1 Suites et fonctions d une variable Feuille d exercices Étudier la convergence, lorsque n, de : 1 n 1 n kx x R) ; 3n sin n n + 5) cosnπ/7) ; lnx + n) 3 ln n 4 e ) n 1 ) ln n x R) ; 1 + 1 n) n ) n + n +1 ECS Lycée La Bruyère, Versailles Année 18/19 6 Étudier les suites u n ) n N définies par leur condition initiale et la relation de récurrence valable pour tout n N) précisées : 1 u R \ {1} et u n+1 = 1 + u n 1 u n ; u > 1 et u n+1 = ln1 + u n ) ; 3 u R et u n+1 = cos u n ; 7 Soient a R et u n ) n N la suite réelle telle que u = et : 4 u R et u n+1 = 1 3 4 u n) ; 5 u > 1 et u n+1 = 1 + 1 u n 1 ; 6 u > et u n+1 = e un u n Caractériser la convergence d une suite d entiers relatifs n N, u n+1 = u n + 1 a u n) 3 4 5 1 Démontrer le théorème de Cesàro : si une suite réelle u n ) n N converge vers l, alors la suite de terme général v n = 1 n u k, n 1, n converge également vers l La réciproque est-elle vraie? En déduire le lemme de l escalier : si u n ) n N est une suite réelle alors lim u u n n+1 u n = l R = lim n n n = l 3 a Soit u n ) n N une suite de réels strictement positifs Montrer que : u n+1 lim = l R + = lim n un = l n u n n b En déduire les limites, lorsque n, de n 1 n 1 n 3n)! n, nn + 1) n + n), n! n n n! Soient a et b deux réels strictement positifs 1 Montrer que les suites a n ) n N et b n ) n N définies par les conditions initiales a = a et b = b ainsi que les relations de récurrence : n N, a n+1 = a n + b n, b n+1 = a n b n convergent vers la même limite Leur limite commune est appelée moyenne arithméticogéométrique des réels strictement positifs a et b Écrire un algorithme permettant de calculer une valeur approchée à la précision 1 n de la moyenne arithmético-géométrique de a et b Étudier les suites réelles u n ) n N de conditions initiales u > et u 1 > définies par la relation de récurrence u n+ = u n u n+1 pour tout n N 1 Étudier les variations et les points fixes de la fonction f : x x + 1 a x ) Quel est le comportement de la suite u n ) n N lorsque a <? a =? a = 4? 3 On suppose < a < 4 a Montrer que pour tout n 1, a u n b Montrer que : n 1, un+1 a M un a où M = max a, 1 c En déduire que la suite u n ) n N converge 4 On suppose a > 4 a Quelles sont les limites éventuelles de u n ) n N? b Justifier que si u n ) n N converge vers l, alors il existe N N tel que : c Conclusion? n N, u n+1 l a u n l a a ) 4 8 1 Montrer que pour tout n N, l équation x n + x = 1 d inconnue x [, 1] admet une unique solution que l on note x n Étudier la monotonie et la convergence de la suite x n ) n N, préciser sa limite 3 On pose y n = 1 x n pour tout n N a Montrer que ln y n ny n et en déduire que ln y n ln n b En déduire un équivalent de y n puis un développement asymptotique de x n 9 1 Montrer que pour n N \ {, 1} donné, l équation x + x + + x n = 1 d inconnue x ], 1[ admet une unique solution notée x n Montrer que la suite x n ) n est convergente On note l sa limite 3 Calculer de deux façons la limite de xn n+1 ) n et en déduire la valeur de l 4 Déterminer la limite de la suite de terme général x n ) n+1, n, et en déduire un développement asymptotique de x n lorsque n de la forme x n = a + bγ n + oγ n ) avec a, b R et γ ], 1[ à expliciter : application : difficile : classique
ECS Lycée La Bruyère, Versailles Exercices Suites et fonctions d une variable 1 11 1 13 14 Démontrer que la fonction sin n admet pas de limite en + Étudier les variations de chacune des fonctions suivantes et en esquisser le graphe puis préciser si elles sont injectives, surjectives et bijectives on donnera une justification graphique puis analytique) : 1 f : x R lne x x) 1 ; 3 f : x R f : x R x 1 x ; 1 ex e x ; 4 f : x R x 3 3x + 1 Soient f et g deux fonctions continues sur [, 1], à valeurs dans [, 1], telles que f g = g f On désire montrer qu il existe x [, 1] tel que f x ) = gx ) On raisonne pour cela par l absurde : on suppose qu un tel point n existe pas On note f, f,, f n, les itérés de f et de même g, g,, g n, ceux de g 1 Justifier que, quitte à permuter f et g, il existe ε > tel que pour tout x [, 1], gx) f x) + ε Montrer que, pour tous x [, 1] et n N, g n x) f n x) + nε 3 Conclure Établir les inégalités : x [, π ], x sin x x π Soit f la fonction définie sur R + \ {1} par f : x ln x)/x 1) 1 Justifier que f est dérivable sur R + \ {1} puis que f est prolongeable par continuité en 1 On notera encore f le prolongement de f à R + Justifier que f est dérivable en 1 : a à l aide d un développement limité ; b en étudiant la limite de f x) lorsque x 1 15 Soit f : [, + [ R une fonction de classe C 1, majorée et à dérivée croissante Montrer que f est décroissante 16 Pour n N donné, on pose : P n = 1 n X 1) n) n) n! 1 Montrer que P n est un polynôme de degré n, pair ou impair selon la parité de n Montrer que P n 1) = 1 et en déduire la valeur de P n 1) 3 Montrer que P n admet n racines deux-à-deux distinctes dans l intervalle ] 1, 1[ 17 On définit la suite I n ) n N des intégrales de Wallis par la formule : n N, I n = 1 Calculer I, I 1 et I et montrer que : n N, I n = ˆ π/ ˆ π/ sin n t dt cos n t dt Pour n, établir une relation de récurrence entre I n et I n 3 Montrer que la suite I n ) n N est décroissante et en déduire que I n I n 1 lorsque n 4 Montrer que la suite ni n I n 1 ) n N est constante ; calculer sa valeur En déduire un équivalent de I n en fonction de n 5 Pour p N, exprimer I p et I p+1 à l aide de factorielles et établir la formule de Wallis : π = lim p où l on a noté, pour tout q N : p)!! p 1)!! p + 1, q)!! = q) q ) 4 et q+1)!! = q+1) q 1) 3 1 18 Soit f : R R une fonction T-périodique continue telle que T f t) dt = 1 Justifier que f admet une primitive T-périodique En déduire que pour tous a, b R, lim λ + ˆ b a f λt) dt = 19 On va démontrer dans cet exercice que le nombre réel e est irrationnel Pour cela, on raisonne par l absurde : on suppose que e Q 1 Montrer, à l aide d une formule de Taylor, que pour n N assez grand, l intégrale I n = ˆ 1 est alors un entier relatif Montrer que la suite I n ) n N converge vers 3 Conclure En utilisant une formule de Taylor, montrer que : x R, 1 t) n e t dt e x = n= x n n!
ECS Lycée La Bruyère, Versailles Exercices Suites et fonctions d une variable 3 1 Soit f : R R une fonction de classe C Pour a R, déterminer f a + h) f a) + f a h) lim h h Déterminer la limite des fonctions suivantes au point considéré : 1 x 1 + 1 ) x, x + ; 4 x x ln ln1 + x) ), x ; x 3 x + 1 + x x 5 + 3x x +, x + ; lncos ax) 3 x, x b ) ; lncos bx) 5 x e sin x cos x) cotan x, x ; 6 x x 1 + ) x 1 + 1 ) x ), x x x + 3 Déterminer le développement limité des fonctions suivantes à l ordre et voisinage du point indiqués : 1 DL ) : x ln cos x + sin x) ; 4 DL 3 π/4) : x tan x ; DL ) : x e 1+x ; 3 DL 4 ) : x tan x ; 5 DL 1) : x e e x e 1 x 1
ECS Lycée La Bruyère, Versailles Exercices Suites et fonctions d une variable 4 Indications 1 1 La partie entière x d un réel x est par définition le plus grand entier inférieur ou égal à x ; elle est donc caractérisée par les conditions x Z et x x < x + 1 En renversant ces inégalités, obtenir un encadrement de x Trouver un équivalent du numérateur et du dénominateur puis montrer que la convergence de cette suite équivaut à celle de la suite de terme général cosnπ/7), n N 3 Trouver un équivalent de chaque parenthèse 4 Trouver un équivalent de la parenthèse et de l exposant Soit u n ) n N Z N Intuitivement, la suite u n ) n N est convergente si, et seulement si, elle est stationnaire, ie constante à partir d un certain rang Un sens est évident Pour l autre, observer que si u n ) n N converge, alors u n+1 u n ) n N converge vers ; le recours aux ε permet alors de conclure 8 1 Considérer la fonction f n : x x n + x Comparer f n+1 x n ) et f n+1 x n+1 ) 3 a Justifier qu on peut composer le premier équivalent par ln 9 1 Étudier la fonction f n : x x + x + + x n Montrer que la suite x n ) n N est décroissante ; pour comparer x n et x n+1, considérer f n x n ) et f n x n+1 ) 3 Utiliser la décroissance de x n ) n N puis exprimer xn n+1 en fonction de x n sans puissance) 4 À l aide d un équivalent, montrer que la suite de terme général ln x n ) n+1) converge vers En déduire un équivalent de xn n+1 puis de x n l 1 Utiliser la caractérisation séquentielle 3 1 Commencer par traiter le cas l = Pour ε > donné, soit N N tel que, pour tout n N, u n ε/ Justifier l inégalité n N, v n 1 N 1 1 n u k + u k n n et en déduire l existence de N N tel que, pour tout n N, v n ε Traiter ensuite le cas l R en considérant la suite de terme général u n l, n N Appliquer le résultat de la question 1 à la suite de terme général u n+1 u n, n N 3 a Si l >, appliquer le résultat de la question à la suite de terme général ln u n, n N Si l =, se livrer à de nouvelles epsilonneries b Pour chacune des suites u n ) n N proposées, appliquer le résultat de la question 3a à la suite de terme général v n = u n n, n N k=n 1 1 Commencer par montrer que la fonction g f est d un signe strict constant, qu on peut supposer positif quitte à permuter f et g) Améliorer ensuite l inégalité g f > en g f ε Raisonner par récurrence 13 La fonction sin est concave sur [, π/] 14 b Utiliser le théorème des accroissements finis pour relier le taux d accroissement à la dérivée 15 Raisonner par l absurde Justifier que si f n était pas décroissante, il existerait deux réels x et m > tels que pour tout x x, f x) m et aboutir à une contradiction 4 1 Comment établir la convergence d une suite sans connaître à l avance la valeur de sa limite? On utilisera l inégalité arithmético-géométrique à retenir!) : pour tous x, y R +, xy x + y)/ ; démonstration : développer x y) Remarquer que les suites a n ) n1 et b n ) n1 sont adjacentes 5 Étudier la suite de terme général ln u n, n N, de façon à transformer la relation de récurrence donnée en une relation de récurrence linéaire 6 La fonction f sous-jacente est croissante, de sorte que u n ) n N est monotone L étude des points fixes de f fait apparaître deux intervalles stables ; distinguer selon que u appartient à l un ou l autre 3 [, 1] est un intervalle stable Étudier les deux suites extraites principales ou appliquer l inégalité des accroissements finis pour montrer que u n ) n N converge 5 ]1, + [ est un intervalle stable Étudier les deux suites extraites principales pour montrer que u n ) n N diverge de seconde espèce 16 3 Appliquer le théorème de Rolle n fois au polynôme X 1) n Plus précisément, montrer par récurrence sur k, n que X 1) n) k) admet 1 et 1 pour racines de multiplicités n k et k autres racines deux-à-deux distinctes dans l intervalle ] 1, 1[ 17 1 Pour I, linéariser cos t Pour la nouvelle expression de I n, utiliser un changement de variable affine transformant sinus en cosinus et préservant l intervalle d intégration [, π/] Utiliser une intégration par parties Écrire sin n t = sin n 1 t)sin t) 3 En utilisant la décroissance de I n ) n N et la question, encadrer le quotient I n 1 /I n par deux suites convergeant vers 1 5 Conjecturer une expression et l établir par récurrence ou utiliser un produit téléscopique : p I k p I k+1 I p = I, I p+1 = I 1 I k I k 1
ECS Lycée La Bruyère, Versailles Exercices Suites et fonctions d une variable 5 18 1 L intégrale d une fonction T-périodique sur un segment de longueur T est indépendante du choix du segment d intégration Justifier que les primitives de f sont bornées 19 1 Appliquer la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction exponentielle sur le segment [, 1] Utiliser un encadrement 3 Justifier que I n = pour n assez grand et en déduire une contradiction À x R fixé, appliquer l inégalité de Taylor-Lagrange à la fonction exponentielle sur le segment [, x] 1 Utiliser une formule de Taylor Utiliser à bon escient) équivalents et développements limités