MATRICES EXERCICES CORRIGES Exercice n. 6 8 4 On considère l mrice A = 0 7 3. 7 0, 8 ) Donner le form de A ) Donner l vleur de chcun des élémens 4, 3, 33 3 3) Ecrire l mrice rnsposée A de A donner son form Exercice n. 5... 7... 9... Soi l mrice A =. 8... 0 7 3 ) Compléer l écriure de A de form 4 3 vec : 3 = 5, 3 = 4, = 8 = ) Ecrire l mrice rnsposée A de A donner son form Exercice n 3. ) Donner une mrice don l rnsposée es égle à son opposée. ) Donnez l mrice A elle que pour ou indice i j vec, i 3 j 3, le erme ij soi donné pr l formule = i j ij Exercice n 4. 5 On donne A = 3 B 7 = 3. Clculez A + B, A B, 3A, 4B, 3A 4B Exercice n 5. x 5 On donne A = 0 x y 7 B = 3y. 4 ) Trouver x y pour que A + 7 5 8 ) Trouver x y pour que A 4B = 4 6 Exercice n 6. On considère les mrices A, B C définies pr Trouver deux réels x y els que xa + yb = C. 3 A = 4, 0 7 0 B = 8 4 6 C = 4 7 4 7 Pge /
Exercice n 7. Effecuer les produis suivns lorsque c es possible. Lorsque c es impossible, dire pourquoi. 5 5 5 5 ) 3 6 4 6 b) 3 6 4 7 4 6 4 7 0 6 5 0 c) ( 4 5) 4 d) 3 6 3 0 3 5 3 4 3 5 5 0 5 7 8 e) 0 3 6 f) 6 0 3 3 5 4 3 4 7 4 5 6 Exercice n 8. Clculer, puis comprer les produis A B B A 8 ) A = B 4 = 5 8 c) A = 5 3 b) 4 8 A = 3 9 Exercice n 9. Dns chcun des cs, clculer les produis A B B A. Quelle priculrié présene--il? 6 ) A = 3 6 6 6 3 4 b) A = B 0 = 0 Exercice n 0. On considère l mrice A définie pr 6 Déerminer x pour que A = x A = où x es un réel. 3 Exercice n. Clculez comprez A AB B + + ( A B) + vec : 4 8 A = 3 9 Exercice n. Soi les deux mrices A = 5 6 0 I = 0. b On se propose de rechercher s il exise une mrice c d elle que b A = I. c d ) Trduire ce églié pr un sysème de qure équions à qure inconnues ) Résoudre ce sysème b 3) Pour les vleurs rouvées,b,c, d, on pose A = c d Vérifier que A A = A A = I Pge /
Exercice n 3. Définir pour chque sysème l mrice A le veceur colonne C els que le sysème donné soi équivlen à l églié mricielle A X = C 5x 3y ) + =,3x 5,5y = ) x + y = 5 0, x + y = 7 y + z = 7 y = 5 3) 5x + y z = 8 4) y + 7z = x + 3y + 7z = x + y = 5 x + y + z = 5 + 6y = x + z + 3 5) 6) y + z = 7y + z = x y + 7 Exercice n 4. 3 0 On considère l mrice A = 8 ) A l ide de l clculrice, donner l mrice inverse ) En déduire l résoluion des sysèmes suivns : = 4 =,5 ) b) x = 7 x = 0, 4 A c) (mre les coefficiens sous forme frcionnire) = 5 x = 5 Exercice n 5. x + y+ z = ) On considère le sysèmex + y + 3z = b où x,y,z,,b c son des nombres réels. x y + z = c Exprimer les nombres réels x,y z en foncion de,b c ) On considère l mrice A = 3. Monrer que l mrice A,es inversible donner l expression de Exercice n 6. b On suppose que A = où,b,c d son des réels els que 0 c d d bc x y 0 ) Trouver en foncion de,b,c d les réels x,y, els que : A = z 0 d b ) Vérifier que A dm pour mrice inverse : A = d bc c A d) =, 5 x = 0,5 Pge 3/
MATRICES - EXERCICES CORRIGES CORRECTION Exercice n ) L mrice A es de form 3 4 puisqu elle conien 3 lignes 4 colonnes ) 4 es le nombre figurn à l inersecion de l ère ligne de l 4 ème colonne, donc 4 = 4 3 es le nombre figurn à l inersecion de l ère ligne de l 3 ème colonne, donc 3 = 3 33 es le nombre figurn à l inersecion de l 3 ème ligne de l 3 ème colonne, donc 33 = 0, 3 es le nombre figurn à l inersecion de l 3 ème ligne de l ème colonne, donc 3 = 7 3) L mrice rnsposée On obien donc A A de A s obien en inerverissn lignes colonnes de A. 0 6 7 7 =. L mrice 8 3 0, 4 8 A es donc de dimension 4 3 Exercice n 5... 7... 9... Soi l mrice A =. 8... 0 7 3 es le nombre figurn à l inersecion de l 3 ème ligne de l ème colonne ) 3 3 es le nombre figurn à l inersecion de l ème ligne de l 3 ème colonne es le nombre figurn à l inersecion de l ème ligne de l ère colonne es le nombre figurn à l inersecion de l ère ligne de l ème colonne On complèe insi l mrice A : 5 7 8 9 4 A = 8 5 0 7 3 ) L mrice rnsposée A de A s obien en inerverissn lignes colonnes de A. 5 8 8 7 On obien donc A = 9 5. L mrice A es donc de dimension 3 4 7 4 0 3 Exercice n 3 ) Toue mrice nisymérique possède une rnsposée égle à son opposée. 0 Pr exemple, si on considère l mrice A = 0, on ur 0 A = = A 0 ) L indicion i 3 j 3 nous donne le form de l mrice A : il s gi d une mrice 3 3. De plus on clcule successivemen = =, = = 0, 3 = 3 =, = 4 = 3, = 4 =, 3 = 4 3 =, 3 = 6 = 5, 3 = 6 = 4 33 = 6 3 = 3. L mrice A es donc : 0 A = 3 5 4 3 Pge 4/
Exercice n 4 On clcule successivemen : 5 7 + 7 5 + 9 7 A + B = + = = 3 3 3+ ( ) + ( 3 ) 4 5 7 7 5 5 3 A B = = = 3 3 3 ( ) ( 3 ) 4 5 3 3 5 6 5 4 7 4 8 8 3A= 3 = = 3 3 3 3 ( ) 9 3 ; 4B = = 4 ( ) 4 ( 3 ) 4 6 5 8 8 6 8 5 8 7 3A 4B = = = 9 3 4 9 ( 4) 3 ( ) 3 9 Exercice n 5 x 5 y 7 x + y 5 + 7 x + y ) On exprime d une pr A + B = 0 x + = = 3y 0 + ( ) x + 3y x + 3y 4 On ur l églié A + 7 si seulemen si x + y 4 = donc pr idenificion des x + 3y 7 x + y = 4 différens ermes si seulemen si. On résou ce sysème pr subsiuion : x + 3y = 7 x + y = 4 L 4 y = x L y = 4 x L x + 3y = 7 L x 3 + ( 4 x) = 7 L x + 3x = 7 L y = 4 x L y = 4 5 L y = 9 L x = 5 L x = 5 L x = 5 L 4 L églié A + ur donc lieu pour x = 5 y = 9 7 x 0 4y 8 x 4y 8 ) On exprime d une pr A 4B = = 0 4x 4 y 4 4x y 5 8 x 4y 8 5 8 On ur l églié A 4B = si seulemen si = donc pr 4 6 4 4x y 4 6 x 4y = 5 idenificion des différens ermes si seulemen si. On résou ce sysème pr subsiuion : 4x y = 6 x 4y = 5 L x = 4y 5 L x 4y = 5 L 4x y = 6 L x 6y = 8 L y = 3 L L 3 x = 4 5 L x = L x = L 3 3 y = L L 3 y = L L y = L L 5 8 L églié A 4B = ur donc lieu pour 4 6 x = 3 y = Pge 5/
Exercice n 6 3 0 x y 3x On clcule : xa + yb = x 4 + y = 4x y x + y. 0 7 8 8y 7x + y x y 3x 4 6 On ur l églié xa + yb = C si seulemen si 4x y x + y = 4 7, donc pr idenificion des 8y 7x + y 4 7 x y = 4 3x = 6 4x y = 4 x = ermes, si seulemen si x + y = 7 y = 3 8y = 4 7x + y = 7 Exercice n 7 ) Les mrices én respecivemen de form 3, leur produi es bien défini es une mrice 3. On lors : 5 + 5 4 5 + 5 6 4 40 5 3 6 = 3 6 4 3 5 6 6 30 5 4 6 + + = 4 7 4 + 7 4 4 5 + 7 6 36 6 b) Les mrices én respecivemen de form 3, leur produi es impossible à définir. c) Les mrices én respecivemen de form 3 3 3, leur produi es bien défini es une mrice 3. On lors : 0 6 ( 4 5) 4 = ( 0 + 4 + 3 5 ( ) + 4 4 + 5 5 6 + 4 ( ) + 5 3) 3 5 3 = ( 3 4 ) d) Les mrices én respecivemen de form 3 3 3, leur produi es bien défini es une mrice 3. On lors : 5 0 + 5 + 0 3 + 5 0 + 0 5 3 6 3 0 = 3 + 6 + 3 3 3 + 6 0 + 3 5 = 4 4 3 5 4 + + 3 4 + 0 + 5 6 e) Les mrices én respecivemen de form 3 3, leur produi es impossible à définir. f) Les mrices én respecivemen de form 3 3 3 3, leur produi es bien défini es une mrice 3 3. On lors : 0 5 7 8 + 0 0 + 5 4 7 + 0 + 5 5 8 + 0 3+ 5 6 6 0 3 ( ) 0 6 4 7 ( ) 6 5 8 ( ) 3 6 6 = + + + + + + 3 4 7 4 5 6 3 + 4 0 + 4 7 3 7 + 4 + 7 5 3 8 + 4 3 + 7 6 3 38 = 8 4 49 34 64 78 Pge 6/
Exercice n 8 Pour chque exemple, les mrices én crrées de même form, leur produi dns les deux sens es bien défini 8 4 ) Si A =, lors : 5 8 8 4 4 + 8 5 + 8 8 44 6 A B = = = 5 8 4 5 8 + + 47 9 4 8 4 + 4 8 + 0 54 B A = = = 5 8 5 8 5 8 8 + + 48 On conse que A B B A 4 8 b) Si A = 3 9, lors : 4 8 3 9 4 3+ 8 4 9 + 8 0 44 A B = = = 3 + 9 + 5 3 9 4 8 3 4 + 9 3 8 + 9 4 B A = = = 4 + 8 + 5 0 On conse que A B B A c) Si A = 5 3, lors : 5 5 + + 3 7 A B = = = 3 5 + + 3 7 5 5 5 + 5 + 7 B A = = = 3 + 3 + 3 7 5 On conse ce fois ci que A B = B A, mis ce n es surou ps une règle générle! Exercice n 9 Dns chque cs, les mrices én crrées de même form, leur produi es bien défini es une mrice 6 ) Si A = 3 6 6 6 3, lors : 6 6 6 + 6 6 6 + 3 0 0 A B = = = 3 6 6 3 3 6 6 3 6 6 3 + + 0 0 On conse que le produi A B es nul sns pour un que A ou B soi l mrice nulle 4 b) Si A = B 0 = 0, lors : 0 + 4 0 + 4 ( ) ( ) 0 + ( ) 0 ( ) + ( ) ( ) 4 0 0 0 A B = = = 0 0 0 On conse que le produi A B es nul sns pour un que A ou B soi l mrice nulle Pge 7/
Exercice n 0 x x x x + x + 3 x + x + 3 6 On clcule A = 3 3 = x 3 3 3 =. Pour voir A = x 6, il + + + x + = 6 x + x + 3 6 suffi d voir = x + 3 =, ce qui se produi si seulemen x = x 6 + x + 6 = Exercice n 4 8 4 8 4 4 + 8 4 8 + 8 4 40 On clcule : A = = = 4 + 8 + 6, puis 3 9 3 9 3 3 + 9 3 9 + 9 8 36 B = = =, 3 + 9 + 4 0 4 8 3 9 4 3+ 8 4 9 + 8 0 44 enfin A B = = = 3 + 9 + 5. On peu insi clculer : 4 40 0 44 8 36 A + AB + B = 6 + 5 + 4 0 4 40 40 88 8 36 8 64 = + + = 6 0 4 0 0 44 4 8 3 9 7 7 D ure pr, A + B = + = 3, d ou : 7 7 7 7 7 7 + 7 7 7 + 7 3 83 70 A + B = = = 3 3 7 + 3 7 + 3 3 0 4 A + AB + B A + B On conse que Exercice n + c = b b 0 b + d = 0 ) L équion mricielle A = I se rdui pr le sysème : =. c d 5 6 c d 0 5 + 6c = 0 5b + 6d = + c = = c = c = ( 5) = 6 ) On résou séprémen deux sysèmes :, 5 + 6c = 0 5( c) + 6c = 0 c = 5 c = 5 b + d = 0 b = d b = d = 5b + 6d = 5( d ) + 6d = d = 6 3) On pose : A =. 5 6 6 + ( ) 5 6 + ( ) 6 0 On clcule, d une pr = = 5 5 6 ( 5) 5 ( 5) 6 + + 0 6 6 + 5 + 0 E d ure pr = = 5 6 5 5 6 6 5 5 6. + + 0 On bien vérifié bien que A A = A A = I Pge 8/
Exercice n 3 5 3 ) En posn A =, X = C = y 5, le sysème 5x 3y + = es équivlen à x + y = 5 5 3 =, c es-à-dire à A X = C y 5, 3 5,5 ) En posn A = 0,, X = y C = 7, le sysème,3x 5,5y = es équivlen à 0, x + y = 7 A X = C 3 7 y + z = 7 3) En posn A = 5, X = y C = 8, le sysème 5x + y z = 8 es équivlen à 3 7 z x + 3y + 7z = A X = C y = 5 y + 0z = 5 4) Le sysème y + 7z = se réécri 0 7 x + y + z = x + y = 5 x + y + 0z = 5 3 0 5 y = 5 En posn A = 0 7, X = y C =, le sysème y + 7z = es équivlen à A X = C 0 z 5 x + y = 5 x + y + z = 5 x + y + z = 5 5) Le sysème se réécri y + z = 0x y + z = En posn A = 0, 5 X = y C = z, le sysème x + y + z = 5 es équivlen à A X = C y + z = + 6y = x + z + 3 x + 6y z = 3 6 6) Le sysème se réécri. En posn A = 7y + z = x y + 7 x + z = 7 8, X = y z 3 C = 7, le sysème + 6y = x + z + 3 es équivlen à A X = C 7y + z = x y + 7 Exercice n 4 ) Grâce à l clculrice, on sisi l mrice A on clcule son inverse Sisie de l mrice A Obenion de l mrice inverse : = 4 4 ) ) Le sysème s écri A X = C vec X = C =. x = 7 y 7 5 5 5 x = 4 + 7 = 4 Puisque l mrice A es inversible, on ur X = A C = y 3 7 3 9 y = 4 + 7 = 4 4 4 Pge 9/
Le sysème dm donc pour ensemble de soluion : 5 9 S = ; 4 =,5 b) Le sysème s écri A X = C vec X = x = 0, 4 y C,5 =. Puisque l mrice A es 0,4 5 5 x =,5 + ( 0, 4) =,5 inversible, on ur X = A C = y 3 0, 4 3 y =,5 + ( 0,4) = 0,45 4 4 { } Le sysème dm donc pour ensemble de soluion : S = ( ;0, 45) c) Le sysème = 5 x = 5 s écri A X = C vec Puisque l mrice A es inversible, on ur Le sysème dm donc pour ensemble de soluion : S = ( 7,5;3, 75) 5 X = C =. y 5 5 5 x = 5 + ( 5) = 7, 5 5 X = A C = y 3 5 3 y = 5 + ( 5) = 3, 75 4 4 { } =, 5 d) Le sysème s écri A X = C vec X = x = 0,5 y, 5 C =. Puisque l mrice A es 0,5 5 5 x =,5 + 0,5 = 3,75,5 inversible, on ur X = A C = y 3 0,5 3 y =,5 + 0,5 = 4 4 { } Le sysème dm donc pour ensemble de soluion : S = ( 3, 75;) Exercice n 5 ) On : x + y+ z = L x + y+ z = L x + y + 3z = b L x y + z = c L renuméroion des lignes x y z c L + = 3 x + y + 3z = b L3 x + y+ z = L x = y z L y + z = c L4 = L L y = c b + L4 L5 y z b L5 L3 L + = = z = b + y L5 x = ( + b c) z L x = ( + b c) ( 3 + b c) L y = + b c L4 L5 y = + b c L4 L z = b + ( + b c) L 5 z = 3 + b c L5 x = 5 3b + c L y = + b c L4 L z = 3 + b c L5 ) Si on noe A = 3 mriciellemen pr AX = B 5, X = y z x + y+ z = B = b, lors le sysème x + y + 3z = b c x y + z = c 5 se rdui Pge 0/
x + y+ z = x = 5 3b + c 5 3 Puisque l on x + y + 3z = b y = + b c, lors en non C = on ur x y z c + = z = 3 + b c 3 AX = B X = CB. Or si A es inversible, on l équivlence AX = B X = A B, ce qui nous perm 5 3 d ffirmer que l mrice A es inversible, que A = 3 Exercice n 6 x + bz = L b x y 0 y + b = 0 L ) On résou le sysème c d z = 0 en résolvn séprémen les sysèmes cx + dz = 0 L3 cy + d = L4 x + bz = L y + b = 0 L. cx + dz = 0 L cy + d = L On résou le premier sysème : cx + bcz = c cl x + bz = L cx + bcz = c cl cx bcz c cl + = c (cr cx + dz = 0 L cx + dz = 0 L ( d bc) z = c L cl z = L cl d bc d bc 0 ) d x + bz = L dx + bdz = d dl ( d bc) x = d dl bl x = dl bl d bc (cr cx + dz = 0 L bcx + bdz = 0 bl bcx + bdz = 0 bl bcx + bdz = 0 bl d bc 0 ) On résou le deuxième sysème : cy + bc = 0 cl y + b = 0 L 0 cy + bc = 0 cl cy bc cl + = (cr cy + d = L cy + d = L ( d bc) = L cl = L cl d bc d bc 0 ) b y + b = 0 L dy + bd = 0 dl ( d bc) y = b dl bl y = dl bl d bc (cr cy + d = L bcy + bd = b bl bcy + bd = b bl bcy + bd = b bl d bc 0 ) d x = d bc b y = d bc ) On insi. Si A es inversible, on l équivlence AX = I X = A I = A, ce qui nous c z = d bc = d bc d b d bc d bc d b perm d ffirmer que l mrice A es inversible, que A = =. c d bc c d bc d bc Pge /