- 1 - Trigonométrie du triangle quelonque 10.1 La mesure de l angle 10. Trigonométrie Les quatre unités prinipales de mesure d'un angle géométrique sont le degré, le radian, le grade et le tour. Le degré peut être utilisé ave deux sous-unités : minute, seonde. Une mesure peut don être un nomre déimal ou un nomre en degré, minute, seonde. Le degré : La mesure des angles en degrés orrespond au plus anien des modes de division du erle. Il onsiste à rapporter l unité d angle à une unité d ar qui est la 360 ème partie du erle : ar ou angle-unité sont alors dits de un degré et noté 1. Par définition on a: Il y a 90 degrés dans un Droit. Ce qui s'érit: 1D=90. Il y a 60 minutes d'angle dans un degré. Soit: 1 =60' (Il faut remarquer apostrophe qui exprime les minutes d'angle et à ne pas onfondre ave une durée). Remarque: 1'=1 /60 ou 1/60 de degré Il y a 60 seondes d'angle dans une minute d'angle : 1'=60" Don: 1 =60 x 60=3600" (60' valant haune 60"). Remarque: 1"=1 /3600 ou 1'/60. Exemples: 1) 45 20'50" soit 45 3600 + 20 60 + 50 = 163250" La manipulation de es unités se fait omme ave les unités de durée. Aussi : 45 20'50" = 45 + 20/60 + 50/3600 = 45 + 0,333333 + 0,0138 = 45,347 2) En général, nous n'utilisons pas les sous multiples du degré (ériture sexagésimale). Nous préférons utiliser une ériture déimale. Par exemple: 30,5 ne signifie pas 30 et 5 minutes d'angle mais 30 et 0,5 = 0,5 60 = 30' finalement: 30,5 = 30 30' Exerie : Effetuer les onversions demandées. a) 37 42' =... ) 47,25 =......'...'' ) 120 35'42'' =... d) 20,32 =......'...'' Remarque : La navigation maritime à onduit à la mesure en gradient où 90 = 100 gr Le tour utilisé onjointement ave les vitesses angulaire est largement utilisé en méanique donne que 1 tour = 360
- 2 - Trigonométrie du triangle quelonque En premier lieu la néessité du radian est du domaine de l analyse (pour ne iter que les fontions trigonométriques). Néanmoins en géométrie la mesure des angles en radian simplifie onsidéralement la relation entre la longueur d un ar L et l angle dont il rend la mesure, en effet un ar représente en effet autant de radian qu il mesure de rayons. Le radian : Un radian, noté rad, est la mesure d un angle au entre sous-tendu par un ar L égale au rayon du erle r. En omptant le nomre de reports qui seraient néessaires pour ouvrir le erle entier on trouve environ «6 fois et 1 quart». Rien d étonnant, ar est omme si on herhait à mesurer la longueur du erle ave son rayon omme unité. 1 tour = 2πr 6,28r Si on prend le rayon pour unité de longueur on peut alors énoner que : «Sur un erle unité, la mesure de la longueur d un ar et elle de l angle qui si rapporte expriment le même nomre.» Don : 360 = 2π rad. 1 rad = 360 57,3 2π Aussi : 180 = π rad. Remarque : L expression d un angle sans indiation d unité signifie une mesure en radian. La mesure en degré doit être expressément indiquée. Il est ien plus ommode d exprimer une mesure en radian par des fateurs de π que par un nomre déimal. Cela donne des divisions rationnelles du erle. Le passage des degrés en radians et réiproquement est un simple exerie de proportion. x y rad. = 180 π Exerie : Compléter le taleau suivant : Degrés 0 30 90 120 300 17,5 160 π π 3π Radians π 1,2 2,1 4 3 2
- 3 - Trigonométrie du triangle quelonque Appliation sur le seteur d un disque : en degrés en radians r r L Aire : A = π r = r 360 2 1 2 ' 2 Longueur : L= 2 π r = r ' 360 Vitesses angulaire & vitesse linéaire : La vitesse angulaire d une roue qui tourne à vitesse onstante est l angle généré par unité de temps du segment de droite allant du entre de la roue au point P sur la ironférene. θ ω = Elle peut-être exprimée [rad/s], [rad/min], [tours/m], t Or la vitesse linéaire d un point P sur ette même ironférene est la distane «horizontale» ou linéaire parourue par unité de temps d v = Elle peut-être exprimée [m/s], [km/h], t Remarque : La fréquene est définie par : ω = 2π f La vitesse angulaire ne dépend par du diamètre de la roue, il n en est pas de même de la vitesse linéaire. L utilisation de la longueur d un segment permet de passer de l une à l autre. : v = ω r Exerie : Supposons qu une roue de voiture de 50 m de diamètre tourne à la vitesse onstante de 1600 tpm. a) Donner la vitesse angulaire de la roue. ) Trouver la vitesse linéaire. Exerie* : Sur la figure i-ontre on voit la méanique d une iylette ave r 1 = 13m et r 2 = 5 m. Un yliste expérimenté peut atteindre une vitesse de 64 km/h. Si la roue a un diamètre de 71 m évaluer la vitesse en tours/min du pignon avant pour atteindre une telle vitesse linéaire. Indiations : On peut travailler ave θ 1 et θ 2 en radians et rendre ompte de leur relation ave r1 et r 2. Aussi onvertir les km/h en m/s peut être plus ommode.
- 4 - Trigonométrie du triangle quelonque 10.2 Le triangle quelonque Le théorème du sinus : On onsidère un triangle quelonque ABC omme sur la figure i-dessous. C a A B On a alors les relations suivantes : sin( ) sin( ) sin( ) = = a Remarques : On peut appliquer le théorème du sinus pour déterminer l élément manquant d un triangle quelonque si l on onnaît l une des ominaisons suivantes : 1) deux ôtés et un angle opposé à l un d entre eux (CCA) 2) deux angles 1 et un ôté quelonque (AAC ou ACA) Dans la setion suivante (théorème du osinus) on pourra résoudre les as où le théorème du sinus ne peut être utilisé diretement à savoir si l on onnaît : 1) deux ôtés et l angle entre eux (CAC) 2) trois ôtés (CCC) Exemples : a) ) 17 a 47 mm 108 48 47 dm 36 dm 1 Rappel : Dans un triangle la onnaissane de deux angles détermine le troisième.
Exemple : Utilisation d un angle d élévation Lorsque l angle d élévation du soleil est de 64, un poteau téléphonique qui penhe d un angle de 9 par rapport à une ligne formée par le pied du poteau et le soleil projette une omre de 6,3 m sur le sol. Caluler la longueur du poteau. - 5 - Trigonométrie du triangle quelonque. Exerie 1 : Trouver les grandeurs manquantes. a) ) ) 77 10,5 mm a 41 42 10 52 10 61 20 19,7 m 32,4 dm 27 40 d) e*) f) 115 m 18,9 mm 53 20 100 m 67 65 10 140 m 125 m 21,3 mm
- 6 - Trigonométrie du triangle quelonque Remarque 1 : Les limites du théorème du sinus. Pour pouvoir applique le théorème du sinus à un triangle, il est impératif de onnaître la mesure d un angle et de elle du ôté opposé à et angle. Dans les exemples i-dessous, le théorème du sinus ne permet pas de aluler les inonnues : 1) 2) 12 m y 13 m x z 15 m 60 y x 40 80 m z 3) 4) z x 18 m y 45 26 m 30 y x 20 mm z Pour les exemples 1), 2) et 3), on peut résoudre le prolème en ommençant par appliquer le théorème du osinus (voir page 14). Pour l exemple 4), il manque des données pour résoudre le prolème. Remarque 2 : Pas toujours un triangle unique! Le as amigu Si nous onnaissons deux ôtés et un angle opposé à l un d eux (CCA) ela ne détermine pas toujours un triangle unique. C On suppose donnés :, et a Considérons que est aigu : < 90 A a B En plae en positions standard et on onsidère le segment AC de longueur sur le ôté final de. Le troisième sommet B en fontion de la longueur de a devrait se situer quelque part sur l axe horizontal on a alors 4 situations possiles : Si on trouve sin > 1 alors il n existe auun triangle et on a le as (a). Si on trouve sin = 1 alors = 90 et on a le as (). Si on trouve sin < 1on est dans le as () ou (d). N.B. Si au départ > 90 un triangle existe si et seulement si a >.
Exemple : Déterminer les grandeurs manquantes. 12,4 m C 8,7 m - 7 - Trigonométrie du triangle quelonque Attention il y a deux possiilités! 1 et 2 = 180 1 B 36,7 A N.B. sin1 = sin2 Exerie 2 : Trouver les grandeurs manquantes. a) C ) B 100 m a A 67 125 m B A 48 57 47 dm C d) 10 m 60 15 m e) 9 dm 12 dm 30
- 8 - Trigonométrie du triangle quelonque Exerie 3 : Utilisation de relèvements Un point P au niveau du sol se trouve à 3,0 kilomètres au nord d un point Q. Un oureur, partant de Q, se déplae vers le point R dans la diretion N25 E, puis de R vers P dans la diretion S70 W. Caluler la distane parourue. Exerie 4 : Topographie Pour aluler la distane séparant deux points A et B situés sur les rives opposées d un fleuve, un géomètre définit un segment de droite AC de 240 m le long d une des rives. Il détermine que les mesures des angles BAC et ACB sont respetivement de 63 20 et 54 10. a) Caluler la distane entre A et B. ) Caluler la largeur du fleuve si A,B et C sont à 5 m du ord. Exerie 5 : Hauteur d une montagne Refaire l exerie 7 en utilisant le théorème du sinus.
- 9 - Trigonométrie du triangle quelonque Exerie 6 : Topographie Pour déterminer la distane séparant deux points A et B, un géomètre hoisit un point C qui se situe à 375 m de A et à 530 m de B. Si BAC mesure 49 30, aluler la distane entre A et B. Exerie 7 : Téléphérique La figure représente un téléphérique transportant des passagers d un point A, qui se trouve à 2 km du point B situé au pied de la montagne, à un point P au sommet de la montagne. Les angles d élévation de P aux points A et B sont respetivement de 21 et 65. a) Caluler la distane entre A et P. ) Caluler la hauteur de la montagne. Exerie 8 : Altitude d un allon à air haud Les angles d élévation d un allon à partir de deux points au sol sont respetivement de 24 10 et 47 40. Comme le montre la figure, les points A et B sont distants de 8,4 km et le allon se situe entre es points, dans un même plan vertial. Caluler l altitude du allon.
- 10 - Trigonométrie du triangle quelonque Le théorème du osinus : On onsidère un triangle quelonque ABC omme sur la figure i-dessous. C a A B On a alors les relations suivantes : = + 2 os( ) 2 2 2 a = + 2 os( ) 2 2 2 a a = + 2 os( ) 2 2 2 a a Remarques : Si = 90 on retrouve le théorème de Pythagore. Le théorème du osinus permet de résoudre les as où le théorème du sinus ne peut être utilisé diretement. On détermine l élément manquant d un triangle quelonque si l on onnaît l une des ominaison suivantes : 1) deux ôtés et l angle entre eux (CAC) 2) trois ôtés (CCC) Exemples : a) 5 m 77 8 m ) 70 mm 90 mm 40 mm
- 11 - Trigonométrie du triangle quelonque Exerie 9 : Dans haque as trouver les grandeurs manquantes. A 1) = 60 = 20 = 30 2) = 150 a = 150 = 30 3) = 115 10 a = 1,1 = 2,1 4) a = 2,0 = 3,0 = 4,0 5) a = 25 = 80 = 60 C a B Exerie 10 : Un parallélogramme a des ôtés de 30 m et de 70 m et un angle de 65. Caluler la longueur de haque diagonale au entimètre près.
Exerie 11 : Calul de la longueur d un âle Un poteau haut de 12 m est planté sur le flan d une olline qui forme un angle de 17 ave l horizontale. Caluler la longueur minimale d un âle tendu entre le sommet du poteau et un point en ontreas distant de 21,6 m de la ase du poteau. - 12 - Trigonométrie du triangle quelonque Exerie 12 : Distane entre deux voitures Deux voitures quittent une ville en même temps et suivent haune une autoroute retiligne, dont les diretions diffèrent de 84. Si les vitesses des deux voitures sont respetivement de 90 km/h et de 72 km/h, aluler la distane séparant les deux véhiules au out de 20 minutes. Exerie 13 : Avion de reonnaissane Un avion de reonnaissane P, volant à 3000 m audessus d un point R à la surfae de l eau, détete un sous-marin S ave un angle de dépression de 37 et un ateau de ravitaillement T ave un angle de dépression de 21, omme le montre la figure. De plus, SPT est mesuré à 110. Caluler la distane entre le sous-marin et le ateau de ravitaillement.
- 13 - Trigonométrie du triangle quelonque Solutions Page 2 : Page 3 : Exemple : a) 167,5 rad/s ) 150,8 km/h Exerie : 184 tours/min Ex 1 : a) = 62 = 14,1 mm =15,6 m ) = 76 30 a = 13,6 m = 17,8 m ) = 100 10 = 55,1 dm = 68,7 dm d) = 77 30 = 49 10 = 108 m = 102 30 = 24 10 = 59 m e) impossile un tel triangle n existe pas! f) = 53 40 = 61 10 = 20,6 mm Exemple: Cas 1 : = 58,4 ; = 84,9 ; = 14,5 m Cas 2 : = 121,6 ; = 21,7 ; = 5,4 m Ex 2 : a) Ce triangle ne peut être onstruit. ) Ce triangle ne peut être onstruit. ) a = 36 dm ; = 41 dm d) 2 solutions : Ex 3 : 5,8 km Ex 4 : a) 219 m ) 186,02 m Ex 5 : 1884,19 m Ex 6 : 690,30 m Ex 7 : a) 2,6 km ) 935 m Ex 8 : 2,68 km
Ex 9 : 1) a = 26,45 = 40,90 = 79,10 2) = 176,62 = 25,12 = 4,87 3) = 2,75 = 21,16 =21 10 = 43 40 4) = 28,96 = 75,56 = 75,48 5) = 12 24 = 136 30 = 31 6 Ex 10 : 63 m et 87 m Ex 11 : 27,6 m Ex 12 : 36,4 km Ex 13 : Ave 3981 m et 7815 m on trouve 9910 m 9,9 km - 14 - Trigonométrie du triangle quelonque Soure des exeries : «Trigonométrie ave géométrie analytique», E.W. Swokowski, J.A. Cole Un anien télesope d'arpenteur