chapitre 3 ecters et repérages I Qelqes rappels Un ecter permet de caractériser n déplacement : Il est défini par ne direction, n sens sr cette direction et ne longer! Il n'est en acn cas lié à n point de départ o d'arriée! (ça "donne" n parallélogramme!) Vocablaire : lie de parler de la longer d'n ecter, on préfère parler de sa norme La norme de se note Remarqe : = II Vecters dans le parallélogramme Soient,, C et D des points d plan Si = CD alors DC est n parallélogramme Si DC est n parallélogramme alors = CD Qe l on pet écrire : = CD <=> DC est n parallélogramme C D On a assi : C = D <=> DC est n parallélogramme III DDITION DE DEUX VECTEURS Un ecter étant compris comme n déplacement : La somme de dex ecters est comprise comme la sccession de dex déplacements ller de ers pis de ers C, "reient" à aller de ers C : + C = C (relation de Chasles) + C Remarqe : les ecters sont «bot à bot» - faire les 4 configrations si besoin ( correctes) L'opposé d'n ecter est le déplacement en sens inerse (même direction et même norme) + ( ) = 0 Donc - = La différence de dex ecters est la somme d premier aec l'opposé d second = + ( ) Somme de dex ecters : OM + ON = OR si et selement si OMRN est n parallélogramme p 76 :, 10 pis : 6 ; 9 ; 13
IV Mltiplication d n ecter par n réel 1) Intitiement C D 1 3 CD = donc D = = C = - ) Définition : soit n ecter non nl soit k n nombre réel on appelle prodit d ecter par le nombre k le ecter noté k tel qe : si k > 0 alors le ecter k a même direction, même sens qe et a por longer k k si k < 0 alors le ecter k a même direction, et de sens contraire à et a por longer -k k si k = 0 alors le ecter k est le ecter 0 remarqes : si k = -1 alors k = - est le ecter opposé à = 0 alors por tot réel k, k = 0 si 3) Propriété : qels qe soient les nombres réels a et b et les ecters et non nls a) a + b = (a + b) ex: + 3 = ( + 3) = 5 b) a(b ) = (ab) ex: 3(5 ) = (3x5) = 15 c) a( + ) = a + a ex : 3( + ) = 3 + 3 Ex : 17, 19 ; 1 en + : 18 ;0 4) Colinéarité définition :
dex ecters non nls et sont colinéaires s il existe n réel k non nl tel qe : = k exemple : soient, et w trois ecters non nls tels qe : = 3 et w = -5 on a qe et sont colinéaires et qe et w w Remarqe por pls de précision ( por ecters nls et colinéarité ) : On dit qe est colinéaire à lorsq'il existe n réel k tel qe = k Donc Le ecter nl est colinéaire à tot ecter car qelqe soit on a : 0 = 0 par contre acn ecter non nl n'est colinéaire a ecter nl : =? 0 Dans le cas où et sont non nls et où est colinéaire à : Le réel k tel qe = k est alors non-nl, on pet donc écrire = 1 k donc assi colinéaire à On dit alors qe " et sont colinéaires" (l'n à l'atre) conséqences : dex ecters colinéaires ont même direction pplications : et est 1) I est le milie de [] I + I = 0 I = 1 I = I I = I ) Parallélisme Théorème : dex droites () et (MN) sont parallèles <=> les ecters et MN Exemple : démonstration de la droite des miliex : Dans n triangle C, soit I le miliex de [] et J le milie de [C] Montrons qe C = IJ = I donc - = - I soit = I de pls C = J Ex : ; 4 ; 6 ;7 8 ; en + : 30 ; 31 ; 3
Or C = + C = I + J = ( I + J ) = IJ 3) lignement Théorème : trois points distincts, et C alignés sont alignés <=> les ecters et C Exemple : G est le centre de graité d triangle C G= (' étant le milie de [C]) 3 Exercice spplémentaire : démontrer qe G appartient ax atres médianes V Repérage d n point a) repérage sr ne droite Choisir n repère sr ne droite, c est se donner dex points distincts O et I de, pris dans cet ordre O est l origine d repère Posons alors OI = i Le ecter i est appelé ecter de base Le repère sera noté (O ; i ) Définition : L abscisse d point M de dans le repère (O ; i ) est le réel x tel qe OM =x i C ' G Exemple : OM = 7 i signifie qe M a por abscisse 7 dans le repère (O ; i ) N a por abscisse -,3 dans le repère (O ; i ) signifie qe ON = -,3 i N -,3 O I M 0 i 1 7 b) repérage dans le plan Définition : (O ; i, j ) est n repère d plan Il est constité d n point O appelé origine d repère et d ne base ( i, j ), c est à dire dex ecters non colinéaires Remarqe : - Lorsqe les directions des ecters i et j sont perpendiclaires, la base ( i, j ) est orthogonale - Une nité de longer étant choisie, si i et j ont des directions perpendiclaires et ont por longer 1, alors la base ( i, j ) est orthonormale o orthonormée Coordonnées d n point dans n repère Soit M n point d plan mni d repère (O ; i, En traçant la parallèle à chaqe axe passant par M, on obtient dex points H et K Il existe n niqe réel x et n niqe réel y tels qe OH = x i et OK = y On a alors OM = OH + OK, c est à dire OM = x i + y On dit qe (x ; y) est le cople des coordonnées d point M dans le repère (O ; i, O j i K H M Exemple : Dans le repère (O ; i, j ), M a por coordonnées ( ;1) 1j M O 1i
VI Coordonnées de ecters Dans ce paragraphe, n repère (O ; i, j ) d plan est fixé a) Généralités est n ecter donné ; M est le point tel qe OM = Notons (x ; y) les coordonnées d point M lors OM = x i + y Donc = x i + y insi tot ecter d plan pet s écrire sos la forme : = x i + y Définition : Dire qe le ecter a por coordonnées x dans le repère (O ; i, j ) signifie qe = x i + y On note x Propriété : Dire qe les ecters x et x' y' sont égax éqiat à dire qe lers coordonnées respecties sont égales: x = x et y = y b) règles de calcl sr les coordonnées Propriétés : x et x' y' sont dex ecters et k est n réel qelconqe, Le ecter + a por coordonnées x + x' y + y' ; Le ecter k a por coordonnées kx ky En effet = x i + y j et = x i + y j, on a alors + = (x + x ) i + (y + y ) j Calcl des coordonnées de : (x ; y ) et (x ; y ) sont dex points Le ecter a por coordonnées x x y Démonstration : D après la relation de Chasles, = O + O et O = - O De pls O = x i + y j et O = x i + y On obtient alors = (x x ) i + (y y ) Exercice : Dans n repère (O ; i, j ), on donne le point (-1 ; ) et le ecter 3-1 = Calcler les coordonnées de Soltion : On note (x ; y ) les coordonnées d point = Les coordonnées de ces dex ecters sont donc égales On en dédit : x (-1) = 3 et y = -1 d où x = et y = 1 Donc ( ; 1) Coordonnées d milie d n segment Soient (x ; y ) et (x ; y ) dex points d plan mni d n repère (O ; i, j ), alors le milie I d segment [] a por coordonnées x + x y + y ; En effet, I est le milie de [] se tradit par I = 1
I x I x I y x + x et x x y On obtient alors les égalités : x I x = 1 (x x ) d où x I = ; et y I y = 1 (y y ) d où y I = y + y c) condition de colinéarité 1) Intitiement Compléter le tablea ci-dessos : 1s 1t 1 1 1w 1j 1i abscisse ordonnée 1s 1t 1 1 1w Les ecters ci-contre Qe remarqe-t-on concernant lers coordonnées? ) Critère de colinéarité 1 est colinéaire à 1 il existe n réel k tel qe = k 1 il existe n réel k tel qe x 1 = k x 1 y 1 = k y 1 Le tablea ci-contre est n tablea x 1 x 1 de proportionnalité y 1 y 1 Por exprimer qe les coordonnées de dex ecters colinéaires sont proportionnelles, nos retiendrons le critère siant : (1 0) est colinéaire à 1 x 1 y 1 x 1 y 1 = 0 exemples : 5 si -3 et - 3, alors = 1 5 5 Donc et - 15 si et - 4 3, alors xy x y =- 15 5 5-4 3 5 = - 10 15 + 8 15 = - 15 0 5 Donc et ne sont pas colinéaires Exercice : Le plan est mni d n repère (O ; i, On considère les points (- ; 3), (4 ; -1) et C(1 ; 4) Déterminer les points D(4 ; y) et M(x ; ) tels qe :
CD est n trapèze, de bases parallèles [] et [CD], et M est n point de la droite () Soltion : () et (CD) sont parallèles signifie qe les ecters et CD x x y ; 4 (-) -1 3 ; 6-4 et CD x D x C D y ; CD 4 1 C y 4 ; CD 3 y 4 et CD sont colinéaires signifie qe 6 (y 4) 3 (-4) = 0 6y 1 = 0 donc y = et D(4 ; ) M est n point de () signifie qe les points M, et sont alignés et donc qe les ecters et M 6-4 et M x M x M y ; M x (-) 3 ; M x + -1 et M sont colinéaires signifie qe 6 (-1) (-4) (x + ) = 0 + 4x = 0 donc x = - 1 et M(-1 ; ) Exercice : Dans la figre ci-contre : CD est n parallélogramme, le point P est le milie d segment [D], le point R est le symétriqe de par rapport à D et le point Q est tel qe Q = 1 3 On et montrer qe les points P, Q et R sont alignés Soltion : On pose i = et j = D Dans le repère ( ; i, j ), (1 ; 0), D(0 ; 1), Q( 1 ; 0) car Q = 1 3 3 et P(0 ; 1 ) car P est le milie de [D] R(x R ; y R ) est le symétriqe de par rapport à D, D est alors le milie de [R] On obtient alors x D = x + x R et y D = y + y R D où x D = x + x R c est à dire 0 = 1 + x R et x R = -1 y D = y + y R c est à dire = 0 + y R et y R = donc R(-1 ; ) On obtient alors QP 0 x P x Q 1-3 P y ; QP 1 3 Q 1 ; QP 0 1 et QR x R x Q R y ; QR -1 1 3 Q ; QR - 4 3 On a alors QR = 4 QP 0 Les ecters QR et QP sont colinéaires, donc les points Q, P et R sont alignés d) Distance entre dex points Propriété : (x ; y ) et (x ; y ) sont dex points d n repère orthonormal (O ; i, La distance de à est donnée par : = (x x )² + (y y )²