FICHE DE TRAVAUX DIRIGES TLES C,D,E STRUCTURE : FONCTIONS LOGARITHMES EXERCICES CORRIGES

FICHE DE TRAVAUX DIRIGES TLES C,D,E STRUCTURE : FONCTIONS LOGARITHMES EXERCICES CORRIGES Par Hugus SILA (http://sila-monsitcom) mail : silhu6@yahoofr Vrai-Fau Soit f la fonction défini par f ( ) =, D son nsmbl d définition t C sa courb rprésntativ ln( ) a On a D = ], + [ b La courb C admt un droit asymptot n + c Pour tout D, on a : f( ) < d Pour tout D, on a : f '( ) = + (ln ) Corrction a Fau : On doit avoir t > donc D= ], [ ], + [ b Vrai : lim f ( ) = + = + + + t lim f ( ) = donc + y = st asymptot d C c Fau : f( ) < si <, soit ln( ) > donc quand > > ln( ) d Vrai : Rapplons qu ' u' = u u t rmarquons qu f ( ) = ; nous avons donc ln / f '( ) = = + (ln ) (ln ) Fonction ln, On considèr la fonction dérivé f d f f : Montrr qu f st défini t dérivabl sur R t détrminr la fonction + + TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag

On considèr la fonction g: orthonormal d unités graphiqus cm ln t on désign par Γ sa courb rprésntativ dans un rpèr ( ln ) + ln + a Eprimr g n fonction d f t précisr l nsmbl d définition d g b Détrminr la fonction dérivé g d g (on pourra utilisr la qustion ) c Etudir l sign d g d Détrminr ls limits d g n t + Drssr l tablau ds variations d g f Construir la courb Γ n précisant la tangnt au poiint d absciss Corrction f st un quotint d fonctions dérivabls t l dénominatur n s annul pas, ll st donc continu t dérivabl sur R f ' ( ) ( ) + + + + = = ( + + ) ( + + ) a g( ) = = f ( ln ) ln ln + ln + donc, comm f st défini sur R, g st défini sur ] ; + [ b ( f g )' = g' ( f ' g ) g' ( ) f '( ln ) ln + = = ( ln + ln + ) c L sign d g dépnd d clui d ln ( ln )( ln ) = + / + ln + + + ln + + g () + g() TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag

d En + g s comport comm ls trms d plus haut dgré n ln, soit ln tnd vrs, donc ncor comm limit f Tangnt au point d absciss : y = Equation, 6 points L rcic comport un ann à rndr avc la copi ln ln = ln + = ; n c st paril car L but d c problèm st d étudir, pour t y élémnts distincts d l intrvall ] ; + [, ls coupls solutions d l équation y = y (E) t, n particulir, ls coupls constitués d ntirs Montrr qu l équation (E) st équivalnt à ln ln y = y Soit h la fonction défini sur l intrvall ] ; + [ par ln h( ) = La courb (C) rprésntativ d la fonction h st + donné n ann ; st l absciss du maimum d la fonction h sur l intrvall ] ; [ a Rapplr la limit d la fonction h n + t détrminr la limit d la fonction h n b Calculr h'( ), où h désign la fonction dérivé d h ; rtrouvr ls variations d h Détrminr ls valurs acts d t h( ) c Détrminr l intrsction d la courb (C) avc l a ds abscisss Soit λ un élémnt d l intrvall ; Prouvr l istnc d un uniqu nombr rél a d l intrvall ] ; [ t d un uniqu nombr rél b d l intrvall ] ; + [ tl qu h( a) = h( b) = λ Ainsi l coupl ( a, b ) st solution d (E) 4 On considèr la fonction s qui, à tout nombr rél a d l intrvall ] ; [, associ l uniqu nombr rél b d l intrvall ] ; + [ tl qu h( a) = h( b) (on n chrchra pas à primr s( a ) n fonction d a) Par lctur graphiqu uniqumnt t sans justification, répondr au qustions suivants : a Qull st la limit d s quand a tnd vrs par valurs supériurs? b Qull st la limit d s quand a tnd vrs par valurs infériurs? c Détrminr ls variations d la fonction s Drssr l tablau d variations d s 5 Détrminr ls coupls d ntirs distincts solutions d (E) TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag

A rndr avc la copi,4 y, 4 6 8 4 6 8 -, -,4 -,6 -,8 Corrction y y ln ln y (E): = y ln( ) = ln( y ) y ln = ln y = y : pour la prmièr égalité, ln st bijctiv, t y sont strictmnt positifs ; la duièm st un propriété d ln, l rst st du calcul a ln lim = ; ln lim = lim ln = + = + + ln ln = = ; ln ln = ; b h'( ) ln h( ) = = c h( ) = ln = = h st continu, monoton strictmnt croissant d ] ; [ vrs uniqu rél a tl qu h( a) ; (voir ls variations d h) ; il ist donc un = λ ; d mêm h st continu, monoton strictmnt décroissant d ] ; + [ vrs ; (voir ls variations d h) ; il ist donc un uniqu rél b tl qu h( b) bijctiv, mêm si ll n l st pas globalmnt) 4 s(a) = b a Quand a tnd vrs, λ tnd vrs, donc b tnd vrs + = λ (sur chacun ds intrvalls considérés h st TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 4

b Quand a tnd vrs infériurmnt, λ tnd vrs /, donc b tnd vrs supériurmnt c Lorsqu a vari d à, b vari d + à, donc s st décroissant 5 Entr t il n y a qu du ntirs : t ; pour a =, b = + pour a =, b smbl valoir 4 Vérifions n rmplaçant dans (E) : 4 = 6, 4 = 6 ok!,5 y,45,4,5, λ,5,,5,,5 a 4 6 8 b 4 Dérivés t ln Calculr la dérivé ds fonctions suivants : ( ) f ( ) = ln 6 ln + 5 f ( ) ln + = + + ln f ( ) = ² Corrction ln 6 f '( ) = ln 6 = + f ( ) = + ln = + ln( + ) ln TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 5

( + ) + ² + f '( ) = + = = = + = + ( + ) + ln ln f ( ) = = +, ² ² ² ln ln ln ln '( ) f = + = + = + = 4 4 ² ² ² 5 Primitivs t ln Calculr la dérivé d la fonction f défini par + f ( ) = ln sur ] ; [ 4 a Détrminr touts ls primitivs d la fonction h défini par : h( ) = ( ² + ) b Détrminr la primitiv d h qui s annul n 4 Détrminr un primitiv F d chacun ds fonctions suivants qui répond à la condition posé : +,5 a f ( ) = + + t F() = b cos f ( ) = sin cos t F() = 4 Calculr la dérivé d la fonction défini par f ( ) = ln + 5 Trouvr un primitiv d la fonction défini par : f ( ) = + ( ² + ) 6 a Montrr qu'un primitiv d ln st (ln ) En déduir l'nsmbl ds primitivs F d f b Détrminr la primitiv d f qui s'annul pour = Corrction u'( ) f ( ) = ln( u( )) f '( ) = u'( )ln'( u( )) = u( ) avc + ( ) ( ) ( + ) + + 6 u( ) = u'( ) = = = ( )² ( )² ( )² TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 6

d où 6 u'( ) ( )² 6 6 f '( ) = = = = u( ) + ( )² + ( )( + ) a 4 4 6 u'( ) h( ) = = = = u'( ) u( ) ( ² + ) 6 ( ² + ) u( ) avc u( ) = + t n = n = u( ) H( ) = + K = + K = + K u( ) ( ² + ) (K rél) b H() = + K = K = = ( ² + ) ² 76 d où H( ) = + ( ² + ) 76 4 f( ) = ln + : = ( u ) avc f( ) ln ( ) u( ) = t + ( + ) ( ) + u'( ) = = = ( + )² ( + )² ( + )² ; u'( ) ( + )² + f '( ) = = = = = = u( ) ( + )² ( + )( ) ( + )( ) ² + 5 f ( ) = + ( ² + ) Soit u() = ² +, on a : u'() = + = ( + ) t + ( + ) u'( ) f ( ) = = = = u'( ) u ( ) ( ² + ) u ( ) ( ² + ) qui st d la form '( ) n u u ( ) avc n =, ou n = Ls primitivs d tlls fonctions sont d la form : n u ( ) ( ² + ) F( ) = = = n 4 ( ² + ) (+ constant ) 6 a Dérivons (ln ) u( ) =, ln u'( ) = ln = donc u st bin un primitiv d ln TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 7

Touts ls primitivs sont alors d la form u()+k b (ln ) u() + K = K = u() = = 6 Calcul d limits π cos( π ² ) + Soit f ( ) = ; calculr lim f( ) 4 5 + f( ) = ln + 5 ² + f( ) = ln ln + lim + lim ln + + ; calculr lim f( ) + ; calculr lim f( ) + Corrction π cos( π ² ) + f ( ) f () lim = lim = f '() avc π f ( ) = cos( π ² ) π π f () = cos( π ) = cos( ) = π On calcul donc f '( ) = π sin( π ² ) d'où π π π f '() = π sin( π ) = π sin = = π + + lim = lim ln = ln = + + 5 + + 5 ² + lim ln lim ln( ² ) ln lim ln( ² ) lim ln ² ln + = + + = + = + + + ² + ², or lim ln + = ln = + ² t ln lim (ln ² ) = lim ( ln ) = lim = + + + car ln lim = + 4 ln + ln ln lim = lim + lim = car lim = t + + + + lim = + 5 ln + ln( X) lim ln lim + + = = lim = d après l cours X + + X + 7 Résolution (in)équations Résoudr l équation : ln( ) = ln( 6) TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 8

Résoudr l inéquation : ln + > Résoudr dans R l systèm : ln ln y = + y = 4 Résoudr l inéquation : ln( + ) ln( ) > ln ln( + ) 5 Résoudr : + ln( + ) = ln(² + ) 6 Résoudr : ln(² 4²) < + ln() Corrction 7 7 Domain d définition : D = ; + ; +, par aillurs 6 > si t sulmnt si > On a + 7 donc Df = D ] ; + [ = ; + car + 7,56 Pour la résolution : ln a = ln b équivaut à a = b donc, l équation dvint : d où ls solutions t 4 ; mais sul 4 st valabl = 6 ou ncor 5 + 4 = Domain d définition : il faut qu >, soit D f = ] ; + [ ln ln + ln ln + > > ln + > ln( ) ln > ln + ln ln < < On put simplifir un = = = t finalmnt S = ; ln ln pu : ( ) ln ln ln ln y = y = = = y y + Ls du solutions sont positivs donc c st bon + y = y+ y = ² + y = = + 4 Attntion à l nsmbl d définition :,,,, ] ; [ + > > > > < > On a alors + + + + + + ln > ln > > > + + ( )( + ) ( )( + ) L numératur t l dénominatur sont positifs sur ] ; [, la solution st donc l intrvall ] ; [ 5 + ln( + ) = ln(² + ) : il faut qu > t qu ² + = ( )( + ) > (à l tériur ds racins) donc D = ] ; + [ + ln( + ) = ln(² + ) ln + ln( + ) = ln(² + ) ln ( + ) = ln(² + ) ( + ) = ² + TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 9

ln st un bijction : ² + ( ) ( + ) =, = ( )² + ( + ) = 4 4 + ² + + = ² + 8 + 6 = ( + 4)² ( ) ± ( + 4) =, = D ou = + D S = { + } 6 ln(² 4²) < + ln() Il faut qu ² 4² > t qu > i > t ² > 4² c'st-à-dir ( > ) t ( > ou < ) D = ] ; + [ ln(² 4²) < + ln() ln(² 4²) < ln + ln() ln(² 4²) < ln() ² 4² < (E) ² 4² < = 9² + 6² = 5² = (5)², ± 5 = ;(E) < < 4 S = ]; 4[ 8 Avc ROC La fonction g st défini sur ]; + [ par g( ) = ln + 6 En utilisant ls variations d g, détrminr son sign suivant ls valurs d La fonction numériqu f st défini sur ],+ [ par a Démonstration d cours : au choi ln f ( ) = + - démontrr qu ln lim = t n déduir qu lim + + = + ou bin - démontrr qu lim + = + t n déduir qu ln lim = + b Détrminr ls limits d f n t + (n +, on pourra posr X = ) c Utilisr la prmièr parti pour détrminr l sns d variation d f Soit la droit d'équation y = t C la rprésntation graphiqu d f dans un rpèr orthonormé du plan Montrr qu st asymptot d C t étudir lurs positions rlativs construir C t Corrction 4 + g'( ) = + = = = TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag

On a alors 4 ( ) car st positif Conclusion g st décroissant avant, croissant après ; on a un minimum n qui vaut g()=++6=8 t st positif Finalmnt g() st toujours positiv ln f ( ) = + a No commnt b Comm ln lim =, si on pos X =, cla nous donn + ln ln X ln X lim = lim = lim = + + X + X X X En, ln tnd vrs t tnd vrs + donc ln tnd vrs ainsi qu f c ( ln ) ln ln + 6 ln g( ) f '( ) + = + = + = = = Donc f st du sign d g t donc toujours positiv, f st donc croissant ln On a f ( ) ( ) = qui tnd vrs à l infini t qui st positif (C au-dssus d ) lorsqu >, négatif lorsqu < (C n dssous d ) 5 y 5 5 4 6 8 4 6 8-5 - -5 TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag

9 Dérivation t ncadrmnt L plan P st muni d un rpèr orthonormé ( O ; i, j) (unité graphiqu cm) On considèr la fonction défini sur [, + [ par : Montrr qu f st continu n ln( + ) f ( ) = si > f () = a Etudir l sns d variation d la fonction g défini sur [, + [ par g( ) = ln( + ) + Calculr g() t n déduir qu sur R + : ln( + ) + b Par un étud analogu, montrr qu si, alors ln( + ) ln( + ) c Établir qu pour tout strictmnt positif on a + En déduir qu f st dérivabl n zéro t qu f '() = a Soit h la fonction défini sur [, + [ par h( ) = ln( + ) + Étudir son sns d variation t n déduir l sign d h sur [, + [ h( ) b Montrr qu sur [, + [, f '( ) = c Drssr l tablau d variation d f n précisant la limit d f n + d On désign par C la rprésntation graphiqu d f Construir la tangnt T à C au point d'absciss Montrr qu C admt un asymptot Tracr la courb C Corrction ln( + ) f ( ) = si > f () = ; f st continu n ssi lim f( ) = f(), or l cours donn justmnt la limit ln( + ) lim = a g ( ) + + '( ) = + = = Donc g st décroissant t comm g()=, on a + + + égalmnt g( ), soit ln( + ) + TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag

+ + b On prnd k( ) = ln( + ) + k '( ) = + = = + + + ln( + ) t k () = donc k( ), soit c ln( ) ln( ) ln( ) + + + + + + ln( + ) f ( ) f () ln( ) f dérivabl n zéro : on calcul lim lim + = = lim ctt limit st précisémnt qui st donc f () ; or l résultat précédnt montr qu a h( ) = ln( + ) + '( ) = = = ( + ) + ( + ) ( + ), h ; on a h () = t h décroissant donc h( ) ln( + ) h( ) '( ) = + = b f c ln( + ) ln lim f ( ) = lim lim =, y,8,6,4, 4 5 6 7 8 TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag

Somms partills séri harmoniqu, N Calédoni 7 7 points Soit (u n ) la suit défini sur N * par PARTIE A Montrr qu pour tout n d N *, u u n k= n = = + + + k n n + n n+ k= n En déduir l sns d variation d la suit (u n ) Établir alors qu (u n ) st un suit convrgnt n un = n n n ( + )( + ) L objctif d la parti B st d détrminr la valur d la limit d la suit (u n ) PARTIE B Soit f la fonction défini sur l intrvall ]; + [ par : f ( ) = + ln + a Justifir pour tout ntir naturl n non nul l ncadrmnt : n+ d n + n n n+ b Vérifir qu d = f ( n ) n n c En déduir qu pour tout ntir naturl n non nul, f ( n ) On considèr la suit (S n ) défini sur N * par S n k= n n n ( + ) k ( k + ) n( n + ) ( n + )( n + ) n( n + ) = = + + + k= n a Montrr qu pour tout ntir naturl n non nul, ( ) ( ) ( ) f n + f n + + + f n Sn b Détrminr ls réls a t b tls qu pour tout rél distinct d t d, on ait a b = + + + ( ) c En déduir l égalité S n n + = n ( n + ) d En utilisant ls qustions précédnts, détrminr alors la limit quand n tnd vrs + d TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 4

k= n f ( k ) = f ( n ) + f ( n + ) + + f ( n ) k= n f n + f n + + + f n = u n ln + n Vérifir qu pour tout ntir n >, ( ) ( ) ( ) f Détrminr la limit d la suit (u n ) Corrction PARTIE A u n k n = = = + + + k n n + n k= n un+ un = + + + + + + + = + n + n n + n + n n + n n + n + n d où u n+ n un = n n n ( + )( + ) La suit (u n ) st décroissant puisqu n < La suit st positiv puisqu somm d trms positifs ; ll st décroissant t minoré, ll convrg bin PARTIE B a n+ n n + d n + n n + n n + n + n n+ n b d = [ ln ] = ln ( n + ) ln n = ln n ; n par aillurs f ( n ) n n + ln ln = = n n n n + n a b car ln = ln b a c Comm n+ d, on a : n + n n f ( n ) f ( n ) f ( n ) = n + n n n + n n n + n n + ( ) a Comm TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 5

on somm touts cs inégalités t on obtint : f ( n ), n n ( n ) ( + ) f +,, ( n + )( n + ) f ( n ), n ( n + ) f ( n ) + f ( n + ) + + f ( n ) + + + = S n n n n n n n ( + ) ( + )( + ) ( + ) b On a déjà l résultat au c : = n n + n n + ( ) c On rmplac donc dans S intrmédiairs s éliminnt ; S n k= n car tous ls trms k ( k + ) n n + n + n + n n + n n + = = + + + = n k= n n + n n + = = = n n + n n + n n + ( ) ( ) d S n tnd vrs n + ; grâc au «gndarms» f ( n ) + f ( n + ) + + f ( n ) tnd égalmnt vrs u n k= n = = + + + ; k n n + n k= n n n + n f ( n ) + f ( n + ) + + f ( n ) = + ln + + ln + + + ln n n + n + n + n n + n n + n = + + + + ln n n + n n n n + + + n n + = un + ln = un ln = un ln + n + n n Ls logarithms s simplifint car tous ls trms du produit à l intériur du crocht s éliminnt f On sait déjà qu f ( n ) + f ( n + ) + + f ( n ) tnd vrs ; l logarithm tnd vrs ln donc u n tnd vrs ln Fonction+air+suit, 7 points Parti A : étud d un fonction Soit f la fonction défini sur l intrvall [ ; + [ par f() = ln( +) Sa courb rprésntativ (C) dans un rpèr orthogonal ( O ; u, v) st donné ci-dssous TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 6

5 y 4 a Montrr qu la fonction f st strictmnt croissant sur l intrvall [ ; + [ b L a ds abscisss st-il tangnt à la courb (C) au point O? On pos I = d + a Détrminr trois réls a, b t c tls qu, pour tout, b Calculr I c = a + b + + + À l aid d un intégration par partis t du résultat obtnu à la qustion, calculr, n unités d airs, l air A d la parti du plan limité par la courb (C) t ls droits d équations =, = t y = 4 Montrr qu l équation f() =,5 admt un sul solution sur l intrvall [ ; ] On not α ctt solution Donnr un ncadrmnt d α d amplitud Parti B : étud d un suit n La suit (u n ) st défini sur N par un = ln ( + ) d Détrminr l sns d variation d la suit (u n ) La suit (u n ) convrg-t-ll? ln Démontrr qu pour tout ntir naturl n non nul, u n En déduir la limit d la suit (u n ) n + Corrction Parti A : étud d un fonction TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 7

Soit f la fonction défini sur l intrvall [ ; + [ par f() = ln( +) a f '( ) = ln ( + ) + ; sur [ ; + [ ls du trms ln ( + ) t + intrvall + sont positifs donc f st croissant sur ct b La tangnt n O a pour équation y = ( ln + ) ( ) + = donc l a ds abscisss st tangnt à (C) au point O a = + = + + + + + b ln ln + + I = d = + d = + + = + ln + d = ln + d = ln I = + 4 ( ) ( ) 4 La fonction f st continu, monoton strictmnt croissant t donc bijctiv d f ( ) = vrs ( ) comm, 5 [ ; ln ],,5 a un uniqu antécédnt dans [; ] On obtint f = ln,69 ; f(),5694,4999,565445,54558 d où α, 56 Parti B : étud d un suit n+ n = + + = + ; comm ( ) n+ n n ln ( ) ln ( ) ( ) ln ( ) u u d d d st négatif t qu ls autrs trms sont posititfs sur [ ; ], l intégral st négativ t (u n ) st décroissant Par aillurs il st évidnt qu (u n ) st positiv donc (u n ) décroissant, minoré par convrg On a ln ( + ) < ln sur [; ] donc ( ) n n ln ln n ln ln n + n On a donc bin + n + u = + d d = = ln u n Comm ln tnd vrs à l infini, la suit convrg vrs n + n + Logarithm+ po+ acc finis Parti A L but d ctt parti st d'étudir la fonction f défini sur ] ; + [ par ln f( ) = + TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 8

(C) st la courb rprésntativ d f dans un rpèr orthonormal (O ; i, j) (unité graphiqu : cm) Étud d la fonction auiliair g défini sur ] ; + [ par = + + g( ) ln a Étudir l sns d variation d g t calculr g() b En déduir l sign d g() pour tout d ] ; + [ a Calculr ls limits d f n t n + b Étudir ls variations d f t drssr son tablau d variations c Montrr qu la droit d'équation y = st asymptot à (C) t étudir la position d (C) par rapport à d Détrminr ls coordonnés du point A d (C) sachant qu (C) admt n A un tangnt T parallèl à Tracr (C), t T dans l rpèr (O ; i, j) Calculr, n cm, l'air du domain plan limité par, la courb (C) t ls droits d'équations = t = 4 Montrr qu l'équation f() = admt un solution uniqu Prouvr qu Parti B L but d ctt parti st d détrminr un valur approché d On désign par h la fonction défini sur ] ; + [ par h( ) = Montrr qu st l'uniqu solution d l'équation h() = On not I l'intrvall ; Montrr qu, pour tout appartnant à I, h() appartint aussi à I a Calculr la dérivé h d h t la dérivé scond h'' d h b Étudir ls variations d h sur I c En déduir qu, pour tout d I, on a h'( ) 4 On considèr la suit défini par u = t u n + = h(u n ) pour tout ntir naturl n d N a Montrr par récurrnc qu, pour tout n d N : u n b En utilisant l'inégalité ds accroissmnts finis, montrr qu, pour tout n d N: / n+ α n α u u c En déduir qu, pour tout n d N : u n n TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 9

5 a Détrminr l plus ptit ntir naturl n tl qu, pour tout ntir n n, on ait : < n b Montrr qu : n Qu rprésnt n u u rlativmnt à? Calculr u n à près par défaut Corrction Parti A a ( ² ) g'( ) = = = ( )( + ) + g () + + g() g() = ² + = b st un minimum d la fonction g sur ] ; + [ donc la fonction g st positiv qul qu soit a ln ln lim f ( ) = lim ( + ) lim lim = + = car + + + + lim ln ln = lim X = lim ( X ln X) = X + X + X + ln ln lim f ( ) = lim ( + ) = lim + lim = + car + + + + ln lim = + b ln ² ln g( ) f '( ) + = + = = du sign d g(), c st à dir positif! ² ² ² f st donc strictmnt croissant sur ] ; + [ + f () + f () + ln + c lim ( f ( ) ) = lim =, donc la droit d équation y = st asymptot à la courb Lorsqu < la courb st + + n dssous d, lorsqu >, la courb st au-dssus TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag

d (C) admt n A un tangnt d cofficint dirctur ssi f '( A ) = : g( A ) f '( A ) = = A ² + ln A = A ² ln A = ln A = ln A = A = ; ² A ln f ( A ) = f ( ) = +,45 = + y 5 5 4 8 6 y 6 4 6 Il faut calculr un primitiv st ln ( f ( ) ) d = d ; or u : ln ( f ( ) ) d = d = (ln ) = = st la dérivé d ln, donc on a qulqu chos d la form u ' u dont 4 La fonction f st continu, strictmnt croissant, sur ] ; + [, c st donc un bijction d ] ; + [ sur R Il ist bin un valur appartnant à ] ; + [ tll qu f( ) = TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag

ln f = + = 4ln < t ln f () = + = > donc Logarithm+primitiv L'objt d c problèm st d'étudir un fonction à l'aid d'un fonction auiliair t d n détrminr un primitiv Parti A Soit f la fonction défini sur l'intrvall ] ; + [ par : f ( ) = ln( + ) + Calculr f (), étudir son sign t n déduir l tablau d variation d la fonction f Calculr f() Montrr qu l'équation f() = admt actmnt du solutions dont l'un, qu l'on désign par α, appartint à [,7 ;,7] Donnr l sign d f(), pour appartnant à ] ; + [ Parti B Soit g la fonction défini sur l'nsmbl D = ] ; [ ] ; + [ par : ln( + ) g( ) = ² Étud d g au borns d son nsmbl d définition a Calculr ls limits d g() quand tnd vrs par valurs infériurs t quand tnd vrs par valurs supériurs b Calculr lim g( ) t lim g( ) > + Sns d variation d g a Calculr g () t déduir, à l'aid d la parti A, son sign b Montrr qu g( α) = α( α + ) En déduir un valur approché d g( α ) n prnant α,75 Tablau t rprésntation graphiqu d g a Drssr l tablau d variation d la fonction g b Rprésntr graphiqumnt la fonction g dans l plan rapporté à un rpèr orthonormal (unité graphiqu cm) 4 Calcul d un primitiv d g : Soit h la fonction défini sur D par : ln( + ) h( ) = ² ( + ) a Détrminr ds fonctions u t v tlls qu l on puiss écrir h( ) = u'( ) v( ) + u( ) v'( ) t n déduir un primitiv d h TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag

b Après avoir vérifié qu = ( + ) +, détrminr un primitiv d ( + ) c Déduir ds qustions précédnts, un primitiv d g Corrction Parti A f ( ) = ln( + ), D f = ] ; + [ + f st dérivabl comm somm d fonctions dérivabls : n fft, u: st dérivabl sur D f t + v : + = y ln yst dérivabl sur D f + ( + ) f '( ) = = = ( + )² + ( + )² ( + )² f '( ) + f () + f() f(-/) ( + )ln( + ) lim f ( ) = lim = + > > car lim X ln X = X lim ln( + ) = + + car lim = t lim ln( ) + + + = + / f ( / ) = ln = + ln,9, f() = / f st continu t strictmnt croissant sur l intrvall ] ; /[ t f() chang d sign sur ct intrvall ; il ist donc un nombr α d ] ; /[ tl qu f( α ) = f (,7),7 t f (,7),5 donc,7 < α <,7 Sign d f() : α + f() + TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag

Parti B ln( + ) g( ) =, D = ] ; [ ]; + [ ² a ln( + ) lim g( ) = lim = car < < ln( + ) lim = t lim = < D mêm ln( + ) lim g( ) = lim = + > > b lim g( ) = t ln( + ) + lim g( ) = lim = + + ( + ) ² car ln X lim = t + X X + lim = + ² ² ln( + ) ln( + ) ( ) a '( ) f g = + = + = 4 α + f() + + g () + b ln( α + ) α α g( α) = ; or on sait qu f( α ) = donc ln( α + ) = ln( α + ) = α ² α + ( α + ) On déduit qu ln( α + ) α g( α) = = =,455 α ² ( α + ) α² α( α + ) α + g () + g() + TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 4

5 y 4 5 5 5 5 4 4 a ln( + ) h( ) = ² ( + ) 5 u = ln( + ), u' =, v' =, v = h = uv' + u' v + ² La fonction ln( + ) uv = st un primitiv d h b ( + ) = = donc la fonction ln( ) ln( + ) st un primitiv d + ( + ) ( + ) ( + ) c Un primitiv d la fonction ln( + ) g( ) = = h( ) + st ² ( + ) ln( + ) + ln ln( + ) 4 Logarithm On considèr la fonction f défini sur l'intrvall [; + [ par : f ( ) = ln + ² si > t f () = On not (C) la courb rprésntativ d f dans un rpèr orthonormal ( O ; i, j ) (unité graphiqu : 5 cm) L but du problèm st d'étudir crtains propriétés d la fonction f Parti A : Etud d'un fonction auiliair On considèr la fonction g défini sur l'intrvall ] ; + [ par : g( ) = ln + ² ² + TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 5

Calculr la dérivé g ' d g Montrr qu pour tout d ] ; + [, ( ² ) g'( ) = ( ² + )² Etudir l sign d g'() slon ls valurs d Détrminr la limit d g n + Détrminr la limit d g n Drssr l tablau ds variations d g 4 En déduir qu'il ist un uniqu nombr rél α > tl qu g( α ) = Vérifir qu,5 < α <,6 Déduir ds qustions précédnts l sign d g() sur l'intrvall ] ; + [ On n dmand pas d construir la courb rprésntativ d la fonction g Parti B : Etud d la fonction f a Calculr la limit quand tnd vrs + d f( ) (on pourra posr X = ² ) b En déduir qu f() tnd vrs quand tnd vrs + Montrr qu pour tout d ]; + [, on a f ( ) = g( ) Drssr l tablau d variations d f sur ] ; + [ Etud d f n a Montrr qu ln + ² tnd vrs quand tnd vrs par valurs supriurs Qu put-on n conclur? b Etudir la dérivabilité d f n c Précisr la tangnt à la courb d f au point O Donnr l équation d la tangnt au point d absciss 4 Donnr l allur d (C) Corrction a g st dérivabl comm somm d fonctions dérivabls En fft, fonctions dérivabls, d mêm qu ² + ln + st dérivabl comm composé d ² 4 4 4 ( ² ) 4 ² ( ² ) '( ) + + g = + = + = + = = ( ² ) ² + + + ( ² + ) ( ² + ) ( ² + ) ( ² + ) ( ² + ) ² ² TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 6

b L sign d g'() st clui d = ( )( + ) Comm g' st défini sur * R +, on a : si < <, g'() st négatif ; si >, g'() st positif lim g( ) = lim ln + lim + + ² + ² + lim g( ) = + ; lim = donc + ² lim ln + = ln = + ² t lim = + ² + donc lim g( ) = lim ln + lim ² ² + donc lim g( ) = + ; lim ² = + donc lim ln + = lim ln X = + ² X + avc X = + ² t lim = ² + 4 a + g'() + + g(), g () = ln( + ) = ln, ² ² + 4 b La fonction st continu t dérivabl sur ]; ], d plus ll st strictmnt décroissant sur ct intrvall n changant d sign, donc il ist un valur α > tll qu g( α ) = On a g(,5),948 t g(,6),445 donc g(,5) > = g( α ) > g(,6) t comm g st décroissant,,5 < α <,6 5 Pour < < α, alors g() st positif ; pour > α alors g() st négatif TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 7

a ln + lim ( ) = lim ² ln + = lim = lim = (cours) X ² ln( X) f + + + + X b lim f ( ) = lim f ( ) = lim = + + + 4 f ( ) = ln( + ), f '( ) = ln( + ) + = ln( + ) + = ln( + ) = g( ) ² ² ² ² + + ² ² + ² ² α + f '() + f() f(α ) ² + ² ² a lim ln + = lim ln = lim ( ln( ² + ) ln ² ), > > > lim ln( ² + ) = car > lim ln( ² + ) = ln = > TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 8

ln ln ln ln lim ln ² lim lim lim X = = + = = lim = avc X + X > > > > X = Conclusion : lim ln + = ² > b f dérivabl n si t sulmnt si la limit d son tau d'accroissmnt st fini f ( ) f () f ( ) lim = lim = lim ln + = + ² La fonction n'st donc pas dérivabl n c La tangnt n O à f st vrtical Son équation st = 4 La tangnt au point d'absciss a pour équation y = f '()( ) + f() : d où y = (ln )( ) + ln y = (ln ) + 5 f () = ln( + ) = ln, f '() = g() = ln ² Rmarqu : On a vu dans la parti A qu g'() =, or g'() = f "(), c'st-à-dir la dérivé scond d f n : la courb admt un point d'inflion pour = 5 Logarithm+ asymptot+primitivs Soit la fonction défini sur l'intrvall I = ]4 ; + [ par : rpèr orthonormal (O ; i, j), unité graphiqu : cm + f ( ) = + 5 + ln 4 t (C) sa courb rprésntativ dans l TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 9

Étud d f a Étudir ls limits d la fonction f au borns d I b Montrr qu sur I, f () st strictmnt négatif t drssr l tablau d variation d f c Montrr qu la droit (D) d'équation y = + 5 st un asymptot à (C) Précisr la position d (C) par rapport à (D) Tracr la courb (C) t la droit (D) dans l rpèr (O ; i, j) Détrminr ls coordonnés du point d (C) où la tangnt a un cofficint dirctur égal à Donnr un équation d t la tracr dans l rpèr (O ; i, j) 4 Calcul d'air 9 a Détrminr, à l'aid d'un intégration par partis, ls primitivs sur ] ; + [ d la fonction ln b Montrr qu la fonction G : ( + ) ln ( + ) st un primitiv d la fonction g : ln ( + ) sur I c Montrr qu la fonction H : ( 4) ln ( 4) st un primitiv d la fonction h : ln ( 4) sur I d Déduir ds qustions précédnts l calcul d l'air A du domain plan délimité par la courb (C), la droit (D) t ls droits d'équations rspctivs = 5 t = 6 On donnra la valur act d A puis un valur approché à près 5 Intrsction d (C) t d l'a ds abscisss a Montrr qu l'équation f() = admt dans I un uniqu solution, noté b Détrminr graphiqumnt un ncadrmnt d d'amplitud,5 c À l'aid d la calculatric, détrminr un ncadrmnt d d'amplitud On plicitra la méthod mployé Corrction a Lorsqu tnd vrs 4, + 4 tnd vrs + ainsi qu + ln 4 donc f tnd vrs + Lorsqu tnd vrs +, + 4 tnd vrs, + ln 4 tnd vrs, +5 tnd vrs donc f tnd vrs + ( + )( 4) 5 '( ) = + ln ln( ) ln( 4) 4 = + + = + 4 = + ( + )( 4) b f [ ] Lorsqu > 4, + st positif, 4 st positif donc l numératur st négatif t l dénominatur st positif Moralité, f st négativ TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag

+ c f ( ) ( + 5) = ln ; nous avons dit qu c trm tnd vrs lorsqu tnd vrs + donc la droit (D) st un 4 + asymptot à (C) Lorsqu > 4, > donc (C) st au-dssus d (D) 4 a On pos u = ln, v' = u' =, v = d où un primitiv d ln st ln d = ln b On dériv G : G'( ) = ln( + ) + ( + ) = ln( + ) + c Eactmnt paril c On chrch 6 6 f d d G G H H ; 5 5 A = ( ) ( + 5) = ln( + ) ln(4 ) = [ (6) (5)] [ (6) (5)] G(6) G(5) = 7 ln 7 6 6 ln 6 + 5 = 7 ln 7 6 ln 6, H(6) H(5) = ln 6 ln + 5 = ln, t l résultat A = 7 ln 7 6 ln 6 ln,48 U 6 Fonction inconnu Parti A Soit la fonction f défini sur ] [ ; + par : f ( ) = a + ( b + c)ln avc a, b t c ds réls La courb (C) d f st donné cidssous TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag

y,5,5,5,5,5 -,5 - -,5 - -,5 - En utilisant c graphiqu t n sachant qu f () = ln, justifir qu l on a a = c = t b = Parti B On considèr alors la fonction g défini sur ] [ a Détrminr la limit d g n b Détrminr la limit d g n + a Détrminr la fonction dérivé d g ; + par : g( ) = + ( )ln b Etudir, pour dans ] [ ; +, l sign d ln t clui d En déduir l sign d g'( ) t ls variations d g Drssr l tablau complt ds variations d g 4 Soit la droit d équation y = a Résoudr dans R l équation ( )ln = t donnr un intrprétation graphiqu ds solutions b Etudir la position d la courb rprésntativ d g par rapport à Corrction TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag

Parti A f () = ln a+ ( b+ c)ln = ln ; par aillurs la dérivé s annul n t f() = : b + c b+ c f '( ) = a + bln + a+ + = a + b + c = ; f () = a + = a = On a donc + ( b + c)ln = ln b+ c = ; avc + b + c = on tir c = t b = Parti B a En, ln tnd vrs, donc g tnd vrs = + + + + = b Mttons n factur : g( ) ( )ln [ ( ) ] a ln + ln g'( ) = ln + = = b ln chang d sign n, d mêm qu puisqu st positif La dérivé st constitué d du morcau qui changnt d sign au mêm ndroit : avant ll st positiv, après ll st négativ + g '() + g() = 4 a ( )ln = = ou = ln = : la courb coup la droit n cs du points b g( ) = ( )ln st positif sur ; : C au-dssus d ; sinon C st n dssous d 7 Un fonction assz simpl On considèr la fonction f défini sur R * + par : ln + f ( ) = ² On not (C) la courb rprésntativ d f dans un rpèr ( O ; u, v), unité graphiqu cm Parti A : Etud d un fonction auiliair TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag

On considèr la fonction g défini sur R * + par : g() = ln + Détrminr ls limits d g n t n + Etudir l sns d variation d g Montrr qu dans [,5 ; ] l équation g() = admt un solution uniqu α dont on détrminra un valur approché à près 4 En déduir l sign d g() suivant ls valurs d Parti B : Etud d la fonction f Détrminr ls limits d f au borns d son nsmbl d définition Etudir l sns d variation d f Montrr qu + α f ( α) = t n donnr un valur approché à près α ² 4 Donnr l tablau d variation d f 5 Tracr (C) Corrction A ( ) lim g( ) = lim ln + = lim ln lim + =, + + + + ( ) lim g( ) = lim ln + = lim ln lim + = + g'( ) = = du sign d ; > < / c qui st impossibl puisqu st positif La fonction g st donc négativ qul qu soit positif Donc la fonction g st strictmnt décroissant sur R * + g(,5),7 t g(),78 (à la calculatric) La fonction g st continu, strictmnt décroissant, t chang d sign sur l intrvall [,5; ] donc il ist un valur uniqu α d ct intrvall tll qu g(α ) = A la calculatric : α,67 4 On n déduit qu, qul qu soit < α on a g() positif, t > α, g() négatif B ln + ln lim f ( ) = lim = lim + lim = car + + ² + ² + ln ln lim lim lim = t lim = + ² + + + ln + ln + ln + lim f ( ) = lim = lim = lim = ² ² > > > > f st dérivabl sur son domain d définition TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 4

² ln ln + ln ln ² ln ( ) f ( ) = = +, '( ) g f = = = = 4 4 ² ² f st donc du sign d g car st strictmnt positif sur R * + Par conséqunt, f st positiv qul qu soit infériur à α t négativ aillurs t donc f croissant sur ] ; α [ t décroissant sur ]α ; + [ On sait qu g(α ) = c'st-à-dir qu lnα α = ou ncor α + α ln α + α + α f ( α) = = =,65, α ² α ² α ² α ln α =, soit α + f () + f () f(α ) 5 4 - - - -4-5 Courb d g TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 5

Courb d f 8 Logarithms 7 points Parti A On considèr la fonction g défini sur ] ; + [ par ( ) g = + ln Calculr g' ( ) pour tout d ]; + [ Étudir son sign sur ]; + [ Drssr l tablau d variations d g sur ] ; + [ (On n dmand pas ls limits d g au borns d son nsmbl d définition) En déduir qu pour tout d ] ; + [, g() < Parti B Soit f la fonction défini sur ] ; + [ par ( ) ln f = + On désign par C sa courb rprésntativ dans l plan muni d un rpèr orthogonal ( O ; i, j) d unités graphiqus cm sur l a ds abscisss t cm sur l a ds ordonnés a Calculr la limit d f n Intrprétr graphiqumnt c résultat b Calculr la limit d f n + c Démontrr qu la droit d équation y = + st asymptot à la courb C d Étudir la position rlativ d C t sur ] ; + [ TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 6

a Calculr f '( ) pour tout > b Vérifir qu pour tout d ]; + [, f '( ) ( ) g = c Déduir d la parti A l tablau d variations d f sur ] ; + [ d Calculr f() En déduir l sign d f sur ] ; + [ Dans l plan muni du rpèr ( O ; i, j), tracr la droit t la courb C Parti C (vrsion ) ln 4 Vérifir qu la fonction F défini sur ]; + [ par F( ) = + ( ) st un primitiv d f Calculr l intégral I = f ( ) d (on donnra la valur act) a Hachurr sur l graphiqu la parti E du plan limité par la courb C, l a ds abscisss t ls droits d équations = t = b Déduir d la qustion d la parti C la valur act d l air S d E n cm, puis n donnr la valur arrondi n cm, au mm près Parti C (vrsion ) Démontrr qu il ist un uniqu tangnt à C parallèl à, précisr ls coordonnés du point d contact J t l équation d ctt tangnt T Tracr T dans l rpèr précédnt Soit un rél supériur ou égal à M t N sont ls points d absciss situés rspctivmnt sur C t sur a Précisr, n fonction d, la valur d la distanc MN b Etudir sur [; + [ ls variations d la fonction h défini sur [; + [ par h( ) ln = c Déduir ds qustions précédnts qu la distanc MN st maimal lorsqu M st n J t précisr la valur d ctt distanc maimal Corrction Parti A 4 ( )( ) g( ) = + ln, ( ) ' 4 + g = + = = Sur ]; + [ sul l trm chang d sign : positif avant /, négatif après / TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 7

/ + g () + g() ln L maimum d g st ln donc g( ) g = ln < Parti B ln a f ( ) = + : ln = ln ; or n ln tnd vrs t quand tnd vrs ; la droit = st asymptot d C tnd vrs + Conclusion, f tnd vrs + b On sait qu ln tnd vrs quand tnd vrs + donc f tnd vrs car + tnd vrs ln ln + c f ( ) ( + ) = + + = donc la droit y = + st asymptot à la courb C d Lorsqu >, ln < car ln ln ' > Donc sur [ ; + [ C st au-dssus d ; sur ] ] ln g( ) a b c f ( ) + = = = Donc f st négativ t f décroissant + f () + ; C st n dssous d f() TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 8

d f() = : lorsqu st infériur à, f ( ) > f ( ) = car f st décroissant Lorsqu st supériur à, ( ) ( ) f < f = y 8 6 4 4 5 6 - -4-6 Parti C (vrsion ) ln 4 F' ( ) = ( ) + ln = + = f ( ) : F st un primitiv d f I = f d = F F = + ln ln,76 4 + = + 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 9

b L unité d air st nous fait cm cm = cm ; on prnd la valur absolu d l intégral multiplié par l unité d air, c qui +, soit nviron,45 cm au mm près Parti C (vrsion ) + ln = ln = = f = + ; l équation d T st y = + + = + Pour avoir un tangnt parallèl à, il faut trouvr tl qu f '( ) =, soit L ordonné st alors ( ) ln = + = = a Comm C st n dssous d, on a M N ( ) f ( ) h( ) ln = ln = b h' ( ) = qui chang d sign n = ; la distanc MN st maimal lorsqu M st n J t ctt distanc vaut ( ) h 9 Ln+scond dgré+intégral, Antills L plan st rapporté à un rpèr orthonormal ( O ; i, j) On considèr la fonction f, défini sur l intrvall ]; + [ par : On not (C ) sa courb rprésntativ Parti A - Étud d la fonction f t tracé d la courb (C) ( ) ln ( ln ) f = + a Résoudr dans ]; + [ l équation f ( ) = (On pourra posr ln = X) b Résoudr dans ]; + [ l inéquation f ( ) > a Détrminr ls limits d f n t n + b Calculr f '( ) c Étudir l sns d variation d f t drssr son tablau d variations Détrminr un équation d la tangnt (T) à la courb (C) au point d absciss 4 Tracr la courb (C) t la droit (T) (Unité graphiqu : cm sur chaqu a) Parti B - Calcul d un air Rstitution organisé ds connaissancs : 5 4 TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 4

Démontrr qu la fonction h, défini par h : ln st un primitiv d la fonction logarithm népérin sur ]; + [(attntion on n dmand pas simplmnt d l vérifir ) On pos ln I = d t I = ( ln ) d a Calculr I b Montrr qu I 5 5 = 4 c Calculr I = f ( ) d En déduir l air, n unités d air, d l nsmbl ds points M( ; y) du plan tls qu t f ( ) y Corrction Parti A f ( ) ln ( ln ) = + a f ( ) = ln + ( ln ) = : on pos X = ln d où X + X = X =, X = d où = ou = X + X > X = ln ; ; ; + ; + b ] [ a Toujours avc X = ln, lorsqu tnd vrs, X tnd vrs donc X + X s comport comm X qui tnd vrs + ; lorsqu tnd vrs +, X tnd vrs + donc X + X s comport comm X qui tnd vrs + + 4ln f ' = + ln = b ( ) c f st croissant lorsqu 4ln ln 4 > > > ( ) 4 / 4 5 f = + = 4 6 8 4 + Sign d f'() + Variation d f + 5 8 + TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 4

5 + 5 5 4 5 9 f 4 = + = = 4 6 8 8 ; 5 + 4 5 f ' 4 = 4 5 / 4 = 4 5 / 4 ; y 4 ( ) 5 / 4 5 / 4 9 = 8 4 y 8 6 4 4 5 6 7 8 9 - -4-6 Parti B Rstitution organisé ds connaissancs : on fait un intégration par partis n posant u ' = t v = ln d où on tir ln d = ln d = ln d = ln On pos ln I = d t I = ( ln ) d / a I [ ] ( ) = ln d = ln = + = + / ln b I = ( ) d : intégration par partis n posant u ' = t v = ( ln ), soit u / ( ln ) ( ln ) ln / =, 9 9 4 5 5 I = d = d = I = = 4 4 4 v' = ln, soit TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 4

5 5 9 I = ln + ln d = I + I = + + + = 4 c ( ) Comm on a pu l rmarqur ls borns corrspondnt précisémnt au valurs d pour lsqulls f s annul La valur d I st négativ car f st négativ sur ct intrvall ; on a donc l air, n unités d air, égal à 9 I = + 7,8 Ln t calculatric, N Caldoni 5 6 points L plan st rapporté à un rpèr orthonormal ( O ; i, j) Soit f la fonction défini sur ] ; + [ par : = + + f( ),, ln( ) Fair apparaîtr sur l écran d la calculatric graphiqu la courb rprésntativ d ctt fonction dans la fnêtr 4, 5 y 5 Rproduir sur la copi l allur d la courb obtnu grâc à la calculatric D après ctt rprésntation graphiqu, qu pourrait-on conjcturr : a Sur ls variations d la fonction f? b Sur l nombr d solutions d l équation f () =? On s propos maintnant d étudir la fonction f a Étudir l sns d variation d la fonction f b Étudir ls limits d la fonction f n t n +, puis drssr l tablau d variations d f c Déduir d ctt étud, n précisant l raisonnmnt, l nombr d solutions d l équation f () = d Ls résultats au qustions a t c confirmnt-ils ls conjcturs émiss à la qustion? 4 On vut rprésntr, sur l écran d un calculatric, la courb rprésntativ d la fonction f sur l intrvall [, ;,], d façon à visualisr ls résultats d la qustion a Qulls valurs trêms d l ordonné y proposz-vous pourmttr n évidnc ls résultats d la qustion c dans la fnêtr d votr calculatric? b À l aid d la calculatric dtrminr un valur approché par défaut à près d la plus grand solution α d l équation f () = 5 Soit F la fonction défini sur ] ; + [ par F( ),,, ( ) ln( ) = + + + TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 4

a Démontrr qu F st un primitiv d f sur ] ; + [ b Intrprétr graphiqumnt l intégral α f ( ) d c Calculr Corrction α f ( ) d t primr l résultat sous la form bα + cα (b t c réls) f sur ] ; + [ par : = + + f( ),, ln( ) 5 y 4 - - 4 - - - -4-5 a f smbl croissant b Il smbl n y avoir qu un solution à l équation f () =, mais c st doutu, +,, +,, (, ) a f '( ) =, + = = = + + + + ; on a du racins, t, ; l sign du trinôm donn f croissant avant, décroissant ntr t, puis d nouvau croissant, + f + f TLES S Fonctions logarithms, rcics corrigés Hugus SILA Pag 44 +

b En, ln( + ) tnd vrs d mêm qu f ; n + ls croissancs comparés donnnt l trm tnd vrs + gagnant t f c f s annul donc du fois : n évidmmnt puis un duièm fois après, puisqu f st croissant ntr, t + t pass d un nombr négatif à ds valurs positivs d Evidmmnt non 4 a L minimum st au nvirons d,, t on put prndr f (, ), n positif b On a α,57, soit,5 à près 5 F( ),,, ( ) ln( ) = + + + a On dériv F : F'( ) =,, +, ln( ) ( ),,, ln( ), f ( ) + + + = + + + = + b α f ( ) d rprésnt l air algébriqu (ici négativ) compris ntr la courb d f, ls droits = t α = c α f ( ) d = F( α) F() = α,α, α +, ( α + )ln( α + ) ; comm f( α ) =, on a α, α +, ln( α + ) =, ln( α + ) =, α α, soit ( ) α f( ) d = α,α, α + ( α + ), α α = α +,α Par Hugus SILA (http://sila-monsitcom)mail à silhu6@yahoofr TLES S Fonctions logarithms rcics corrigés Hugus SILA Pag 45