Formaton de voe pour la maxmsaton du débt dans les schémas d algnement d nterférence Yasser Fadlallah, Karne Ams Cavalec, Abdeldjall Assa El Bey, Ramesh Pyndah To cte ths verson: Yasser Fadlallah, Karne Ams Cavalec, Abdeldjall Assa El Bey, Ramesh Pyndah. Formaton de voe pour la maxmsaton du débt dans les schémas d algnement d nterférence. GRETSI 2013 : 24ème colloque du Groupement de Recherche en Tratement du Sgnal et des Images, Sep 2013, Brest, France. 2013. <hal-00909217> AL Id: hal-00909217 https://hal.archves-ouvertes.fr/hal-00909217 Submtted on 2 Nov 2013 AL s a mult-dscplnary open access archve for the depost and dssemnaton of scentfc research documents, whether they are publshed or not. The documents may come from teachng and research nsttutons n France or abroad, or from publc or prvate research centers. L archve ouverte plurdscplnare AL, est destnée au dépôt et à la dffuson de documents scentfques de nveau recherche, publés ou non, émanant des établssements d ensegnement et de recherche franças ou étrangers, des laboratores publcs ou prvés.
Formaton de voe pour la maxmsaton du débt dans les schémas d algnement d nterférence Yasser FADLALLA, Karne AMIS, Abdeldjall AISSA-EL-BEY, Ramesh PYNDIA 1 Insttut Télécom; Télécom Bretagne; UMR CNRS 3192 Lab-STICC Technopôle Brest Irose CS 31 2923 Brest, France Unversté européenne de Bretagne prenom.nom@telecom-bretagne.eu Résumé Dans ce paper, nous tratons le problème de la maxmsaton du débt d un système mult-utlsateurs, utlsant un schéma d algnement d nterférence sur un canal à nterférence, pour des valeurs de rapport sgnal à brut fnes. Nous défnssons des matrces de changement de base des précodeurs élémentares qu préservent l algnement d nterférence et maxmsent le débt global en foncton du récepteur utlsé. Ensute, nous proposons une méthode tératve de résoluton du problème d optmsaton. Les résultats de smulaton montrent un gan de débt global par rapport aux schéma de référence. Abstract Ths paper addresses the problem of maxmzaton of the networ sum-rate n a multser nterference channel usng nterference algnment scheme at the transmtter nodes. We frstly defne at each transmtter a combnaton matrx that try to modfy the precodng vectors wthn ts precodng subspace. Then we propose an teratve algorthm that am at maxmzng the networ sum-rate. Numercal results enable us to evaluate the performance of the proposed algorthm and to compare t wth other desgns. 1 Introducton La prncpale lmtaton des systèmes de transmsson multutlsateurs est l nterférence. La réducton d nterférence consttue donc un enjeu de talle pour le développement des communcatons en général et plus partculèrement sans fls. Elle est classquement tratée par des technques dtes orthogonales (accès multple à répartton dans le temps, en fréquence ou encore par code) qu condusent à une capacté asymptotque par utlsateur nversement proportonnelle au nombre d utlsateurs. Les travaux de Maddah et al. et Cadambe et al. ont marqué un vértable tournant. Les auteurs de ces travaux ont démontré que la capacté asymptotque du canal à nterférence état égale à K/2, où K est le nombre d utlsateurs [1, 2]. Ils ont également proposé un schéma de précodage dt d Algnement d Interférence (AI) qu attent asymptotquement la capacté maxmale. L algnement d nterférence est un schéma de transmsson qu permet en récepton pour chaque destnatare d obtenr le sgnal désré et la totalté des nterférences dans deux sous-espaces lnéarement ndépendants. Ans, le récepteur peut élmner les nterférences en applquant un détecteur lnéare de type forçage à zéro. Le schéma d AI défn en [1] ne permet pas d attendre le débt maxmal pour des Rapports Sgnal à Brut (RSB) fns. Notre traval a donc pour objectf d accroître le débt en optmsant les matrces de précodage tout en préservant l AI. Le problème de précodage dans un canal à nterférence a déjà été traté. Le but vsé par les méthodes envsagées état la défnton de matrces de précodage selon un crtère précs (mnmsaton de l erreur quadratque moyenne (MEQM), maxmsaton du rapport sgnal à nterférence plus brut, mnmsaton des nterférences, maxmsaton du débt total...) [4, 3, 5, ]. Dans cet artcle, nous proposons une nouvelle approche, dont le pont de départ est la défnton de matrces de précodage respectant les condtons d AI. Par la sute, cette matrce permet de défnr des vecteurs de base de chaque précodeur de telle sorte que l nformaton mutuelle sot maxmsée pour des valeurs de RSB fnes, tout en préservant l algnement d nterférence. Nous consdérons les récepteurs de type MEQM et de type Forçage à zéro (FZ). Pour les récepteurs de type MEQM, nous proposons un algorthme qu détermne les vecteurs de base d une façon tératve. Pour les récepteurs de type FZ, nous montrons que les vecteurs de précodage peuvent être optmsés en utlsant les méthodes proposées pour les systèmes MIMO mono-utlsateur. Le reste de cet artcle est organsé comme sut. La secton 2 décrt le modèle du sytème et le schéma utlsé. Ensute, la secton 3 défnt les vecteurs de changement de base de façon à maxmser l nformaton mutuelle du système pour les récepteurs de type MEQM et ZF. Les résultats de smulatons sont présentés dans la secton 4. La secton 5 conclut le paper. Notatons : Les lettres majuscules en gras et les lettres mnuscules en gras désgnent les matrces et les vecteurs, respectvement. Pour la matrce transposée, transposée conjuguée et conjuguée on utlse (.) t, (.) et (.), respectvement.. et tr(.) représentent le détermnant et la trace. L opérateur vec(.) symbolse la vectorsaton d une matrce.
FIG. 1 Canal à nterférence dans un modèle SISO (sngle nput sngle output) à K utlsateurs. 2 Modèle du système Nous consdérons un canal à nterférence avec K utlsateurs. Chaque émetteur produt un message ndépendant destné à un canal dédé. Les coeffcents du canal suvent une dstrbuton Gaussenne, complexe, crculare symétrque. Le sgnal reçu au -ème récepteur est défn comme y = V s + j j V j s j + z, (1) où j C N N représente la matrce du canal entre l émetteur j et le récepteur, V j C N d représente la matrce de précodage à l émetteur j, s j est le vecteur d nformaton de dmenson d éms par le j ème émetteur. z est le brut complexe gaussen crculare symétrque de moyenne nulle et de varance unté reçu au récepteur. Les matrces V j sont conçues afn de satsfare les condtons d AI. Nous ne nous lmtons pas à un schéma d AI précs. S le canal élémentare entre un utlsateur et son destnatare est de type MIMO (multple nput multple output), N correspond au nombre d antennes. S l est de type SISO (sngle nput sngle output), N correspond à l extenson canal. Nous proposons dans ce schéma d ntrodure à chaque émetteur une matrce de changement de base C j avec j {1,,K}. Le sgnal reçu est donc obtenu par y = V C s + j j V j C j s j + z. (2) Nous défnssons C j comme étant une matrce dans C de dmensons d j d j, et de rang plen. Notre objectf est de détermner les matrces C j pour j {1,,K} qu maxmsent l nformaton mutuelle totale du système. L expresson de l nformaton mutuelle dépend du type de décodage supposé en récepton. Dans ce qu sut nous consdérons un détecteur lnéare, sot de type MEQM, sot untare de type forçage à zéro (FZ) suv par un organe de décson de type Maxmum de Vrasemblance (MV) pour extrare les symboles du sgnal. 3 Maxmsaton de l nformaton mutuelle Dans cette secton, nous présentons les expressons de l nformaton mutuelle totale (.e. débt total) dans un canal à nterférence pour les deux types de récepteurs MEQM et FZ. Ensute, nous cherchons les vecteurs de changement de base de chaque émetteur qu maxmsent l expresson du débt total. Pour un récepteur MEQM, nous montrons que l nformaton mutuelle ndvduelle entre un émetteur et son propre destnatare dépend de l ensemble des matrces C j. De ce fat, nous nous drgeons vers la maxmsaton de la somme des nformaton mutuelles plutôt que l nformaton mutuelle ndvduelle. Par contre, pour un récepteur FZ qu élmne les nterférences survenant des autres utlsateurs, la maxmsaton de l nformaton mutuelle ndvduelle est équvalente à la maxmsaton de l nformaton mutuelle totale du système. 3.1 Décodeur MEQM Sous l hypothèse de décodeurs MEQM et d un sgnal source gaussen, et en partant de la défnton de l nformaton mutuelle, le débt total s exprme comme sut R = 1 N =1 I + p K ( ) j=1 j C j j C j log 2 I + p K ( ) (3) j j C j j C j où j = j V j, et p représente le rapport sgnal à brut. Dans la foncton donnée en (3), les varables sont les C j. Nous supposons qu à chaque émetteur, la pussance maxmale nféreure à une constante p. La concepton se résume donc par le problème de maxmsaton défn par argmax C, K sous contrante R trace ( V C C V ) = N, K. (4) Il est dffcle de trouver une soluton analytque à ce problème. Nous proposons un algorthme tératf qu calcule la soluton en applquant la méthode de descente du gradent, avec une foncton de coût mult-varable. Pour ce fare, nous optmsons la foncton suvant une varable, les autres varables étant fxées, et ans de sute. L algorthme proposé est décrt c-après 1. Intalser les matrces C (0) de dmensons d d avec la matrce dentté pour tous les émetteurs 2. Pour =1 :K Calculer le gradent du débt total du système C R, (l) qu est donné par la matrce Jacobenne de R. Actualser C (l+1) = C (l) + µ R. C (l) 3. Répéter l étape 2 jusqu à la convergence La matrce C est obtenue après normalsaton de la matrce orgnale C comme sut C = 1 α C, avec α = tr(v C C V (5) ),
ce qu garantt le respect de la condton de normalsaton donnée en (4). L applcaton de l algorthme c-dessus nécesste le calcul de la matrce Jacobenne qu est égale à C R = 2p (l) ln2 α 2p ln2 α2 2p ln2 α + 2p ln2 α2 =1 X 1 tr [ C =1 Y 1 tr [ C C X 1 C Y 1 C ] V V C C ] V V C. Le pas d optmzaton µ est chos de façon à garantr une convergence plus rapde. Dans [], deux méthodes de recherche du pas ont été proposées : la méthode exacte et la méthode approchée. La premère méthode consste à calculer le pas qu maxmse la foncton du coût. La deuxème méthode est utlsée quand la soluton analytque n est pas trvale. La deuxème méthode a été applquée dans l algorthme c-dessus. L algorthme tératf est supposée avor convergé dès que le gradent satsfat la condton suvante C R < ǫ (7) (l) j où qu un nombre d tératons maxmal est attent. Le problème d optmsaton décrt c-dessus, n est pas un problème convexe. Mas comme les matrces à optmser varent dans la drecton du gradent, la convergence vers un maxmum local est garantt. 3.2 Décodeur untare FZ suv d un détecteur ML Dans cette parte, nous consdérons le récepteur FZ untare qu supprme toutes les nterférences dans un schéma d AI. Après élmnaton des nterférences, le sgnal reçu au -ème destnatare s exprme comme y = U 0 V C s j V j C j s j +Uz 0, () } {{ } Desred subspace +U 0 j } {{ } Interference subspace où U 0 est la matrce d élmnaton des nterférences. D abord, nous chosssons U 0 comme étant une matrce untare afn de ne pas augmenter le nveau de brut. Ensute, nous cherchons U 0 de telle sorte que U0 j jv j C j s j sot égal à zéro. Dans ce contexte, U 0 est défn à partr des vecteurs de base qu engendrent l espace orthogonal à l espace des nterférences. La décomposton en valeur sngulère (SVD) [9] est donnée par le () Débt Total Moyen 14 12 10 4 2 IA Iter IA CFO IA Num Max SINR un canal à nterférence SISO, K=3, N=3 0 0 2 4 10 12 14 1 1 20 22 24 2 2 30 RSB [db] FIG. 2 Comparason de débt total moyen obtenu par le schéma d AI tératf en [4], le schéma d AI proposé en [10, 7] avec les optmsatons proposés, et le schéma de précodage proposé en [3]. trplet [U,S,V ] défn par [U,S,V ] = SVD j C j s j j j j C j s j (9) où U = [ U 1, ] U0. Par la sute, U 0 est une matrce qu engendre l espace orthogonal à l espace des nterférences. Le système est donc équvalent à une transmsson MIMO entre le -ème émetteur et le -ème récepteur. Les matrces de changement de base peuvent être optmsées en utlsant les technques utlsées en communcaton MIMO pont-à-pont. 4 Résultats de smulaton Dans nos smulatons, nous évaluons le débt total moyen des schémas proposés en foncton de RSB en db. Nous avons consdéré un schéma d AI dans un canal SISO à 3 utlsateurs. Nous avons applqué les optmsatons proposées au schéma d AI ntrodut en [10] et optmsé par une soluton analytque en [7]. Ce schéma optmsé est comparé avec le schéma d AI tératf proposé en [4], et le schéma qu conçot les précodeurs afn de maxmser le rapport sgnal sur nterférence plus brut (SINR) [3]. Les smulatons portent sur 1000 réalsatons du canal. Les coeffcents sont supposés..d. complexes gaussens crculares symétrques de moyenne nulle et de varance unté. Le nombre de symboles éms par chaque émetteur vaut respectvement : d 1 = 2,d 2 = 1,d 3 = 1. Nous utlsons les abrévatons suvantes dans ce qu sut IA-Num : Le schéma d AI proposé en [10] et optmsé par une soluton analytque en [7] combné avec l optmsaton proposée en secton 3.1. IA-CFO : Le schéma d AI proposé en [10] et optmsé par une soluton analytque en [7] avec des vecteurs de précodage orthonormalsés.e. équvalent à un FZ.
IA-Iter : le schéma d AI tératf proposé en [4]. Max-SINR : le schéma proposé en [3] qu conçot les précodeurs de telle sorte que le rapport sgnal sur nterférence plus brut (SINR) sot maxmsé. La fgure 2 montre un gan mportant du schéma proposé par rapport au schéma tératf IA-Iter pour des vecteurs de précodage de longueur N = 3. Nous observons par exemple que le schéma IA-Num surpasse le schéma IA-Iter avec un gan d envron 2 bts/s/z à un RSB de 1dB, et ce gan augmente avec le RSB. En comparant le schéma IA-Num avec le schéma IA- CFO, nous remarquons un gan d envron 0.5 bts/s/z pour des fables RSB. Ce gan dmnue quand le RSB augmente, et devent néglgeable pour des forts RSB. D autre part, nous remarquons que le schéma IA-Num possède des performances smlares à celles du schéma Max-SINR qu cherche les vecteurs de précodage de façon à maxmser le SINR pour un RSB= 30dB. Ce qu mplque que le schéma d AI avec les optmsatons proposées est à peu près optmal au sens de la maxmsaton de l nformaton mutuelle dans un canal à nterférence. Par contre, pour des fables RSB, les performances sont en-dessous du schéma Max-SINR. Ce derner apporte un gan maxmal d envron 1.2 bts/s/z pour une valeur de RSB= 14dB. La fgure 3 llustre la rapdté de convergence de l algorthme tératf proposé en Secton 3.1. Elle montre l évoluton du débt total moyen en foncton du nombre d tératons. Nous observons que pour N = 3, la convergence se fat en deux tératons pour des valeurs de RSB de 15dB et 25dB. Cette convergence rapde démontre l nterêt du schéma proposé, surtout que les algorthmes tératfs e.g. IA-Iter et Max-SINR comme d autres algorthmes, demandent pluseurs centanes d tératons pour attendre la convergence, comme llustré en [5]. Quand N augmente, la convergence sera plus lente. Par exemple, pour un RSB de 15dB la convergence est quas attente dès l tératon 15. Les mêmes résultats sont encore obtenus pour RSB= 25dB. 5 Concluson Dans cet artcle, nous avons optmsé un schéma d algnement d nterférence en modfant les vecteurs de descrpton des préc-odeurs élémentares, de sorte à maxmser le débt global du système mult-utlsateurs. L nformaton mutuelle à maxmser dépend du détecteur utlsé pour supprmer l nterférence mult-utlsat-eurs. Un algorthme tératf est proposé afn d obtenr les matrces de changement de base sous l hypothèse d un détecteur MEQM. Les smulatons menées avec un détecteur MEQM ou FZ montrent l augmentaton du débt par rapport au schéma de référence. Références [1] V. R. Cadambe and S. A. Jafar, Interference Algnment and Degrees of Freedom of the K-user Interference Channel, IEEE Transactons on Informaton Theory, vol. 54, no., Aug. 200. Débt total Débt total 7 Convergence de l algorthme tératf proposé pour N=3 5 0 2 4 10 12 14 1 1 20 Itératons 10 9 7 Convergence de l algorthme tératf proposé pour N=7 SNR=25dB SNR=15dB SNR=25dB SNR=15dB 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Itératons FIG. 3 Convergence de l algorthme d optmsaton des vecteurs de précodage dans un schéma d algnement d nterférence pour N = 3 et N = 7. [2] M. Maddah-Al, A. S. Motahar, and A. K. Khandan, Communcaton over MIMO X Channels : Interference Algnment, Decomposton, and Performance Analyss, IEEE Transactons on Informaton Theory, vol. 54, pp. 3457 3470, Aug. 200. [3] K. Gomadam, V. Cadambe, and S. Jafar, Approachng the Capacty of Wreless Networs through Dstrbuted Interference Algnment, n n Proc. of IEEE Globecompp. 1, Dec. 200. [4] S. Peters and R.. Jr, Cooperatve Algorthms for MIMO Interference Channels, IEEE Transactons on Vehcular Technology, vol. 0, pp. 20 201, Jan. 2011. [5] I. Santamara, O. Gonzalez, R. eath, and S. Peters, Maxmum Sum-Rate Interference Algnment Algorthms for MIMO Channels, n n Proc. of IEEE GLO- BECOM, pp. 1-, Dec. 2010. []. Shen, B. L, M. Tao, and Y. Luo, The New Interference Algnment Scheme for the MIMO Interference Channel, n n Proc. of IEEE WCNC, pp. 1, 2010. [7] Y. Fadlallah, A. Aïssa-El-Bey, K. Ams, and R. Pyndah, Interference Algnment : Precodng Subspaces Desgn, n n Proc. of IEEE 13th Worshop on Sgnal Processng Advances n Wreless Communcatons (SPAWC), pp. 1, June 2012. [] S. Boyd, and L. Vandenberghe, Convex Optmzaton, Cambrdge Unversty Press, New Yor 2004. [9] G. Golub, and W. Kahan, Calculatng the sngular values and pseudo-nverse of a matrx, n Journal of the Socety for Industral and Appled Mathematcs : Seres B, Numercal Analyss, pp. 205 224, 195. [10] S. W. Cho, S. A. Jafar, and S.-Y. Chung, On the Beamformng Desgn for Interference Algnment, IEEE Communcaton Letters, vol. 13, no. 11, pp. 47 49, Nov. 2009.