MINI-COURS DE COMBINATOIRE Igor Kortchemsi - Itroductio - La Combiatoire est u sous-art des mathématiques qui cosiste à compter et à étudier des structures discrète (fiies. De ombreux problèmes difficiles sot formulés de maière très simple (mais la résolutio écessite des outils avacés. Le but de ce cours est de préseter quelques réflexes et idées de bases pouvat être utiles das la résolutio d exercices de combiatoire de type olympiades. Le coteu de ce mii-cours est le suivat : coefficiets biomiaux, double comptage, ijectios, surjectios, méthodes bijectios. 1 Défiitios - Coefficiets biômiaux - O rappelle qu u esemble E est ue collectio d élémets dot l ordre a pas d importace (aisi, les esembles {2, 3} et {3, 2} sot les mêmes esembles. O ote x A si x appartiet à l esemble A. Si A et B sot deux esemble, o écrit A B et o dit que A est iclus das B si chaque élémet de A appartiet au B. L esemble vide, qui e cotiet aucu élémet, est oté. O ote Card(A (o prooce «cardial de A» le ombre d élémets de A. O dit que A est ifii si Card(A, fii sio. Défiitio 1. Pour des etiers 0, o ote ( (et o prooce «parmi» le ombre de maières de choisir u sous-esemble à élémets d u esemble à élémets différets. Pour >, o pose ( 0. Il est clair que das la défiitio précédete, ( e déped pas de l esemble à élémets différets cosidéré. Exemple 2. O a ( 4 2 6, car les sous-esembles à 2 élémets de {1, 2, 3, 4} sot {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {3, 4} et il y e a 6 Pour u etier 1, rappelos la otatio! 1 2 3. Propositio 3. Le ombre de maières d ordoer élémets est!. Démostratio. Nous avos possibilités pour choisir le premier élémet, 1 possibilités pour le deuxième, et aisi de suite jusqu au derier élémet pour lequel ous avos ue seule possibilité. Le résultat e découle.
Propositio 4. Pour des etiers 0, o a : (! (!!. Démostratio. Comptos de deux maières différetes le ombre de suites à élémets qu o peut créer e utilisat les élémets d u esemble à élémets différets. D ue part, comme pour la propositio précédete, ous avos choix pour le premier terme de la suite ; 1 choix pour le deuxième, et aisi de suite jusqu au -ième élémet pour lequel ous avos + 1 choix. Fialemet, il y a e tout ( 1 ( + 1 suites à élémets. D autre part, pour créer ue suite à élémets, o peut commecer par choisir les élémets qui vot costituer la suite (( possibilités, puis les ordoer (! maières possibles de les ordoer. Il y a doc e tout! ( suites à élémets. 2 Propriétés combiatoires Exercice 1 Pour des etiers 0, o a : (! (!! Solutio de l exercice 1 Première méthode : O utilise la formule (! (!! et le résultat e découle immédiatemet. Deuxième méthode : O remarque que choisir élémets parmi reviet à choisir élémets parmi qu o e choisira pas. L exercice précédet, bie que facile, est assez représetatif des exercices ayat pour but de prouver des relatios d égalité etre coefficiets biomiaux. Très souvet, il y a toujours (au mois deux approches possibles : remplacer les coefficiets biomiaux par leur formule et rameer le problème à u exercice de maipulatio de relatios algébriques, ou bie d iterpréter de maière combiatoire les deux termes de part et d autre de l égalité et de prouver qu ils sot égaux. La deuxième approche est biesûr bie plus élégate et fourit très souvet des preuves courtes, mais requiert davatage d igéuité. Exercice 2 Soiet 0 des etiers (avec (, (0, 0. Alors : ( ( ( 1 1 +. 1 Solutio de l exercice 2 Première méthode : O utilise la formule. Secode méthode : Démotros ce résultat de maière combiatoire. Cosidéros l esemble {1, 2,..., } et déombros ses sous-esembles à élémets. Il y e a ( 1 qui e cotieet pas et il y e a ( 1 1 qui cotieet. Le résultat e découle. Exercice 3 Pour 0, o a : ( ( 1. 1 2
Solutio de l exercice 3 Première méthode : O utilise la formule exprimat ( (le faire. Secode méthode : Démotros ce résultat de maière combiatoire e comptat de deux maières différetes le ombre de sous-esembles de {1, 2,..., } de cardial ayat u élémet distigué (qu o appellera chef. Tout d abord, il suffit de choisir u sous-esemble de cardial ( ( choix, puis de choisir u chef ( choix idépedats. O obtiet doc e tout ( possibilités. Exercice 4 Pour u etier 1, o a 0 ( 2. Solutio de l exercice 4 Première méthode : Si o a pas d idée commet commecer de maière astucieuse, o peut essayer de procéder par récurrece sur. Pour 1, le résultat est clair. Supposos le résultat acquis au rag et motros-le au rag + 1 e écrivat, avec l exercice 4 : +1 0 ( + 1 1 + 1 +1 1 ( (( ( + 1 ( + 0 2 + 2 (par hypothèse de récurrece 2 +1, Secode méthode : Démotros ce résultat de maière combiatoire e comptat le ombre N de sous-esembles de {1, 2,..., }. D ue part, pour u etier 0, il y a ( sousesembles à élémets. E sommat le tout, o voit que N 0 (. Mais, pour costruire u sous-esemble de {1, 2,..., }, o a le choix de choisir 1 ou o, 2 ou o, et aisi de suite jusqu à. O a doc N 2, ce qui coclut. E particulier, la solutio précédete motre qu il existe 2 sous-esembles d u esemble à élémets. Propositio 5 (Formule du biôme de Newto. Soiet x, y des ombres réels et 1 u etier. Alors : ( x y (x + y. 0 Démostratio. Première méthode : par récurrece sur (s etraîer à le faire. Secode méthode : lorsqu o développe (x + y (x + y (x + y, pour trouver le coefficiet devat x y, parmi les termes (x + y, il faut e choisir pour lesquels o garde le x et qui vot doer u terme x, et les autres termes pour lesquels o sélectioe y vot doer le terme y. Le résultat s esuit. 3
Exercice 5 Quel est le cardial moye d u sous-esemble de {1, 2,..., }? Solutio de l exercice 5 Première méthode (d après ue idée d élèves : O regroupe u esemble avec so complémetaire. Si A {1, 2,..., }, o ote A c l esemble des etiers de {1, 2,..., } qui e sot pas das A. Notos N ce cardial moye. Alors : N 1 2 Card(A 1 2 A {1,2,...,} 1 2 2 1 2 A {1,2,...,} 2 2 2. Autre méthodes : Il faut évaluer la somme S 1 ( 2. 0 CardA + Card(A c 2 A {1,2,...,} Si o e sait pas commecer, il faut étudier les premiers cas : 1, 2,.... O trouve toujours S /2. Essayer doc de démotrer cela. Secode méthode : Si o a pas d idée, o peut procéder par récurrece sur. Troisième méthode : O utilise le résultat de l exercice précédet : Troisième méthode, plus avacée. Cosidéros le polyôme P (x 0 ( x. D après a formule du biôme de Newto, P (x (1 + x. Dérivos cette égalité par rapport à x : 0 ( Évaluos alors cette quatité e x 1 : Le résultat e découle. Exercice 6 Prouver que pour 0 m : 0 x 1 (1 + x 1. ( 2 1. 0 ( ( m ( 2 m. m Solutio de l exercice 6 O remarque d abord que seuls les tels que m cotribuet de maière o ulle. O va procéder à u double comptage e comptat le ombre N de sousesembles A, B de {1, 2,..., } tels que A B et Card(A m. E effet, d ue part, pour costruire A, B o peut d abord choisir A de cardial m ( ( m choix, puis rajouter u sousesemble quelcoque de l esemble {1, 2,..., } privé des élémets de A, qui a m élémets (et doc 2 m choix idépedats. E aisi, N ( m 2 m. 4
D autre part, pour costruire A, B o peut d abord choisir B de cardial quelcoque etre m et (si B est de cardial, ( choix, puis choisir A de cardial m comme sous-esemble de B (( m choix si B est de cardial. Aisi, N 0 ( ( m. Exercice 7 Combie y a-t-il de chemis sur Z 2 issus de (0, 0, faisat des pas +(1, 0 ou +(0, 1, et fiissat e (m,, où m, 0? Solutio de l exercice 7 U tel chemi doit faire m + pas, dot m fois +(1, 0 et fois +(0, 1. Il suffit doc de choisir parmi les m + pas possibles la positio des m qui fot +(1, 0. Le ombre total vaut doc ( m+ m. Exercice 8 De combie de maières peut-o placer 5 pièces idetiques das 3 poches différetes? Solutio de l exercice 8 Cosidéros la figure suivate (avec deux barres : Remplaços chaque rod soit par ue pièce, soit par ue barre de sorte qu il y ait e tout 2 barres et 5 pièces. Les pièces etre les deux premières barres serot coteues das la première poche, les pièces etre la deuxième barre et la troisième barre serot coteues das la secode poche, et fialemet les pièces etre la troisième barre et la quatrième barre serot coteues das la troisième poche. Aisi, placer 5 pièces idetiques das 3 poches différetes, reviet à choisir la positio des 2 barres parmi 7 positios possibles. La répose est doc ( 7 2 21. Plus gééralemet, e procédat de la même faço, o voit qu il y a ( a+b 1 b 1 (a+b 1 a maières de placer a pièces idetiques das b poches différetes. - Pricipe d Iclusio-Exclusio - O sait que si A et B sot deux esembles fiis, alors Card(A B Card(A + Card(B Card(A B. La formule suivate, dite d iclusio-exclusio, gééralise cela au cas où ous e avos u ombre quelcoque. Propositio 6 (Formule d iclusio-exclusio. Si A 1,..., A sot des esembles fiis, alors : Card(A 1 A 2 A 1 ( 1 +1 1 i 1 < <i Card ( A i1 A i. Exercice 9 Combie y a-t-il d etiers strictemet positifs iférieurs ou égaux à 120 et qui e sot divisibles i par 3, i par 5, i par 7? 5
Démostratio. Par récurrece (bo courage! Solutio de l exercice 9 Trouvos plutôt le ombre d etiers strictemet positifs iférieurs ou égaux à 120 divisibles par 3, 5, ou 7. D après la formule d iclusio-exclusio, ce ombre vaut : 40 + 24 + 17 8 5 3 + 1 66. Aisi, le ombre cherché vaut 120 66 54. Exercice 10 Les stagiaires au stage de Motpellier vot se baiger et laisset leurs t-shirts Aimath e vrac sur le sable. Ils revieet et preet u t-shirt complètemet au hasard. Quelle est la probabilité que persoe e se retrouve avec so t-shirt? Solutio de l exercice 10 O assige à chaque stagiaire u chiffre différet etre 1 et, et o ote x i le uméro de l élève preat le i-ième t-shirt. Aisi, (x 1,..., x est ue permutatio de (1,...,. Calculos plutôt la probabilité qu au mois ue persoe retrouve so t-shirt e vue d utiliser le pricipe d iclusio-exclusio. Pour 1 i, soit A i l esemble des permutatios telles que x i i. Il est clair que pour 1 i 1 < < i, o a : Card ( A i1 A i (!. Aisi, d après la formule d iclusio-exclusio : Card(A 1 A 2 A 1 1 ( 1 +1 ( 1 +1 1( 1 +1( 1 +1! ( 1!. 1 i 1 < <i 1 i 1 < <i (! Card ( A i1 A i (! La probabilité cherchée vaut 1 Card(A 1 A 2 A /!, c est-à-dire : 1 2! 1 3! + 1 4! + + ( 1 1!. - Ijectios, surjectios, bijectios - 1 Ijectios et surjectios Défiitio 7. Soiet E, F deux esembles et f : E F ue applicatio. (i O dit que f est ijective si pour tous x, y E avec x y, f (x f (y. (ii O dit que f est surjective si pour fou y F, il existe x E tel que f (x y. 6
O dit que E est l esemble de départ, F l esemble d arrivée. Si f (x y, o dit que x est l atécédet de y et y l image de x. Pour motrer que f : E F est ijective, o motre très souvet que si x, y E sot tels que f (x f (y, alors x y (voir le cours sur les équatios foctioelles. O itroduit la otatio [] {1, 2,..., } pour u etier 1. Propositio 8. Il existe ue ijectio [m] [] si, et seulemet si, m. Il existe ue surjectio de [m] [] si, et seulemet si, m. Démostratio. Exercice. E pratique, o utilise la propositio précédete e combiatoire comme suit : pour motrer que a b, o costruit deux esembles A, B tels que Card(A a, Card(B b, aisi qu ue ijectio de A das B. Ou ecore, pour motrer que a b, o costruit deux esembles A, B tels que Card(A a, Card(B b, aisi qu ue surjectio de A das B. Exercice 11 (Olympiades Balaiques de Mathématiques 1997 Soiet m, > 1 des etiers. Soit S u esemble de cardial et A 1, A 2,..., A m des sous-esembles de S. O suppose que pour tous élémets x y de S, il existe 1 i m tel que x A i et y A i, ou bie x A i et y A i. Prouver que 2 m. Solutio de l exercice 11 À tout élémet x S, o associe le m-uplet (x 1,..., x m où x i 0 si x A i et x i 1 si x A i. Cette applicatio est défiie sur S, et so esemble d arrivée est {0, 1} m. Par hypothèse, si x y, alors f (x f (y. Aisi, f est ijective. Le cardial de l esemble de départ est doc iférieur ou égal au cardial de l esemble d arrivée. Exercice 12 (i Combie existe-t-il de foctios de [m] []? (i O suppose m. Combie existe-t-il d ijectios de [m] []? (ii O suppose m. Combie existe-t-il de surjectios de [m] []? Solutio de l exercice 12 Pour (i, il y e a clairemet m ( choix pour chacu des m etiers au départ Pour (ii, o a choix pour l image de 1, 1 choix pour l image de 2, et aisi de suite jusqu à m pour lequel o a m + 1 choix pour so image. La répose est doc Pour (iii, o va utiliser le pricipe d iclusio-exclusio et compter le ombre de foctios [m] [] qui e sot par surjectives. À cet effet, pour 1 i, otos A i l esemble des foctios [m] [] telles que i est pas atteit par la foctio. Il est clair que pour des etiers 1 i 1 < < i, o a Card(A i1 A i ( m, car chaque élémet de [m] peut être evoyé sur u des etiers de [] autorisés. Aisi, d après le pricipe d iclusio exclusio, si o ote s(m, le ombre de surjectios de [m] [], o a : 7
! s(m, Card(A 1 A 2 A 1 1 ( 1 +1 ( 1 +1 1( 1 +1( 1 i 1 < <i 1 i 1 < <i ( m Card ( A i1 A i ( m Aisi, s(m, 0( 1 ( ( m. 2 Preuves bijectios e combiatoire Défiitio 9. Soiet E, F deux esembles et f : E F ue applicatio. O dit que f est bijective si elle est à la fois ijective et à la fois surjective. Propositio 10. Soiet A et B deux esembles fiis. Alors A et B ot même cardial si, et seulemet si, il existe ue bijectio etre A et B Démostratio. Exercice. E combiatoire, cette propositio est souvet utilisée de la maière suivate. Si o veut motrer que a b, où a, b 0 sot des etiers, il suffit de trouver deux esembles fiis A et B tels que Card(A a et Card(B b, et de costruire ue bijectio etre A et B. Pour vérifier qu ue foctio est bijective, il est parfois pratique d exhiber la foctio réciproque. Plus précisémet : Propositio 11. Si f : A B et g : B A sot deux foctios telles que f (g(b b pour tout b B et g( f (a a pour tout a A, alors f et g sot bijectios (o dit qu elles sot réciproques, ou iverses, l ue de l autre. Démostratio. Motros d abord que f est surjective. Soit b B. O sait que f (g(b b, aisi g(b est u atécédet de b, de sorte que f est surjective. Pour motrer l ijectivité, soiet x, y E tels que f (x f (y et motros que x y. O a x g( f (x g( f (y y. La foctio f est doc ijective, et comme elle est surjective, elle est bie bijective. Par symétrie, g est aussi bijective. Exercice 13 (Caada 2005 Soit u triagle équilatéral dot le côté est de logueur, divisé e triagles uitaires tel qu illustré. Soit f ( le ombre de chemis allat du triagle de la ragée du haut jusq au triagle au cetre de la ragée du bas, de faço à ce que des triagles 8
adjacets partaget ue arête commue et que le chemi e repasse jamais par le même triagle et qu il aille jamais vers le haut (d ue ragée iférieure à ue ragée supérieure. U tel chemi est illustré ci-après avec 5. Détermier la valeur de f (2012. Solutio de l exercice 13 L applicatio qui à u chemi associe u ( 1-uplet (x 1,..., x 1 où x i est l etier x tel que le chemi traverse la i-ième lige horizotale e partat du haut au x-ième segmet e partat de la gauche. Cette applicatio est clairemet ue bijectio etre l esemble des chemis cosidérés et l esemble [1] [2] [ 1], qui est de cardial ( 1!. Aisi, f (2012 2011!. 9