PACES Physque UE3
PACES Physque UE3 Salah Belazreg Professeur agrégé et docteur en physque, l ensegne au lycée Camlle Guérn à Poters. Il a ensegné la bophysque en classes préparatores aux concours de Médecne. Il est auss nterrogateur en classes préparatores scentfques. 4 e édton
EdScence, 2004, 2010, 2014 EdScence est une marque de Dunod Édteur, 5 rue Laromguère, 75005 Pars ISBN 978-2-10-071226-7
Table des matères Avant-propos... XIII Parte 1 Mesure des grandeurs Chaptre 1. Grandeurs physques. Équatons aux dmensons... 1 1. Les grandeurs physques... 1 2. Système nternatonal d untés... 2 3. Équatons aux dmensons... 2 4. Analyse dmensonnelle... 4 Synthèse... 5 QCM... 5 Corrgés... 6 Parte 2 Mécanque Chaptre 2. Cnématque du pont... 7 1. Référentels et repères... 7 2. Vtesse et accélératon... 11 3. Étude de quelques mouvements... 14 4. Mouvements relatfs et absolus... 16 Synthèse... 20 Exercces et QCM... 20 Corrgés... 23 Chaptre 3. Dynamque newtonenne... 31 1. Les dfférentes actons auxquelles peut être soums un système mécanque 32 2. Centre d nerte. Quantté de mouvement... 37 3. Le prncpe d nerte (1 re lo de Newton)... 38 4. Les référentels galléens... 38 5. Relaton fondamentale de la dynamque (2 e lo de Newton)... 40 6. Prncpe des actons récproques (3 e lo de Newton)... 41 7. Valdté de la relaton fondamentale... 41 8. Conservaton de la quantté de mouvement... 43 V
Table des matères 9. Moment cnétque... 44 Synthèse... 46 Exercces et QCM... 46 Corrgés... 50 Chaptre 4. Équlbre d un solde Solde en rotaton autour d un axe fxe... 58 1. Les effets d une force... 58 2. Moment d une force... 61 3. Condtons générales d équlbre d un solde... 63 Synthèse... 64 Exercces et QCM... 64 Corrgés... 66 Chaptre 5. Traval. Pussance. Énerge... 69 1. Traval et pussance d une force... 70 2. Théorème de l énerge cnétque... 73 3. Énerge potentelle Énerge mécanque... 75 Synthèse... 76 Exercces et QCM... 77 Corrgés... 80 Chaptre 6. Conservaton de la quantté de mouvement Choc entre deux partcules... 87 1. Défntons... 87 2. Chocs entre deux partcules... 88 Synthèse... 92 Exercces et QCM... 92 Corrgés... 94 Parte 3 Électrcté Chaptre 7. Électrostatque... 98 1. Champ et potentel électrostatque... 98 2. Le dpôle électrostatque... 106 Synthèse... 108 Exercces et QCM... 108 Corrgés... 113 Chaptre 8. Électrocnétque des courants contnus... 125 1. Le courant contnu... 126 2. Lo d Ohm... 128 3. Conductvté. Moblté... 132 4. Énerge électrque... 134 5. Force électromotrce d un générateur. Force contre électromotrce d un récepteur... 135 Synthèse... 138 VI
Table des matères Exercces et QCM... 138 Corrgés... 141 Chaptre 9. Électromagnétsme... 147 1. Le champ magnétque... 147 2. Champ d nducton magnétque créé par un élément de courant... 150 3. Flux d nducton magnétque... 152 4. Acton d un champ magnétque sur un élément de crcut parcouru par un courant... 154 5. Acton d un champ magnétque B sur un crcut fermé... 157 Synthèse... 159 Exercces et QCM... 160 Corrgés... 163 Chaptre 10. Mouvement d une partcule chargée dans un champ unforme... 171 1. Acton d un champ électrque unforme sur une partcule chargée... 171 2. Acton d un champ magnétque unforme sur une partcule chargée... 175 Synthèse... 179 Exercces et QCM... 180 Corrgés... 184 Chaptre 11. Courants transtores... 193 1. Réponse d un crcut R,C à un échelon de tenson... 193 2. Applcatons... 199 3. Réponse d un crcut R,L à un échelon de tenson... 202 Synthèse... 205 Exercces et QCM... 205 Corrgés... 208 Parte 4 Fludes et thermodynamque c Dunod. Toute reproducton non autorsée est un délt. Chaptre 12. Mécanque des fludes... 215 1. Généraltés sur les fludes... 215 2. Flude en équlbre... 218 3. Flude en mouvement (ou dynamque des fludes)... 221 4. Dynamque des fludes réels... 225 Synthèse... 228 Exercces et QCM... 228 Corrgés... 234 Chaptre 13. Les phénomènes de surface... 244 1. Tenson superfcelle des lqudes... 244 2. Ascenson capllare... 250 Synthèse... 251 Exercces et QCM... 252 Corrgés... 254 VII
Table des matères Chaptre 14. Thermodynamque... 259 1. Le gaz parfat. Théore cnétque... 260 2. Premer prncpe ou prncpe de la conservaton de l énerge... 265 3. Second prncpe ou prncpe d évoluton... 268 4. Équlbre d un corps pur sous deux phases... 269 Synthèse... 272 Exercces et QCM... 272 Corrgés... 278 Parte 5 Optque Chaptre 15. Ondes... 290 1. Généraltés sur les ondes... 290 2. Ondes statonnares... 297 3. Exemples d ondes progressves... 299 4. Vtesse du son... 304 5. L effet Doppler-Fzeau... 306 6. Notons sur les ondes électromagnétques... 310 Synthèse... 313 Exercces et QCM... 313 Corrgés... 315 Chaptre 16. Interférences. Dffracton... 319 1. Interférences de deux ondes... 319 2. Dffracton... 327 Synthèse... 332 Exercces et QCM... 332 Corrgés... 335 Chaptre 17. Le photon... 342 1. L effet photoélectrque... 342 2. L effet Compton... 345 Synthèse... 349 Exercces et QCM... 349 Corrgés... 352 Chaptre 18. Nveaux d énerge dans un atome... 355 1. Spectres d émsson et d absorpton... 356 2. L atome de Bohr. Nveaux d énerge des électrons... 357 3. Spectres des atomes. Cas de l atome d hydrogène... 361 4. L atome de Sommerfeld... 364 5. Noton de nombre quantque... 366 Synthèse... 368 Exercces et QCM... 368 Corrgés... 371 VIII
Table des matères Chaptre 19. Mécanque ondulatore... 376 1. Les aspects de la lumère... 376 2. Onde assocée à une partcule... 377 3. Prncpe d ncerttude de Hesenberg... 378 4. Probablté de présence... 379 5. Équaton de Schrödnger... 380 Synthèse... 381 Exercces et QCM... 382 Corrgés... 383 Chaptre 20. Le laser. Oscllateur à fréquence optque... 387 1. Caractérstques d un fasceau laser... 387 2. Prncpe de fonctonnement... 390 3. Quelques applcatons du laser... 396 Synthèse... 398 Exercces et QCM... 398 Corrgés... 403 Chaptre 21. Optque géométrque... 410 1. Quelques notons de base de l optque géométrque... 410 2. Noton d objet et d mage... 415 3. Doptres... 417 4. Systèmes centrés... 423 5. Les lentlles... 424 Synthèse... 427 Exercces et QCM... 427 Corrgés... 431 c Dunod. Toute reproducton non autorsée est un délt. Chaptre 22. Œl et nstruments d optque... 437 1. Aberratons... 437 2. L œl... 440 3. Les nstruments d optque... 442 Synthèse... 447 Exercces et QCM... 447 Corrgés... 450 Index... 457 IX
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Avant-propos «Pour qu réflécht, le comble du bonheur est d avor comprs ce qu est compréhensble et de respecter ce qu ne l est pas.» Goethe (Johann Wolfgang von). Cet ouvrage est la 4 e édton du manuel de physque, de la collecton PACES (premère année commune aux études de santé), paru en janver 2004. Il est complètement revu, corrgé et rehaussé par deux nouveaux chaptres : un chaptre tratant l équlbre d un solde ans que sa rotaton autour d un axe fxe et un chaptre sur la mécanque ondulatore. Deux autres chaptres, «Théorème de Gauss-Condensateurs, capacté» et «les los de Krchhoff», sont en complément sur le web. Il est le frut d une longue expérence et de nombreuses années d ensegnement de la physque dans le secondare et le supéreur. Il s adresse prncpalement aux étudants de 1 re année santé pour la préparaton des concours Médecne-Pharmace-Dentare- Sage femme, mas l ntéressera auss les étudants en classes préparatores bo-véto, agro ans que les étudants en 1 re et 2 e année de Lcence scentfque (L1 et L2). Son but est de présenter de façon clare et progressve l ensemble des notons à connaître par les étudants de premère année santé (PACES) et son usage suppose que l étudant at une connassance complète du programme actuel des premères et termnales scentfques. La forme a été amélorée par la présentaton. En effet, chaque chaptre ndque clarement les objectfs à attendre et comporte, en plus du cours et d une synthèse fnale, des exercces et des QCM de dffculté progressve. Il présente de nombreux sujets d adaptaton progressve aux programmes et aux exgences de ces concours et examens dffcles. Les cours, exposés de façon détallée, présentent les résultats fondamentaux ans que des compléments sur des notons plus délcates. Les exercces, classés par nveaux de dffcultés, sont tous suvs de leurs solutons détallées. Ils permettront ans aux étudants de tester leurs connassances et trer le maxmum de proft de chaque mse en stuaton. XIII
Avant-propos De plus, certans nécesstant une réflexon plus approfonde excteront et combleront la curosté des plus audaceux. Les QCM, en fn de chaque chaptre, sont de vértables exercces de réflexon. Ans, avant de proposer des solutons rapdes et sans démarches rgoureuses, l mporte de ben connaître la totalté du cours, et pas seulement les formules. Une résoluton approfonde vous permettra de vous entraîner à ce type d épreuve afn de gagner compétence et rapdté. Comme pour les précédentes édtons, j espère que cet ouvrage consttuera pour les étudants un outl préceux pour la préparaton de ces concours et examens dffcles, et leur souhate bon courage. Remercements Je remerce très sncérement Marc Volno, Professeur de chares supéreures, pour sa lecture attentve de la totalté de l ouvrage et les correctons apportées. Ses remarques judceuses et ses nombreux consels m ont été très utles. Mes remercements vont également à l équpe du Professeur Rémy Perdrsot du servce de bophysque et médecne nucléare de la faculté de médecne et de pharmace de Poters pour les annales qu l m a fournes. Merc à mon épouse, le Docteur Frédérque Belazreg, pour son ade, sa relecture des dfférents chaptres, ses consels pour les exemples et les applcatons médcales ctés dans ce manuel. Merc à mes enfants pour leur patence et compréhenson. Je remerce également les édtons Dunod pour le son et la présentaton apportés à la réalsaton de cet ouvrage. Merc enfn à tous les étudants qu ont donné une place à ce manuel et au succès qu l a jusqu alors rencontré. Que les lecteurs, collègues ensegnants et étudants, qu voudront ben me formuler leurs remarques constructves et crtques ou me présenter leurs suggestons succeptbles d amélorer cet ouvrage en soent par avance remercés. Poters, ma 2014 Salah Belazreg Pour les QCM, chaque queston comporte une ou pluseurs réponses exactes. Vous devez ndquer pour chacune d elles s elle est vrae (en cochant la proposton) ou fausse. XIV
Grandeurs physques Équatons aux dmensons 1 Cours 1. Les grandeurs physques 2. Système nternatonal d untés 3. Équatons aux dmensons 4. Analyse dmensonnelle Synthèse Exercces et QCM Corrgés Savor établr une équaton aux dmensons Retrouver l unté d une grandeur physque dans le système S.I. Cours La physque a pour but de décrre des phénomènes et étuder leurs proprétés : leurs études nécesstent la défnton de grandeurs physques. À chaque grandeur physque correspond une unté et l ensemble des untés est regroupé dans un système unversel, le système nternatonal. 1. LES GRANDEURS PHYSIQUES La physque est une scence basée sur l observaton de phénomènes physques, et l étude de ces phénomènes nécesste la défnton de grandeurs physques. On appelle grandeur physque toute proprété physque mesurable. Une grandeur physque est mesurable s on sat défnr l égalté, la somme et le rapport de deux grandeurs de son espèce. La mesure de la grandeur s obtent donc par comparason entre deux grandeurs physques de même nature dont l une est chose comme unté. 1
1 Grandeurs physques. Équatons aux dmensons Exemple Il est possble d exprmer la masse d un solde en foncton de la masse d un solde de référence de notre chox. Pour cela, l faut chosr le solde de référence et l unté de masse. L unté légale de masse (S.I.) est le klogramme, de symbole kg. C est par défnton, la masse d un cylndre de platne rrdé déposé au bureau nternatonal des pods et mesures (pavllon de Breteul à Sèvres). Toute masse se mettra donc sous la forme : m = x kg. 2. SYSTÈME INTERNATIONAL D UNITÉS Des grandeurs fondamentales ont été choses : elles sont au nombre de sept (tableau c dessous). L ensemble des untés est regroupé dans un système cohérent et unversel d untés, appelé le système nternatonal (S.I.). Toute grandeur physque peut donc s exprmer sur la base de ces untés fondamentales. Grandeurs fondamentales Untés Symboles Masse klogramme kg Longueur mètre m Temps seconde s Intensté du courant électrque ampère A Température kelvn K Quantté de matère mole mol Intensté lumneuse candéla cd Untés supplémentares Angle plan radan rad Angle solde stéradan sr 3. ÉQUATIONS AUX DIMENSIONS Le prncpe des équatons aux dmensons consste à ramener les dfférents paramètres qu ntervennent dans une formule aux grandeurs fondamentales du système nternatonal d untés. Le tableau c-après donne quelques grandeurs physques et leur dmenson. 2
Grandeurs physques. Équatons aux dmensons 1 Grandeur physque Dmenson Unté Masse M kg Longueur L m Temps T s Intensté du courant électrque I A Exemples Unté d une accélératon. Comme a = dv = d2 x (cas d un mouvement rectlgne), alors 2 [a] = [ [x] ] ([a] : se lt dmenson de a). t 2 Or [x] = L et [t] = T, donc [a] = L 2 = LT T 2 Dans le système (S.I.), une accélératon s exprme donc en m.s 2. Unté d une force. Comme F = ma, alors [F] = [m][a], sot [F] = MLT 2 Dans le système (S.I.), une force s exprme en kg.m.s 2. Le tableau c-dessous donne quelques grandeurs dérvées (elles dérvent des untés fondamentales) ans que leurs untés. c Dunod. Toute reproducton non autorsée est un délt. Grandeur Équatons aux dmensons Untés de base Noms Force MLT 2 kg.m.s 2 newton : N Presson ML 1 T 2 kg.m 1.s 2 pascal : Pa Traval ML 2 T 2 kg.m 2.s 2 joule : J Pussance ML 2 T 3 kg.m 2.s 3 watt : W Charge Q = IT A.s coulomb : C Potentel ML 2 T 2 Q 1 kg.m 2.s 3 A 1 volt : V Capacté M 1 L 2 T 2 Q 2 kg 1 m 2 s 4 A 2 farad : F Résstance ML 2 T 1 Q 2 kg.m 2.s 3 A 2 ohm : Ω Conductance M 1 L 2 TQ 2 kg 1.m 2.s 3 A 2 semens : S Champ magnétque MT 1 Q 1 kgs 2 A 1 tesla : T Inductance ML 2 T 2 I 2 kgm 2 s 2 A 2 henry : H 3
1 Grandeurs physques. Équatons aux dmensons 4. ANALYSE DIMENSIONNELLE L analyse dmensonnelle permet : de vérfer l homogénété d une formule ; de rechercher les relatons entre les dfférentes grandeurs physques lées entres elles. Exemple L étude du mouvement d un pendule montre que sa pérode T p dépend à pror de la masse m, de la longueur l du fl et de la valeur de g (accélératon de la pesanteur du leu de la mesure). Supposons que la pérode T p s exprme par une relaton de la forme : T p = Cste.m α l β g γ La relaton dot être homogène, donc [ T p ] = [m] α [l] β [ g ] γ Comme [m] = M,[l] = L et [ g ] = LT 2, alors [ T p ] = T = M α L β (LT 2 ) γ = M α L β+γ T 2γ L dentfcaton des exposants des dfférentes dmensons condut à : α = 0 α = 0 β + γ = 0 d où β = 1 2 2γ = 1 γ = 1 2 La pérode du pendule smple s écrt donc : T p = Cste.l 1 2 g 1 2 = Cste l g 4
Grandeurs physques. Équatons aux dmensons 1 Synthèse Je sas défnr Une grandeur physque Le système nternatonal d untés Je connas Le prncpe des équatons aux dmensons Les untés de base des grandeurs physques usuelles Je sas Établr une équaton aux dmensons Retrouver l unté d une grandeur physque dans le système S.I. Questons à chox multples c Dunod. Toute reproducton non autorsée est un délt. 1 Un corps solde, en mouvement dans un flude vsqueux, reçot de la part du flude une force de frottement f. Dans le cas d un écoulement lamnare et pour un corps sphérque de rayon r, f = 6πηr v où η représente le coeffcent de vscosté du flude et v le vecteur vtesse du solde. La dmenson de η est : 1. L 1.T 1 2. M.L 1.T 1 L unté de η dans le système S.I. est : 3. N.m 2.s 4. Pa.s 5. kg.s 1.m 1 2 La valeur de la force d nteracton entre deux corps ponctuels, séparés d une dstance r et portant respectvement les charges q 1 et q 2, est donnée par la lo de Coulomb : 1. La dmenson de f est M.L 1.T 2, 2. L unté de f est le kg.m.s 2. 3. La dmenson de ɛ 0 est : a) M.L 3.T 4.A b) M 1.L 3.T 4.A 2. 4. L unté de ɛ 0 est kg 1.m 3.s 4.A 2. f = 1 4πɛ 0 q 1 q 2 r 2 5
1 Grandeurs physques. Équatons aux dmensons Corrgés Questons à chox multples 1 1. 2. 3. 4. 5. 2 1. [ f ] = M.L.T 2 2. 3. a) b) 4. 6
Cnématque du pont 2 Cours 1. Référentels et repères 2. Vtesse et accélératon 3. Étude de quelques mouvements 4. Mouvements relatfs et absolus Synthèse Exercces et QCM Corrgés Savor repérer un moble dans les dfférents systèmes de coordonnées Savor établr l expresson d une vtesse et d une accélératon dans les dfférents systèmes de coordonnées Savor calculer une vtesse et une accélératon Détermner l équaton d une trajectore dans un référentel donné Savor fare une décomposton de vtesse et d accélératon Cours La cnématque est l étude du mouvement d un corps ndépendamment des actons qu le produsent et qu sont capables de le modfer. Dans ce chaptre, on s ntéresse au mouvement d un pont matérel, objet de dmensons néglgeables par rapport aux dstances parcourues. Dans le cas d un solde (ensemble de ponts matérels), on s ntéressera au mouvement d un pont partculer : le centre d nerte G du solde. Le moble désgnera donc, sot le pont matérel M, sot le centre d nerte G du solde. 1. RÉFÉRENTIELS ET REPÈRES 1.1. La relatvté du mouvement Un objet est en mouvement par rapport à un autre objet (celu qu sert de référence) s sa poston change au cours du temps par rapport à cet objet de référence. 7
2 Cnématque du pont Exemple Observons le mouvement d une personne assse dans un tran. Pour un observateur (A) stué dans le même wagon, cette personne peut apparaître mmoble ; mas pour un observateur (B) stué sur le qua d une gare, et qu vot passer le tran, la personne assse se déplace ben sûr en même temps que celu-c (Fg. 2.1). (B) (A) Fgure 2.1 Ans, pour repérer la poston d un pont moble M, l est donc nécessare de précser le référentel. Dans toute la sute, le référentel sera supposé fxe et non déformable au cours du temps. Lorsque le référentel est chos, on dot défnr un repère d espace, lé au référentel, pour détermner chaque poston du moble. De même, l faut défnr une chronologe et un repère de temps. 1.2. Repères Au référentel chos, on assoce un repère. Le repère sera fxe par rapport au référentel. En coordonnées cartésennes Tout pont M peut être repéré par ses coordonnées cartésennes (x,y,z). S O est l orgne du repère, le vecteur poston s écrt : OM = r = x + y j + z k où (, j, k ) est une base orthonormale drecte lée au référentel (Fg. 2.2). Z k O M j Y X H Fgure 2.2 8
En coordonnées polares (cas d un mouvement plan) On défnt un axe Ox, axe polare, et une orgne O ou pôle. Cnématque du pont 2 Un pont moble M peut être repéré par ses coordonnées polares (r,θ) oùr = OM et θ = ( Ox, OM) (Fg. 2.3). y uθ u r M r θ j O x Fgure 2.3 Le vecteur poston s écrt donc : OM = r = r u r. où r est appelé rayon vecteur et θ l angle polare, et ( u r, u θ ) est une base locale moble, orthonormée drecte, lée à M. En coordonnées cylndrques Le moble sera repéré par ses coordonnées cylndrques (r,θ,z) et le vecteur poston s écrt : OM = r = OH + HM = r ur + z u z. où ( u r, u θ, u z ) est une base orthonormée drecte moble lée à H (Fg. 2.4). Z c Dunod. Toute reproducton non autorsée est un délt. X z M O θ r u z H Fgure 2.4 u θ u r Y 9
2 Cnématque du pont En coordonnées sphérques Le moble sera repéré par ses coordonnées sphérques (r,θ,ϕ) et le vecteur poston s écrt OM = r = r u r (Fg. 2.5). z u r θ M r u θ u ϕ O ϕ y x Fgure 2.5 Les vecteurs u r, u θ et u ϕ sont défns à partr du pont M. Dans la base cartésenne, les coordonnées des vecteurs de base s écrvent : sn θ cos ϕ cos θ cos ϕ sn ϕ u r sn θ sn ϕ u θ cos θ sn ϕ u ϕ cos ϕ cos θ sn θ 0 La correspondance entre coordonnées cartésennes et coordonnées sphérques est : x = r sn θ cos ϕ { θ [0, π] y = r sn θ sn ϕ avec ϕ [0, 2π] z = r cos θ En coordonnées curvlgnes S on chost sur la trajectore un sens de parcours postf, un pont moble M peut être repéré sur sa trajectore C par son abscsse curvlgne s = AM où A est un pont orgne fxe de la trajectore (Fg. 2.6). A + M C Fgure 2.6 10
Cnématque du pont 2 2. VITESSE ET ACCÉLÉRATION 2.1. Vtesse Défnton Sot un pont M moble dont la poston dans un référentel (R) est repérée par les coordonnées cartésennes (x,y,z). La trajectore du moble M relatvement à (R) est l ensemble des ponts de l espace occupés successvement par le moble M au cours du temps. Soent deux ponts M et M, les postons occupées par le moble aux nstants t et t.lavtesse moyenne du moble entre les dates t et t est le vecteur MM v m = t t (Fg. 2.7). M' v m = MM' t'-t M M 0 r r' C M u v C O M 0 c Dunod. Toute reproducton non autorsée est un délt. Fgure 2.7 Fgure 2.8 La vtesse nstantanée du moble, à l nstant t, est un vecteur v porté par la tangente à la trajectore au pont M (Fg. 2.8), drgé suvant le sens du mouvement, et qu s écrt : v = d OM = d r où r = OM (2.1) Expresson de la vtesse dans dfférents systèmes de coordonnées En coordonnées cartésennes Sot (, j, k ) une base orthonormale drecte lée au référentel (R). Le vecteur poston s exprme : r = OM = x + y j + z k. 11
2 Cnématque du pont Ans : v = dx + dy dz j + k car, j et k sont des vecteurs constants. S on pose ẋ = dx dy dz,ẏ = et ż =, alors v a pour coordonnées ẋ = dx ẏ = dy ż = dz (2.2) En coordonnées polares (cas d un mouvement plan) Le pont M est repéré par ses coordonnées polares (r,θ) «mas c, la base employée ( u r, u θ ) est moble par rapport au repère». Le vecteur poston r = OM s écrt donc r = r u r. Le vecteur vtesse est : dr v = = d ( r ) ur,sot dr v = u r + r d u r = ṙ u r + r θ u θ (2.3) car d u r = θ u θ (vor exercce 2.4) Les composantes de {ṙ v sont donc : r θ Dans le repère de Frenet (Cas d une trajectore plane) On ntrodut un repère moble ( τ, n ) (Fg. 2.9), lé au moble M tel que : τ : vecteur untare porté par la tangente à la courbe et orenté dans le sens du mouvement ; n : vecteur untare orthogonal à τ et drgé vers la concavté de la trajectore. On a alors v = v τ. ρ représente le rayon de courbure de la trajectore : c est le rayon du cercle tangent à la trajectore sur une pette porton autour du pont M (Fg. 2.9). S la trajectore est un cercle de rayon R, ρ = R. S la trajectrore est une drote, le rayon de courbure ρ tend vers l nfn. 12
Cnématque du pont 2 M 0 M n τ + C M τ n ρ ρ + O + O Fgure 2.9 En coordonnées cylndrques Le pont M est repéré par ses coordonnées cylndrques (r,θ,z). Le vecteur poston OM s écrt donc OM = OH + HM = r ur + z u z. Ans dom v = = ṙ u r + r θ u θ + ż u z. 2.2. Accélératon Défnton L accélératon du moble, à l nstant t, est la dérvée dans (R) par rapport au temps, du vecteur vtesse, sot : a = dv = d2 r 2 (2.4) c Dunod. Toute reproducton non autorsée est un délt. Expresson de l accélératon dans dfférents systèmes de coordonnées En coordonnées cartésennes Comme v = dx dy dz + j + k, alors a = d v En coordonnées polares = d2 x 2 + d 2 y 2 j + d 2 z 2 k = ẍ + ÿ j + z k (2.5) dv a = = d (ṙ ur + r θ ) u θ = r ur + ṙ θ u θ + ṙ θ u θ + r θ u θ r θ 2 u r,sot a = ( r r θ 2 ) u r + (r θ + 2ṙ θ) u θ avec d u r = θ u θ et d u θ = θ u r. 13
2 Cnématque du pont Dans le repère de Frenet a = aτ τ + an n avec a τ = dv a n = v2 ρ En coordonnées cylndrques a = dv = ( r r θ 2 ) u r + (r θ + 2ṙ θ) u θ + z u z 3. ÉTUDE DE QUELQUES MOUVEMENTS 3.1. Les mouvements rectlgnes Le moble M se déplace le long d une drote sur laquelle sera chos un vecteur untare (Fg. 2.10). La trajectore rectlgne sera orentée selon un axe x Ox. Le vecteur poston s écrt donc OM = x. On dédut donc v = ẋ et a = ẍ. Fgure 2.10 Mouvement rectlgne unforme Suvant l axe x Ox la vtesse nstantanée est v = v 0 = v 0 = cste. Comme v = cste alors a = d v = 0. De plus, comme v = dx pont M àladatet = 0. Pour un mouvement rectlgne unforme, on a donc : Remarque = v 0 alors, x = t 0 v 0 = v 0 t + x 0 où x 0 est l abscsse du v = v 0 = cste (2.6) x = v 0 t + x 0 Dans l écrture v = dx, v ne représente pas la norme de la vtesse. 14
Mouvement rectlgne unformément varé Le mouvement est rectlgne unformément varé s a = a 0 = a 0 = cste. Le mouvement est accéléré s a. v>0. Le mouvement est décéléré s a. v<0. Comme a = d v alors v = t 0 a 0 = a 0 t + v 0 où v 0 est la vtesse du moble à t = 0. Ans x = 1 2 a 0t 2 + v 0 t + x 0 (x 0 abscsse du moble à t = 0). Pour un mouvement rectlgne unformément varé, on a donc (1) a = a 0 = cste (2) v = a 0 t + v 0 (2.7) (3) x = 1 2 a 0t 2 + v 0 t + x 0 En élmnant t entre les équatons (2) et (3) de la relaton (2.7), on obtent (vor démonstraton, exercce 2.1) : Mouvement rectlgne snusoïdal v 2 v 2 0 = 2a 0(x x 0 ) (2.8) Un moble est anmé d un mouvement rectlgne snusoïdal s sa trajectore est une drote et sa lo horare est une foncton snusoïdale du temps, sot : x(t) = x m sn(ωt + φ) Cnématque du pont 2 x m : ampltude du mouvement en m ω : pulsaton en rad.s 1 φ : phase à l orgne en rad ωt + φ : phase à la date t en rad c Dunod. Toute reproducton non autorsée est un délt. Le moble M se déplace entre deux postons extrêmes M 1 et M 2 d abscsses x m et x m. La vtesse du moble Comme v = dx alors v = ẋ = ωx m cos(ωt + φ). L accélératon du moble Comme a = dv alors a = ẍ = ω2 x m sn(ωt + φ) = ω 2 x, sot ẍ + ω 2 x = 0. On retrouve l équaton dfférentelle de l oscllateur harmonque. 15
2 Cnématque du pont 3.2. Mouvement crculare On dt qu un moble M a un mouvement crculare lorsqu l se déplace sur un cercle fxe par rapport au repère d espace chos (Fg. 2.11). Le repérage de la poston du moble peut être : en coordonnées cartésennes : on chost une orgne O, centre du cercle de rayon R ; en coordonnées curvlgnes : on prendra comme orgne le pont A, le pont de coordonnées (x = R, y = 0) et comme sens postf le sens drect ; en coordonnées polares : le moble M est repéré par ses coordonnées polares (r,θ) avec θ = ( OA, OM). y M y + R u j r θ u θ A O x x Fgure 2.11 Remarques s s représente l abscsse curvlgne, on a s = Rθ, u r = cos θ + sn θ j, u θ = cos(θ + π 2 ) + sn(θ + π 2 ) j = sn θ + cos θ j. Vtesse et accélératon du moble v = d OM a = ( R ur ) = R d u r = d dv = d ( R θ ) u θ = R θ u θ R θ 2 u r comme v = R θ alors R θ 2 = v2 R et R θ = dv ans a = R θ 2 u r + R θ u θ = v2 u r + dv u θ. R Cas partculer du mouvement crculare unforme = R θ u θ = Rω u θ,avecω = θ (vtesse angulare). Dans ce cas, on a : ω = θ = ω 0 = cste et v = v 0 = cste. Ans v = Rω 0uθ et a = Rω 2 0u r. L accélératon a est centrpète et le mouvement est pérodque de pérode T = 2π. ω 0 4. MOUVEMENTS RELATIFS ET ABSOLUS La trajectore, la vtesse et l accélératon du moble dépendent du référentel (R) auquel est rapporté le mouvement. 16