COURS DE TERMINALE S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE PROGRAMME 2002 Demri Philippe : mdemi-4@scs-et.org
Avt - Propos Ce cours de Termile S s ppuie sur le progrmme de 200 de l eseigemet obligtoire. Il s dresse u élèves de Termile S mis ussi u élèves de cycle supérieur désirt retrouver les défiitios, théorèmes et otios de leur ée de Termile Scietifique. Il s iscrit ds l cotiuité de l eseigemet de Première S et termie isi le cycle Termil de l eseigemet des Mthémtiques du iveu secodire. L ordre des chpitres permet de prcourir les otios e utilist les cocepts déjà vus ds les prgrphes précédets. Le cours est costruit e spirle et mèe le lecteur à évluer ses coissces u fur et à mesure de so ppretissge. Efi, chque chpitre comporte plusieurs eercices et etrits d les de bcclurét qui illustret les otios et les méthodes, des eemples et cotre eemples qui permettet chcu à leur mière de compredre les subtilités de cet eseigemet. Il me prît évidet que les eercices d les sot importts mis e doivet ps éclipser les eercices de recherches ou problèmes ouverts qui permettet à chcu de sortir du strict cdre de l eme isi que les eercices directs d pplictio qui ssuret le blisge de l ppretissge des eseigemets. Ds ce ses là, il me semble que sur ue otio étudiée : - 30 % du temps doit être coscré u cours et démostrtios, - 20 % u eercices directs ou pplictios, - 40 % u eercices de type bcclurét, - 0 % u problèmes ouverts ou de recherche. Même si le bcclurét est ps ue fi e soi, le ombre répété d eercices type bc permet u élèves de compredre l logique des eercices et les hbitue à ces problèmes de sythèse, plus logs où l cocetrtio est ussi mise à l épreuve. Demri Philippe : mdemi-4@scs-et.org
PROGRAMME DE L ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE DES MATHÉMATIQUES EN CLASSE TERMINALE DE LA SÉRIE SCIENTIFIQUE A. du 20-7-200. JO du 4-8-200 NOR : MENE00660A RLR : 524-7 MEN - DESCO A4 Vu code de l éductio,ot. rt. L. 3- à L. 3-3 et L. 3-5; D. 90-79 du 23-2-990; A. du 8-3-999 mod.; vis du CNP du 26-6- 200; vis du CSE des 5 et 6-7-200 Article - Le progrmme de l eseigemet obligtoire et de spécilité des mthémtiques e clsse termile de l série scietifique est détermié pr les dispositios eées u préset rrêté. Article 2 - Le directeur de l eseigemet scolire est chrgé de l eécutio du préset rrêté qui ser publié u Jourl officiel de l République frçise. Fit à Pris, le 20 juillet 200 Pour le miistre de l éductio tiole et pr délégtio, Le directeur de l eseigemet scolire Je-Pul de GAUDEMAR MATHÉMATIQUES CLASSE TERMINALE DE LA SÉRIE SCIENTIFIQUE I - INTRODUCTION Le progrmme de termile S s iscrit ds l cotiuité de celui de première et il e repred de ce fit les élémets. L clsse termile sige l fi des études secodires; so coteu doit doc répodre à ue double eigece : - s iscrire ds l cohérece des coissces trsmises u élèves ds leur cursus scolire, - ouvrir à des horizos eufs et vriés. Les formtios supérieures sot turellemet diverses et offret u mthémtiques ue plce vrible. Ds certies filières, elles serot ue mtière cetrle et pour toutes u outil de modélistio et de clcul. L réussite des jeues étudits dépedr doc crucilemet de leur mîtrise des scieces mthémtiques; pour les préprer, le progrmme pred e compte les évolutios de l disciplie et différetes demdes qui sot l epressio des besois mthémtiques croissts de otre société. Les élèves à qui ce progrmme est destié ot grdi ds u eviroemet techologique, qui fçoe leur comportemet et leurs vleurs et crée des cetres d itérêt profodémet ouveu. L puissce d ivestigtio des outils iformtiques et l eistece de clcultrices performtes dot l pluprt des élèves disposet sot des progrès bieveus, et leur l impct sur l pédgogie des mthémtiques est cosidérble. Il fut ccompger cette évolutio, otmmet e utilist ces outils ds les phses de découverte et d observtio pr les élèves. Certis élémets (pr eemple les équtios différetielles ou l sttistique) pprisset imméditemet utiles u utres disciplies scietifiques. Mis utile e sigifie ps utilitire. Les mthémtiques, sciece du clcul, e sot ps que cel, et il est importt que les élèves compreet qu elles sot ussi ue école de rigueur qui eige ue pesée clire. Il fut pour cel miteir l équilibre etre l etrîemet u clcul et l réfleio, églemet idispesbles u progrès mthémtique, et doc préseter, ds le cdre écessiremet modeste du progrmme, des démostrtios qui ourrisset cette réfleio. Les élèves pourrot isi epliciter des risoemets ss se limiter à quelques démrches stéréotypées, voir cliremet l différece etre ce qu o étblit et ce qui est provisoiremet dmis et compredre commet les mthémtiques se costruiset. U progrmme doit se limiter à ce qui peut être effectivemet eseigé ds le temps imprti. Or le cursus e mthémtiques des élèves qui ccèdet mitet à l clsse termile est différet de celui des géértios térieures. So coteu réliste tiet compte de cette situtio. Progrmme Philippe Demri : mdemi-4@scs-et.org
Il permettr u professeur d eseiger toutes les otios du progrmme, et de predre le temps d pprofodir les cocepts importts et d éveiller l curiosité de ses élèves. Certis théorèmes du progrmme sot dmis. Il coviet lors d e fire ssimiler le coteu e motrt commet ils s ppliquet, et e cosidért évetuellemet des cs prticuliers dot o peut fire l démostrtio. Certies propriétés sot cosidérées comme règles opértoires (pr eemple, si deu foctios dmettet ue limite e u poit, l limite de leur somme est l somme de leurs limites). Dire qu ue propriété est utilisée comme règle opértoire sigifie qu o est ps teu d e justifier l usge ds ue démostrtio ou ds u clcul. Ce progrmme est complété pr u documet d ccompgemet : celui-ci e eplicite certies itetios et propose des pistes de mise e œuvre. II - ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Il est demdé d itroduire l foctio epoetielle très tôt ds l ée, ds u souci de cohérece etre les eseigemets de mthémtiques, de physique-chimie et de scieces de l vie et de l Terre. Pour l itroductio des utres cocepts, l eseigt reste libre de l ordre de présettio. À titre idictif, l réprtitio horire etre les différets chpitres peut être : lyse 45 % (eviro 4 semies), géométrie 35 % (eviro semies), probbilité et sttistique 20 % (eviro 6 semies). II. Alyse Deu objectifs mjeurs fédèret les élémets de ce chpitre : - l etesio du chmp des suites et des foctios vues e clsse de première à quelques ouvelles foctios clssiques : epoetielles, logrithmes, trigoométriques (telle l foctio tgete) ou fist iterveir des rdicu; - l iititio u clcul itégrl et à l problémtique des équtios différetielles : l présece de ces derières, bie que modeste ds le libellé du progrmme, est fodmetle pour meer à l compréhesio de l puissce des mthémtiques pour l modélistio; u trvil cojoit vec les utres disciplies fvoriser cet objectif. L étude des suites et foctios ser motivée pr l résolutio de problèmes : elle est ps ue fi e soi. Ces problèmes pourrot être d origie mthémtique, physique, biologique, écoomique ou utre et mèerot à des recherches d etrem, des comprisos de foctios, des résolutios grphiques d équtios ou d iéqutios, etc. O privilégier les problèmes mettt e jeu des lies etre ue foctio et s dérivée première ou secode. O pourr remrquer e prticulier que certis phéomèes peuvet être étudiés soit e temps discret - à l ide d ue suite -, soit e temps cotiu - à l ide d ue foctio (évolutio d u cpitl pr eemple). Ue boe mîtrise des foctios clssiques (dérivées, etrem, comportemets symptotiques, courbes représettives) est écessire; elle doit permettre ue certie isce ds les problèmes qui les mettet e jeu. L otio de cotiuité est itroduite et permet de disposer du lgge écessire pour éocer les théorèmes de fço stisfiste. L étude théorique de l cotiuité des foctios clssiques est eclue. Ds le cdre de l résolutio de problèmes, l étude d ue foctio se limiter le plus souvet à u itervlle. CONTENUS MODALITES DE MISE EN ŒUVRE COMMENTAIRES Limites de suites et de foctios Rppel de l défiitio de l limite Pour eprimer que f() ted vers L qud Il s git de prologer le trvil fit e d ue suite. Etesio à l limite fiie ted vers +, o dir que : tout itervlle première sur les suites. L epressio ou ifiie d ue foctio e + ou. ouvert cotet L cotiet toutes les vleurs pour ssez grd est l logue pour f() pour ssez grd. les foctios de l epressio à prtir Notio de limite fiie ou ifiie O motrer qu ue suite croisste d u certi rg utilisée pour les suites. d ue foctio e u réel. o mjorée ted vers l ifii. Pour les limites e u réel, ucue O reverr à cette occsio l otio défiitio est eigée : o repredr d symptote oblique, e se limitt l pproche ituitive doptée e clsse u foctios se mettt sous l forme de première. Sur u eemple, o fer le lie +b+h(), où h ted vers 0 à l ifii. etre limite e u réel et à l ifii. O motrer sur des eemples que l étude O pourr prler de limite à droite ou à sur clcultrice ou u tbleur d ue suite guche à l occsio de certis eemples. ou d ue foctio permet de cojecturer des limites qui devrot esuite être justifiées. Théorème des gedrmes pour les foctios. O démotrer ce théorème lorsque l vrible ted vers l ifii. O étedr ce théorème u cs des limites ifiies. Limites de l somme, du produit, du quotiet O compléter les résultts éocés e clsse Ces propriétés serot ppliquées comme de deu suites ou de deu foctios; de première; o se borer à ue justifictio règles opértoires. limite de l composée de deu foctios, ituitive (clcultoire ou grphique). de l composée d ue suite et d ue foctio. Lgge de l cotiuité et tbleu de vritios Cotiuité e u poit. O défiir l cotiuité de f e u poit Les foctios recotrées e termile Cotiuité d ue foctio sur u itervlle. pr lim f ()=f() sot le plus souvet cotiues sur leur Progrmme Philippe Demri : mdemi-4@scs-et.org
ou lim f(+h) = f() h 0 O illustrer l otio de cotiuité sur u itervlle e prlt de trcé ss lever le cryo. O préseter à titre de cotreeemple le cs de l foctio prtie etière. itervlle d étude; o idiquer cliremet que les foctios costruites à prtir des foctios polyômes, trigoométriques, logrithmes ou epoetielles sot cotiues. Démotrer qu ue foctio est cotiue e u poit ou sur u itervlle est ps u objectif du progrmme. Théorème (dit des vleurs itermédiires) : Ce théorème pourr être dmis ou démotré O coviedr, ds les tbleu soiet f ue foctio défiie et cotiue à l ide de suites djcetes. de vritios, que les flèches obliques sur u itervlle I et et b deu réels ds I. O démotrer le corollire suivt : trduiset l cotiuité et l stricte Pour tout réel k compris etre f() et f(b), si f est ue foctio cotiue strictemet mootoie de l foctio sur l itervlle il eiste u réel c compris etre et b mootoe sur [;b], lors, pour tout réel k cosidéré. Ds l rédctio de l solutio tel que f(c)=k. compris etre f() et f(b), l équtio f()=k à u problème, ue simple référece ue solutio uique ds [;b]. u tbleu de vritios suffir pour O étedr ce corollire u cs où f est défiie justifier l eistece et l uicité sur u itervlle ouvert ou semi-ouvert, d ue solutio d ue équtio du type boré ou o, les limites de f u bores f()=k. de l itervlle étt supposées coues. O pourr pprocher l solutio de l équtio f()=k pr dichotomie ou blyge vec l clcultrice ou u tbleur. Dérivtio CONTENUS MODALITES DE MISE EN ŒUVRE COMMENTAIRES Rppels sur les règles de dérivtio et sur le lie etre sige de l dérivée et vritios de l foctio. Applictio à l étude de l foctio tgete. O rppeller e prticulier le théorème suivt qui ser utilisé à propos des primitives : ue foctio dot l dérivée est ulle sur u itervlle est costte sur cet itervlle. O fer remrquer que toute foctio dérivble est cotiue. Écriture différetielle dy=f ()d. O se coteter d epliquer que l écriture différetielle eprime symboliquemet l églité : Δy = f ()Δ + ε(δ), où ε ted vers zéro vec Δ. Dérivtio d ue foctio composée. Le pricipe de l démostrtio ser idiqué. À l occsio des eercices, o recotre L ottio différetielle est ici u moye des reltios etre grdeurs de l forme mémotechique de retrouver l formule. =f(t), y=g(), v=u(t) etc., où t représete u temps, et y des logueurs, v ue vitesse : ds ces coditios, f (t) est ue vitesse, g () est u ombre et u (t) ue ccélértio, ce que l écriture différetielle met e vleur. Itroductio de l foctio epoetielle Étude de l équtio f = k f. L étude de ce problème pourr être motivée Ce trvil se fer très tôt ds l ée cr il Théorème : il eiste ue uique foctio pr u ou deu eemples, dot celui est cetrl ds le progrmme f dérivble sur IR telle que f =f et f(0) =. de l rdioctivité trité e physique, de mthémtiques et de physique. Il fourit Reltio foctioelle crctéristique. ou pr l recherche des foctios dérivbles u premier cotct vec l otio Itroductio du ombre e. Nottio e. f telles que f(+y)=f()f(y). d équtio différetielle et motre Etesio du théorème pour l équtio O costruir vec l méthode d Euler commet étudier ue foctio dot o e f = k f. itroduite e première des représettios coît ps ue formule eplicite. L grphiques pprochées de f ds le cs k = ; méthode d Euler fit pprître ue suite o comprer divers trcés obteus vec géométrique et doe l idée que des ps de plus e plus petits. l epoetielle est l logue cotiu L uicité ser démotrée. L eistece ser de l otio de suite géométrique, ce que dmise ds u premier temps. Elle ser étblie ultérieuremet à l occsio de l qudrture de l hyperbole. Approimtio ffie, u voisige de 0, de h e h. l équtio foctioelle cofirme. Progrmme Philippe Demri : mdemi-4@scs-et.org
Étude des foctios logrithmes et epoetielles Foctio logrithme épérie; ottio l. O metioer l foctio logrithme Le mode d itroductio du logrithme Équtio foctioelle crctéristique. déciml, otée log, pour so utilité ds les est ps imposé. O peut, pour l itroduire : Dérivée; comportemet symptotique. utres disciplies et so rpport vec - soit prtir des propriétés des foctios l écriture décimle des ombres. epoetielles; Approimtio ffie, u voisige - soit poser le problème des foctios de 0, de h l(+h). dérivbles sur IR+* telles que f(y)=f()+f(y) et dmettre l eistece de primitives pour l foctio / ; - soit triter le logrithme près l itégrtio. Foctios pour >0. O positioer, à l ide d u grpheur, Comportemet symptotique; les courbes représettives de e et de llure des courbes représettives. l pr rpport à celles des foctios. Croissce comprée des foctios O étblir l limite e + de e / et de l /; À trvers des eemples, o étedr ces epoetielles, puissces etières o e déduir l limite e de e ; règles u cs des polyômes et logrithme. o boutir u règles opértoires : à l ifii, l epoetielle de l emporte sur toute puissce de et les puissces de l emportet sur le logrithme de. O étudier les foctios e -k, Ces foctios sot très utilisées ou e- k2, vec k>0, et o illustrer e probbilité et e sttistique, e théorie leur décroissce rpide. du sigl etc. Foctio rcie -ième L rcie -ième ser itroduite et epliquée; O pourr border lors de l étude o utiliser ussi l ottio /. de problèmes des foctios du type α (vec α réel); l étude géérle de ces foctios est hors progrmme. Suites et récurrece Risoemet pr récurrece O choisir des eemples permettt O préseter le pricipe de récurrece Suite mootoe, mjorée, miorée, borée. d itroduire le vocbulire usuel des suites comme u iome. et écessitt l utilistio de risoemets pr récurrece. O s ppuier sur u tritemet tt umérique (vec outils de clcul : clcultrice ou orditeur) que grphique ou lgébrique. O étudier umériquemet sur u ou deu Aucue otio théorique de rpidité eemples, l rpidité de covergece de covergece est u progrmme. d ue suite (u ) vers s limite L, e complétt l étude sur tbleur pr des ecdremets de (u -L) O triter quelques problèmes met à l étude de suites défiies pr u + =u +b. Suites djcetes et théorème L otio de suites djcetes ser itroduite O fer le lie vec l méthode des suites djcetes. e liiso vec le clcul itégrl : de dichotomie. ecdremets d ires (pr eemple ire L objectif est d erichir l visio d u cercle pr l méthode d Archimède, des ombres réels et d idiquer l importce ire sous ue prbole). des suites djcetes ds le problème O motrer le lie vec l écriture décimle de l mesure des grdeurs géométriques d u réel. ou physiques. L étude de suites u + =f(u ) pour pprocher ue solutio de l équtio f()= est ps u objectif du progrmme : l dichotomie, le blyge suffiset u iveu de l termile pour des problèmes écessitt de telles pproimtios. Théorème de covergece des suites croisstes mjorées. L équivlece vec le théorème des suites djcetes pourr fire l objet d u problème. Progrmme Philippe Demri : mdemi-4@scs-et.org
Itégrtio Pour ue foctio f cotiue positive O idiquer que l ire sous l courbe peut Les élèves ot ue otio ituitive d ire sur [,b], itroductio de l ottio # être pprochée e l ecdrt pr deu suites (vec l propriété d dditivité) et svet eb f()d djcetes costruites e qudrillt le pl clculer certies ires élémetires; comme ire sous l courbe. de plus e plus fiemet. l objectif est de leur doer u perçu de l Vleur moyee d ue telle foctio. Eemple où l foctio itégrée est e défiitio et du clcul de l ire esclier. Eemple de l prbole : o fer de domies pls liés u foctios; pprître l itégrle comme limite tout développemet théorique est eclu. de sommes et o dmettr que cette situtio est géérlisble. Etesio à l itégrle et à l vleur moyee O idiquer l covetio de sige sur u Cette etesio doit être fite brièvemet. d ue foctio de sige quelcoque. itervlle où f est égtive et o e déduir Cette covetio de sige predr tout so le cs géérl; o pourr ussi jouter ue ses lors de l étude de eb f()d. costte à f pour l redre positive. Liérité, positivité, ordre, reltio O iterpréter ces propriétés e terme d ire Les propriétés géérles de l itégrle serot de Chsles. ou e terme de vleur moyee pour les rpidemet commetées et dmises; Iéglité de l moyee. redre coformes à l ituitio. les élèves s e servirot comme règles opértoires. Itégrtio et dérivtio O illustrer l itérêt de l itégrle pr Ce trvil est ue fço de préprer diverses situtios, etre utres : le théorème lit itégrles et primitives, - epressio itégrle de l distce prticulièremet frppt ds le cs prcourue sur ue droite pr u poit mobile du poit mobile. dot o coît l vitesse isttée; Aucue coissce théorique est - epressio itégrle du volume d u solide eigible sur ces ctivités de modélistio. dot o coît les ires des sectios vec Ds les problèmes, les epressios les pls d équtio z=costte; itégrles serot toujours doées. - clculs de probbilités d itervlles pour E lie vec l physique, o metioer des lois de probbilités à desité. le problème des uités : si et y sot deu grdeurs liées pr ue reltio y=f(), l itégrle eb f()d est ue grdeur homogèe u produit des grdeurs y tdis que l vleur moyee est homogèe à y. Notio de primitive. Théorème : si f est cotiue sur u itervlle O démotrer que F est ue primitive de f L itégrtio permet d étblir l eistece I, et si est u poit de I, l foctio F telle ds le cs où f est cotiue et croisste, des primitives des foctios cotiues et o dmettr le cs géérl. et d e doer des méthodes umériques que F() = f(t)dt est l uique primitive de clcul; iversemet, l coissce d ue primitive d ue foctio cotiue de f sur I s ult e. doe ue formule eplicite pour le clcul des itégrles : les élèves devrot percevoir b l itérêt de cette double démrche. Clcul de f()d Tbleu primitives-dérivées des foctios L eistece d ue solutio de l équtio usuelles (foctios, /, l, y =f(t), dmise e première est isi à l ide d ue primitive de f. e, sius, cosius). justifiée; de même, est justifiée l eistece Applictio de l dérivtio des foctios composées à l primitivtio de u /u, u e u, u u. du logrithme : celle de s foctio réciproque e découle lors. L voloté d itroduire rpidemet l foctio epoetielle pour l physique ur coduit à dmettre u théorème d eistece e début d ée, qui se trouve ici justifié. Itégrtio pr prties. O se limiter à des cs simples où l élève ur à trouver lui-même le recours à l techique d itégrtio pr prties. Équtios différetielles y =y+b Progrmme Philippe Demri : mdemi-4@scs-et.org
O démotrer l eistece et l uicité de l solutio psst pr u poit doé. O étudier quelques problèmes où itervieet des équtios différetielles se rmet à y =y+b. Ce prgrphe, déjà bordé lors de l itroductio de l foctio epoetielle, pourr être réprti sur l esemble de l ée. O fer le lie vec l étude de ces équtios e physique; o défiir le temps crctéristique τ = -/ pour <0. Les idictios utiles pour se rmeer à y =y+b doivet être doées. Des solutios de l équtio y +ω2y=0 serot itroduites e cours de physique. II. 2 Géométrie L objectif de ce prgrphe est d etreteir l prtique des objets usuels du pl et de l espce et de fourir quelques otios ouvelles permettt de prfire l pproche etreprise ds les clsses térieures sur l géométrie vectorielle ou repérée. Ds le prologemet du repérge polire itroduit e première, les ombres complees, outre leur itérêt historique, lgébrique et iterdiscipliire pour l poursuite des études, fourisset u outil efficce ds les problèmes fist iterveir les trsformtios ples. L etesio à l espce du produit sclire permet de résoudre de ouveu problèmes et, de ce fit, d pprofodir l visio de l espce. Bie que, comme ds les progrmmes térieurs, le libellé de cette prtie soit reltivemet cocis, o predr le temps de mettre e œuvre toutes les coissces de géométrie de l esemble du cursus scolire pour l étude de cofigurtios du pl ou de l espce, le clcul de distces, d gles, d ires et de volumes, etc. Ces trvu serot réprtis tout u log de l ée fi que les élèves cquièret ue certie fmilirité vec le domie géométrique; o privilégier les problèmes dot les procédés de résolutio peuvet voir vleur de méthode et o etrîer les élèves à choisir l outil de résolutio le plus pertiet prmi ceu dot ils disposet (propriétés des cofigurtios, clcul vectoriel, clcul brycetrique, trsformtios, ombres complees, géométrie lytique). CONTENUS MODALITES DE MISE EN ŒUVRE COMMENTAIRES Géométrie ple : ombres complees Le pl complee : ffie d u poit; Le vocbulire ser itroduit à prtir L visio des ombres complees est prties réelle et imgiire d u ombre de cosidértios géométriques. d bord géométrique : clculs sur des complee. Cojugué d u ombre complee. poits du pl. Les repérges crtésie Somme, produit, quotiet de ombres et polire itroduits e première complees. coduiset turellemet à deu écritures Module et rgumet d u ombre complee; O retrouver à cette occsio l otio d u ombre complee. module et rgumet d u produit, de coordoées polires et celle, sous-jcete, L objectif est esuite de motrer d u quotiet. d équtio prmétrique d u cercle l puissce de ce clcul ds les Écriture ei θ=cosθ + i siθ. (sous l forme z =z ω + reiθ ou = ω + rcos θ, problèmes de géométrie. y=y ω +rsi θ). O itroduir ds ce chpitre quelques L ottio epoetielle ser itroduite élémets lui dot ue dimesio près voir motré que l foctio historique. θ cosθ + i siθ vérifie l équtio Les ombres complees permettet foctioelle crctéristique des foctios de retrouver et de mémoriser les formules epoetielles. trigoométriques d dditio et de duplictio vues e première. Résolutio ds C des équtios du secod degré à coefficiets réels. Iterpréttio géométrique de z z O utiliser les ombres complees O eploiter à l fois les possibilités vec z =z+b ou z -w=k(z w) vec k réel pour triter des eemples simples offertes pr les ombres complees et les o ul, ou z w= eiα(z w). de cofigurtios et résoudre des problèmes risoemets géométriques directs qui fist iterveir des trsltios, réctivet les coissces térieures, des rottios, des homothéties. otmmet sur les trsformtios du pl. Produit sclire ds l espce Rppels sur le produit sclire ds le pl. Epressio e repère orthoorml O géérliser u vecteurs de l espce Défiitio du produit sclire de deu de l distce d u poit à ue droite l défiitio du produit sclire doée vecteurs ds l espce. Propriétés, ds le pl. ds le pl; à cette occsio, o préseter epressio e repère orthoorml. Pl orthogol à u vecteur psst pr u l projectio orthogole sur ue droite poit. Equtio crtésiee e repère ou sur u pl. orthoorml. Epressio de l distce à u pl. Iéqutio défiisst u demi-espce. Droites et pls ds l espce Crctéristio brycetrique d ue droite, d u pl, d u segmet, d u trigle. O repredr les problèmes d ligemet et de cocours déjà bordés e clsse Progrmme Philippe Demri : mdemi-4@scs-et.org
Représettio prmétrique d ue droite de première. Les élèves doivet ussi svoir qu ue de l espce. droite de l espce peut être représetée pr Itersectio de deu pls, d ue droite O fer cliremet pprître que les u système de deu équtios liéires. et d u pl, de trois pls. Discussio problèmes géométriques cosidérés ici géométrique; discussio lgébrique. sot ussi l étude des systèmes d équtios liéires, que l o résoudr lgébriquemet. O triter ussi quelques situtios umériques (issues de l lyse, de situtios écoomiques ou utres) s y rmet. II.3 Probbilités et sttistique Après voir itroduit e clsse de secode l ture du questioemet sttistique à prtir de trvu sur l fluctutio d échtilloge, o poursuit ici l présettio etreprise e première des cocepts fodmetu de probbilité ds le cs fii vec l otio de coditioemet et d idépedce et l étude de quelques lois de probbilité. O vise ussi, e complémet à l usge des simultios itroduit dès l secode, ue première sesibilistio à d utres clsses de problèmes, otmmet celui de l déqutio d ue loi de probbilité à des doées epérimetles. CONTENUS MODALITES DE MISE EN ŒUVRE COMMENTAIRES Coditioemet et idépedce Coditioemet pr u évéemet O justifier l défiitio de l probbilité de probbilité o ulle puis idépedce de B scht A, otée P A (B), pr des clculs de deu évéemets. fréquetiels. Idépedce de deu vribles létoires. O utiliser à bo esciet les représettios U rbre de probbilité correctemet telles que tbleu, rbres, digrmmes. costruit costitue ue preuve. efficces pour résoudre des problèmes de probbilités. Formule des probbilités totles. Applictio à l problémtique des tests Les élèves doivet svoir ppliquer ss de dépistge e médecie et à l loi ide l formule des probbilités totles de l équilibre géétique lors d ppriemets ds des cs simples u hsrd. Sttistique et modélistio Applictio u epérieces de référeces O coviedr, e coformité vec Epérieces idépedtes. vues e secode et première (dés, pièces, l ituitio, que pour des epérieces Cs de l répétitio d epérieces idetiques ures ). idépedtes, l probbilité de l liste et idépedtes. des résultts est le produit des probbilités de chque résultt. Lois de probbilité Eemples de lois discrètes O itroduir l ottio!. Le symbole peut être désigé pr l Itroductio des combiisos, otées. L élève devr svoir retrouver les formules : p p = - + - locutio p prmi. Formule du biôme. p p- p Pour les déombremets itervet ds les problèmes, o e rester à des situtios = élémetires résolubles à l ide d rbres, p -p de digrmmes ou de combiisos. Loi de Beroulli, loi biomile; espérce O ppliquer ces résultts à des situtios L formule dot l espérce ser et vrice de ces lois. vriées. cojecturée puis dmise; l formule de l vrice ser dmise. Eemples de lois cotiues Lois cotiues à desité : - loi uiforme sur [0,] ; Applictio à l désitégrtio rdioctive : Ce prgrphe est ue pplictio - loi de durée de vie ss vieillissemet. loi epoetielle de désitégrtio des oyu. de ce qui ur été fit e début d ée sur l epoetielle et le clcul itégrl. Sttistique et simultio Étude d u eemple tritt de l déqutio L élève devr être cpble de poser de doées epérimetles à ue loi le problème de l déqutio à ue loi équiréprtie. équiréprtie et de se reporter à des résultts de simultio qu o lui fourit. Le vocbulire des tests (test d hypothèse, hypothèse ulle, risque de première espèce) est hors progrmme. Progrmme Philippe Demri : mdemi-4@scs-et.org
Progressio et rythme suivis L commissio des progrmmes propose à titre idictif l réprtitio etre les différetes prties du cours : 4 semies, 77 heures, d lyse soit 45 % du progrmme semies, 55 heures, de géométrie soit 35 % du progrmme 6 semies, 33 heures, de probbilité et sttistique soit 20 % du progrmme ANALYSE [ 77 heures ] Rppels sur les suites et l récurrece ( heures ) Les limites de foctios umériques ( 6 heures ) L cotiuité ( 6 heures ) Les limites de suites ( heures ) L dérivtio ( heures ) L foctio epoetielle, l foctio logrithme épérie ( 5 heures ) Les équtios différetielles ( 6 heures ) Les croissces comprées ( 6 heures ) L itégrtio et les primitives ( heures ) GEOMETRIE [ 52 heures ] Les ombres complees ( 3 heures ) L pplictio des ombres complees ( 3 heures ) Le produit sclire ds l Espce ( 3 heures ) Les droites et les pls de l Espce ( 3 heures ) PROBABILITE STATISTIQUES [ 33 heures ] L combitoire ( 6 heures ) Les probbilités ( 5 heures ) Les lois de probbilités ( 2 heures ) Progressio et rythme Demri Philippe : mdemi-4@scs-et.org
Cledrier Période : Septembre Octobre Activités sur les suites et foctios - Rppels sur les suites et l récurrece -Les limites de foctios umériques, limites de suites - L cotiuité - Les limites de f suites Période 2 : Novembre Décembre L dérivtio - L foctio epoetielle, l foctio logrithme épérie - Les équtios différetielles - Les croissces comprées Période 3 : Jvier Février Les ombres complees - L itégrtio et les primitives - L pplictio des ombres complees Période 4 : Mrs Avril L combitoire - Les probbilités - Le produit sclire ds l Espce Période 5 : Mi Les lois de probbilités - Les droites et les pls de l Espce Période 6 : Jui Révisio Progressio et rythme Demri Philippe : mdemi-4@scs-et.org
Sommire Chpitre 0 : Activités sur les suites et foctios Chpitre : Rppels sur les suites et l récurrece Chpitre 2 : Limites de foctios umériques, limites de suites Chpitre 3 : L cotiuité Chpitre 4 : Limites de suites Chpitre 5 : L dérivtio Chpitre 6 : L foctio epoetielle, l foctio logrithme épérie Chpitre 7 : Les équtios différetielles Chpitre 8 : Les croissces comprées Chpitre 9 : Les ombres complees Chpitre 0 : Primitives et itégrtio Chpitre : Applictio des ombres complees Chpitre 2 : L combitoire Chpitre 3 : Les probbilités Chpitre 4 : Le produit sclire ds l Espce Chpitre 5 : Les lois de probbilités Chpitre 6 : Droites et pl de l Espce Récpitultifs des coissces eigibles Progressio et rythme Demri Philippe : mdemi-4@scs-et.org
Chpitre. Les suites umériques Compéteces : Coître et svoir utiliser les otios sur les suites Svoir démotrer pr récurrece ue propriété I. Rppels sur les suites umériques. Forme géérle Ue suite umérique est ue foctio défiie de N vers R, elle peut être défiie de 2 fços : Soit pr ue forme eplicite u = f(), e foctio du rg. Eemple : u = 2² + 3, f est l foctio 2² + 3 Soit pr ue formule de récurrece u + = f(u ), e foctio du terme qui précède. O doe ds ce cs l vleur du terme iitil. Eemple : u = 0 u = 2u + 5 + Défiitio : Vritio d ue suite Soit (u ) ue suite umérique. Si pour tout etier 0, o u + u 0 ; lors l suite (u ) est croisste. Si pour tout etier 0, o u + u 0 ; lors l suite (u ) est décroisste. Théorème : Soit (u ) ue suite umérique dot tous les termes sot positifs. Si pour tout etier 0, o u+ ; lors l suite (u u ) est croisste. Si pour tout etier 0, o u+ ; lors l suite (u u ) est décroisste. Théorème 2 : Soit (u ) ue suite umérique défiie pr ue reltio du type u = f(). Si f est croisste sur [ ;+ [ lors l suite (u ) est croisste. Si f est décroisste sur [ ;+ [ lors l suite (u ) est décroisste. METHODE : Pour détermier l mootoie d ue suite - O étudie le sige de u + u - O utilise u des deu théorèmes précédets. Applictio : Pour tout N*, o ote u = et v =. 2 Etudier l mootoie des suites (u ), (v ), ( u + v ) et (u v ).. Rppels sur les suites Pricipe de récurrece - 3 - Termile S
2. Représettio d ue suite. Suite défiie de fço eplicite : u = f() U 7 y = 0,² 0,5 Représettio de l suite défiie pour tout de N pr u = 0,² 0,5. METHODE : O trce l foctio l courbe de l foctio f. Les termes u sot les ordoées des poits de l courbe dot l bscisse est etière turelle. U 6 U 5 U 4 U 3 U 2 U o U 0 b. Suite défiie pr récurrece : u + = f(u ) et u 0 = y= y = (2-) Représettio de l suite défiie u0 = 0, pr u+ = u( 2 u) METHODE : O trce l droite d équtio y = et l courbe de l foctio f. O plce lors sur l e des bscisses le premier terme de l suite, ici u. E o u u 2 u 3 u 4 u 5 utilist l courbe de f, o lors f(u ) = u 2. Pour plcer u sur l e des bscisses, o utilise l droite d équtio y =. II. Des suites prticulières. Suites rithmétiques Défiitio 2 : Suite rithmétique Dire qu ue suite (u ) est rithmétique sigifie qu il eiste u réel tel que, pour tout de N, u + = u +. e déped ps de. est ppelée l riso. Si est ul lors l suite (u ) est costte. 52 + 30 Eemple : L suite (u ) défiie pr u = est ue suite rithmétique de riso 76 6 3. Cotre eemple : L suite (u ) défiie pr u = ² est ps ue suite rithmétique. 2 2 Soit N, u + u = ( + ) = 2+. 2 + déped de, c est à dire, 2 + est ps u ombre costt.. Rppels sur les suites Pricipe de récurrece - 4 - Termile S
Théorème 3 : Ses de vritio Soit (u ) ue suite rithmétique de riso. Si est positive lors l suite est croisste. Si est égtive lors l suite est décroisste. Démostrtio : (u ) est ue suite rithmétique de riso doc pour tout de N, u + = u +. Doc, pour tout de N, u + u = Théorème 4 : Epressio de u e foctio de Soit (u ) ue suite rithmétique de riso et de premier terme u 0. Pour tout N, u = u 0 +. Théorème 5 : Reltio etre u m et u p Soit (u ) ue suite rithmétique de riso, u m et u p sot deu termes de l suite (u ). O lors, u m = u p + (m p). Démostrtio : (u ) est ue suite rithmétique de riso et de terme iitil u 0. Aisi, d près le théorème 4, u m = u 0 + m et u p = u 0 + p. Doc, pr soustrctio, u m u p = m p doc u m u p = (m p) Et, u m = u p + (m p). Eemple : L suite (u ) défiie pr u 0 = 2 et u + = u + 5, est ue suite géométrique de riso 5. Aussi, pour tout etier turel, u = 2 + 5. Théorème 6 : Somme de p termes cosécutifs L somme de p termes cosécutifs d ue suite rithmétique est S = pu ( 0 + up ). 2 Démostrtio : (u ) est ue suite rithmétique de terme iitil u 0. L somme S de p termes cosécutifs est S = u 0 + u + u 2 + + u p- mis ussi S = u p- + u p-2 + u p-3 + + u 0. E dditiot membre à membre, S + S = u 0 + u p- + u + u p-2 + u 2 + u p-3 + + u p- + u 0. Doc 2S = p(u 0 + u p- ) pu ( 0+ up ) Et S = 2 Remrque : S = (ombres de termes) ( terme iitil + derier terme) 2 METHODE : Clcul du ombre de termes Ds l somme u p + u p+ + + u ( vec > p ), le ombre de termes est p +.. Rppels sur les suites Pricipe de récurrece - 5 - Termile S
Eercice : (u ) est ue suite rithmétique telle que u 2 = 4 et u 5 = - 3. Clculer u 20. Eercice 2 : 3 Clculer l somme S = + + + 2 +... + 0. 2 2 Eercice 3 : v (v ) est l suite défiie pr v 0 = et pour tout turel, v+ =. + v Prouver que l suite (u ) défiie pr u = est rithmétique. v Eercice 4 : Soit l suite (u ) défiie pr u 0 = et pour tout etier turel, u + = O cosidère l suite v défiie sur N pr v = u 3. ) Motrer que l suite v est ue suite rithmétique de riso 2) Eprimer v puis u e foctio de. 00 3) Clculer S = v. i= 0 i. 3 9 6 u. 2. Suites géométriques Défiitio 3 : Suite géométrique Dire que (u ) est géométrique de riso q sigifie qu il eiste u réel q tel que pour tout pprtet à N, u + = q.u. Le réel q est ppelé l riso de (u ). q e déped ps de. Théorème 7 : Epressio de u e foctio de Soit (u ) ue suite géométrique de riso q et de terme iitil u 0. Pour tout de N, u = u 0 q. Eemple : L suite (u ) défiie pr u 0 = 2 et u + = 4u, est ue suite géométrique de riso 4. Aussi, pour tout etier turel, u = 2 4.. Rppels sur les suites Pricipe de récurrece - 6 - Termile S
Théorème 8 : Soit (u ) ue suite géométrique de riso strictemet positive q et premier terme strictemet positif u 0. Si q > lors (u ) est strictemet croisste. Si q < lors (u ) est strictemet décroisste. Si q = lors (u ) est costte. Démostrtio : (u ) est ue suite géométrique de riso strictemet positive q et premier terme strictemet positif u 0 doc pour tout de N, u = u 0 q. Soit de N, u + u = u 0 q + u 0 q = u 0 q ( q ). Comme u 0 > 0 et q > 0, le sige de u + u est du sige de ( q ). Si q > lors pour tout de N, u + u > 0 et (u ) est strictemet croisste. Si q < lors pour tout de N, u + u < 0 et (u ) est strictemet décroisste Si q = lors pour tout de N, u + u = 0 et (u ) est costte. Théorème 9 : Somme des termes cosécutifs L somme S des premiers termes cosécutifs d ue suite géométrique est u q Si q, S = ( 0 ). q Si q =, S = u 0. Démostrtio : (u ) est ue suite géométrique de riso strictemet positive q et premier terme strictemet positif u 0 doc pour tout de N, u = u 0 q. L somme S de termes cosécutifs est S = u 0 + u + u 2 + + u - S = u 0 + u 0 q + u 0 q 2 + + u 0 q - = u 0 ( + q + q 2 + + q - ) E multiplit S pr q, qs = u 0 ( q + q 2 + + q ). Pr soustrctio membre à membre, S qs = u 0 ( q ). Doc S( q) = u 0 ( q ). u Supposos q : S = 0 ( q ) q Supposos q = : S = u 0 ( + + + + ) = u 0 de termes risoombre Remrque : Si q, S = terme iitil riso Si q =, S = ombre de termes terme iitil Eercice 5 : + b+ c = 36,75, b, c sot trois termes cosécutifs d ue suite géométrique. O sit que. bc = 343 Clculer, b, c.. Rppels sur les suites Pricipe de récurrece - 7 - Termile S
Eercice 6: (u ) est l suite défiie pr u 0 = 5 et pour tout etier turel, u + = 3u +. Pour étudier (u ), o itroduit l suite (v ) de terme géérl v = u +, pour tout turel. 2. Clculer u, u 2. (u ) est elle rithmétique? 2. Démotrer que (v ) est ue suite géométrique de riso 3. Eprimez v e foctio de. 3. Eprimez u e foctio de. 4. Clculer S = u 0 + u + u 2 +...+ u. E déduire S 4. Eercice 7 : 2 Soit (u ) >0 l suite défiie pr u = 2 et pour tout etier > 0, u + = u. 3 3. Costruire sur l e des bscisses les 4 premiers termes de l suite (u ) 2. Motrer que l suite (v ) >0 défiie pr v = u + est géométrique. 3. Eprimer v puis u e foctio de. 4. O pose S = u + u 2 + + u. Eprimer S e foctio de. 5. Étudier l covergece des suites (u ) >0 et (S ) >0. Eercice 8 : Soit (u ) l suite défiie pour tout N pr : u u0 = u = + u +.. Clculer u, u 2, u 3. b. Démotrer pr récurrece que pour tout, u > 0. c. E déduire que (u ) est bie défiie. u 2. Soit (v ) l suite défiie pour tout N pr v = u +. Démotrer que (v ) est ue suite géométrique dot o doer l riso et le premier terme. b. Ecrire v e foctio de. c. E déduire u e foctio de.. 2 Etrit Bc Suite rithmético-géométrique O cosidère l suite (u) de ombres réels, défiie pour tout etier turel pr l reltio de 4 3 récurrece u + = uet pr l coditio iitile u = ( u réel doé ). 0 0. (v ) est l suite de ombres réels défiie pour tout etier turel pr v = 3 u 4. Démotrer que (v ) est ue suite géométrique et détermier s riso k. 2.. Eprimer v e foctio de et de. b. Déduire u e foctio de et de. 3. Clculer S = v + v + + v. E déduire Σ = u+ u2 +... + u 2.... Rppels sur les suites Pricipe de récurrece - 8 - Termile S
III. Pricipe de récurrece Eemple : Soit (u ) l suite umérique défiie sur N pr : Démotrer que pour tout N, 0 u 4. u + u 0 = 0 = 3u + 4 Ce pricipe est bsé sur ue propositio cliremet éocée P qu il fudr démotrer. Cette démostrtio doit être rédigée e trois étpes bie défiies. Etpe : Vérifier de l propositio pour l vleur iitile de, ( ici = 0) Etpe 2 : Supposer que l propositio est vrie pour u certi p, Etpe 3 : Démotrer e utilist l suppositio précédete que l propositio est vrie pour p + Applictio : A l ide du pricipe de récurrece, démotrer les théorèmes 4 et 7. Eercice 9 : O cosidère l suite défiie pr u 0 = 2 et pour tout N, u + = 2u. Démotrer pr récurrece que pour tout N, u = 2 + +. Eercice 0 : Démotrer que pour tout etier : 3 + 2 3 + 3 3 +. + 3 = ( ) 2 2 + 4 Eercice : Démotrer que pour tout etier turel, 4 + 2 est u multiple de 3. Eercice 2 : Soit l propositio P : «0 + est divisible pr 9».. Motrer que si P est vrie pour u certi lors P + est vrie. 2. P est-elle vrie? Eercice 3 : Soit (u ) l suite défiie pr : u0 = et u+ = 2 + u pour tout etier turel o ul.. Démotrer que pour tout etier turel, 0 u 2. 2. Prouver que l suite est strictemet croisste.. Rppels sur les suites Pricipe de récurrece - 9 - Termile S
Eercice 4 : 2+ 3u Soit (u ) l suite défiie pr : u 0 = et u+ = 4 4 + u. Observer à l clcultrice le comportemet des premiers termes de l suite. Peut-o formuler ue cojecture sur so ses de vritio et s covergece? 2+ 3 2. Etudier les vritios de l foctio f défiie sur R+ pr f( ) =. E déduire ue 4 + costructio grphique des premiers termes de l suite. 3. Résoudre f() =. E déduire les vleur possibles pour l limite évetuelle de l suite (u ). 2 + u 4. Motrer que l suite (u ) de terme géérl v = est ue suite géométrique dot o u détermier l riso et le premier terme. 5. E déduire les vritios et l limite de l suite (u ).. Etrit Cetre étrgers I ( Jui 2004 ) O défiit pour tout etier turel, l suite (u ) de ombres réels strictemet positifs pr u+. Pour tout etier turel > 0, o pose v =. u. Motrer que lim v =. + 2 b. Motrer que pour tout etier turel > 0, v >. 2 3 c. Trouver le plus petit etier N tel que, si N, v <. 4 3 d. E déduire que si N, u+ < u. 4 O pose, pour tout etier turel 5, S = u 5 + u 6 + u 7 +.+ u. ² u =. 2 2. O se propose de démotrer que l suite (S ) N est covergete. 3. Motrer pr récurrece que pour tout etier turel 5, u < u5. 4 3 3 3 b. Motrer que pour tout etier turel 5, S + + +... + 4 4 4 c. E déduire que pour tout etier turel 5, S 4u5 5 2 5 3. Motrer que l suite (S ) N est croisste [ et e déduire qu elle coverge ]*. * cette déductio fer l objet d u théorème chpitre 2. u 5. Rppels sur les suites Pricipe de récurrece - 20 - Termile S
PROBLEME PARTIE Soit f l foctio défiie sur R\{ } pr f() = 7 + 3. 2 + 2. Etudier l foctio f. 7 2. Démotrer que l courbe de f dmet u cetre de symétrie Ω ; 2. 3. Ds u pl rpporté à u repère orthoorml, trcer l courbe représettive C de l foctio f PARTIE 2 O e s itéresse qu à l restrictio de f sur l itervlle]0 ;+ [ Soit (u ) l suite défiie pr u 0 = 2 et u + = 7 u + 3 pour tout etier. 2u + 2..A l ide de l courbe C, représeter les premiers termes de l suite (u ) sur l e des bscisses. b. Emettre ue cojecture sur l limite de l suite (u ). 2.. Démotrer que, pour tout réel de l itervlle ]0 ;+ [, f() pprtiet à l itervlle ]0 ;+ [. b. E déduire que l suite (u ) est défiie pour tout et que u >0. 3.. Démotrer que, pour tout etier : u + 3 u 3 2, puis u b. E déduire que (u ) covergece vers 3. 3 2 PROBLEME 2 Au er jvier de l ée 2002, l popultio urbie u 0 et l popultio rurle r 0 d u cto sot chcue égles à 0 000. O estime que l popultio urbie ugmete de 5% pr et que l popultio rurle dimiue de 7% pr. O ote u et r les popultios urbies et rurles du cto u er jvier de l ée 2002 +, et p l popultio globle du cto.. Motrer que (u ) et (r ) sot des suites géométriques. E déduire ue epressio de u, r et p e foctio. 2. Clculer les limites de ces trois suites qud ted vers l ifii. 3. Observer les vritios de l suite (p ) à l ide de l clcultrice ou d u tbleur. Quelle cojecture peut-o étblir sur so ses de vritio? 4. Clculer p + p, puis résoudre l iéqutio : p + p 0. 5. Détermier l ée N à prtir de lquelle l popultio globle du cto croît.. Rppels sur les suites Pricipe de récurrece - 2 - Termile S
Chpitre 2. Limite d ue foctio Compéteces : Rppeler les otios sur les limites Svoir détermier l limite e l ifii d ue foctio Svoir détermier l limite e u réel d ue foctio Svoir utiliser et démotrer le théorème des gedrmes Svoir détermier ue symptote. I. Comportemet d ue foctio à l ifii. Limite ifiie Défiitio A.: Limite ifiie e + Soit f ue foctio umérique défiie sur [ 0 ;+ [ vec 0 u réel. Si f() est ussi grd que l o veut dès que est ssez grd, o dit que f pour limite + e +. O écrit lim f() = +. + Pour toute vleur A ussi grde que l o veut, il eiste ue vleur 0, telle que pour tout > 0, f() > A, ou ecore que tout itervlle ]A ;+ [ cotiet toutes les vleurs de f(). y =A 2. Limite fiie o0 0 Défiitio A.2 : Limite fiie e + Soit f ue foctio umérique défiie sur [ 0 ;+ [ vec 0 u réel et λ u réel. Si l distce f () λ est ussi petite que l o veut dès que est ssez grd, o dit que : f pour limite y= f() λ e +. O écrit lim f( ) = λ. + λ y = λ o 0 2. Limites de foctios - 22 - Termile S
A prtir de ssez grd, > 0, tout itervlle de cetre λ cotiet toutes les vleurs de f(). Défiitio A.3: Dire que lim f( ) = λ, c est dire que lim ( f( ) λ) = 0, ou ecore que f() = λ + ϕ (), vec lim ϕ( ) = 0 + + + Défiitio A.4: Asymptote horizotle Si lim f() = λ, o dit que l droite d équtio y = courbe de l foctio f. λ est symptote horizotle e à l Ds l eemple ci-dessus, l droite d équtio y = λ est symptote horizotle e +. Tous les théorèmes restet vris u voisige de Limite u voisige de + et des foctios de référece 2 2 lim =+ lim =+ lim = 0 + + 3 3 lim =+ lim = lim = 0 lim = + + + II. Limite d ue foctio e, réel Défiitio A.5: Limite ifiie e Soit f ue foctio défiie sur u itervlle ouvert e. Si f() est ussi grd que l o veut dès que est ssez proche de, o dit que : f pour limite + e. O écrit lim f() = + Ds l eemple ci-cotre, o remrque que et lim f( ) = > lim f( ) = < Limite prticulière : lim = + et lim = 0 0 > 0 < 0 o = y= f() Défiitio A.6 : Asymptote verticle Si lim f() =, o dit que l droite d équtio = est symptote verticle à l courbe de f e Commetire : L courbe de l foctio iverse dmet ue symptote verticle d équtio = 0. 2. Limites de foctios - 23 - Termile S
Défiitio A.7: Limite fiie u voisige de Soit f ue foctio défiie sur u itervlle ouvert e et L u réel. Si l distce f() L est ussi petite que l o veut dès que est ssez proche de, o dit que f pour limite L e. O écrit lim f() = L Théorème A. (dmis) : Cotiuité e (Chpitre 3) Si ue foctio f est défiie e et dmet ue limite e lors lim f( ) = f( ). III. Opértios sur les limites Soit f et g deu foctios umériques dot les limites sot doées ds u même voisige. Si Alors lim f() = lim g() = lim [ f()+ g()] = lim f() g() = lim L L 0 L + L LL L L ' L + + L + Forme idétermiée si L < 0 + si L < 0 + + + + + 0 0 0 0 0 + si L > 0 si L > 0 Forme idétermiée f() = g() 0 0 Forme idétermiée Forme idétermiée Forme idétermiée Forme idétermiée 0 Applictio : Etudier le comportemet e + de l foctio f : + + IV. Théorèmes de compriso Théorème d ecdremet dit «des gedrmes» Soit f, g et h trois foctios défiies sur u itervlle I =], + [ et λ u réel. Si pour ssez grd, h() f() g () et si lim g( ) = lim h( ) = λ lors lim f( ) = λ. + + + 2. Limites de foctios - 24 - Termile S
Démostrtio : D près l défiitio 2, lim g ( ) = lim h ( ) = λ sigifie qu à prtir d ue certie + + vleur 0, tout u itervlle ouvert de cetre λ cotiet toutes les vleurs de g() et h(). Comme, pour ssez grd, g() f() h(), tout itervlle ouvert de cetre λ cotiet ussi toutes les vleurs de f(). Doc lim f( ) = λ + Théorème A.2 : Soit f et g deu foctios défiies sur u itervlle I =], + [ et λ u réel. Si pour ssez grd, o f() λ g() et si lim g() = 0lors + lim + f() = λ Démostrtio : L iéglité f ( ) λ g( ) sigifie que pour tout ssez grd, λ g() f() λ + g(). Or, lim g ( ) = 0. D près les règles opértoires, [ λ g] = λ et lim [ λ g ( )] lim ( ) + + gedrmes», lim f( ) = λ + + + = λ. E utilist le théorème précédet dit «des Théorème de mjortio, miortio. Si pour ssez grd, f() g() et si lim g( ) = + + lors lim f( ) = + + 2. Si pour ssez grd, f() g() et si lim g( ) = + lors lim f( ) = + Démostrtio : D près l défiitio, lim g ( ) = + sigifie que tout itervlle ]M ;+ [ cotiet + toutes les vleurs de g(). Comme, pour ssez grd, f() g(), tout itervlle ]M ;+ [ cotiet ussi toutes les vleurs de f(). Aisi, lim f( ) =+. + O démotre de l même fço le résultt 2. Applictio : Etudier l limite e + de l foctio f défiie pr f() = si Etudier l limite e + de l foctio f défiie pr f() = ² + cos. V. Limite de foctio composée Théorème A.3 (dmis) : Limite de foctio composée Soit f, g et h trois foctios telles que f = goh. Chque lettre, b, et c désige soit u réel, soit +, soit. Si lim h() = b et si lim g(x) b = X c lors lim g(h()) = c Applictio : Détermier l limite e + de l foctio défiie pr f () = ² + 2. Limites de foctios - 25 - Termile S
VI. Asymptote oblique Défiitio A.5 : Asymptote oblique C f est l courbe représettive d ue foctio f ds u repère doé. Dire que l droite δ d équtio y = + b, ( 0), est symptote oblique à C f u voisige de + sigifie que lim [ f( ) ( + b) ] = 0 + L droite δ d équtio y = + b est symptote à C f e + mis ussi e. δ L droite d équtio = est symptote verticle à C f. C f o Pour coître l positio reltive de l courbe de f pr rpport à so symptote, o étudie le sige de f() ( + b ) = METHODE RAPPEL : Détermitio de limite Foctio rtioelle : Fctoriser le umérteur et le déomiteur pr le terme du plus hut degré. Et simplifier lors. Foctio cotet ue ou plusieurs rcies crrées : Utiliser l epressio cojuguée. Utiliser le ombre dérivé Foctio trigoométrique : Utiliser l epressio cojuguée. Utiliser le ombre dérivé 2. Limites de foctios - 26 - Termile S
Eercices d pplictio : Eercice : Etudier l limite de f u edroits idiqués : 4. f( ) = 2 6+ 5 e, e 5, e + et e. 3 2 2 2. f( ) = 2 + 2 e, e 2, e + et e. 3. f ( ) = 2+ si e + et e. 4. 5. 6. 7. 8. + f( ) = e, e 0 et e +. f( ) = si e +. + 2 f( ) = e 3 et e +. 3 2 + 2 3 f( ) = e. cos f( ) = e 0. Eercice 2 : 2 2 + 3 2 Soit f l foctio défiie sur R {}pr f( ) =. c. Motrer que f() peut se mettre sous l forme + b +,, b, c à détermier. 2. E déduire que l courbe représettive de f dmet e et e + ue symptote oblique. 3. Etudier l positio de l courbe de f pr rpport à l symptote. 4. Vérifier vec l clcultrice. Eercice 3 : si. Démotrer le résultt lim = 0 2. E déduire les limites suivtes : si 2 lim 0 3 si ; lim 0 2 ; si lim 0 ; si lim 0 Eercice 4 : + si Soit l foctio f défiie sur R pr f() = ² + +.. Questio de cours : Démotrer le théorèmes des gedrmes ppliqués u foctios. 2. Détermier l limite de f lorsque ted vers + 2. Limites de foctios - 27 - Termile S
Eercices de Bc Eercice : Etrit f est l foctio défiir sur R pr f( ) = + ² +. r r Oi,, j C est l courbe représettive de f ds le repère ( ). Etudier l limite de f e. Iterpréter géométriquemet ce résultt. 2. Prouver que l droite d équtio y = 2 est symptote oblique à C e +. 3. Etudier l positio reltive de C et de Δ Eercice 2 : f est l foctio défiie sur R pr rr Oi,, j. orthoorml ( ) f ( ). Démoter que C u e de symétrie. 2. Etudier les limites de f e + et e. 3. Vérifier que pour tout réel, f() = + + E déduire que C ue symptote oblique d e +. Préciser l positio de C pr rpport à d. 2 = +. C est s courbe représettive ds u repère 2. 4. C est l représettio grphique de l foctio g défiie sur R pr g() = f(). H est l réuio des courbes C et C. r r Oi,, j : ² y² =. Vérifier que H pour équtio ds ( ) r r r vec u= 2 ( i + j ) r et v= 2 ( i + j ) 2 2 U poit M de coordoées ( ; y) ds ( Oi,, j ) 5. O cosidère u ouveu repère ( Ouv,, ) Eprimer et y e foctio de X et Y. Doer ue équtio de H ds ( Ouv,, ) r r. Trcer H ds ( Ouv,, ) r r r r pour coordoées (X ; Y) ds ( Ouv,, ) r r. r r. r r. 2. Limites de foctios - 28 - Termile S