Lycée du Parc 2-22 - Concours Blanc Épreuve de mahémaiques Samedi 5 Mai 22-8h-2h Si la vie es complee, c es parce qu elle a une parie réelle e une parie imaginaire. Marius Sophus Lie. Le devoir compore si eercices qui peuven êre abordés dans un ordre laissé au choi du candida. Le suje es rédigé sur 5 pages. L usage de oue calcularice ou de ou moyen de communicaion es inerdi. SUJET AVEC INDICATIONS : à par dans l eercice 6, les quesions son un peu plus déaillées que dans le suje original afin de guider un peu plus les réponses.
Eercice On pose, pour ou n N,. Calculer u. u n = d + n 2. Monrer que la suie u n ) n es croissane e majorée par. Qu en dédui-on? 3. Monrer que, pour ou n N, En déduire l encadremen : puis la valeur de lim u n. n + u n = 4. En remarquan qu on a, pour ou de [, ], paries, éablir l égalié : n + n d u n n + n ln2) d = + n n n 5. Monrer que pour ou u réel posiif, ln + u) u. En déduire que : n + = n e en effecuan une inégraion par n + n ln + n )d n + 6. Donner une valeur approchée de u, puis de u à 2 près. ln + n )d Eercice 2 Dans ce eercice, les changemens de variables doiven êre jusifiés, c es-à-dire les condiions pour qu ils soien valables doiven êre précisées.. À l aide d un changemen de variable u = 2 = ϕ), calculer l inégrale : I = / 2 4 d 2. À l aide d un changemen de variable u = Arccos) = ϕ) qu on jusifiera), calculer l inégrale : /2 J = + d 2-22 Lycée du Parc 2/5
Eercice 3. Soi T une marice riangulaire. Rappeler à quelle condiion la marice T es inversible. a 2. Soi a un réel quelconque. Déerminer les valeurs de a pour lesquelles la marice M = a 2 a n es pas inversible. On essaiera pour cela de déerminer une marice riangulaire équivalene à M. Eercice 4 On défini les polynômes A, B e C par : A = X + 3)X + 5), B = 2X + )X + 5), C = 3X + )X + 3). a) Rappeler la dimension de l espace vecoriel R 2 [X]. b) Monrer que les rois polynômes A, B e C formen une famille libre de l espace vecoriel R 2 [X]. c) Pourquoi peu-on affirmer que A, B, C) es une base de R 2 [X]? 2. On considère E = {P R 2 [X] / P ) = } l ensemble des polynômes de R 2 [X] qui s annulen en. Monrer que E es un sous-espace vecoriel de R 2 [X]. 3. a) Démonrer que X +, X 2 ) es une famille libre d élémens de E. b) En déduire que dime) 2. c) Jusifier que 2 dime) 3. Es-il possible que dime) = 3? En déduire une base e la dimension de E. 4. Démonrer que B, C) es une base de E. 5. Soi F l espace vecoriel engendré par le polynôme A, c es-à-dire F = V eca). Démonrer que F E = {}. A--on R 2 [X] = F E? 2-22 Lycée du Parc 3/5
Eercice 5 Soi f la foncion définie, lorsque cela a un sens, par la relaion suivane : f) = 2 d ln) On noera pour ou ], + [, g) = ln).. Monrer que f) a un sens pour ou sricemen posiif. 2. Jusifier pourquoi g adme une primiive G sur ], + [ e eprimer f) à l aide de la foncion G. En déduire que la foncion f es dérivable sur R + e calculer sa dérivée f ) pour >. 3. Éudier les variaions de la foncion f. 2 d 4. a) Calculer, pour >,. b) Déerminer un équivalen de : 3/2 ln) ) e en déduire que : lim + 3/2 ln) ) = c) Jusifier qu il eise un réel A el que pour ou > A, on ai : 3/2 ln) ) d) Calculer 2 d e déduire de la quesion précédene que 3/2 2 lim + ln) ) d = e) Monrer que f adme une limie quand end vers +, e que cee limie es ln2). 5. Monrer que f adme pour limie quand end vers +, e en déduire que f es prolongeable en une foncion coninue sur R +. 6. Déerminer la limie de f ) lorsque +. La foncion f prolongée) es-elle dérivable en? 7. Donner l allure de la représenaion graphique de f, le plan éan rapporé à un repère orhonormé. 2-22 Lycée du Parc 4/5
Eercice 6 Soi E un K-espace vecoriel de dimension 3, don on noera le veceur nul. Soi u un endomorphisme de E qui vérifie : où u 3 désigne la composée u u u. E, u 3 ) =. Peu-on avoir Keru) = { }? Déerminer Keru 3 ). 2. Monrer que Keru) Keru 2 ) e Keru 2 ) Keru 3 ). 3. Monrer que si on a Keru) = Keru 2 ), alors Keru 2 ) = Keru 3 ). 4. On suppose dans cee quesion que dimkeru)) =. On souhaie prouver que dimkeru 2 )) = 2. a) Monrer que si dimkeru 2 )) =, alors on a E = Keru) Imu). En déduire que ce cas es eclu. b) Monrer que si dimkeru 2 )) = 3, alors Imu) Keru). En déduire que ce cas es eclu. c) Conclure. 5. Monrer que si dimkeru)) = 2, alors u 2 es l endomorphisme nul. 6. On suppose dans cee quesion que u 2 n es pas l endomorphisme nul. a) Calculer dimimu)) e dimimu 2 )). b) Soi E el que u 2 ). Monrer que la famille B =, u ), u 2 )) es une base de E. 2-22 Lycée du Parc 5/5