Problème. Corrigé Mas EML 3 ECS Parie I.. Soi ] ; [. Soi g : [ ; [ R, e. g es coninue e posiive sur [ ; [. De plus, g () e donc g () = o ( ). Par la règle de négligeabilié des inégrales de foncions posiives, f() =. Soi ] ; [. Par posiivié de g, Comme par la relaion de Casles, f() = g ()d. g ()d Comme : [ ; [, e, on a : [ ; [, Or e 3. Soi ] ; [. f() e e d. g ()d, on a f() d eise. g ()d.. Par croissance de l inégrale, d = e [ln( )] = e ln. Par comparaison, f(). On a : ] ; [, < g () < e. Or le cours affirme que Γ() déf. = d eise e vau! =. Par srice croissance de l inégrale, < f() < 4. Le cours affirme que Γ() déf. = Soi ] ; [. On a : [ ; [, g () e = ( ( ) ( ) = e ( ) Par encadremen, f() d eise e vau! =. e [ ; [, d inégrale valan. Or : f() = g () e d g () e d, par l inégalié riangulaire. Donc f() d (= ).., le majoran éan inégrable sur On dédui de la majoraion précédene : f(), donc par encadremen f(), équivalan à f(). Parie II. 5.a) On éabli, comme en I.., la convergence de l inégrale, l inégrande éan à nouveau coninue e posiive sur [ ; [, e négligeable devan / en. Pour ou de ] ; [, d eise. ( ) b) Après réducion au même dénominaeur, ( on a, pour, e définis dans l énoncé : ) ( ) = ( ). Or > > puisque >, > e >. Ceci fourni alors la majoraion voulue : ps://groupe-reussie.fr/
(,, ) ] ; [ R [ ; [ els que > (, ) ( ) 3 c) On en dédui, oujours pour (,, ) ] ; [ R [ ; [ els que > ( ), e e e e ( ) 3. f( ) f() ( Comme ( ) d = e ) e e d e comme ( ) 3 d eise e vau 3 encore une fois grâce à Γ(), on a, par l inégalié riangulaire, f( ) f() ( ) d 3 pour ou (, ) ] ; [ R els que >. ] 6. Soi ] ; [. L encadremen précéden es valable pour ou dans le voisinage ; [ de. Le éorème d encadremen (gendarmes) assure que lim f( ) f() ( ) d eise e vau. f( ) f() Donc lim eise e vau ( ) d. f es dérivable sur ] ; [, e ] ; [, f () = ( ) d. 7. Soi ] ; [ e (ε, A) ] ; ] [ ; [. Les foncions e e éan de classe C sur [ ε ; A ], une inégraion par paries donne 8. ε e A d = ( ) A e ε ε ε d. e A A, e ε A ε ε, e les deu inégrales endan respecivemen vers f () e f() lorsque ε end vers e A end vers, en passan à la limie dans l idenié précédene, on obien : ] ; [, f () = f(). 9. Le membre de droie de cee dernière égalié éan dérivable, f es deu fois dérivable avec ] ; [, f () = f (). Sur ] ; [, f éan dérivable donc coninue, e éan coninue, on en dédui que f es coninue. f es de classe C sur ] ; [, avec ] ; [, f () = f ().. g es le produi de deu foncions dérivables sur ] ; [, donc es dérivable ( sur ] ; [ avec ] ; [, g () = e f() e f () = e f() ). f() g es dérivable sur ] ; [ avec ] ; [,. Soi ] ; [. Soi A [ ; [. On a :. Or lim A u du = f(a) = d après 3., donc lim E comme f() = e g(), on a éabli : ] ; [, A u g (u)du = [ g(u)] A g(a) =. Donc lim A g () = e. = g(a) g(). du eise e vau g(), e f() = e u du eise e vau g(). u du e e f(), le premier équivalen éan francemen une égalié, le second provenan de 4. ) n u du n n3 e n n devan /n, erme général d une série de Riemann convergene. Par comparaison, 3. n ( n u du., donc le erme général de la série à éudier es posiif e négligeable la série n n n du converge. u ps://groupe-reussie.fr/
Parie III. 4. es posiive sur R e coninue sur R. d eise : c es f(). Donc ()d eise e vau es bien une densié. f() =. f() 5. Pour, ()f() = e ( )e = e = e e. Le premier erme de cee différence es inégrable sur [ ; [ : il vau Γ() =. Le second erme de cee différence es inégrable sur [ ; [ : il vau f(). Par conséquen, () es inégrable sur R ( éan nulle sur ] ; [), X possède une espérance valan ( f()) = f() f(). X adme une espérance e E(X) = f(). Problème. Parie I. Dans ce corrigé, je noe SEP (M, λ) (respecivemen SEP (ϕ, λ)) le sous-espace propre de la marice M (respecivemen de l endomorpisme ϕ) associé à la valeur propre λ. D aure par, je confonds l espace M (R) e R.. Première méode. Soi.,. le produi scalaire canonique de M 4, (R), défini par X, Y M 4, (R), X, Y = XY. On a immédiaemen : dim(vec(v )) = 4 = 3 e W (Vec(V )), A W = A V W = A V, W =, ce qui prouve que es valeur propre de A e (Vec(V )) SEP (A, ), e donc que dim(sep (A, )) 3. Comme dim(sep (A, )) = 4 rg(a ) 3 puisque A n es pas nulle, on a eacemen SEP (A, ) = (Vec(V )). (Vec(V )) y = z M y 4,(R)/ z, V y = z M 4,(R)/ y z = (Vec(V )) y = / = y z = Vec z,,. es une valeur propre de A e,, es une base de SEP (A, )..a) Comme V U =, on a : A U = U... b)... ce qui prouve que es une valeur propre de A. Comme les sous-espaces propres son en somme direcce, on a nécessairemen : dim SEP (A, ) dim SEP (A, ) 4, donc dim SEP (A, ). Donc dim SEP (A, ) = e dim SEP (A, ) dim SEP (A, ) = 4. D après le éorème de diagonalisabilié, A es diagonalisable, Sp(A ) = {; }, dim SEP (A, ) = 3 e dim SEP (A, ) =. c) Le cours affirme qu une marice P de passage vers une base formée de veceurs propres fera l affaire. Par eemple : avec P = 3 e D =, on a A = PDP. 4 ps://groupe-reussie.fr/ 3
Parie II. 3. Soi A, B M n (R) e soi λ R. Tr(λA B) = (λa B) i,i = (λa i,i b i,i ) = λ a i,i b i,i = λtr(a) Tr(B). Tr es une forme linéaire sur M n (R). 4. Soi A, B M n (R). Soi C = AB e D = BA. Tr(AB) = c i,i = a i,j b j,i = a i,j b j,i. Tr(BA) = d k,k = k= j= k= l= b k,l a l,k = i,j n k,l n b k,l a l,k. E ces deu sommes son égales (en posan k = j e l = i, ces indices éan mues!). (A, B) M n (R) M n (R), Tr(AB) = Tr(BA). 5. Soi A M n (R). Reprenons le calcul précéden de Tr(BA) avec B = A : Tr( AA) = b k,l a l,k = a l,k a l,k, d où k,l n A M n (R), Tr( AA) = Toue cee parie es à savoir faire insananémen! Parie III. 6.a) Par définiion du produi mariciel, b) Tr(U V) = k,l n j= a j,i. U V M n (R) e (i, j) [[ ; n]], (U V) i,j = u i v j. u i v i =... accessoiremen = U, V = UV. c) U V n es pas nulle, car il eise i [[ ; n]] el que u i puisque U n es pas nulle, e il eise j [[ ; n]] el que v j puisque V n es pas nulle. Ainsi le coefficien d indice (i, j ) de U V n es pas nul. Donc rg(u V). Par la formule du rang, dim Ker(U V) n. De plus, pour ou W (Vec(V)), U VW = V, W U =, donc (Vec(V)) Ker(U V). E comme dim(vec(v)) = n, on a dim Ker(U V) = n. E oujours la formule du rang : rg(u V) =. Ce que la première méode de la quesion iniiale démonrai quasimen... 7.a) Puisque A es de rang, A possède au moins une colonne non nulle. Soi j l indice d une colonne non nulle de A. Alors oues les aures colonnes de A son proporionnelles à C j (A), sinon A serai au moins de rang. j [[ ; n]], j [[ ; n]], α j R, C j (A) = α j C j (A). b) Soi U = C j (A) M n, (R) e V = (α j ) j n M n, (R). Alors U es non nulle par définiion de j e V es non nulle car α j =, puisque C j (A) = α j C j (A). On a alors : (U V) i,j = u i v j = a i,j α j = a i,j d après la relaion C j (A) = α j C j (A). (U, V) (M n, (R) \ {}), A = U V. 8. La synèse des deu quesions précédenes monre que : A M n (R) es de rang si, e seulemen si, il eise (U, V) (M n, (R) \ {}) elles que A = U V. Parie IV. 9. Pour ou (i, j) de [[ ; n]], (U X U Y ) i,j = P(X = i)p(y = j) = P((X = ) (Y = j)) = m i,j par indépendance de X e Y. De plus, U X e U Y son non nulles puisque P(U X = i) = P(U Y = i) =. Par la caracérisaion précédene, U X U Y = M e M es de rang..a)soi i [[ ; n]]. Comme le i ème coefficien de C j (M) es P((X = i) (Y = j)), le i ème coefficien de C (M) C n (M) es P((X = i) (Y = j)). D après la formule des probabiliés oales avec les sysème comple d événemens j= ([Y = j]) j n, cee somme vau P(X = i), qui es bien le i ème coefficien de U X. Ainsi C (M) C n (M) = U X. ps://groupe-reussie.fr/ 4
b) Comme M es de rang, ses colonnes son oues proporionnelles à l une de ses colonnes non nulles. Soi j [[ ; n]] el que C j (M). Il eise n coefficiens réels posiifs ou nuls (α j ) els que, pour ou j de [[ ; n]], C j (M) = α j C j (M). Ces coefficiens son posiifs ou nuls car ous les coefficiens de M son des probabiliés, donc son posiifs. La relaion précédene donne alors C j (M) = U X. De plus, α j puisque α j = e les aures coefficiens son posiifs. Posons, pour ou j [[ ; n]], β j = j= α j k α k Alors, pour ou j de [[ ; n]], C j (M) = α j C j (M) = α j. α j k α k U X = β j U X. j [[ ; n]], β j R, C j (M) = β j U X. c) Soi j [[ ; n]]. C j (M) = β j U X enraîne, en somman ous les coefficiens de caque membre, n m i,j = β j P(X = i), c es-à-dire P((X = i) (Y = j)) = β j, puisque ([X = i]) i n es un sysème comple d événemens. De plus, d après la formule des probabiliés oales avec ce sysème comple d événemens, P((X = i) (Y = j)) = P(Y = j). Ainsi : j [[ ; n]], β j = P(Y = j). d) Pour ou (i, j) de [[ ; n]], la i ème ligne de la relaion C j (M) = β j U X donne eacemen P((X = i) (Y = j)) = P(Y = j)p(x = i). Donc les v.a.r. X e Y son indépendanes. Parie V.. Comme rg(a) =, la formule du rang assure que dim Ker(A) = n, ce qui prouve que es une valeur propre de A e le sous-espace propre associé SEP (A, ) = Ker(A) es de dimension n. n se souvien que depuis le débu, n, donc ou va bien.... VU = v i u i e Tr(A) = a i,i = u i v i par III.6.a (i.e. par définiion du produi mariciel). De plus, A = (U V)(U V) = U( VU) V = a(u V) = aa. VU = (a) e A = aa. 3. X ax = X(X a) es un polynôme annulaeur de A, don les racines son e a. Si a =, l unique racine de ce polynôme es, donc la seule valeur propre de A es (on sai déjà que es une valeur propre de A). Comme dim SEP (A, ) = n < n, A n es pas diagonalisable. Si a =, alors A n es pas diagonalisable dans M n (R). 4. Supposons a. AU = U VU = U(a) = au, avec U. Donc a es effecivemen une valeur propre de A. D une par, SEP (A, a) es au moins de dimension, d aure par, SEP (A, ) e SEP (A, a) éan en somme direce avec dim(sep (A, )) = n, SEP (A, a) es au plus de dimension. Donc dim(sep (A, a)) =. A M n (R), Sp(A) = {, a} e dim(sep (A, )) dim(sep (A, a)) = n, donc A es diagonalisable dans M n (R). 5. 3 e 4 induisen la condiion nécessaire e suffisane suivane. Une marice de rang es diagonalisable si, e seulemen si, sa race es non nulle. Parie VI. 6. Monrons que.,. es une forme bilinéaire symérique définie posiive grâce à la parie II. Soi A, B, C M n (R) e λ R. λa B, C = Tr( (λa B)C = Tr(λ AC BC) = λtr( AC) Tr( BC) = λ A, C B, C. B, A = Tr( BA) = Tr( ( BA)) = Tr( AB) = A, B. Donc.,. es bilinéaire symérique. Soi A M n (R). A, A = Tr( AA) = a i,j donc A, A, e, puisque A, A es une somme de ermes ous posiifs, elle i,j n ne peu êre nulle que si ous ses ermes son nuls, donc A, A = enraîne A = O. Donc.,. es définie posiive..,. : M n (R) R, (M, N) Tr( MN) es un produi scalaire sur M n (R). j= ps://groupe-reussie.fr/ 5
7. S = (V V) = V V = S donc S es symérique. S = (V V)(V V) = V( VV) V = V V = S car VV = vi =. S es symérique e vérifie S = S. 8.a) Soi (M, N) M n (R) e λ R. Puisque Φ(M) = SM, Φ(M) M n (R). De plus : Φ(λM N) = S(λM N) = λsm SN = λφ(m) Φ(N). Soi (M, N) M n (R). Puisque S es symérique, on a : Φ(M), N = (SM)N = M SN = M(SN) = M, Φ(N). Φ es un endomorpisme symérique de M n (R). b) Soi M M n (R). Φ (M) = S(SM) = S M = SM = Φ(M). Φ = Φ, donc Φ es un projeceur. Comme Φ(I n ) = S, Φ n es pas l endomorpisme nul e n es pas l idenié. En effe, rg(s) = donc S n es ni nulle ni égale à I n. Ainsi, Sp(Φ) = {, }. c) Comme KerΦ = SEP (Φ, ) e Ker(Φ e) = SEP (Φ, ) = ImΦ, on a : KerΦ e Ker(Φ e) son supplémenaires car Φ es un projeceur ; KerΦ e Ker(Φ e) son orogonau car les sous-espaces propres des endomorpismes symériques son orogonau. KerΦ e Ker(Φ e) son supplémenaires orogonau dans M n (R). ps://groupe-reussie.fr/ 6