FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher la courbe d'ue foctio par des "petits" segmets. II. INTRODUCTION, DEFINITION E physique ou e biologie, o est souvet ameé à rechercher et à étudier les foctios f défiies et dérivables sur IR et vérifiat f ' = k f, c'est-à-dire les solutios de l'équatio différetielle y' = k y, k état u réel fixé. O peut remarquer qu'aucue des foctios recotrées jusqu'à préset (foctio polyômes, foctios ratioelles, foctio racie carrée, foctios sius et cosius...) e sot solutios d'ue telle équatio différetielle. O s'itéressera plus particulièremet au cas particulier k = 1. Théorème Il existe ue uique foctio f, défiie et dérivable sur IR, telle que f ' = f et f(0) = 1. Cette foctio est otée exp et appelée foctio expoetielle. Pour tous réels k et a, il existe ue uique foctio f, défiie et dérivable sur IR, telle que f ' = kf et f(0) = a. Cette foctio f est défiie par : f(x) = a exp(kx) pour tout x IR. Exercice 01 O cosidère u partage de l'itervalle [0 ; 1] e itervalles de même amplitude ( IN * ). 1. E utilisat les approximatios affies et la méthode d'euler, doer e foctio de ue approximatio de exp 1 et exp.. Démotrer que 1 + 1 est ue approximatio de exp(1). 3. O cosidère la suite (u) défiie par u = 1 + 1 Doer à 10-3 près les valeurs de u obteues avec ue calculatrice pour : = 10 ; = 100 ; = 1 000 ; = 10 000 ; = 100 000 ; = 1 000 000 4. E déduire ue valeur approchée de exp(1). - 1/8 -
1. O sait qu'ue approximatio affie de exp(x 0 + h) est exp(x 0 ) + exp'(x 0 ) h Comme la foctio expoetielle est égale à sa dérivée, o a : exp(x 0 ) + exp'(x 0 ) h = exp(x 0 ) + exp(x 0 ) h = exp(x 0 ) (1 + h) Ue approximatio de exp 1 est doc exp(0) E réitérat le procédé, o peut écrire que 1 1 + 1 = 1 + 1 exp = exp + 1 a pour approximatio exp 1 + 1 doc 1 + 1 1 + 1 Ue approximatio de exp est doc 1 + 1. exp 3 = exp + 1 a pour approximatio exp 1 + 1 doc 1 + 1 o pourait démotrer que pour tout k {1,,}, ue approximatio de exp k est 1 + 1 Or, exp(1) = exp, o e déduit que exp(1) a pour approximatio 3. La suite (u ) état défiie par u = 1 1 + 1, o obtiet u 10,594 u 100,705 u 1000,717 u 10000,718 u 100000,718 u 1000000,718 4. exp(1) a doc pour valeur approchée,718 3 1 + 1 k III. RELATION FONCTIONNELLE, NOTATION e x Propriété Pour tous réels x et y, o a : exp(x + y) = exp(x) exp(y) La foctio expoetielle est doc ue foctio trasformat ue somme e u produit. Démostratio : Soit y u ombre réel fixé, o a vu que exp(y) 0 Cosidéros la foctio g défiie par g(x) = exp(x + y) exp(y) Les foctios x exp(x + y) est dérivable sur IR doc, g est dérivable sur. O a alors [exp(x + y)]' = (x + y)' exp'(x + y) = exp(x + y). Doc, g'() = [exp(x + y)] ' = exp(x + y) = g(x) exp(y) exp(y) De plus o a g(0) = exp(0 + y) = exp(y) exp(y) exp(y) = 1 g est doc ue foctio défiie et dérivable sur IR, telle que g' = g et g(0) = 1 g est doc la foctio expoetielle O e déduit que pour tout réel x, g(x) = exp(x), c'est-à-dire exp(x + y) = exp(x) exp(y) D où : Pour tous réels x et y, o a exp(x + y) = exp(x) exp(y) Remarques E appliquat la relatio précédete avec y = x, o obtiet : exp(x) = [exp(x)] E appliquat de ouveau la relatio avec y = x, o obtiet : exp(3x) = exp(x) exp(x) = [exp(x)] 3 O peut alors démotrer que pour tout etier aturel, o a : exp(x) = [exp(x)] O e déduit e particulier que pour tout etier aturel, o a : exp() = [exp(1)] Si o ote e le ombre exp(1), alors pour tout etier aturel, o a : exp() = e - /8 -
Défiitio : O coviedra de oter pour tout réel x : exp(x) = e x où e = exp(1) La foctio expoetielle est alors défiie par exp : IR IR x α e x O trouve sur les calculatrices scietifiques ue touche correspodat à cette foctio. Remarques Le ombre e = exp(1) a pour valeur approchée,718. La otatio e a doc ue double sigificatio : soit le ombre e élevé au carré, soit le ombre exp(), ces deux ombres état égaux Propriétés a et b état deux réels et est u etier relatif o a : e b > 0 ea+b = ea.eb e b = 1 e b e a b = ea e b e a = (e a ) Quelques démostratios : x et y état deux réels, o a déjà démotré que exp(x + y) = exp(x) exp(y) Doc pour tous réels a et b o a : e a+b = e a.e b E preat a = -b, o obtiet e particulier e -b+b = e -b.e b c'est-à-dire e 0 = e -b.e b Or o sait que e 0 = 1, doc e -b.e b = 1 c'est-à-dire e -b = 1 pour tout b * eb O peut écrire e a-b = e a+(-b) = e a.e -b = e a. 1 e b = ea e b Exercice 0 : Écrire plus simplemet : 1. e x e 1-x ex+3. e x-1 3. (e x + e-x) 4. e -x - e x + 1 e x 1. e x e 1-x = e x + 1 x = e 1 = e. e x+3 e x-1 = e x+3-x+1 = e x+4 3. (e x + e -x ) = (e x ) + e x e -x + (e -x ) = e x + e x-x + e -x = e x + e 0 + e -x = e x + e -x + 4. e -x - ex + 1 e x = e -x - (e x + 1) e -x = e -x - (e x e -x + e -x ) = e -x - e x-x - e -x = e -x - e 0 - e -x = 1. - 3/8 -
Exercice 03 : O cosidère la foctio f défiie sur IR par : f(x) = x e x - 1 e x + 1. 1. Vérifier que pour tout réel x : f(x) = x 1 - e-x 1 + e -x. Puis f(x) = x 1 + e x + 1 3. Motrer que f est dérivable sur IR, vérifier que : f '(x) = e x + 1 (e x + 1) = 1 + e -x (1 + e-x) 1. La foctio expoetielle état strictemet positive, e x + 1 0 pour tout x IR.Doc, f(x) existe pour tout réel x. f(x) = x e x e x 1-1 - 1 e x = x e x + 1 e x 1 + 1 = x e x (1 - e -x ) e x e x (1 + e -x = x 1 - e-x ) 1 + e -x. x 1 + e x = x e x + 1 + 1 e x = x e x - 1 + 1 e x = f(x). + 1 3. f est la somme et le quotiet de foctios dérivables sur IR, doc f est dérivable sur IR. f '(x) = 1 (e x 1)'(e x + 1) (e x 1)(e x + 1)' (e x + 1) = 1 e x (e x + 1) - (e x - 1)e x (e x + 1) = 1 e x + e x - e x + e x (e x + 1) = 1 e x (e x + 1) = (e x + 1) - e x (e x + 1) = e x + e x + 1 - e x (e x + 1) = e x + 1 (e x + 1) = e x + 1 (e x + 1) = ex (1 + e -x ) [e x (1 + e -x )] = ex (1 + e -x ) e x (1 + e -x ) = 1 + e-x (1 + e -x ) IV. ETUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE Propriétés La foctio expoetielle est défiie, cotiue, dérivable sur IR et (ex)' = ex. e 0 = 1 ; e 1 = e =,718 pour tout réel x, e x > 0 La foctio expoetielle est strictemet croissate sur IR. x > 0 e x > 1 et x < 0 0 < e x < 1 lim ex = + et lim e x = 0 x Le tableau de variatios de la foctio expoetielle est : Courbe représetative x - + + exp 0-4/8 -
Exercice 04 Résoudre das IR les iéquatios suivates : 1. e x 1 > 0. e x + 3 e x + 1 > 3. e x e x 0 4. e x+5 < e 1-x O sait que la foctio expoetielle est strictemet croissate sur IR.O a doc : e a > e b a > b. 1. e x 1 > 0 e x > 1 e x > e 0 x > 0 car la foctio exp(x) est strictemet croissate sur IR x > 0 doc S =] 0 ; + [. O a e x > 0, doc e x + 1 > 0. L'iéquatio e x + 3 e x > est doc défiie sur IR et o peut multiplier ses deux membres par e x + 1 qui est + 1 strictemet positif. e x + 3 e x > e x + 3 > e x + 3 > e x e x e x < 1 e x < e 0 x < 0 + 1 car la foctio expoetielle est strictemet croissate sur IR doc, S = ] ; 0 [ 3. e x e x 0 e x (e x ) 0 e x (1 e x ) 0 1 e x 0 car e x > 0 e x 1 e x e 0 x 0 doc, S = [ 0 ; + [ 4. e x+5 < e 1 x x + 5 < 1 x car la foctio expoetielle est strictemet croissate sur IR 3x < 4 x < 4 3 doc, S = ] ; 4 3 [ Propriétés lim x 0 e x 1 x = 1. e x a pour approximatio affie 1 + x au voisiage de 0. lim e x x = + lim x ex = 0 x C'est-à-dire que, au voisiage de l'ifii, l'expoetielle de x l'emporte sur x. Démostratios Soit f(x) = e x f(x) f(0), f (0) = lim lim e x 1 = 1 x 0 x 0 x 0 x Pour ue foctio f dérivable e x 0, l'approximatio affie de f(x 0 + h) est f(x 0 ) + f '(x 0 ) h L'approximatio affie de e h est doc e 0 + e 0 h = 1 + h Cela reviet à dire que la courbe de la foctio expoetielle a pour tagete au poit d'abscisse 0 la droite d'équatio y = x + 1 Exercice 05 Détermier les limites suivates : 1. lim e x 3x 5. lim + 3e x+1 3. lim e x - 3 e x + - 5/8 -
4. lim e x + 1 x 0 ex 5. lim 3xe-x 6. lim (x + 1)e x 7. lim e x - 5 3x 8. lim e x - 1 x 0 x3 9. lim e x + e-x 3 + e x 1.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. lim x 3x 5 = + et lim e X = + doc lim e x 3x 5 = + X + lim x + 1 = or, lim e X = 0 doc lim e -x +1 = 0 et lim + 3e x +1 = X - lim e x = 0 doc lim e x 3 = 3 et lim e x + = doc lim e x - 3 e x = - 3 + lim e x 0 x = e 0 = 1 doc lim e x 0 x = 1 et lim e x + 1 = doc lim e x + 1 x 0 x 0 e x = lim 3xe x coduit à ue forme idétermiée Or, xe x = x e x lim e x x = + doc,.. lim 3xe x = 0 lim (x + 1)e x cosuit à ue forme idétermiée o écrit : (x + 1)e x = xe x + e x lim xe x = lim xe x = 0 doc lim xe x = 0 D'autre part lim e x - 5 3x O sait que lim e x = 0 Doc lim (x + 1)e x = 0 coduit à ue forme idétermiée. O écrit : e x - 5 3x = e x 3 x 5 3x lim e x x = + et o a lim 5 3x = 0 doc lim e x 3 x 5 3x = + lim e x - 1 x 0 x 3 coduit à ue forme idétermiée. O peut écrire : e x - 1 x 3 = e x - 1 1 x x O sait que lim e x - 1 = 1 et o a x 0 x lim 1 x 0 x = + doc lim e x - 1 1 x 0 x x = + 9. O a lim e x = 0 et D autre part, lim 3 + e x = 3 Doc, Exercice 07 Résoudre das IR les équatios suivates : 1. ex+1 1 = 0. e x+1 e x-3 = 0 3. e x-1 e 3x+5 = 1 4. e x + e x - = 0 lim e x = lim e X = + doc lim e x + e x = + X + lim e x + e -x 3 + e x = + - 6/8 -
1. e x+1 1 = 0 e x+1 = 1 e x+1 = e 0 x + 1 = 0 x = 1. e x+1 e x 3 = 0 e x+1 = e x 3 x + 1 = x 3 x = 4 3. e x 1 e 3x+5 = 1 e x 1+3x+5 = e 0 e 4x+4 = e 0 4x + 4 = 0 x = 1 4. e x + e x = 0 (e x ) + e x = 0-7/8 - Si o pose X = e x, l'équatio deviet X + X = 0. Cette équatio a pour solutios X 1 = 1 et X = O e déduit que e x + e x = 0 e x = 1 ou e x = O sait que la foctio expoetielle est strictemet positive, doc l'équatio e x = 'a pas de solutio D'autre part e x = 1 e x = e 0 x = 0 Propriétés Si u est ue foctio dérivable sur u itervalle I, la foctio exp o u = eu (x) est dérivable sur I, et o a : (exp o u)' = u'.exp o u ou ecore (eu)' = u'.eu Exercice 07 Justifier que chacue des foctios est dérivable sur IR, calculer la dérivée et étudier so sige. 1. f(x) = ex+1. g(x) = (x + 1)e x+1 3e 3. t(x) = x ex + 1 1. f est la composée de la foctio polyôme x + 1 et de la foctio expoetielle qui dérivables sur IR. Par coséquet, f est dérivable sur IR. f '(x) = (x + 1) ' e x +1 doc : f '(x) = 4x e x +1 La foctio expoetielle est strictemet positive, doc f '(x) est du sige de 4x O a doc f '(x) < 0 pour x ]- ; 0[ et f '(x) > 0 pour x ]0 ; + [. g est le produit de foctios dérivables sur doc g est dérivable sur IR. g'(x) = (x + 1)' x e x+1 + (x + 1)(e x+1 )' = e x+1 + (x + 1)(x + 1)'(e x+1 ) = e x+1 + (x + 1)(e x+1 ) = e x+1 (1 + x + 1) = (x + )e x+1 = 4(x + 1)e x+1 O sait que la foctio expoetielle est strictemet positive, doc g'(x) est du sige de x + 1 g'(x) < 0 pour x ]- ; 1[ et g'(x) > 0 pour x ] 1 ; + [ 3. La foctio t le quotiet et la composée de foctios dérivables sur IR et e x 1 e s'aule pas sur IR. Doc, t est dérivable sur IR. Exercice 08 t'(x) = 3(e x )' x (e x + 1) - 3e x x (e x + 1)' (e x + 1) = 3(e x ) x (e x + 1) - 3e x x (e x ) (e x + 1) = 3e 3x + 3e x - 6e 3x (e x + 1) t'(x) = 3e x - 3e 3x (e x + 1) = 3e x (1 - e x ) (e x + 1) = 3e x (1 - (e x ) ) (e x + 1) = 3e x (1 - e x )(1 + e x ) (e x + 1) O sait que la foctio expoetielle est strictemet positive, doc e x, (1 + e x ) et (e x + 1) sot strictemet positifs pour tout réel x. Doc, t'(x) est du sige de 1 e x 1 e x > 0 e x < 1 x < 0. O a doc t'(x) > 0 pour x ]- ; 0[ et t'(x) < 0 pour x ]0 ; + [ 1. Étudier les variatios de la foctio f défiie par f(x) = ex - 1 ex + 1.. Dresser so tableau de variatios. 3. Soit (C) la courbe représetative de f, doer l'équatio de la tagete T à (C) au poit d'abscisse 0. Tracer (C) et T. 4. Démotrer que l'équatio f(x) = 1 a ue solutio uique α das IR. Doer ue valeur approchée de alpha à 10 - près.
1. O sait que la foctio expoetielle est strictemet positive sur IR, doc e x + 1 0 pour tout x IR La foctio f est doc défiie sur IR. O a lim e x = 0 doc, lim e x = 0 et par coséquet lim ex - 1 e x + 1 D'autre part, o peut écrire f(x) = ex (1 - e -x ) e x (1 + e -x = 1 - e-x ) 1 + e -x O a lim -x = et lim e X = 0 doc X - lim e x = 0 = -1 1 doc lim f(x)= 1 O e déduit lim 1 - e-x 1 + e -x = 1 doc lim f(x) = 1 f est somme, quotiet et composée de foctios dérivables sur IR, doc f est dérivable sur IR f '(x) = (ex - 1)'(e x + 1) - (e x - 1)(e x + 1)' (e x + 1) = ex (ex + 1) - (ex - 1)(ex ) (e x + 1) = e4x + e x - e 4x + e x (e x + 1) doc f '(x) = 4e x (e x + 1) pour tout x IR O sait que la foctio expoetielle est strictemet positive, doc f '(x) > 0 pour tout x IR. O peut alors dresser le tableau de variatios de f : x - + f'(x) + 1 f -1 3. La tagete T à (C) au poit d'abscisse 0 a pour équatio y = f '(0)(x - 0) + f(0) avec f '(0) = 4e 0 (e 0 + 1) = 4 4 = 1 et f(0) = e0-1 e 0 = 0 + 1 Doc, T a pour équatio y = x 1 x 0 4 3 1 0 α 1 3 4 1 T (C) 4. La foctio est strictemet croissate et cotiue de das ] 1 ; 1 [. Or, 1 ] 1 ; 1 [. D après le théorème des valeurs itermédiaires, l équatio f(x)= 1 admet ue uique solutio sur. O peut doer ue valeur approchée de alpha e remarquat que f(0) = 0 et f(1) 0,76 et e procédat par la méthode de balayage : O obtiet f(0,54) 0,49 et f(0,55) 0,5005. Comme 0,5 ] 0,49 ; 0,5005[, alors o peut predre α 0,55-8/8 -