l 2 on peut trouver N 2 N tel que n N 2, v n l 2 < ɛ 2. (2.4) Posons N = mx(n 1, N 2 ) N et supposons que n N. On (u n + v n ) (l 1 + l 2 ) u n l 1 + v n l 2 (2.5) Comme n N N 1 lors u n l 1 < ɛ 2 et de même, comme n N N 2 lors v n l 2 < ɛ 2. En reportnt ces informtions dns (2.5), il vient (u n + v n ) (l 1 + l 2 ) < ɛ, ce qui prouve i). Preuve de ii) Soit ɛ > 0. Posons M = l 1 + l 2 + ɛ + 1 > 1. Comme lim n + u n = l 1 lors, il existe N 1 N tel que n N 1, u n l 1 < ɛ 2M. (2.6) De cette estimtion et de l inéglité tringulire, on déduit en prticulier que n N 1, u n < l 1 + ɛ 2M < l 1 + ɛ < M. (2.7) De même, comme lim n + v n = l 2 on peut trouver N 2 N tel que n N 2, v n l 2 < ɛ 2M. (2.8)

18 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Posons N = mx(n 1, N 2 ) et supposons que n N. On u n v n l 1 l 2 = u n (v n l 2 ) + l 2 (u n l 1 ) et pr conséquent u n v n l 1 l 2 u n. v n l 2 + l 2. u n l 1. (2.9) En utilisnt (2.6), (2.7) et (2.8), il vient u n v n l 1 l 2 < M ɛ 2M + l ɛ 2 2M < ɛ 2 + ɛ = ɛ. (2.10) 2 Ceci prouve ii). Nous lissons l preuve de iii) u lecteur. Proposition 2.1.3 Soient (u n ) n N, (v n ) n N et (w n ) n N trois suites numériques et soit l R. On suppose que qu il existe n 0 N tel que et Alors n n 0, v n u n w n (2.11) lim v n = l = lim w n. n + n + lim u n = l. n + Preuve. Soit ɛ > 0 rbitrire. Comme lim n + v n = l, lors il existe n 1 N tel que pour tout n n 1, v n l < ɛ. En prticulier, De même, il existe n 2 N tel que n n 1, v n l ɛ (2.12) n n 2, w n l + ɛ (2.13) Prenons N = mx(n 0, n 1, n 2 ). En combinnt (2.11), (2.12) et (2.13), il vient n N, l ɛ < u n < l + ɛ. ce qui prouve l proposition. Corollire 2.1.1 Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites numériques. On suppose que lim n + u n = 0 et que (v n ) n N est bornée. Alors lim n + u n v n = 0. Preuve. Comme (v n ) n N est bornée, il existe M > 0 tel que v n M pour tout n N. On en déduit que M u n u n v n M u n. Comme lim n M u n = 0, l proposition précédente permet de conclure.

2.1. CAS DES SUITES 19 2.1.2 Monotonie et limite Définition 2.1.4 Soit (u n ) n N une suite numérique. On dit que (u n ) n N est croissnte si p N, q N, (p q = u p u q ). On dit que (u n ) n N est décroissnte si p N, q N, (p q = u p u q ). Remrque 2.1.2 L définition ci dessus est une simple écriture que l suite (u n ) vue comme une fonction de N dns R est une fonction croissnte (ou décroissnte). Proposition 2.1.4 Soit (u n ) n N une suite numérique. On les resultts suivnts : 1. (u n ) n N est croissnte ssi 2. (u n ) n N est décroissnte ssi n N, u n+1 u n. n N, u n+1 u n. Preuve. Un sens de l équivlence est trivil. Une simple réccurence permet de montrer l utre sens. Exemple 2.1.1 L suite (u n ) n N définie pr u n = n 2 est croissnte. L suite (v n ) n N définie pr v n = 1 n+1 est décroissnte. Théorème 2.1.1 Soit (u n ) n N une suite croissnte. On suppose que (u n ) n N est mjorée. Alors, (u n ) n N dmet une limite qund n tend vers l infini. De même, si (u n ) n N une suite décroissnte et minorée. Alors, (u n ) n N dmet une limite qund n tend vers l infini. Preuve. Considérons l ensemble U = {u n, n N}. Comme l suite (u n ) n N est bornée, c est une sous prtie non vide et mjorée de R. Donc elle possède une borne superieure. Soit l = sup U. Montrons que (u n ) tend vers l. Soit ɛ > 0. Pr définition de l borne supérieure, il existe n 0 N, tel que u n0 > l ɛ. Or, (u n ) étnt croissnte, on u n u n0 pour tout n n 0. Pr suite, n n 0, u n l ɛ. Pr illeurs, pr définition de l, on u n l pour tout n N. Pr conséquent, n n 0, u n l < ɛ, ce qui chève l démonstrtion.

20 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Exercice 2.1.4 Soit b > 1 et (u n ) n N l suite définie pr u n = b n. Montrer que (u n ) est croissnte et tend vers l infini qund n tend vers l infini. Exercice 2.1.5 Soient > 1 et k N fixés et soit (u n ) n N l suite définie pr u n = n. n k 1. Montrer qu il existe n 0 tel que pour tout n n 0, u n+1 u n +1 2. 2. En déduire que pour tout n n 0, u n u n0 ( +1 2 )n n 0 3. Déduire de l exercice précédent que lim n + u n = +. 2.1.3 Critère de Cuchy Définition 2.1.5 Soit (u n ) n N une suite numérique. On dit que l suite (u n ) vérifie le critère de Cuchy (ou encore (u n ) est de Cuchy ) si ɛ > 0, N N, n N, m N, u n u m < ɛ. Proposition 2.1.5 Soit (u n ) n N une suite numérique. On suppose que (u n ) possède une limite. Alors (u n ) est de Cuchy. Preuve. Soit l R l limite de l suite. Donnons nous ɛ > 0 rbitrire. Comme (u n ) converge vers l, il existe N N tel que n N, u n l < ɛ 2. Soient n N et m N tels que n N et m N. Alors u n u m u n l + u m l < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Ceci montre que l suite (u n ) n N est bien de Cuchy. Théorème 2.1.2 Soit (u n ) n N une suite numérique. On suppose que (u n ) est de Cuchy. Alors, (u n ) possède une limite. Preuve. Admis. Remrque 2.1.3 Le théorème précédent est très puissnt. En effet, contrirement à l définition de l convergence, le critère de Cuchy peut se formuler sns connitre l limite éventuelle de l suite considérée. Ainsi, on pourr montrer qu une suite est convergente sns connitre exctement l vleur de s limite. 2.1.4 Limite infinie Définition 2.1.6 Soit (u n ) n N une suite numérique. On dit que (u n ) n N tend vers plus l infini qund n tend vers l infini (noté lim n + u n = + ) si M 0, N N, n N, u n M. On dit que (u n ) n N tend vers moins l infini qund n tend vers l infini (noté lim n + u n = ) si M 0, N N, n N, u n M.

2.1. CAS DES SUITES 21 Exercice 2.1.6 Montrer que u n tend vers plus l infini dns les cs suivnts : u n = n 3 + 1, u n = n 2 n, u n = n2 1 n + 2, u n = n + cos(n). Proposition 2.1.6 (Propriétés élémentires) Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites numériques. On suppose que lim n + u n = +. On les résultts suivnts : i) Si v n est minorée lors lim n + (u n + v n ) = +. ii) lim n + ( u n ) = iii) Pour tout λ > 0, on lim n + λu n = +. iv) lim n + ( 1 u n ) = 0 v) Si v n > 0, n N et lim n + v n = 0 lors lim n + ( 1 v n ) = + Preuve. Preuve de i) Soit M R. Comme (v n ) est minorée, il existe m R tel que n N, v n m. Pr illeurs, comme lim n + u n = +, il existe N N tel que n N, u n M m. En combinnt ces deux propriétés, il vient n N, u n + v n M m + m = M. Comme on choisi M rbitrirement, ceci prouve bien que lim n + (u n +v n ) = +. Preuve de ii) C est évident. Preuve de iii) Soit λ > 0 et fixons M R + rbitrirement. Comme lim n + u n = +, il existe N N tel que n N, u n M λ. Comme λ > 0 on peut multiplier cette inéglité pr λ sns chnger le sens des inéglités. Pr conséquent, n N, λu n λ M λ = M. Comme on choisi M rbitrirement, ceci prouve bien que lim n + λu n = +. Proposition 2.1.7 Soient (u n ) n N et (v n ) n N deux suites. On suppose que lim n + v n = + et qu il existe n 0 N tel que pour tout n n 0, u n v n. Alors lim n + u n = +. Preuve. On doit montrer que M R, N N, n N, u n M. Soit M R quelconque. Comme lim n + v n = +, il existe n 1 N tel que n n 1, v n M. Prenons N = mx(n 0, n 1 ) et supposons que n N. Alors u n v n M et l preuve est complète.

22 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE 2.2 Cs des fonctions 2.2.1 Limite en un point Soit f une fonction et x 0, l deux réels fixés. On veut donner un sens précis à l phrse suivnte : lorsque x devient proche de x 0, les vleurs de f(x) deviennent proches de l. Dns ce cs on dir que f tend vers l lorsque x tend vers x 0, ou encore que f pour limite l lorsque x tend vers x 0. Pour se fire une idée intuitive de l limite d une fonction en un point x 0, on peut clculer des vleurs successives de f(x) pour x de plus en plus proche de x 0. Ceci ne constitue en rien une démonstrtion. Pr exemple, si on pose f(x) = x 2, lors f(0.1) = 0.01, f(0.01) = 0.0001, f(10 3 ) = 10 6, etc. Ceci suggère que lim x 0 x 2 = 0. On en verr une démonstrtion pr l suite. Si on pose f(x) = sin( 1 x ) pour x > 0, lors f(1/π) = 0, f(1/(2π)) = 0, f(1/(3π)) = 0, etc. On donc des points x k = 1 kπ de plus en plus proches de 0 tels que f(x k) = 0. Pourtnt f ne tend ps vers 0 qund x tend vers 0. En effet, on peut clculer f en d utres point proches de 0 : f(2/π) = 1, f(2/(5π)) = 1, f(2/(9π)) = 1, etc. Il est donc nécessire de donner une définition rigoureuse de l notion de limite. * Définition et propriétés élémentires On introduit d bord quelques nottions. Soit I R un intervlle fini ou infini (ex : I = [0, 1], I =], 3],..). On note I l fermeture de I définie de l mniere suivnte : si I = [, b], ], b], [, b[ ou ], b[ vec, b R, lors I = [, b]. si I = [, + [ ou ], + [ vec R, lors I = [, + [ si I =], ] ou ]], [ vec R, lors I =], ]. L intervlle I s obtient prtir de I en fermnt les crochets lorsque c est possible. Définition 2.2.1 Soit l R. On dit que l fonction f pour limite l qund x tend vers x 0 si : ɛ > 0, δ > 0 tq x I, ( x x 0 < δ = f(x) l < ɛ) (2.14) Dns ce cs, on note lim x x0 f(x) = l.

2.2. CAS DES FONCTIONS 23 f(x) l + ɛ l l ɛ x 0 x 0 δ x 0 + δ b x Lien entre ɛ et δ Remrque 2.2.1 Dns l définition de l limite (2.14), il fut comprendre ɛ comme un écrt mximum entre f(x) et l ; et δ comme un écrt entre x et x 0. L définition demnde donc que l écrt (c..d. ɛ) entre f(x) et l puisse être rendu ussi petit que voulu, pourvu que l écrt (c..d. δ) entre x et x 0 soit petit. Remrque 2.2.2 Avec cette définition, il est clir que si x 0 I et lim x x0 f(x) = l, on nécessirement f(x 0 ) = l. On urit pu prendre une utre définition de l limite, exclunt le comportement de f en x 0. Pr exemple, on dit que f pour limite l qund x tend vers x 0 en étnt different de x 0 si ɛ > 0, δ > 0, ( x x 0 < δ et x x 0 = f(x) l < ɛ). (2.15) Exemple 2.2.1 Soit f : [ 1, 1] R définie pr x [ 1, 1], f(x) = x 2. Alors lim x 0 f(x) = 0. Preuve. On doit prouver que (2.14) est vérifiée. Pour cel on se donne ɛ > 0 et on cherche δ > 0 tel que (2.14) soit vérifiée. Prenons δ = ɛ et supposons que x [ 1, 1] est tel que x < δ = ɛ. Pr définition de f, on f(x) = x 2 < δ 2 = ɛ 2 = ɛ. Ceci montre bien (2.14). Exemple 2.2.2 Soit f : [0, 2] R définie pr x [0, 1], f(x) = x 2 + 1. Alors lim x 1 f(x) = 2. Preuve. On doit vérifier l ssertion (2.14) pour l fonction f(x) = x 2 + 1. Soit ɛ > 0. On cherche δ > 0 tel que x 1 < δ = f(x) 2 < ɛ. Or f(x) 2 < ɛ x 2 1 < ɛ 1 ɛ < x 2 < 1 + ɛ 1 ɛ 1 < x 1 < 1 + ɛ 1 (2.16)

24 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Prenons δ = min( 1 + ɛ 1, 1 1 ɛ). Comme ɛ > 0 lors δ > 0 et on évidement x 1 < δ = 1 ɛ 1 < x 1 < 1 + ɛ 1. En tennt compte de (2.16), il vient x 1 < δ = f(x) 2 < ɛ. Proposition 2.2.1 Soit f : I R une ppliction et x 0 I. On suppose que f une limite en x 0, lors cette limite est unique. Preuve. Supposons pr l bsurde que f possède deux limites différentes l et l lorsque x tend vers x 0. Quitte à intervertir leurs roles, on peut supposer que l < l. Posons ɛ = l l 4 > 0. Pr définition de l limite, il existe δ > 0 et δ > 0 tels que x I, x x 0 < δ = f(x) l < ɛ et x I, x x 0 < δ = f(x) l < ɛ. Soit x I tel que x x 0 < min(δ, δ ). D près les ssertions ci-dessus, on f(x) < l + ɛ et f(x) > l ɛ. En prticulier, l ɛ < l +ɛ. D où ɛ > l l 2. Or on choisit ɛ = l l 4, on en déduit une contrdiction. Exercice 2.2.1 Montrer que lim x 0 1 1+x = 1 et que lim x 1(x 2 x 1) = 1 Exercice 2.2.2 Trduire à l ide de quntificteurs l propriété suivnte : l fonction f ne tend ps vers l qund x tend vers x 0. En déduire que l fonction f(x) = sin( 1 x ) ne tend ps vers 0 qund x tend vers 0. Exercice 2.2.3 Soient f : I R et x 0 I. On suppose que lim x x0 f(x) = l et l 0. Montrer qu il existe δ > 0 tel que x ]x 0 δ, x 0 + δ[ I, f(x) 0. Proposition 2.2.2 (Propriétés élémentires) Soient f : I R et g : I R deux fonctions et x 0 I. On suppose que lim x x0 f(x) = l 1 et lim x x0 g(x) = l 2. On les résultts suivnts : i) lim x x0 (f + g)(x) = l 1 + l 2 ii) lim x x0 (fg)(x) = l 1 l 2 iii) Supposons que l 2 0, lors l fonction f g de x 0 et on lim x x0 ( f g )(x) = l 1 l2 est bien définie pour x proche

2.2. CAS DES FONCTIONS 25 Preuve. Preuve de i) On se donne ɛ > 0. Il existe α > 0 et β > 0 tels que x x 0 < α = f(x) l 1 < ɛ/2 et x x 0 < β = g(x) l 2 < ɛ/2. Soit γ = min(α, β), lors γ > 0. Supposons que x I vérifie x x 0 < γ. Alors f(x) + g(x) (l 1 + l 2 ) f(x) l 1 + g(x) l 2 < ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ. (2.17) Ceci montre que lim x x0 (f + g)(x) = l 1 + l 2. Preuve de ii) On se donne ɛ > 0. On définit ɛ 1 = ɛ 2 = min( ɛ 3, ɛ Alors, il existe α 1 > 0 et α 2 > 0 tels que 3(1+l 1 ), x x 0 < α 1 = f(x) l 1 < ɛ 1 et x x 0 < α 2 = g(x) l 2 < ɛ 2. ɛ 3(1+l 1 ) ). Soit γ = min(α, β), lors γ > 0. Supposons que x I vérifie x x 0 < γ. Alors f(x)g(x) l 1 l 2 = g(x)(f(x) l 1 ) + l 1 (g(x) l 2 ) g(x) l 2 f(x) l 1 + l 2 f(x) l 1 + l 1 g(x) l 2 ɛ 1 ɛ 2 + l 2 ɛ 1 + l 1 ɛ 2 ɛ (2.18) grce ux choix fit pour ɛ 1, ɛ 2. Preuve de iii) Le fit que f g est bien définie près de x 0 est une conséquence de l exercice 2.2.3. Le reste de l preuve est lissé en exercice. Corollire 2.2.1 Soit f : R R une fonction polynomile (c est à dire f(x) = N k=0 kx k ). Soit x 0 R. Alors lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Preuve. Soit f une polynômile. Elle peut s ecrire f = N k=0 f k vec f k (x) = k x k. D près le i) de l proposition 2.2.2, il suffit donc de montrer que pour tout k N, on bien lim x k = x k 0 (2.19) x x 0 Or, on évidemment lim x x0 x = x 0, de sorte que (2.19) est une conséquence immédite du ii) de l proposition 2.2.2. Exemple 2.2.3 Soit f : R R définie pr f(x) = x 2 + 1 x 2 +x+1. Alors lim x 1 f(x) = 2 3 Preuve. En effet, lim x 1 x 2 1 + x + 1 = 3 donc (d près iii)) lim x 1 x 2 +x+1 = 1 3. Comme pr illeurs lim x 1 x 2 = 1 on obtient le résultt nnoncé en joutnt les deux limites (d près i)).

26 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Composition et limites Proposition 2.2.3 (Composition) Soient f : I R et g : J R où I et J sont deux intervlles. On suppose que f(i) J de sorte que g f est bien définie. On suppose qu il existe x 0 I, y 0 J et l R tels que lim x x0 f(x) = y 0, lim y y0 g(y) = l. Alors lim x x0 (g f)(x) = l. Preuve. Soit ɛ > 0. Comme g tend vers l lorsque y tend vers y 0, il existe α > 0 tel que y J ]y 0 α, y 0 + α[, g(y) l < ɛ. (2.20) De même comme f tend vers y 0 lorsque x tend vers x 0, en ppliqunt l définition de l limite vec ɛ = α, on peut ffirmer qu il existe δ > 0 tel que Autrement dit, x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, f(x) y 0 < α. (2.21) x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, f(x) ]y 0 α, y 0 + α[. (2.22) Comme f(i) J, quel que soit x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, on y := f(x) J ]y 0 α, y 0 + α[. Pr conséquent en ppliqunt (2.20), on obtient g(y) l < ɛ. En résumé, on vient de prouver que ce qui chève l démonstrtion. x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, g(f(x)) l < ɛ Exemple 2.2.4 Soit f(x) = (x 2) 3 1 1+(x 2) 2 lim x 3 f(x) = 1 2. pour tout x R. Alors Preuve. En effet f(x) = g h(x) vec h(x) = x 2 et g(y) = y 3 1 1+y. Or 2 lim x 3 h(x) = 1 et lim y 1 g(y) = 1 2. Le résultt découle donc de l proposition précédente. Proposition 2.2.4 Soit f : I R et x 0 I. Soit (u n ) n N une suite telle que n N, u n I. On suppose en outre que lim x x0 f(x) = l et lim n + u n = x 0. Alors l suite (v n ) définie pr v n = f(u n ) vérifie lim v n = l. n + Preuve. Soit ɛ > 0. Comme lim x x0 f(x) = l, il existe δ > 0 tel que x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ɛ. Pr illeurs, comme lim n + u n = x 0, il existe n 0 tel que n n 0, u n x 0 < δ. En combinnt ces deux propriétés, il vient Ceci montre bien que lim n + v n = l. n n 0, f(u n ) l < ɛ.

2.2. CAS DES FONCTIONS 27 Corollire 2.2.2 Soit f : I R et (u n ) n N une suite définie pr u 0 R et u n+1 = f(u n ). On suppose que lim n + u n = l et lim x l f(x) existe. Alors f(l) = l. Preuve. C est une conséquence immédite du théorème de composition des limites et de l unicité de l limite. Exercice 2.2.4 Clculer lim n + (2 + 5/n) 2 et lim n + 2n+1 3n+2. Encdrement et limite Définition 2.2.2 Soit f : I R. On dit que f est mjorée sur I si On dit que f est minorée sur I si On dit que f est bornée sur I si M R, x I, f(x) M. m R, x I, f(x) m. M 0, x I, f(x) M. Remrque 2.2.3 Une fonction est bornée si et seulement si elle est mjorée et minorée. Exercice 2.2.5 Soit f définie pr f(x) = 1 x+1. Montrer que f est bornée sur R +. Montrer que f n est ps bornée sur ] 1, + [. Proposition 2.2.5 Soient f, g, h trois fonctions de I dns R. Soient x 0 I et l R. On suppose que et Alors, x I, g(x) f(x) h(x) lim g(x) = l = lim h(x). x x 0 x x 0 lim f(x) = l. x x 0 Preuve. Soit ɛ > 0. Comme lim x x0 g(x) = l, lors δ > 0, x I, ( x x 0 < δ = l ɛ < g(x)). Comme lim x x0 h(x) = l, lors δ > 0, x I, ( x x 0 < δ = h(x) < l + ɛ). Soit δ = min(δ, δ ). Supposons que x I vérifie x x 0 < δ. En utilisnt les deux ssertions ci dessus et le fit que g(x) f(x) h(x), il vient D où f(x) l < ɛ. l ɛ < g(x) f(x) h(x) < l + ɛ. Corollire 2.2.3 Soient f et g deux fonctions de I dns R et soit x 0 I. On suppose que f tend vers 0 lorsque x tend vers x 0 et que g est bornée. Alors fg tend vers 0 lorsque x tend vers x 0.

28 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Limite à guche et à droite Pour illuster le propos de cette prtie, commencons pr l étude d un exemple. Soit f :] 1, 1[ R définie pr f(x) = x + 1 si x < 0 et f(x) = x 1 si x 0. Alors f n ps de limite lorsque x tend vers 0. En effet,pour tout n N, f(1/n) = 1+1/n et f( 1/n) = 1 1/n. Donc pour n grnd f(1/n) s pproche de 1, lors que f( 1/n) s pproche de 1. En fit il est possible démontrer que si l on considère seulement les vleurs positives de x, lors f(x) tend vers 1 qund x tend vers 0. De même, si l on considère seulement les vleurs négtives de x, lors f(x) tend vers 1 qund x tend vers 0. Ceci nous pousse à introduire les définitions suivntes. Définition 2.2.3 Soit f : I R une fonction et J I. On ppelle restriction de f à J l fonction f J : J R définie pr x J, f J (x) = f(x). Remrque 2.2.4 L restriction de f à J n est rien d utre que l fonction f où l on utorise x à ne prcourir que J. Exemple 2.2.5 Soit f : [ 1, 1] R définie pr f(x) = x 2 si x 0 et f(x) = x 2 si x 0. Soit J = [0, 1], lors f [0,1] est l fonction f [0,1] : [0, 1] R définie pr f [0,1] (x) = x 2 pour tout x [0, 1]. Définition 2.2.4 Soit f :], b[ R une fonction et x 0 ], b[. Soit l R {+ } { }. On dir que f tend vers l lorsque x tend vers x 0 à guche (ou pr vleurs inferieures) si lim x x0 f ],x0 [(x) = l. Dns ce cs, on note lim x x0,x<x 0 f(x) = l (ou lim x x f(x) = l). 0 On dir f tend vers l lorsque x tend vers x 0 à droite (ou pr vleurs superieures) si lim x x0 f ]x0,b[(x) = l. Dns ce cs, on note lim x x0,x>x 0 f(x) = l (ou lim x x + f(x) = l). 0 Remrque 2.2.5 On peut trduire cette définition vec des ɛ. Pr exemple, si l R, lors lim x x f(x) = l si et seulement si 0 ɛ > 0, δ > 0, x ]x 0 δ, x 0 [, f(x) l < ɛ. On peut fire de même vec les limites infinies. Exemple 2.2.6 Soit f : R R définie pr f(x) = 1 x si x 0 et f(0) = 0. Alors lim f(x) = et lim f(x) = +. x 0 x 0 + Exemple 2.2.7 Soit f : R R définie pr f(x) = sin((1/x) si x > 0 et f(x) = x sin(1/x) si x < 0. Alors lim f(x) = 0 x 0 mis f n ps de limite en 0 pr vleurs superieures. Proposition 2.2.6 Soit f :], b[ R et x 0 ], b[. Alors lim f(x) = l f(x 0 ) = l, x x 0 Preuve. Découper en morceux. lim f(x) = l et x x 0 lim f(x) = l. x x + 0

2.2. CAS DES FONCTIONS 29 2.2.2 Limites infinies On se donne f : I R et x 0 I. On veut formliser l énoncé suivnt : lorsque x se rpproche de x 0 l vleur de f(x) devient de plus en plus grnde. Définition 2.2.5 On dit que f tend vers + qund x tend vers x 0 si : M R +, δ > 0, tq x I, ( x x 0 < δ = f(x) M) (2.23) Dns ce cs on note lim x x0 f(x) = +. On dir que f tend vers qund x tend vers x 0 si : M R +, δ > 0, tq x I, ( x x 0 < δ = f(x) M) (2.24) Dns ce cs on note lim x x0 f(x) =. f(x) M x 0 x 0 δ x 0 + δ b x Fonction ynt une limite infinie en un point Remrque 2.2.6 Dns l définition précédente, il fut comprendre M comme une vleur minimle pour f(x) qund x est proche de x 0. En d utres termes, l définition (2.23) ffirme que f(x) peut être rendu ussi grnd que voulu (c..d. plus grnd que M), pourvu que x soit proche de x 0 (c..d. x x 0 < δ). Remrque 2.2.7 Il est évident que lim f(x) = lim ( f(x)) = +. x x 0 x x 0 Exercice 2.2.6 Soit f l fonction définie sur ]1, + [ pr f(x) = 1 x 1. Montrer que lim x 1 f(x) = +. Exercice 2.2.7 Soit f l fonction définie sur R \ {1} pr f(x) = 1 x 1. Montrer que f n ps de limite en 1. Comprer à l exercice précédent. Proposition 2.2.7 Soient f : I R et g : I R deux fonctions. Soit x 0 I. On suppose que lim x x0 f(x) = + et que g est minorée sur I lors lim x x0 (f + g)(x) = +.

30 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Preuve. On doit montrer que M R, δ > 0, x I, ( x x 0 < δ = (f + g)(x) M). (2.25) Soit M R quelconque. Comme g est minorée, il existe A R tel que pour tout x I, g(x) A. Pr illeurs, comme lim x x0 f(x) = +, on sit que R R, δ > 0, x I, ( x x 0 < δ = f(x) R). (2.26) En ppliqunt cette propriété vec R = M A, on trouve δ > 0 tel que pour tout x I ]x 0 δ, x 0 + δ[ on f(x) M A. On en déduit que pour tout x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, on (f + g)(x) M A + A = M. 2.2.3 Limites en l infini On veut formliser l notion suivnte : lorsque x devient de plus en plus grnd, f(x) prend des vleurs de plus en plus proches d une vleur l fixée. Définition 2.2.6 Soient R, l R et f : (, + [ R. On dit que f tend vers l lorsque x tend vers plus l infini (noté lim x + f(x) = l) si ɛ > 0, M R, x M, f(x) l < ɛ (2.27) On dit que f tend vers l lorsque x tend vers moins l infini (noté lim x f(x) = l) si ɛ > 0, M R, x M, f(x) l < ɛ (2.28) f(x) l + ɛ l l ɛ M x Fonction ynt une limite en plus l infini

2.2. CAS DES FONCTIONS 31 Remrque 2.2.8 Dns l définition précédente, il fut comprendre M comme une vleur de x à prtir de lquelle on est certin que f(x) ser proche de l. Exercice 2.2.8 Soit f : R R définie pr f(x) = 1 1+x 2. Montrer que f tend vers 0 en ±. Exercice 2.2.9 Soit f : R R une fonction et g : R R définie pr Montrer que x R, g(x) = f( x). lim f(x) = l lim g(x) = l. x x + Définition 2.2.7 Soient R et f : (, + [ R. On dit que f tend vers + (resp. ) lorsque x tend vers l infini (noté lim x + f(x) = +, resp. lim x + f(x) = ) si M R, A R, x A, f(x) M (resp. f(x) M) (2.29) Exercice 2.2.10 Donner une bonne définition de : lim x f(x) = ±. Exercice 2.2.11 Soit f : R R définie pr f(x) = x sin(x). Montrer que f n est ps bornée. Montrer que f n ps de limite en l infini. Proposition 2.2.8 (Propriétés élémentires) Soient f : (, + [ R et g : (, + [ R deux fonctions. On suppose que lim x + f(x) = l 1 et lim x + g(x) = l 2. On les résultts suivnts : i) lim x + (f + g)(x) = l 1 + l 2 ii) lim x + (fg)(x) = l 1 l 2 iii) Supposons que l 2 0, lors l fonction f g grnd et on lim x + ( f l1 g )(x) = l 2 Preuve. C est une vrition de l preuve de l proposition 2.2.2 est bien définie pour x ssez Exemple 2.2.8 Soit f(x) = 5x3 +x 1 2x 3 +x 2 pour x > 0. Alors, lim x + f(x) = 5 2. Preuve. En effet, f(x) = x3 (5 + 1 x 2 1 x 3 ) x 3 (2 + 1 x ) = f 1(x) f 2 (x) vec f 1 (x) = 5 + 1 x 2 1 x 3 et f 2 (x) = 2 + 1 x. Or lim x + f 1 (x) = 5 et lim x + f 2 (x) = 2. Pr suite, lim x + f(x) = 5 2. Proposition 2.2.9 Soient f : (, + [ R et g : (, + [ R deux fonctions. On suppose que lim x + f(x) = + et que g est minorée. Alors lim (f + g)(x) = +. x +

32 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE Preuve. Soit M R. Comme g est minorée, il existe m R tel que x (, + [, g(x) m. Comme lim x + f(x) = +, il existe A tel que x A, f(x) M m. Pr suite, x A, (f + g)(x) M m + m = M. Corollire 2.2.4 Soient f : (, + [ R et g : (, + [ R deux fonctions. On suppose que lim x + f(x) = + et lim x + g(x) = +. Alors lim (f + g)(x) = +. x + Preuve. Il suffit de vérifier qu une fonction tendnt vers + qund x tend vers + est nécessirement minorée pour x ssez grnd. Exemple 2.2.9 L fonction f(x) = x 2 + sin(x) vérifie lim x + f(x) = +. Remrque 2.2.9 Attention, il n y ps de règle qund on retrnche des limites infinies. Pr exemple on lim x = +, x + lim x + x2 = +, lim x 1 = + x + et lim x + (x2 x) = +, lim x (x 1) = 1. x + Proposition 2.2.10 Soient f, g, h trois fonction de (, + [ à vleurs dns R et soit l R. On suppose que x (, + [, g(x) f(x) h(x) et Alors lim g(x) = l = lim h(x). x + x + lim f(x) = l. x + Preuve. L démonstrtion est similire à celle de l proposition 2.2.5. 2.2.4 Pssge à l limite dns les inéglités Proposition 2.2.11 Soit f : I R une ppliction. On suppose qu il existe x 0 I et l R tels que lim x x0 f(x) = l. i) Supposons qu il existe m R tel que x I, f(x) m. Alors l m. ii) Supposons qu il existe M R tel que x I, f(x) M. Alors l M.

2.2. CAS DES FONCTIONS 33 Preuve. Preuve de i) On suppose pr l bsurde que l < m. Posons ɛ = m l 2 > 0. Pr définition de l limite, il existe δ > 0 tel que x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, f(x) l < ɛ. En prticulier, on pour tout x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, f(x) < l + ɛ = m + l 2 ce qui contredit l définition de m. Preuve de ii) Identique. Lissée en exercice. < l, Remrque 2.2.10 Il n y ps de théorème nlogue vec des inéglités strictes. Pour s en rendre compte, il suffit de prendre f(x) = x pour x ]0, 1[. On bien f(x) > 0 pour tout x ]0, 1[ mis lim x 0 f(x) = 0. Proposition 2.2.12 Soit I = (, + [ (ou ], b)). Soit f : I R une ppliction. On suppose qu il existe l R tels que lim x ± f(x) = l. Supposons qu il existe m R tel que x I, f(x) m. Alors l m. Supposons qu il existe M R tel que x I, f(x) M. Alors l M. Preuve. L démonstrtion est identique à celle de l Proposition 2.2.11.

34 CHAPITRE 2. NOTION DE LIMITE

Chpitre 3 Continuité et dérivbilité des fonctions numériques Dns ce chpitre on reprend les nottions précédentes. 3.1 Rppels sur les fonctions 3.1.1 Injectivité, surjectivité Soient X et Y deux ensembles et f : X Y une ppliction. Définition 3.1.1 On dit que f est injective si x X x X, (f(x) = f(x ) = x = x ). On dit que f est surjective si y Y, x X, f(x) = y. On dit que f est bijective si elle est à l fois injective et surjective. Proposition 3.1.1 Une ppliction f : X Y est injective ssi x X, x X, (x x = f(x) f(x )). Preuve. Les deux formultions sont équivlents cr l une est l contrposée de l utre. Dns toute l suite, on noter Id X : X X l ppliction identité sur X (i.e. Id X (x) = x, x X) et Id Y : Y Y l ppliction identité sur Y. Lorsqu il n y ur ps d mbiguité sur l ensemble X, on oter Id à l plce de Id X. Proposition 3.1.2 Soit f : X Y une ppliction bijective, lors il existe une unique ppliction g : Y X telle que g f = Id X et f g = Id Y. Cette ppliction s ppelle l ppliction réciproque de f et se note f 1. 35

36CHAPITRE 3. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Preuve. Commençons pr définir f 1 : Y X. Etnt donné y Y, l fonction f étnt surjective, il existe x X tel que f(x) = y. De plus, f étnt injective, cet élément x est unique (si x et x vérifient f(x) = y et f(x ) = y lors f(x) = f(x ), donc x = x ). On pose On lors f 1 (y) = x. f(f 1 (y)) = f(x) = y ce qui prouve f f 1 = Id Y. Pr illeurs, f(f 1 (f(x))) = f(x), x X. Comme f est injective, on en déduit que f 1 (f(x)) = x, ce qui montre que f 1 f = Id X. 3.1.2 Monotonie Soient I et J deux intervlles de R. Soit f : I J. Définition 3.1.2 On dit f est croissnte si x, y I, (x y = f(x) f(y)). On dit f est strictement croissnte si On dit f est décroissnte si x, y I, (x < y = f(x) < f(y)). x, y I, (x y = f(x) f(y)). On dit f est strictement croissnte si x, y I, (x < y = f(x) > f(y)). On dit que f est monotone si elle est croissnte ou bien décroissnte. On dit que f est strictement monotone si elle est strictement croissnte ou bien strictement décroissnte. Exemple 3.1.1 L ppliction f : R R définie pr f(x) = 1, x R est croissnte, mis elle n est ps strictement croissnte. L ppliction f : R R définie pr f(x) = x 3 est strictement croissnte. L ppliction f : R R définie pr f(x) = x 2 n est ni croissnte, ni décroissnte. Proposition 3.1.3 Soit I J une ppliction strictement monotone. Alors f est injective. Preuve. Quitte à remplcer f pr f, on peut supposer que f est strictement croissnte. Soient x, y I tels que x y. On peut supposer que x < y. Comme f est strictement croissnte, lors f(x) < f(y). Donc f(x) f(y).

3.2. CONTINUITÉ 37 3.2 Continuité 3.2.1 Propriétés élémentires Définition 3.2.1 Soient f : I R et x 0 I. On dit que f est continue en x 0 si lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Remrque 3.2.1 En reprennt les définitions du chpitre précédent, il est fcile de voir que f est continue en x 0 si et seulement si ɛ > 0, δ > 0, x I, ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ɛ). Exemple 3.2.1 Soit f : R R définie pr f(x) = x 2. Alors f est continue en 1. Définition 3.2.2 Soient f : I R. On dit que f est continue sur I si pour tout x 0 I, f est continue en x 0. Proposition 3.2.1 (Propriétés élémentires) Soient f : I R et g : I R deux fonctions continues. On les résultts suivnts : i) f + g est continue. ii) Pour tout λ R, λf est continue. iii) f.g est continue. iv) Supposons que g ne s nnule ps sur I, lors l fonction f g est bien définie sur I est elle est continue. Preuve. Toutes ces propriétés sont des conséquences immédites de l Proposition 2.2.2. Les fonctions continues sont très nombreuses. Un exemple simple et fondmentl de fonctions continues est donné pr les fonctions polynomiles. Une fonction polynomile est une fonction de l forme f(x) = 0 + 1 x+...+ N x N, où N est un entier fixé (le degré du polynome) et 0,..., N sont des réels. Proposition 3.2.2 Soit f : I R une fonction polynomile. Alors f est continue sur I. Preuve. Commencons pr triter le cs prticulier suivnt. Pour k N, on définit f k : I R pr f k (x) = x k. Si k = 0, f 0 (x) = 1 pour tout x I. Pr conséquent on bien lim x x0 f(x) = 1 = f(x 0 ) quel que soit x 0 I. Si k = 1, f 1 (x) = x pour tout x I. Etnt donné x 0 I et ɛ > 0, on f(x) f(x 0 ) = x x 0 < ɛ dés que x x 0 < ɛ. Ceci montre que f 1 est continue. Pour triter le cs générl, on fixe k N et on constte que f k (x) = f 1 (x).f 1 (x)... f 1 (x). En ppliqunt l propriété iii) de l proposition 3.2.1, il est clir que chque fonction f k est continue sur I. Tritons mintennt le cs générl. Soit f : I R une fonction polynomile. Il existe des constntes 0,..., N, telles que x I, f(x) = N k x k. k=0

38CHAPITRE 3. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Pr suite f = N k=0 kf k. En ppliqunt le i) et le ii) de l proposition 3.2.1, on obtient le fit que f est coninue. Exemple 3.2.2 Soit f : R R définie pr f(x) = 0 si x < 0 et f(x) = x si x 0. Alors f est continue sur R. Preuve. Sur ], 0[ et ]0, + [, f est définie pr une expression polynomile. Donc elle est continue sur R \ {0}. Il reste à montrer que f est continue en 0. Soit ɛ > 0. Posons δ = ɛ et supposons x 0 < δ. Alors f(x) f(0) = f(x) x cr f(x) = x si x 0 et f(x) = 0 si x < 0. Comme x < δ = ɛ, on en déduit f(x) f(0) < ɛ, ce qui prouve l continuité de f en 0. Proposition 3.2.3 Soient I, J, K trois intervlles et f : I J et g : J K deux pplictions continues. Alors, g f est continue. Preuve. Soit x 0 I. On doit montrer que lim x x0 g f(x) = g f(x 0 ). Or, f et g étnt continue, on lim f(x) = f(x 0 ) et x x 0 lim g(y) = g f(x 0). y f(x 0 ) Il découle donc de l Proposition 2.2.3 que lim x x0 g f(x) = g f(x 0 ). 3.2.2 Théorème de l vleur intermédiire Théorème 3.2.1 Soit f : I R une ppliction coninue. Soient, b I tels que < b et soit y R. On suppose que f() y f(b). Alors il existe c [, b] tel que f(c) = y. Preuve. L preuve consiste à implementer l méthode dite de l dichotomie. Quitte à considerer l fonction x f(x) y, on peut supposer y = 0. On donc f() < 0 < f(b) et on cherche c [, b] tel que f(c) = 0. On v construire pr récurrence deux suites ( n ) n N et (b n ) n N telles que ( n ) est croissnte et f( n ) 0 (3.1) (b n ) est décroissnte et f(b n ) 0 (3.2) n N, n b n et b n n (b )2 n (3.3) On commence pr poser 0 = et b 0 = b. On définit 1 et b 1 de l mnière suivnte. On clcule z = f( +b 2 ). Si z = 0, on pose 1 = b 1 = 0+b 0 2. Si z > 0, on pose 1 = 0 et b 1 = 0+b 0 2. Si z < 0, on pose 1 = 0+b 0 2 et b 1 = b 0.

3.2. CONTINUITÉ 39 On remrque qu on bien 0 1 b 1 b 0 dns tous les cs. De plus, pr construction on b 1 1 = 0 si z = 0 et b 1 1 = b 0 0 2 si z 0. Supposons mintennt que 0,..., n et b 0,..., b n stisfisnt (3.1), (3.2) et (3.3) ont été construits. On v définir n+1 et b n+1 de mnière suivnte. Soit z = f( n+bn 2 ). Si z = 0, on pose n+1 = b n+1 = n+bn 2. Si z > 0, on pose n+1 = n et b n+1 = n+bn 2. Si z < 0, on pose n+1 = n+bn 2 et b n+1 = b n. On vérifie lors que n+1 et b n+1 stisont les propriétés (3.1), (3.2) et (3.3). Nous llons mintennt montrer que les suites ( n ) n N et (b n ) n N convergent vers une limite commune. Pour cel il suffit de remrquer que ( n ) est croissnt et mjorée pr b 0, donc elle converge vers une limite l R. De même, (b n ) est décroissnte et minorée pr 0, donc elle converge vers une limite l b R. De plus, n b n tend vers 0 qund n tend vers l infini (cr 0 < b n n < (b )2 n ). Pr suite, l 0 = l b. On pose c = l = l b. Comme f est continue, on lim n + f( n ) = f(c). Comme f( n ) 0 pour tout n N lors f(c) 0. De même, lim n + f(b n ) = f(c) et comme f(b n ) 0 pour tout n N lors f(c) 0. On en déduit donc que f(c) = 0. Remrque 3.2.2 Le résultt précédent est fux si l fonction n est ps continue. Pr exemple, pour f : R R définie pr f(x) = 0 si x 0 et f(x) = 1 si x > 0, il n existe ps de c R tel que f(c) = 1 2. Proposition 3.2.4 Soit I = [, b] et f : I R une ppliction continue et strictement monotone sur I. Alors f est bijective de I sur [f(), f(b)]. Preuve. L stricte monotonie de f montre que f est injective. Pour montrer que f est surjective, on peut supposer que f est strictement croissnte. On se donne y [f(), f(b)]. Le théorème de l vleur intermédiire montre qu il exiset c [, b] tel que f(c) = y. Pr suite f est bien surjective. 3.2.3 Notion d extremum Dns cette prtie les fonctions considérées ne sont ps nécessirement continues. Définition 3.2.3 Soit f : I R une ppliction. On dit que f un mximum globl sur I si : x 0 I, x I, f(x) f(x 0 ). Dns ce cs, le nombre f(x 0 ) est ppelé mximum de f sur I et noté mx x I f(x). On dit que f un minimum globl sur I si : x 0 I, x I, f(x) f(x 0 ). Dns ce cs, le nombre f(x 0 ) est ppelé minimum de f sur I et noté min x I f(x).

40CHAPITRE 3. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Remrque 3.2.3 Si f un mximum, s vleur M est unique. Pr contre le point x 0 où cette vleur est tteinte n est ps unique. Pr exemple, sur R l fonction sin(x) dmet 1 pour mximum, qui est tteint en π 2 + 2πZ. On ppelle extremum un mximum ou un minimum. Définition 3.2.4 Soit f : I R une ppliction et soit x 0 I. On dit que f un mximum locl en x 0 si : δ > 0, x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, f(x) f(x 0 ). Le nombre M = f(x 0 ) est le mximum locl de f en x 0. Si de plus, pour tout x ]x 0 δ, x 0 + δ[\{x 0 } on f(x) < f(x 0 ), on dit que M est un mximum locl strict de f en x 0. On dit que f un minimum locl en x 0 si : δ > 0, x I ]x 0 δ, x 0 + δ[, f(x) f(x 0 ). Le nombre m = f(x 0 ) est le minimum locl de f en x 0. Si de plus, pour tout x ]x 0 δ, x 0 + δ[\{x 0 } on f(x) > f(x 0 ), on dit que m est un minimum locl strict de f en x 0. Exemple 3.2.3 Soit f : R R définie pr f(x) = x 2. Alors f un minimum locl en x = 0. Exemple 3.2.4 Soit f : R R définie pr f(x) = x 4 2x 2. Alors f un mximum locl en x = 0 et un minimum locl(en fit globl) en x = 1 et x = 1. Remrque 3.2.4 Tout extremum locl est nécessirement un extremum locl, mis l réciproque est fusse (cf exemple ci dessus). 3.2.4 Résultts globux Théorème 3.2.2 Soient, b R et f : [, b] R une ppliction continue. Alors f possède un mximum globl et un minimum globl. De plus, il existe x 1, x 2 [, b] tels que f(x 1 ) = mx x [,b] f(x) et f(x 2) = min x [,b] f(x). Preuve. Admis L conclusion du théorème devient fusse si l on ne suppose plus que f est continue ou si on remplce [, b] pr ], b]. Pour voir que l hypothèse de continuité est nécessire, considerer f : [ 1, 1] R définie pr f(x) = 1 x si x 0 et f(0) = 0. Alors f n ps d extremum globl. Pour voir qu il est nécessire que l intervlle soit fermé et borné, prendre f : x [0, + [ x. Alors f n ps de mximum globl puisque lim x + f(x) = +. On peu ussi prendre f : x ]0, 1] 1 x et constter que f n ps de 2 minimum globl.

3.3. DÉRIVABILITÉ 41 Définition 3.2.5 Soit I un intervlle et f : I R une ppliction. On dit que f est uniformément continue sur I si l propriété suivnte est stisfite : ɛ > 0, δ > 0, x I, y I, ( x y < δ = f(x) f(y) < ɛ) (3.4) Comprons les definitions de f est continue sur I : x I, ɛ > 0, δ > 0, y I, ( x y < δ = f(x) f(y) < ɛ) (3.5) et f est uniformément continue sur I : ɛ > 0, δ > 0, x I, y I, ( x y < δ = f(x) f(y) < ɛ). (3.6) On remrque qu on psse de l continuité à l uniforme continuité en intervertissnt les blocs x I et δ > 0. Autrement dit dns l uniforme continuité on demnde que le δ ne dépende ps du point x où l on mesure l continuité. Remrque 3.2.5 Toute ppliction uniformément continue sur I est nécessirement continue sur I. Pr contre il existe des pplictions continues sur un intervlle qui ne sont ps uniformément continues. Exemple 3.2.5 L ppliction f(x) = 1 x est continue sur ]0, 1] mis elle n est ps uniformément continue. Pour le voir, il suffit de vérifier l négtion de l uniforme continuité : ɛ > 0, δ > 0, x I, y I tq x y < δ et f(x) f(y) ɛ. Fixons ɛ = 1 et prenons δ > 0 u hsrd. On cherche x et y dns ]0, 1] tels que x y < δ et f(x) f(y) 1. Prenons x = δ 2(δ+1) et y = δ 4(δ+1). Alors x y = δ 4(δ+1) < δ. De plus f(x) f(y) = 2(δ + 1) δ = 2 + 1 δ 1 = ɛ. Théorème 3.2.3 Soit I = [, b] un intervlle fermé et borné. Alors, toute fonction f continue sur I est ussi uniformément continue sur I. Preuve. Admis. 3.3 Dérivbilité 3.3.1 Définition et propriétés élémentires Dns cette prtie on suppose que I est un intervlle ouvert, c est à dire ne contennt ps ses bornes. Définition 3.3.1 Soient f : I R et x 0 I. On dit que f est dérivble en x 0 si l limite suivnt existe f(x) f(x 0 ) lim. x x 0, x x 0 x x 0 Si f est dérivble en x 0, on note f (x 0 ) l limite précédente.

42CHAPITRE 3. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Définition 3.3.2 Soit f : I R. On dit que f est dérivble sur I si pour tout x 0 I, f est dérivble en x 0. Exemple 3.3.1 L fonction f : R R définie pr f(x) = x est dérivble sur R \ {0}. Mis elle n est ps dérivble en 0. En effet, f(x) f(0) x x lim = lim = 1 1 = lim x 0,x<0 x 0 x 0,x<0 x x 0,x>0 x = lim x 0,x>0 Pr suite l quntité f(x) f(0) x 0 n ps de limite qund x tend vers 0. f(x) f(0). x 0 Proposition 3.3.1 (Propriétés élémentires) Soient f : I R et g : I R deux fonctions et x 0 I. On suppose que f et g sont dérivbles en x 0. On les résultts suivnts : i) f + g est dérivble en x 0 et (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). ii) Pour tout λ R, λf est dérivble en x 0 et (λf) (x 0 ) = λf (x 0 ). iii) f.g est dérivble en x 0 et (f.g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ). iv) Supposons que g(x 0 ) 0, lors l fonction f g est bien définie pour x proche de x 0. De plus elle est dérivble en x 0 et ( f g ) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g(x 0). 2 Preuve. Les points i) et ii) sont des conséquences immédites de l proposition 2.2.2. Preuve de iii) Pour h > 0, on note On h (f) = f(x 0 + h) f(x 0 ). h h (fg) = f(x 0 + h)g(x 0 + h) f(x 0 )g(x 0 ) = g(x 0 + h) h (f) + f(x 0 ) h (g) h (3.7) De plus on lim h 0 h (f) = f (x 0 ), lim h 0 h (g) = g (x 0 ) et lim h 0 g(x 0 + h) = g(x 0 ). En ppliqunt à nouveu l proposition 2.2.2, on obtient lim h(fg) = f(x 0 )g (x 0 ) + f (x 0 )g(x 0 ). h 0 Preuve de iv) En tennt compte de iii), on peut supposer que f est constnte égle à 1. De plus, h ( 1 g ) = 1 h ( 1 g(x 0 + h) 1 g(x 0 ) ) = 1 g(x 0 + h)g(x 0 ) En utilisnt à nouveu l proposition 2.2.2, on obtient lim h( 1 h 0 g ) = g (x 0 ) g(x 0 ) 2 g(x 0 ) g(x 0 + h). h ce qui prouve iv) dns le cs f = 1.

3.3. DÉRIVABILITÉ 43 Proposition 3.3.2 (Dérivtion d une composée) Soient f : I R et g : J R deux fonctions et x 0 I. On note y 0 = g(x 0 ). On suppose que y 0 I et que g est dérivble en x 0 et f est érivble en y 0. Alors f g est dérivble en x 0 et (f g) (x 0 ) = f (g(x 0 )).g (x 0 ). Preuve. On reprend les nottions de l preuve précédente. On h (f g) = f(g(x 0 + h)) f(g(x 0 )) g(x 0 + h) g(x 0 ) g(x 0 + h) g(x 0 ) h = f(y 0 + k(h)) f(y 0 ) g(x 0 + h) g(x 0 ) = k(h) (f) h (g) k(h) h (3.8) vec y 0 = g(x 0 ) et k(h) = g(x 0 + h) g(x 0 ). Comme lim h 0 k(h) = 0, on peut ppliquer les propositions 2.2.2 et 2.2.3 pour obtenir lim h(f g) = f (g(x 0 )).g (x 0 ). (3.9) h 0 Exemple 3.3.2 L fonction f(x) = exp(x 2 +1) est dérivble sur R et pour tout x R, on f (x) = 2x exp(x 2 + 1). Proposition 3.3.3 Soient I et J deux intervlles et f : I J une ppliction dérivble et bijective. Supposons que y J vérifie f (f 1 (y)) = 0. Alors l ppliction réciproque f 1 : J I est dérivble en y et Preuve. Pour y J on écrit (f 1 ) (y) = 1 f (f 1 (y)). f 1 (y) f 1 (y ) f 1 (y) f 1 (y ) y y = f(f 1 (y)) f(f 1 (y )) On pose x = f 1 (y) et x = f 1 (y ), lors f 1 (y) f 1 (y ) x x y y = f(x) f(x ) Or, f étnt continue, f 1 est ussi continue (c.f. TD). Donc, lorsque y tend vers y, x = f 1 (y ) tend vers f 1 (y) = x. Pr suite f 1 (y) f 1 (y ) x x lim y y y y = lim x x f(x) f(x ) = 1 f (x) = 1 f (f 1 (y)). Exemple 3.3.3 Soit f :] π 2, π 2 [ ] 1, 1[, définie pr f(x) = sin(x). Alors f est bijective et x ] 1, 1[, (f 1 ) 1 (x) =. 1 x 2

44CHAPITRE 3. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES En effet, on f = cos. Pr suite, l proposition précédente montre que (f 1 ) (x) = 1 cos(rcsin(x)). Or pour y ] π 2, π 2 [, on cos(y) = 1 sin(y) 2. En prennt y = rcsin(x) il vient cos(rcsin(x)) = 1 x 2. D où le résultt nnoncé. Remrque 3.3.1 On des résultts nlogues pour les fonctions cos et tn. 3.3.2 Théorèmes de Rolle et des ccroissements finis Proposition 3.3.4 Soient, b R et f :], b[ R une ppliction dérivble. On suppose qu il existe c ], b[ tel que f un extremum locl en c. Alors f (c) = 0. Preuve. Quitte à remplcer f pr f, on peut supposer que f un mximum locl en c. Comme c ], b[, il existe δ > 0 tel que I δ :=]c δ, c + δ[ ], b[. Pour x c, on pose D(x) = f(x) f(c) x c. Alors f (c) = lim x c D(x). Pr illeurs, c étnt un mximum locl, quitte à diminuer δ, on peut supposer que pour tout x I δ, f(x) f(c) 0. Pr suite, pour tout x I δ on D(x) 0 si x < c et D(x) 0 si x > c Pour n N, posons u n = c δ n. Alors n N, D(u n) 0 et comme u n tend vers c, on ussi lim n + D(u n ) = f (c). Pr pssge à l limite dns les inéglités, on en déduit f (c) 0. De l même mnière, en considérnt v n = c + δ n on obtient f (c) 0. On donc 0 f (c) 0. Ceci chève l preuve. Remrque 3.3.2 Pour pouvoir ppliquer le résultt précédent, il est impértif que le point c où f un extremum locl ne soit ps une borne de l intervlle de définition. Pr exemple, l fonction f : [0, 1] R définie pr f(x) = x un minimum globl en 0. Pourtnt f (0) = 1. Théorème 3.3.1 (Théorème de Rolle) Soient, b R tels que < b et f : [, b] R une ppliction continue et dérivble sur ], b[. On suppose que f() = f(b). Alors, il existe c ], b[ tel que f (c) = 0. Preuve. Si f est l fonction constnte égle à f(), on f (x) = 0 pour tout x et il n y rien à démontrer. Supposons que f n est ps constnte. Quitte à remplcer f pr f, on peut supposer qu il existe x 0 ], b[ tel que f(x 0 ) > f(). Pr illeurs, d près le Théorème 3.2.2, il existe x 1 [, b] tel que f(x 1 ) = mx x [,b] f(x). Comme f(x 0 ) > f() = f(b), lors x 1 / {, b}. Autrement dit, x 1 ], b[ et on peut ppliquer l Proposition 3.3.4 pour en déduire que f (x 1 ) = 0.

3.3. DÉRIVABILITÉ 45 Théorème 3.3.2 (Théorème des ccroissements finis) Soient, b R tels que < b et f : [, b] R une ppliction continue et dérivble sur ], b[. Alors, il existe c ], b[ tel que f (c) = f(b) f() b. Preuve. Soit g : [, b] R l ppliction définie pr g(x) = f(x) f(b) f() (x ). b Alors, g est continue sur, b et dérivble sur ], b[. De plus un simple clcul montre que g() = f() = g(b). Pr conséquent on peut ppliquer le Théorème de Rolle à g et en déduire qu il existe c ], b[ tel que g (c) = 0. Or, un simple clcul montre que x ], b[, g (x) = f (x) f(b) f(). b On déduit des deux dernieres inéglités, le résultt nnoncé. Corollire 3.3.1 Soient, b R tels que < b et f : [, b] R une ppliction continue et dérivble sur ], b[. On suppose qu il existe M 0 tel que Alors, x ], b[, f (x) M. f(b) f() M b. En prticulier, toute fonction f telle que f = 0 est constnte. Corollire 3.3.2 Soit f : [, b] R une ppliction continue et dérivble sur ], b[. Si f (x) 0, x ], b[, lors f est croissnte sur [, b]. Si f (x) > 0, x ], b[, lors f est strictement croissnte sur [, b]. Proposition 3.3.5 Soit f :], b[ R une fonction continue et soit x 0 ], b[. On suppose que f est dérivble sur les intervlles ], x 0 [ et ]x 0, b[ et qu il existe α R tel que lim f (x) = α = x x 0,x<x 0 Alors f est dérivble en x 0 et f (x 0 ) = α. lim f (x). x x 0,x>x 0 Preuve. Pour x x 0, on pose (x) = f(x) fr(x0) x x 0. On doit montrer que lim (x) = α = lim (x). x x 0,x<x 0 x x 0,x>x 0 D près le Théorème de l vleur intermédiire, pour tout x > x 0, il existe y ]x 0, x[ tel que Delt(x) = f (y). Comme y tend vers x 0 lorsque x tend vers x 0, lors f (y) tend vers α lorsque x tend vers x 0 et pr suite, lim x x0,x>x 0 (x) = α. Le même risonement fonctionne pour l limite pr vleurs inférieures.

46CHAPITRE 3. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES 3.3.3 Représenttion grphique Soit f : I R une ppliction dérivble en un point x 0 G f = {(x, f(x)), x I} le grphe de f. I. On note Définition 3.3.3 On ppelle tngente u grphe G f en x 0, l droite d éqution Crtésienne y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). On noter T f,x0 cette droite. Remrque 3.3.3 Le grphe G f et l tngente T f,x0 se coupent u point (x 0, f(x 0 )). De plus pour x proche de x 0 ces deux grphes sont très proches. 3.3.4 Dérivées d ordre superieur Définition 3.3.4 Soit f : I R une ppliction et k N. On dit que f est dérivble k fois (ou de clsse D k ) si f est dérivble et f est de clsse D k 1. Dns ce cs on note f = (f ), f (3) = ((f ) ),..., f (k) = (f (k 1) ). On noter D k (I) l ensemble des pplictions de clsse D k sur I. On peut lors définir les pplictions de clsse C k. Définition 3.3.5 Une ppliction f : I R est de clsse C k si f est de clsse D k et f (k) est continue. On noter C k (I) l ensemble des pplictions de clsse C k sur I. Remrque 3.3.4 Pour k N, on les inclusions suivntes : C k (I) D k+1 (I) C k+1 (I) De plus ces deux inclusions sont strictes. 3.4 Rppels sur les fonctions usuelles Dns cette section on rpelle des résultts dmis sur des fonctions usuelles (exponentielle, sinus, cosinus, etc.) 3.4.1 L fonction exponentielle Théorème 3.4.1 Il existe une unique fonction f dérivble sur R telle que x R, f (x) = f(x) et f(0) = 1. Cette fonction s ppelle l exponentielle et se note f(x) = exp(x) Preuve. Admis L fonction exponentielle les propriétés suivntes : Proposition 3.4.1 i) x R, exp(x) > 0 ii) exp est strictement croissnte. iii) x R, y R, exp(x + y) = exp(x) exp(y).

3.4. RAPPELS SUR LES FONCTIONS USUELLES 47 iv) Pour tout n N, exp(n) = e n où e = exp(1) > 1. v) lim x + exp(x) = + et lim x exp(x) = 0. Preuve. i) dmis ii) C est évident puisque exp = exp > 0 d près i). iii) Fixons y et considérons g(x) = exp(x+y) exp(y). On g(0) = exp(y) exp(y) = 1 et g (x) = g(x) pour tout x. Pr conséquent, le résultt d unicité du Théorème 3.4.1, montre que g(x) = exp(x) pour tout x. En multiplint pr exp(y) on obtient l identité nnoncée. iv) Le fit que e > 1 est une conséquence immédite de ii). Pour montrer que exp(n) = e n on procède pr récurrence. Pour n = 0, on bien exp(0) = 1 = e 0. Supposons exp(n) = e n. Alors, en utilisntr iii) et l hypothèse de récurrence, on exp(n + 1) = exp(n) exp(1) = e n.e = e n+1, ce qui prouve l identité. v) Soit M 0. D près l exercice 2.1.4, l suite u n = e n vérifie lim n + un = +. Pr conséquent, il existe n 0 tel que n n 0, e n M. Or, l fonction exponentielle étnt croissnte, ceci implique que x n 0, exp(x) M. Autrement dit, on bien lim x + exp(x) = +. Pour montrer que lim x exp(x) = 0, il suffit de remrquer que exp(x) exp( x) = 1 et d utiliser le résultt précédent. Corollire 3.4.1 L fonction exp est bijective de R sur ]0, + [. On note ln :]0, + [ R s fonction réciproque (ppelé logrithme). On les propriétés suivntes : Proposition 3.4.2 i) ln(e) = 1 ii) ln est strictement croissnte. iii) x R, y R, ln(x.y) = ln(x) + ln(y). iv) lim x + ln(x) = + et lim x 0 ln(x) =. v) L fonction ln est dérivble sur ]0, + [ et ln (x) = 1 x. Preuve. Il suffit d utiliser l Proposition 3.4.1 et les résultts sur les fonctions réciproques. A l ide des fonctions exponentielle et logrithme, on peut définir les puissnces non-entieres d un réel positif. Définition 3.4.1 Soit R.On définit l fonction f :]0, + [ R pr f (x) = exp( log(x)).

48CHAPITRE 3. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS NUMÉRIQUES Proposition 3.4.3 Soit R. Alors l fonction f est de clsse C. Si deplus N lors f (x) = x. On noter donc pr l suite f (x) = x, même lorsque / N. Preuve. L fonction f est de clsse C comme composée de fonction C. Pour N, on f (x) = exp( log(x)) = exp(log(x )) = x. Proposition 3.4.4 Soient, b R et x, y > 0. Alors 1. (xy) = x y 2. x x b = x +b 3. (x ) b = x b 1 4. x = x Preuve. Exercice fcile. Proposition 3.4.5 Croissnce comprée Soit k N. Alors, on lmes limites suivntes : e 1. lim x x + = + et lim x k x x k e x = 0. ln x 2. lim x + = 0 et lim x k x 0 x k ln(x) = 0. Preuve. Exercice. Indic : triter d bord le cs k = 1 et étudier les fonctions ex x (on remrquer que e x x pour x 0). 3.4.2 Les fonctions trigonométriques Dns cette prtie on rppelle les propriétés élémetires des fonctions sinus et cosinus, qui sont définies de mnière géométrique. Etnt donné un ngle x ]0, 2π[, les nombres sin(x) et cos(x) sont clculés en construisnt un tringle rectngle (ABC) de cotés AB et AC de longueur 1 et d ngle  égl à x. On pose lors sin(x) = BC AB et cos(x) = AC AC. Pour x R, on définit cos(x) et sin(x) en posnt sin(x + 2kπ) = sin(x) et cos(x + 2kπ) = cos(x) quelque soit k N. Les fonctions insi définies sont C sur R pèriodiques. Elles vérifient les identités suivntes : sin(x + y) sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y), cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) sin( x) = sin(x), cos( x) = cos(x), sin(π x) = sin(x), cos(π x) = cos(x), sin( π x) = cos(x) 2 sin (x) = cos(x), cos (x) = sin(x). On peut ussi définir l fonction tngente sur R \ {(2k + 1) π 2, k Z} pr C est une fonction C et on tn(x) = sin(x) cos(x). tn (x) = 1 + tn 2 (x) = 1 cos 2 (x).

Chpitre 4 Intégrtion des fonctions continues morceux 4.1 Introduction Dns cette section, on fixe < b deux réels, on note I = [, b] et on considère f : I R une ppliction continue. On suppose en outre que f est positive sur [, b], c est à dire que x [, b], f(x) 0. On veut clculer l ire de l région du pln comprise entre le grphe de f, l xe des bcisses et les droites d éqution x = et x = b. Autrement dit, on veut clculer l ire de l ensemble Ω,b (f) = {(x, y) R 2, x b, 0 y f(x)}. f(x) Ω,b (f) b x Domine dont on veut clculer l ire Dns quelques cs prticuliers, il est possible de fire ce clcul simplement. Pr exemple, si f est l fonction constnte f(x) = c pour un certin c 0. Le domine Ω,b (f) est un rectngle dont les cotés sont de longueurs respectives c et b. Donc, son ire vut c(b ). 49

50CHAPITRE 4. INTÉGRATION DES FONCTIONS CONTINUES MORCEAUX f(x) b x Cs d une fonction constnte Si f est l fonction linéire, f(x) = c + d(x ), pour deux constntes c 0 et d 0. Le domine Ω,b (f) est un trpèze de petite bse c, de grnde bse c + d(b ) et de huteur b. Son ire vut donc 1 2 (petite bse + grnde bse) huteur = (c + d (b ))(b ). 2 f(x) b x Cs d une fonction linéire Si f est une fonction plus compliquée. Pr exemple, f(x) = (x ) 2. Il n y ps de mnière élémentire de clculer. Une première pproche consiste à essyer de clculer l ire de mnière pprochée en découpnt le domine en petits morceux en remplcnt chque petit morceu pr un morceu proche dont on sit clculer l ire (pr exemple un rectngle ou un trpèze!).

4.2. DÉFINITION DE L INTÉGRALE 51 f(x) b x Approximtion pr découpge en petits rectngles Si on prend des morceux de plus en plus petits, on s ppercoit que les pproximtions successives convergent vers une vleur limite. 4.2 Définition de l intégrle 4.2.1 Cs des fonctions en esclier Définition 4.2.1 Soit [, b] un intervlle borné de R. On dit que ( 1,..., n+1 ) est une subdivision de [, b] si 1 =, n+1 = b et k < k+1 pour tout k = 1,..., n. Définition 4.2.2 Soit f : [, b] R une fonction. On dit que f est une fonction en esclier s il existe une subdivision de [, b] = 1 < 2 <... < N+1 = b et des réels α 1,..., α N tels que pour tout k {1,..., N} on it x ] k, k+1 [, f(x) = α k. Remrque 4.2.1 Dns l définition précédente, on demnde juste que f soit constnte sur chque intervlle ] k, k+1 [. Définition 4.2.3 Soit f une fonction en esclier. Soit = 1 < 2 <... < N+1 = b une subdivision de [, b] telle que f est constnte égle à α k sur chque intervlle ] k, k+1 [. On définit l intégrle entre et b de f pr b f(x)dx := N α k ( k+1 k ). k=1 Proposition 4.2.1 Soient f et g deux fonctions en esclier sur [, b] et λ R. Alors f + g et λf sont ussi des fonctions en esclier et on et b b f(x)dx = λ b (f + g)(x)dx = b f(x)dx + f(x)dx. (4.1) b g(x)dx. (4.2)

52CHAPITRE 4. INTÉGRATION DES FONCTIONS CONTINUES MORCEAUX Preuve. Soient f et λ comme ci dessus. Il existe une subdivision = 1 <... < N+1 et des réels α 1,..., α N tels que Pr suite, x ] k, k+1 [, f(x) = α k. x ] k, k+1 [, (λf)(x) = β k vec β = λα k. Pr définition de l intégrle, il vient b N N (λf)(x)dx = β k ( k+1 k ) = λα k ( k+1 k ) = λ k=1 k=1 b N α k ( k+1 k ) = λ k=1 f(x)dx (4.3) Ceci prouve (4.12). L preuve de (4.13) est un peu plus délicte et lissée en exercice. Proposition 4.2.2 Soient < b < c trois réels et f une fonction en esclier sur [, c]. Alors f [,b] et f [b,c] sont ussi des fonctions en esclier et c f(x)dx = b f(x)dx + c b f(x)dx. Preuve. C est une conséquence immédite du fit que pour tout N, M N, on N+M N M+N k = k + k. k=1 k=1 k=n+1 4.2.2 Cs des fonction continues Supposons pour commencer que f : [, b] R est continue. On lui ssocie des fonctions en esclier de mnière nturelle comme à l figure précédente en posnt pour tout n N, f n (x) = 2 n k=1 α n k1 [ n k, n k+1[, vec n b k = + (k 1) 2 et α n n k = f(n k ). Il est clir que pour tout n N ; f n est une fonction en esclier. Pour tout n N, on définit I n (f) R pr I n (f) = b f n (x)dx.

4.2. DÉFINITION DE L INTÉGRALE 53 Théorème 4.2.1 Soit f une fonction continue. Soit (I n (f)) n N l suite de réels construite ci-dessus. Alors l suite (I n (f)) n N converge vers une limite finie lorsque n tend vers l infini. Cette limite est ppelée intégrle de f entre et b et notée b f(x)dx. Preuve. Pour montrer que l suite (I n (f)) n N une limite qund n tend vers l infini, il suffit de montrer que cette suite est de Cuchy (c.f. Th 2.1.2). Prenons ɛ > 0 quelconque. On cherche N N tel que n, m N, (n N = I n (f) I n+m (f) < ɛ). (4.4) Or, l fonction f est continue sur [, b] qui est un intervlle fermé et borné, donc elle est uniformément continue, d près le Théorème 3.2.3. Pr conséquent, il existe δ > 0 tel que x, y [, b], ( x y < δ = f(x) f(y) < ɛ b ) (4.5) Prenons N N tel que (b )2 N δ (c est possible cr l suite (2 n ) n N tend vers 0) et supposons que n, m N vérifient n N. On v montrer que (4.4) est vérifiée. Pr définition, on I n (f) = b 2 n et 2 n j=1 f( + j 1 b (b )) = 2n 2 n I n+m (f) = b 2 n+m 2 n+m f( + i 1 (b )) 2n+m Pr suite, = b 2 n i=1 2 n j=1 1 2 m 2 m k=1 I n (f) I n+m (f) b 2 n+m 2 n j=1 1 2 m 2 m k=1 f( + j 1 (b )) 2n f( + j 1 k 1 (b ) + (b )) 2n 2n+m 2 n 2 m j=1 k=1 (4.6) (4.7) f(x j,k ) f(y j,k ) (4.8) vec x j,k = + j 1 2 (b ) et y n j,k = + j 1 2 (b ) + k 1 n 2 (b ). En prticulier, n+m pour tout 1 j 2 n et 1 k 2 m, on x j,k y j,k = k 1 b (b ) 2n+m 2 n δ (4.9) cr n N. Pr conséquent, en combinnt (4.5) et (4.9), on obtient f(x j,k ) f(y j,k ) En utilisnt cette inéglité dns (4.8), il vient I n (f) I n+m (f) b 2 n+m ɛ b 2 n 2 m j=1 k=1 (4.10) ɛ = ɛ. (4.11) b

54CHAPITRE 4. INTÉGRATION DES FONCTIONS CONTINUES MORCEAUX Ceci prouve (4.4) et chève l démonstrtion. Remrque 4.2.2 Dns le théorème précédent, on démontre que l suite (I n (f)) n N une limite sns expliciter celle-ci. Pour l plus prt des fonctions l limite de I n (f) (c est à dire l intégrle de f) est inclculble explicitement. Pr contre, le théorème précédent montre que cette intégrle est bien définie (ici le critère de Cuchy est fondmentl) et donne même un lgorithme pour en clculer une pproximtion. En effet, en prennt n de plus en plus grnd, le nombre I n (f) (qui est fcilement clculble) s pproche de plus en plus de l intégrle de f. Définition 4.2.4 Soit f une fonction continue sur [, b]. On définit l intégrle entre b et de f (ttention ux bornes!!) pr b f(x)dx = b f(x)dx. Proposition 4.2.3 Soient f et g deux fonctions continues sur [, b] et λ R. Alors f + g et λf sont ussi des fonctions continues et on b f(x)dx = λ b f(x)dx. (4.12) et b (f + g)(x)dx = b f(x)dx + b g(x)dx. (4.13) Preuve. Il suffit lors de remrquer que I n (f + g) = I n (f) + I n (g) et I n (λf) = λi n (f). En pssnt à l limite (n ) dns les églités ci dessus, on obtient le résultt nnoncé. Proposition 4.2.4 Soit I un intervlle et, b, c trois réels pprtennt à I. Soit f une fonction continue sur I. Alors c f(x)dx = b f(x)dx + c b f(x)dx. Preuve. Admis On s interesse mintennt ux propriétés de conservtion du signe de l intégrle. Proposition 4.2.5 Soit f une fonction continue et positive sur [, b]. Alors b f(x)dx 0.

4.2. DÉFINITION DE L INTÉGRALE 55 Preuve. Il suffit de remrquer que l suite I n définissnt l intégrle est positive. Donc s limite est positive. Corollire 4.2.1 Soient f et g deux fonctions continues sur [, b]. On suppose que f g sur [, b]. Alors, b f(x)dx b g(x)dx. Preuve. Appliquer l proposition précédente à g f. Corollire 4.2.2 Soit f une fonction continue sur [, b]. Alors il existe c [, b] tel que b f(x)dx = f(c)(b ). Preuve. Comme f est continue sur [, b], il existe x 1, x 2 [, b] tels que f(x 1 ) = inf x [,b] f(x) et f(x 2 ) = sup x [,b] f(x). Autrement dit, pour tout x [, b] on f(x 1 ) f(x) f(x 2 ). En intégrnt ces inéglités entre et b, on obtient (b )f(x 1 ) b f(x)dx (b )f(x 2 ). En divisnt pr (b ) on voit que le nombre I = 1 b f(x)dx vérifie I [f(x 1 ), f(x 2 )]. Le théorème de l vleur intermédiire montre donc qu il existe c [x 1, x 2 ] tel que I = f(c). D où le résultt nnoncé. b 4.2.3 Cs des fonction continues pr morceux On v mintennt définir l intégrle d une fonction continue pr morceux. Pour cel, on besoin de l notion de prolongement pr continuitã c d une fonction. Définition 4.2.5 Soit f :], b[ R une fonction continue. On suppose que lim x,x> f(x) existe et lim x b,x<b f(x) existe. On ppelle prolongement pr continuité de f à l intervlle [, b] l fonction f définie sur [, b] pr x ], b[; f(x) = f(x) et f() = lim x,x> f(x), f(b) = lim x b,x<b f(x). Remrque 4.2.3 L fonction f ci dessus est continue sur [, b], pr définition. Exemple 4.2.1 Soit f :]0, 1] R l fonction définie pr f(x) = x sin( 1 x ). Alors, l fonction f défine pr f(0) = 0 et f(x) = f(x), x > 0, est le prolongement pr continuité de f [0, 1].

56CHAPITRE 4. INTÉGRATION DES FONCTIONS CONTINUES MORCEAUX Définition 4.2.6 Soit f : [, b] R une fonction. On dit que f est continue pr morceux sur [, b] s il existe une subdivision = 1 <... < N+1 = b telle que f ] k, k+1 [ est continue pour tout k et f une limite guche et à droite en k. Définition 4.2.7 Soit f une fonction continue pr morceux sur [, b]. On définit l intégrle de f entre et b pr b f(x)dx = N k+1 k=1 k f ]k, k+1 [(x)dx, où f ]k, k+1 [ est le prolongement pr continuité de f ]k, k+1 [ à l intervlle [ k, k+1 ]. Les propriétés de l intégrle démontrées dns l section précédente pour des fonctions continues s étendent fcilement u cs de fonctions continues pr morceux. On en lisse l preuve u lecteur. 4.3 Théorème fondmentl de l Anlyse Théorème 4.3.1 Soit f une fonction continue sur un intervlle [, b] et x 0 [, b]. Pour x [, b] on définit F (x) = x x 0 f(t)dt. Alors, F est de clsse C 1 sur [, b], F (x 0 ) = 0 et x [, b], F (x) = f(x). Preuve. Le fit que F (x 0 ) = 0 est évident. Montrons que F est dérivble. Fixons x [, b]. Pour h > 0, grce à l reltion de Chsles, on F (x + h) F (x) h f(x) = 1 h x+h x f(t)dt f(x) (4.14) De plus, d près le corollire 4.2.2, il existe x h [x, x + h] tel que x+h x f(t)dt = hf(x h ). Pr suite, F (x + h) F (x) h f(x) = f(x h ) f(x). (4.15) Comme x h tend vers x lorsque h tend vers 0, on en déduit que F (x + h) F (x) lim = f(x). h 0 h Ceci montre que F est dérivble et que F = f. Comme f est continue, on utomtiquement F C 1. Définition 4.3.1 Soit f une fonction continue sur un intervlle [, b]. Une fonction F dérivble q et telle que F = f s ppelle une primitive de f.

4.4. INTÉGRATION PAR PARTIES 57 Remrque 4.3.1 Le théorème précédent ffirme que toute fonction coninue possède une primitive. Il est fcile de voir qu étnt donnée une primitive F de f, quelque soit λ R, l fonction F + λ est ussi une primitive de F. Réciproquement, si F et G sont deux primitives de f, lors G = F + λ pour une certine constnte λ. Théorème 4.3.2 Soit f une fonction de clsse C 1 sur un intervlle [, b], lors b f (x)dx = f(b) f(). Preuve. Soit g l fonction définie pr g(x) = x f (t)dt. D près le théorème 4.3.1, on g() = 0 et x ], b[, g (x) = f (x). Pr suite g f est constnte égle à f(). En prennt x = b, il vient g(b) = f(b) f(), c est à dire b f (x)dx = f(b) f(). Proposition 4.3.1 Soit f une fonction continue sur un intervlle [, b] et F une primitive de f. Alors b f(t)dt = F (b) F (). Preuve. Soit F une primitive de f. D près le corollire, on b F (t)dt = F (b) F (). Or F = f. Donc b f(t)dt = F (b) F (). 4.4 Intégrtion pr prties Théorème 4.4.1 Soient u et v deux fonctions dérivbles sur un intervlle ], b[ et coninues sur [, b]. On lors l formule suivnte : b u (x)v(x) = [uv] b où l on utilise l nottion [f] b = f(b) f(). b u(x)v (x)dx (4.16)

58CHAPITRE 4. INTÉGRATION DES FONCTIONS CONTINUES MORCEAUX Preuve. D près le théorème 4.3.2, on [uv] b = = b b (uv) (x)dx = u (x)v(x)dx + b b (u (x)v(x) + u(x)v (x))dx u(x)v (x)dx. (4.17) Exemple 4.4.1 On 2 0 te t dt = e 2 + 1 En effet, une intégrtion pr prtie montre que 2 0 te t dt = [te t ] 2 0 2 4.5 Chngement de vrible 0 e t dt = 2e 2 e 2 + 1 = e 2 + 1. Théorème 4.5.1 Soit f : [, b] R une ppliction continue et soit ϕ : [α, β] [, b] une ppliction de clsse C 1. Alors β α (f ϕ)(t)ϕ (t)dt = ϕ(β) ϕ(α) f(s)ds. Preuve. Soit F une primitive de f. Alors F ϕ est dérivble et (F ϕ) = F ϕ.ϕ. Pr conséquent l fonction G = F ϕ est une primitive de (F ϕ)ϕ. En ppliqunt le théorème 4.3.2, on obtient β α (F ϕ)(t).ϕ (t)dt = G(b) G() = F (ϕ()) F (ϕ(b)). Or F étnt une primitive de f, ceci entrine β α (f ϕ)(t).ϕ (t)dt = ϕ(β) ϕ(α) f(s)ds. Exemple 4.5.1 3 1 1 (1+x 2 ) dx = 3+ 2 1+x 2 2. Preuve. Notons I = 3 1 1 (1+x 2 ) dx. On pose f(x) = 1 1+x 2 (1+x 2 ) et ϕ(t) = 1+x2 tn(t). Alors, ϕ( π 4 ) = 1, ϕ( π 3 ) = 3. Pr suite I = ϕ( π 3 ) ϕ( π 4 ) f(x)dx = π 3 π 4 f(tn(t)) tn (t)dt

4.5. CHANGEMENT DE VARIABLE 59 Or tn (t) = 1 + tn 2 (t), donc f(tn(t)) tn 1 (t) = = cos(t). Pr suite 1+tn2 (t) I = π 3 π 4 cos(t)dt = [sin] π 3 π 4 3 + 2 =. 2

60CHAPITRE 4. INTÉGRATION DES FONCTIONS CONTINUES MORCEAUX

Chpitre 5 Formule de Tylor, développements limités 5.1 Ordre de grndeur 5.1.1 Générlités Dns cette prtie on veut formliser l observtion suivnte. Considérons les deux fonctions définies sur R pr f(x) = x et g(x) = x 2. On sit que lim f(x) = 0 et lim g(x) = 0. x 0 x 0 Cependnt, on peut se demnder lquelle de ces deux fonctions tend le plus vite vers 0 qund x tend vers 0. On peut commencer pr évluer f et g pour des vleurs petites : x 0.1 0.01 10 3 f(x) 0.1 0.01 10 3 g(x) 0.01 0.0001 10 6 On constte que lorsque x tend vers 0, g(x) est beucoup plus petit que f(x). Une utre mnière d ppréhender ce phénomene est de clculer l limite qund x tend vers 0 de g(x) f(x). On constte que g(x) lim x 0 f(x) = lim x = 0 x 0 Ceci confirme que lorsque x s pproche de 0 le quotient g(x) f(x) Autrement dit, g(x) est beucoup plus petit que f(x). devient très petit. Définition 5.1.1 Soient f : I R et g : I R deux fonctions et x 0 I. On dir que f est un grnd O de g lorsque x tend vers x 0 si : C 0, δ > 0, x ]x 0 δ, x 0 + δ[ I, f(x) C g(x). On noter f(x) = O x0 (g(x)). 61

62CHAPITRE 5. FORMULE DE TAYLOR, DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Exemple 5.1.1 Soit f :]0, [ R définie pr f(x) = 1 x + x 2. Alors f(x) = O 1 ((x 1) 2 ). Définition 5.1.2 Soient f : I R et g : I R deux fonctions et x 0 I. On dir que f est un petit o de g lorsque x tend vers x 0 si il existe δ > 0 et une fonction ɛ : I R telle que lim x x0 ɛ(x) = 0 et On noter x ]x 0 δ, x 0 + δ[ I, f(x) = ɛ(x) g(x) f(x) = o x0 (g(x)). Exemple 5.1.2 Soit f :]0, [ R définie pr f(x) = x ln(x). Alors f(x) = o 0(x). Remrque 5.1.1 Avec les nottions précédentes, dire que f = o x0 (1) (où 1 désigne l fonction constnte égle à 1) signifie exctement que lim x x0 f(x) = 0. Proposition 5.1.1 Soient f : I R et g : I R deux fonctions et x 0 I. Alors f(x) = o x0 (g(x)) si et seulement si ɛ > 0, δ > 0, x ]x 0 δ, x 0 + δ[ I, f(x) < ɛ g(x). Preuve. Il suffit d écrire l définition de lim x x0 ɛ(x) = 0 pour obtenir l équivlence. Corollire 5.1.1 Soient f : I R et g : I R deux fonctions et x 0 I. Supposons f(x) = o x0 (g(x)), lors f(x) = O x0 (g(x)). Proposition 5.1.2 Soient f : I R, g : I R, h : I R et k : I R qutre fonctions λ R et x 0 I. on les implictions suivntes : 1. Si f = o x0 (g) et h = o x0 (g) lors f + h = o x0 (g). 2. Si f = o x0 (g) et h = O x0 (k) lors f.h = o x0 (g.k). 3. Si f = O x0 (g) et h = O x0 (g) lors f + h = O x0 (g). 4. Si f = O x0 (g) et h = O x0 (k) lors f.h = O x0 (g.k). Preuve. Lissée en exercice. Remrque 5.1.2 Soient f : I R, g : I R et h : I R trois fonctions et x 0, x 1 deux réels. Si x 0 x 1, ucune des règles précédentes ne s pplique. Pr exemple on x 2 = o 0 (x), 1 x = O 1(x) et x 2. 1 x = x o 0(x 2 ). 5.1.2 Cs des puissnces Dns cette prtie, on compre l tille des fonctions puissnces. On fixe un intervlle I et x 0 I et pour k N. Proposition 5.1.3 Soient k N et f : I R, lors 1. f = o x0 ((x x 0 ) k ) ssi lim x x0 f(x) (x x 0 ) k = 0. 2. f = O x0 ((x x 0 ) k ) ssi f(x) (x x 0 ) k est bornée près de x 0. Preuve. C est une conséquence immédite des définitions.

5.2. FORMULE DE TAYLOR 63 5.2 Formule de Tylor Dns toute cette prtie I =], b[ est un intervlle, x 0 I est fixé et f : I R est une ppliction. Théorème 5.2.1 ( Formule de Tylor vec reste intégrl) Supposons que f C n+1 (I), lors pour tout x I vec f(x) = n k=0 R(x) = f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R(x) k! x x 0 f (n+1) (t) (x t) n dt. n! Preuve. On procède pr récurrence sur n. Le cs n = 0 est une conséquence immédite du Théorème fondmentl de l Anlyse. Supposons que f C n+2 (I) et qu on étbli l formule : f(x) = n k=0 f (k) (x 0 ) x (x x 0 ) k + k! x 0 Une simple intégrtion pr prties montre que x x 0 f (n+1) (t) (x t) n dt = [ f (n+1) (t) n! (n + 1)! (x t)n+1 ] x x 0 + = f (n+1) (x 0 ) (x x 0 ) n+1 + (n + 1)! f (n+1) (t) (x t) n dt. (5.1) n! x x 0 x x 0 f (n+2) (t) (n + 1)! (x t)n+1 dt f (n+2) (t) (n + 1)! (x t)n+1 dt (5.2) En dditionnnt les equtions (5.1) et (5.2), on obtient le résultt u rng n+2. Corollire 5.2.1 (Formule de Tylor-Lgrnge) Supposons que f C n+1 (I), lors pour tout x I f(x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + O x0 ((x x 0 ) n+1 ) k! Preuve. Il suffit de mjorer le reste R(x) dns l formule de Tylor vec reste intégrl. Comme f est de clsse C n+1, pour tout δ > 0 il existe une constnte C > 0 telle que t [x 0 δ, x 0 + δ], f (n+1) (t) C. Pr suite, pour tout x [x 0 δ, x 0 + δ], on R(x) C x x 0 x t n dt C x x 0 n+1. n! En fit on peut méliorer ce résultts à bien des égrds :

64CHAPITRE 5. FORMULE DE TAYLOR, DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Théorème 5.2.2 ( Formule de Tylor-Young) Supposons que f : I R est n fois dérivble, lors pour tout x I n f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k + R(x) k! vec k=0 R(x) = o x0 ((x x 0 ) n ). Preuve. Etnt donnée une fonction f dérivble n fois, on définit l fonction n f (k) (x 0 ) T n f(x) = (x x 0 ) k. k! k=0 On doit donc montrer que T n f(x) f(x) = o x0 ((x x 0 ) n ). On procède pr réccurence sur n. Pour n = 1, il s git de montrer que si f est dérivble sur I lors f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f(x) = o x0 (x x 0 ). En divisnt pr x x 0 l éqution précédente devient f(x) f(x 0 ) x x 0 = f (x 0 ) + o x0 (1) qui est trivilement vrie pr définition de l limite. Supposons mitennt l propriété vrie u rng n. Soit f une fonction n + 1 fois dérivble sur I. Pr conséquent, l fonction f est n fois dérivble e td pr`s l hypoth`se de réccurence on sit que T n f (t) f (t) = o x0 ((t x 0 ) n ). On intègre cette églité entre x 0 et x : x x T n f (t)dt f(x) + f(x 0 ) = o x0 ((t x 0 ) n )dt. x 0 x 0 Pr illeurs on constte que x n T n f f (k+1) (x 0 ) (t)dt = x 0 k! et On en déduit, c est à dire n+1 k=1 = x k=0 n k=0 x x 0 (t x 0 ) k dt f (k+1) n+1 (x 0 ) (x x 0 ) k+1 = (k + 1)! k=1 x 0 o x0 ((t x 0 ) n )dt = o x0 ((x x 0 ) n+1 ). f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k f(x) + f(x 0 ) = o x0 ((x x 0 ) n+1 ) k! T n+1 f(x) f(x) = o x0 ((x x 0 ) n+1 ).

5.3. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 65 Remrque 5.2.1 Si l on compre ce résultt vec l formule de Tylor-Lgrnge u rng n, on constte que l conclusion est meilleure (on R(x) = o x0 ((x x 0 ) n ) à comprer vec R(x) = O x0 ((x x 0 ) n ) dns le cs Tylor-Lgrnge) et nécessite moins d hypothèses (f D n contre f C n ). Corollire 5.2.2 Soit f : I R une ppliction de clsse C 2 et c I. On suppose que c est un point critique de f, c est à dire que f (c) = 0. Alors : si f (c) < 0 lors f présente un mximum locl strict en x = c. si f (c) > 0 lors f présente un minimum locl strict en x = c. Preuve. D pr`s l formule de Tylor-Young, on f(x) f(x) = f (c) (x c) 2 + o((x c) 2 ) = (x c) 2 ( f (c) + ɛ(x)) 2 2 vec lim x c ɛ(x) = 0. Sous l hypothèse f (c) 0, pour il existe δ > 0 tel que pour tout x c < δ, on ɛ(x) < f (c) 4. Si f (c) < 0, on en déduit que pour x ]c δ, c + δ[, x c, on f(x) f(c) < f (c) (x c) 2 < 0 4 donc f un mximum locl strict en x = c. Si f (c) > 0, on en déduit que pour x ]c δ, c + δ[, x c, on f(x) f(c) > f (c) (x c) 2 > 0 4 donc f un minimum locl strict en x = c. 5.3 Développements limités Dns cette prtie on introduit les développements limités. Etnt donnée une fonction f : I R réguliere et x 0 I, on veut donner une pproximtion de f pr une fonction plus simple. Une clsse de fonction bien connue est l clsse des polynomes. Il est donc interresnt d pprocher une fonction pr des polynomes. Dns un premier temps, on peut essyer d pprocher f pr un polynome de degré 0, c est à dire pr une constnte. C est possible en choisissnt comme polynome pproximnt l fonction P 0 (x) = f(x 0 ). Si f est continue on voit que lim x x0 (P 0 f)(x) = 0. Autrement dit, lorsque x s pproche de x 0, les fonctions P 0 et f sont proches. Si on veut rffiner cette pproximtion, on peut chercher à pprocher f pr un polynome P 1 de degré 1, c est à dire pr une fonction linéire. Si l fonction f est dérivble, ceci est possible (c consiste à dire que l tngent pproche le grphe de l fonction) et fourni une meilleure pproximtion que l pproximtion pr une constnte. Pour ller plus loin, on peut essyer d pprocher f pr un polynome de degré n quelconque. C est l objet de l suite du prgrphe.

66CHAPITRE 5. FORMULE DE TAYLOR, DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Définition 5.3.1 Soit f : I R une ppliction et x 0 I. On dit que f un développement limité à l ordre n en x 0 (DL n (x 0 )) s il existe des réels 0,..., n tels que f(x) = 0 + 1 (x x 0 ) +... + n (x x 0 ) n + o x0 ((x x 0 ) n ) (5.3) pour x I. Si une fonction f un DL n (x 0 ) pour tout n, on dit que l fonction f un développement limité tout ordre en x 0. Proposition 5.3.1 Soit f : I R une ppliction et x 0 I. On suppose que f un DL n (x 0 ). Alors les coefficients 0,..., n sont uniques. Preuve. Supposons qu on deux suites de coefficients 0,..., n et b 0,..., b n. Montons que k = b k pour tout k. On procède pr réccurence sur k. Pour k = 0, on remrque que 0 = lim x x 0 f(x) = b 0. Supposons que 0 = b 0,..., k = b k, en soustrynt les deux DL de f en x 0, on obtient 0 = ( k+1 b k+1 )(x x 0 ) k+1 +... + ( n b n )(x x 0 ) n + o x0 ((x x 0 ) n ). En divisnt pr (x x 0 ) k+1 et en fisnt x x 0, on obtient k+1 = b k+1. Proposition 5.3.2 Soit f : I R une ppliction, x 0 I et g(x) = f(x 0 +x). Alors, f un DL n (x 0 ) si et seulement si g un DL n (0). De plus les coefficients de ces deux DL sont identiques. Preuve. Exercice. Théorème 5.3.1 Soit f une fonction de clsse C n sur I. Alors, pour tout x 0 I, f dmet un développement limité à l ordre n en x 0 donné pr f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) +... + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + o x0 ((x x 0 ) n ) (5.4) n! Preuve. C est une conséquence du théorème 5.1. Remrque 5.3.1 Si on plus d informtion sur f, on peut pousser le DL un peu plus loin. Proposition 5.3.3 Soient f : I R et g : I R deux pplictions et x 0 I. On suppose que f et g ont un DL n (x 0 ) : f(x) = 0 + 1 (x x 0 ) +... + n (x x 0 ) n + o x0 ((x x 0 ) n ) g(x) = b 0 + b 1 (x x 0 ) +... + b n (x x 0 ) n + o x0 ((x x 0 ) n ) (5.5) Alors

5.3. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 67 i) (Somme de DL) L fonction f + g un DL n (x 0 ) : (f + g)(x) = ( 0 + b 0 ) +... + ( n + b n )(x x 0 ) n + o x0 ((x x 0 ) n ) ii) ( Produit de DL) L fonction fg un DL n (x 0 ) : (fg)(x) = 0 b 0 + ( 1 b 0 + 0 b 1 )(x x 0 ) + ( 2 b 0 + 1 b 1 + 0 b 2 )(x x 0 ) 2 +... + ( n b 0 + n 1 b 1 +... + 0 b n )(x x 0 ) n + o x0 ((x x 0 ) n ) (5.6) 1 iii) (Inverse de DL)Si f(x 0 ) = 0 et f possède un DL n (x 0 ), lors 1 f possède un DL n (x 0 ). Ce DL n est identique à celui de l fonction n k=0 f k qui se clcule vec les regles i) et ii). iv) (Composition de DL) Soient I et J deux intervlles et f : I J et g : J R deux fonctions. On se donne x 0 I et on suppose que y 0 = f(x 0 ) pprtient à J. On suppose ussi que f un DL n (x 0 ) et g un DL n (y 0 ) et que ces DL sont donnés pr f(x) = P n (x x 0 ) + o x0 ((x x 0 ) n ) et g(y) = Q n (y y 0 ) + o y0 ((y y 0 ) n ). Alors g f un DL n (x 0 ) qui s obtient en clculnt le DL n (x 0 ) de Q n (P n (x x 0 ) y 0 ). Preuve. Le i) est trivil. Il suffit de remrquer que o x0 ((x x 0 ) n +o x0 ((x x 0 ) n = o x0 ((x x 0 ) n. Pour le ii), on écrit f(x) = P (x) + r(x) et g(x) = Q(x) + s(x) vec On P (x) = 0 + 1 (x x 0 ) +... + n (x x 0 ) n et r(x) = o x0 ((x x 0 ) n Q(x) = b 0 + b 1 (x x 0 ) +... + b n (x x 0 ) n et s(x) = o x0 ((x x 0 ) n (fg)(x) = P (x)q(x) + P (x)r(x) + Q(x)s(x). D près l Proposition??, on P (x)r(x) + Q(x)s(x) = o x0 ((x x 0 ) n. De plus, en regroupnt les puissnces, on voit fcilemnt que P (x)q(x) = 0 b 0 + ( 1 b 0 + 0 b 1 )(x x 0 ) + ( 2 b 0 + 1 b 1 + 0 b 2 )(x x 0 ) 2 +... + ( n b 0 + n 1 b 1 +... + 0 b n )(x x 0 ) n + (x x 0 ) n+1 W (x) (5.7) où W est un polynôme. En prticulier, (x x 0 ) n+1 W (x) = o x0 ((x x 0 ) n, ce qui chève l démonstrtion de ii). Démontrons mintennt le iii). On définit g n (x) = n k=0 f k (x). Un clcul immédit montre que (1 f(x))g n (x) = 1 f n+1 (x), (5.8) d où 1 1 f(x) = g n(x) + f n+1 (x) 1 f(x) (5.9)

68CHAPITRE 5. FORMULE DE TAYLOR, DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS De plus, on supposé que f(x) = o x0 (x x 0 ). Pr conséquent, f n+1 (x) = o x0 ((x x 0 )) n+1 et 1 1 f(x) = O x 0 (1). On en déduit que 1 1 f(x) = g n(x) + o x0 ((x x 0 ) n+1 ) (5.10) Pour conclure, il suffit de remrquer que grce ux points i) et ii), l fonction g n un DL n (x 0 ) ; g n (x) = P n (x x 0 ) + o x0 ((x x 0 )) n. En remplcnt g n pr cette expression dns (5.11), il vient 1 1 f(x) = P n(x x 0 ) + o x0 ((x x 0 ) n ). (5.11) 1 Ceci démontre à l fois l existence d un DL pour 1 f L preuve iv) est lissée u lecteur. et l mnière de le clculer. Remrque 5.3.2 Le point iii) sert à clculer le développement limité de 1 g pour toute fonction g ne s nnulnt ps en x 0 et ynt un DL. En effet si g(x 0 ) 0, on peut ecrire 1 g(x) = 1 1 (5.12) g(x 0 ) 1 f(x) vec f(x) = g(x 0) g(x) g(x 0 ). Comme g possède un DL, il est clir que f stisfit les hypothèses du iii) de l proposition précédente. Exemple 5.3.1 Soit u : R + R définie pr u(x) = 1 x et soit x 0 > 0. Alors f possède un DL à tout ordre en x 0. En effet u(x) = 1 1 x 0 1 ( x 0 x x 0 ) = 1 n (x 0 x) k + O x0 ((x x 0 ) n+1 ) x 0 k=0 n ( 1) k = (x x 0 ) k + o x0 ((x x 0 ) n ). x 0 k=0 (5.13) Proposition 5.3.4 (Intégrtion des DL) Soit f : I R une ppliction continue et x 0 I. On suppose que f un DL n (x 0 ) : f(x) = 0 + 1 (x x 0 ) +... + n (x x 0 ) n + o x0 ((x x 0 ) n ) (5.14) Alors, toute primitive F de f un développement limité à l ordre n + 1 en x 0 : F (x) = F (x 0 )+ 0 (x x 0 )+ 1 2 (x x 0) 2 +...+ n (n + 1) (x x 0) n+1 +o x0 ((x x 0 ) n+1 ). Preuve. Soit F une primitive de f. Alors, il existe une fonction r telle que lim x x0 r(x) = 0 et F (x) = F (x 0 ) + = F (x 0 ) + x f(t)dt x 0 n k (t x 0 ) k + (t x 0 ) n r(t))dt x ( x 0 k=0 (5.15)

5.4. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS 69 En utilisnt le fit que x x 0 (t x 0 ) k dt = 1 k+1 (x x 0) k+1 et l linérité de l intégrle, il vient F (x) = F (x 0 )+ 0 (x x 0 )+ 1 2 (x x 0) 2 +...+ n (n + 1) (x x 0) n+1 +ρ(x) (5.16) vec ρ(x) = x x 0 (t x 0 ) n ɛ(t)dt. Il reste donc à montrer que ρ(x) tend vers 0 plus vite que (x x 0 ) n+1. Fixons ɛ > 0 u hsrd. Pr définition, il existe δ > 0 tel que t ]x 0 δ, x 0 + δ[, r(t) < ɛ(t x 0 ) n. On en déduit que pour x ]x 0 δ, x 0 + δ[, on ρ(x) < ɛ x x 0 t x 0 n dt ɛ x x 0 n+1 (5.17) ce qui montre que ρ(x) = o x0 ((x x 0 ) n+1. Remrque 5.3.3 On remrque que le DL à l ordre n + 1 de l primitive de f s obtient en intégrnt termes à termes le DL de f à l ordre n. Remrque 5.3.4 Il n y ps de résultt nlogue qui permette d ffirmer que si une fonction dérivble un DL n lors s dérivée f un DL n 1. Pr exemple l fonction f définie pr f(0) = 0 et f(x) = x 3 sin( 1 x 2 ) possède une DL 2 en 0 : f(x) = 0 + 0.x + 0x 2 + o 0 (x 2 ), mis s dérivée n ps de DL 1 en 0. En effet, f (0) = 0 et pour x 0, on f (x) = 3x 2 sin( 1 x 2 ) 2 cos( 1 x 2 ). En prticulier f n es ps continue en 0 et donc ne possède ps de DL 1. 5.4 Développements limités usuels A l ide de l formule de Tylor, il est possible de montrer que certines fonctions usuelles ont des DL tout ordre en tout point et de clculer ces développement limités. On donne ici certins de ces DL à un ordre n quelconque et en x 0 = 0. k Z, (1+x) k = 1+kx+ k(k 1) x 2 k(k 1)... (k n + 1) +...+ x n +o 0 (x n ) 2 n! cos(x) = sin(x) = n k=0 n k=0 ( 1) k (2k)! x2k + o 0 (x 2n ) ( 1) k (2k + 1)! x2k+1 + o 0 (x 2n+1 ) e x = 1 + x + x2 2 +... + xn n! + o 0(x n )

70CHAPITRE 5. FORMULE DE TAYLOR, DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS log(1 + x) = n 1 k=0 ( 1) k k + 1 xk+1 + o 0 (x n ) α R, (1 + x) α = 1 + αx +... + α(α 1)... (α n + 1) x n + o 0 (x n ) n! 1 1 x = 1 + x + x2 +... + x n + o 0 (x n ). rctn(x) = x x3 3 + x5 x2n+1... + ( 1)2n+1 5 2n + 1 + o 0(x 2n+1 ) rcsin(x) = n k=0 1.3.5... (2k + 1) 2 k x 2k+1 + o 0 (x 2n+1 ) (2k + 1)k! 5.5 Appliction u clcul de limites Une ppliction essentielle des développements limités est de lever des indétermintions dns le clcul des limites. Dns cette section on donne quelques exemples de ces pplictions. Supposons qu on doit étudier l limite en x 0 d une fonction F de l forme F (x) = f(x) g(x). Si les deux fonctions ont une limite en x 0 et que l limite de g est non nulle, lors l limite de F est donnée pr le quotiont des limites (proposition 2.2.2). Dns le cs ou f et g ont une limite nulle, le résultt précédent ne s pplique ps. Pour lever l indétermintion, une méthode trés performnte consiste (si c est possible) à écrire un DL de chcune des fonctions et à simplifier l frction. Proposition 5.5.1 Soient f : I R et g : I R deux pplictions et x 0 I. On suppose lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) = 0 et que f et g ont un DL n (x 0 ) donné pr { f(x) = 1 (x x 0 ) +... + n (x x 0 ) n + o x0 ((x x 0 ) n ) g(x) =b 1 (x x 0 ) +... + b n (x x 0 ) n + o x0 ((x x 0 ) n ) (5.18) On note n f = inf{k {1,..., n}, k 0} et n g = inf{k {1,..., n}, b k 0}. On lors les comportements suivnts : f(x) si n f > n g lors lim x x0 g(x) = 0 f(x) si n f = n g lors lim x x0 g(x) = n f b ng. si n f < n g lors f g une limite infinie à guche et à droite. Le signe est donné pr le quotient n f b ng de détils). et l différence n f n g (voir l preuve pour plus

5.5. APPLICATION AU CALCUL DE LIMITES 71 Preuve. Soit F = f g. Quitte à poser y = x x 0 on peut supposer x 0 = 0. On écrit n k=n F (x) = f k x k + o 0 (x n ) n (5.19) k=n g b k x k + o 0 (x n ) et on fctorise le numérteur et le dénominteur : F (x) = xn f ( n n f k=0 k+nf x k + o 0 (x n n f )) x ng ( n n g k=0 b k+n g x k + o 0 (x n ng )) (5.20) Si n f > n g, on simplifie pr x ng et on obtient F (x) = xn f n g ( n n f k=0 k+nf x k + o 0 (x n n f )) n ng k=0 b k+n g x k + o 0 (x n n g ). (5.21) Comme n f > n g le numérteur tend vers 0 qund x tend vers 0. Pr illeurs, pr définition de n g on b ng 0 donc le dénominteur une limite non nulle. Pr suite lim x 0 F (x) = 0. Supposons mintennt que n f = n g. Alors F (x) = n nf k=0 k+nf x k + o 0 (x n n f ) n ng k=0 b k+n g x k + o 0 (x n ng ). (5.22) et il est clir que lim x 0 F (x) = n f b ng. Pour finir, tritons le cs où n f < n g. L même procédure que ci-dessus montre (en simplifint pr x nf ) que F (x) = n nf k=0 k+nf x k + o 0 (x n n f ) x n g n f ( n ng k=0 b k+n g x k + o 0 (x n n g )). (5.23) 0 tndis que le dénom- Or dns cette expression, le numérteur tend vers nf inteur tend vers 0. Pr suite, on lim F (x) = +. (5.24) x 0 De plus, pour x > 0 F (x), le signe de n f b ng et pour x < 0, F (x) le signe de ( 1) n f n nf g b ng. Si n f n g est impir, on obtient des signes différents à guche et à droite de 0. Pr suite F n ps de limite infinie en 0, mis seulement des limites infinies à guche et à droite de signes différents. Si n f n g est pir, F le même signe à guche et à droite de 0. Pr suite F une limite infini en 0 dont le signe est donné pr sgn( n f b ng ). Exemple 5.5.1 Soit f définie pour x 0 pr f(x) = sin(x) x+ x 3 6 x. Clculer 5 lim x 0 f(x).

72CHAPITRE 5. FORMULE DE TAYLOR, DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Preuve. C est évidemment une forme indéterminée. On clcule un DL de sin(x) x + x3 6 en 0. On Pr suite sin(x) x + x3 6 = x x3 6 + x5 5! + O 0(x 7 ) x + x3 6 = x5 5! + O 0(x 7 ). et on clirement f(x) = x 5 5! + O 0(x 7 ) x 5 = 1 5! + O 0(x 2 ) lim x 0 f(x) = 1 5!.