. Itroductio XV. robabilités. L'étude des probabilités couvre toutes les situatios de phéomèes ayat plusieurs issues possibles, la réalisatio de chaque résultat état due au hasard. Des exemples de calcul de probabilités sot ombreux : e voici quelques us.. Le lacer du dé : quelles sot mes chaces d'obteir u 6? 2. Au jeu de pile ou face, combie de chaces ai-je d'obteir 2 faces si je lace 3 fois la pièce? 3. Lorsque je lace ue puaise sur u sol lisse, celle-ci peut retomber de 2 maières possibles : poite e l'air, ou appuyée sur sa poite. Quelles sot "les chaces" qu'elle retombe "poite e l'air"? Das le cas du premier exemple, l'ituitio ous fait répodre 6 our le secod exemple, le déombremet de toutes les issues possibles (u schéma e arbre peut ous y aider), ous permet assez vite égalemet d'arriver à la valeur 8 3 Das le 3 ème exemple, ous arrivos difficilemet à doer ue valeur qui répode à la questio. Le seul moye d'y arriver est de réaliser u grad ombre de fois l'expériece et d'observer la fréquece du résultat "poite e l'air". O cosidère alors que lors de la prochaie expériece semblable, la probabilité d'obteir "poite e l'air" (ue sorte de mesure des chaces d'avoir ce résultat) est égale à cette fréquece. Nous allos maiteat préciser le vocabulaire employé pour décrire ces situatios. 2. Quelques défiitios. 2. Expériece aléatoire. Ue expériece aléatoire est ue expériece qui a plusieurs résultats possibles mais dot l'issue e peut être prévue avec certitude. Le résultat est dû au hasard. O peut cepedat décrire tous les résultats possibles. Das la suite du cours, o otera : E.A. 2.2 Catégorie d'épreuve. La catégorie d'épreuve (ou esemble fodametal) d'ue E.A. est l'esemble de tous les résultats possibles de cette expériece. O la ote C.E. Cet esemble est appelé Exemples : Le lacer du dé est ue expériece aléatoire. Sa catégorie d'épreuve : = {, 2, 3, 4, 5, 6} Le lacer d'ue pièce de moaie. = {, } La aissace d'u efat = {ille, Garço} Le lacer de 3 pièces de moaie = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) } O peut représeter cette situatio par u diagramme e arbre O lace u dé jusqu'à ce qu'o aie u 6 sur la face supérieure. O ote le ombre de jets aisi réalisés. = N O lace ue fléchette sur ue cible rode (sas marque). O ote la distace au cetre. = [0, R] : u esemble ifii de poits. Das ce chapitre, ous 'aborderos que les cas où la catégorie d'épreuve est u esemble fii. 4/0/204 CND Erpet - robabilités XV -
2.3 Evéemet. 2.3. Exemple : Cosidéros l'expériece aléatoire "le lacer du dé " = {, 2, 3, 4, 5, 6} Das le cadre de cette expériece, o peut s'itéresser à différets "évéemets" E : l'évéemet : "Le résultat est pair " : E = {2, 4, 6} et E E 2 : l'évéemet : "Le résultat est supérieur ou égal à 3 " : E 2 = {3, 4, 5, 6 } et E 2 E 3 : l'évéemet : "Le résultat est divisible par 3" : E 3 = {3, 6} et E 3 2.3.2 Défiitio U évéemet E d'ue expériece aléatoire est u sous-esemble de : E our le caractériser, o exprime ue coditio qui le détermie (pour le cas de E : "le résultat est pair") ou o éumère ses élémets (E = {2, 4, 6}) U évéemet est réalisé si le résultat de l'expériece appartiet à ce sous-esemble E 2.3.3 Remarques : Certais évéemets sot particuliers : ce sot les évéemets et. Si E = : E est l'évéemet certai. Il est réalisé quelle que soit l'issue de l'expériece aléatoire. Si E = : E est l'évéemet impossible : il 'est jamais réalisé. Das le cas du lacer du dé : E = l'évéemet : " le résultat est positif" est u évéemet certai. E = l'évéemet : "le résultat est divisible par 7" est u évéemet impossible. U évéemet élémetaire est u évéemet qui comporte u seul élémet. 2.3.4 Opératios sur les évéemets. Si ous cosidéros maiteat 2 évéemets : A et B, alors A B, A B, A\B, \A sot égalemet des évéemets. L'évéemet A B (A uio B) est réalisé si le résultat de l'expériece appartiet à l'uio des esembles A et B c'est à dire s'il appartiet à A ou à B L'évéemet A B (A iter B) est réalisé si le résultat de l'expériece appartiet à l'itersectio des esembles A et à B c'est à dire s'il appartiet à A et à B L'évéemet A\B (A mois B) est réalisé si le résultat de l'expériece appartiet à la différece des esembles A et B c'est à dire s'il appartiet à A mais 'appartiet pas à B L'évéemet \A =A c ( mois A ou A complémetaire) est réalisé ssi A 'est pas réalisé. Les évéemets A et A c sot appelés évéemets cotraires ou aussi évéemets complémetaires. Exemples O lace u dé et o observe sa face supérieure. = {, 2, 3, 4, 5, 6} A = Le résultat obteu est pair A = {2, 4, 6} B = Le résultat obteu est supérieur ou égal à 3 B = {3, 4, 5, 6} A B = le résultat obteu est pair ou supérieur ou égal à 3 A B = {2, 3, 4, 5, 6} A B = le résultat obteu est pair et supérieur ou égal à 3 A B = {4, 6} A\B = Le résultat obteu est pair mais 'est pas supérieur ou égal à 3 A\B = {2} A c = le résultat est impair A c = {, 3, 5} Remarque. Deux évéemets sot cotraires ssi la réalisatio de l'u équivaut à la o réalisatio de l'autre. (c'est à dire : A est réalisé A c 'est pas réalisé et A c est réalisé A 'est pas réalisé ) 2 évéemets cotraires sot tels que A A c = Deux évéemets sot icompatibles ssi la réalisatio de l'u exclut la réalisatio de l'autre. (c'est à dire : A est réalisé B 'est pas réalisé et B est réalisé A 'est pas réalisé ) Les esembles A et B sot alors disjoits. Coséquece : 2 évéemets cotraires sot icompatibles, mais 2 évéemets icompatibles e sot pas écessairemet cotraires. XV - 2 CND Erpet - robabilités 4/0/204
Exemple. O lace ue pièce de moaie 3 fois de suite = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) } Cosidéros les évéemets A : Le ombre de est strictemet supérieur au ombre de B : Le ombre de est strictemet iférieur au ombre de C : Il y a exactemet ue A = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, )} B = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, )} C = {,, ), (,, ), (,, )} Les évéemets A et B sot cotraires. A c = B Les évéemets A et C sot icompatibles. 3. robabilité. 3. Notio de fréquece-limite Lors d'ue expériece aléatoire dot la catégorie d'épreuve est, o s'itéresse à l'évéemet A (Exemple : o lace u dé et o observe le poit. A est l'évéemet "le résultat est strictemet supérieur à 4") Soit, le ombre de fois où o réalise l'expériece et A, le ombre de fois où A s'est produit. Le quotiet A est la fréquece relative de A ostulat : si o répète l'expériece idéfiimet, alors la fréquece relative d'u évéemet lié à cette expériece ted vers ue limite qu'o appelle fréquece limite. : lim A = p (das otre exemple, la fréquece-limite vaudrait /3) Observatios : A : 0 A 0 A : la fréquece-limite est toujours comprise etre 0 et A = A = 0 A = 0 : la fréquece-limite d'u évéemet impossible est ulle A = A = A = : la fréquece-limite d'u évéemet certai vaut La probabilité d'u évéemet correspod habituellemet à la fréquece-limite de celui-ci. 3.2 robabilité : défiitio 3.2. robabilité d'u évéemet simple Soit = {, 2 } l'esemble fodametal d'ue expériece aléatoire. et U = {{ }, { 2 }..{ }} : l'esemble des évéemets élémetaires liés à Ue probabilité défiie sur U est ue foctio : U R telle que : a) i {, 2, } : ({ i }) 0 b) ({ }) + ({ 2 }) + ({ }) = Exemple O lace ue pièce de moaie. = {, } Les évéemets élémetaires de cette E. A. sot : { }={}, et { 2 }={} Habituellemet, o défiit : ({}) = 0.5 et ({}) = 0.5 qui correspod aux fréqueces observées des résultats. Remarquos que les propriétés a) et b) sot aisi vérifiées. Mais la défiitio : ({}) = 0.4 et ({} = 0.6 est égalemet coforme aux propriétés et peut être aussi ue probabilité sur l'esemble des évéemets élémetaires ={{}, {}} Cette ouvelle probabilité correspodrait par exemple à ue pièce déséquilibrée. Gééralemet, les ({ i }) sot les fréqueces-limites des évéemets { i } 4/0/204 CND Erpet - robabilités XV - 3
3.2.2 robabilité d'u évéemet aléatoire quelcoque Soit = {, 2 } l'esemble fodametal d'ue expériece aléatoire. et ue probabilité défiie sur l'esemble des évéemets simples {{ }, { 2 }..{ }} et A O appelle probabilité, la foctio : ( ) R : A (A) prologemet de la foctio de probabilité défiie sur l'esemble des évéemets élémetaires telle que : a) si A = (A) = 0 b) si A = { i } (A) = ({ i }) comme défii ci-dessus c) si A 'est i impossible i simple (A) = ({ i}) i : i A 3.3 ropriétés. ( ) = 0 i 2. A B (B\A) = (B) - (A) B A 3. (A B) = (A) + (B) - (A B) Cas particulier : si A et B sot disjoits (c. à d. si A B = ) : (A B) = (A) + (B) 4. (A c ) = - (A) E effet, = A A c ( ) = (A) + (A c ) (A A c ) = (A) + (A c ) (car A A c = ) A B 5. Soiet A, A 2, A 3,...A : évéemets disjoits 2 à 2 (c-à-d tels que l'itersectio de deux quelcoques d'etre eux est vide : A A 2 =, A A 3 =...) A, A 2, A 3,...A i, j {,...} : A i A j = (A A 2 A 3... A ) = (A ) + (A 2 )...+(A ) Cette derière propriété 'est qu'ue gééralisatio du cas de deux évéemets disjoits. 3.4 Calcul des probabilités. Repreos l'exemple classique du lacer du dé et l'évéemet A = le résultat est multiple de 3. Ituitivemet ous avos immédiatemet : (A) = 2 ombre d' élémets de A 6 ombre d' élémets de E gééral, si ue catégorie d'épreuve = {w, w 2,...w } ( ) = = ( {w i }) = ({w i }) Si A = {w, w 2,...w p } (A) = ({w }) + ({w 2 }) +... + ({w p }) Le plus souvet, les évéemets élémetaires ot la même chace de se réaliser. Das otre exemple classique du dé : ({}) = ({2}) = ({3})...= ({6}) O dit alors que ces évéemets sot équiprobables. E gééral : = ( ) = ({w }) + ({w 2 }) + + ({w }= ({w }) et doc ({w }) = ({w 2 }) = = ({w }) = et (A) = p où p est le ombre de cas favorables à A (ombre d'élémets de A) et le ombre de cas possibles (ombre d'élémets de ) Et, lorsque les évéemets élémetaires sot équiprobables, ous avos : ombre de cas favorables (A) = ombre de cas possibles A XV - 4 CND Erpet - robabilités 4/0/204
3.5 Exercices.. O tire ue carte d u jeu de 52 cartes. Calculer les probabilités des évéemets A, B et C A : la carte est le roi de trèfle. B : la carte est u coeur. C : la carte est ue image. 2. Douze chevaux preet part à ue course. U joueur remplit 5 bulletis de tiercé différets au hasard. Quelle est sa probabilité de gager le tiercé das l'ordre? 3. O jette ue pièce de moaie 4 fois de suite. a) Quelle est la probabilité d'obteir la suite (,,, ) b) Quelle est la probabilité d'obteir deux fois et deux fois? 4. O lace 2 dés différets. Quelle est la probabilité des évéemets suivats? A : la somme des poits obteus est 6 B : la somme des poits obteus est < 6 C : la somme des poits obteus est > 6 5. U dé o pipé est lacé deux fois de suite. O ote la somme des poits obteus aux deux jets. Quelles sot les sommes qui ot : a) la plus forte probabilité d'apparaître? b) la plus faible probabilité d'apparaître? 6. U dé est pipé de telle sorte que la probabilité d'apparaître pour chacue des faces soit proportioelle au poit marqué sur la face. O lace le dé ue fois. Calculer : a) la probabilité de chaque épreuve. b) la probabilité d'obteir u poit pair. c) la probabilité d'obteir u poit impair. 7. Quelle est la probabilité d'obteir exactemet trois fois face das quatre parties cosécutives de "pile ou face"? 8. O tire successivemet et au hasard quatre lettres du mot ROITABLES. Quelle est la probabilité pour que, das l'ordre du tirage, ces lettres formet le mot RATE? a) si o replace la lettre choisie après chaque tirage. b) si o e le remet pas. 9. U joueur possède 4 cartes : l'as et le roi de cœur, l'as et le roi de trèfle. Il les mélage. Quelle est la probabilité pour que la couleur des cartes altere (rouge et oir)? 0. O choisit u ombre etier au hasard parmi les etiers strictemet positifs et strictemet iférieurs à 0. Quelle est la probabilité que le ombre 5 + 3 soit iférieur ou égal à 4?. O choisit u ombre etier au hasard parmi les ombres {5, 6, 7} aisi qu'u ombre p parmi les ombres {0,, 2}. Quelle est la probabilité que le produit.p soit divisible par 5? 4. robabilités coditioelles. 4. Exemple. Le tableau suivat doe la répartitio des élèves de sixième aée d'ue école suivat le sexe et l'âge. Age \ Sexe illes Garços Totaux 6 6 20 36 7 2 20 32 8 6 2 8 9 6 6 2 20 0 2 2 Totaux 40 60 00 4/0/204 CND Erpet - robabilités XV - 5
O choisit au hasard u élève de sixième et o ote so sexe et so âge. Si o sait que la persoe choisie est u garço, quelle est la probabilité pour qu'il ait 8 as? Das ce problème, appelos A, l'évéemet : la persoe choisie a 8 as, et B : la persoe choisie est u garço. Alors, ous oteros (A B) : probabilité de A sachat que B est réalisé, ou ecore (A) si B (A B) = 2/60 Or, ous costatos : (A B) = 2/00 et (B) = 60/00 Nous avos doc : (A B) = ( A B ) ( B) De même : si la persoe choisie a 8 as, quelle est la probabilité qu'elle soit ue fille? Aux évéemets cosidérés das le cas précédet, ous ajoutos C : la persoe choisie est ue fille. O veut (C A) = 6/8 Or : (A) = 8/00 et (C A) = 6/00 et à ouveau : (C A) = ( C A ) ( A) Ce qui ous amèe à gééraliser cette défiitio. 4.2 Défiitio Si A, B tels que (B) 0 alors la probabilité de A si B (sous-etedu si B est réalisé) est otée (A B) (A B) = ( A B ) ( B) Applicatio. O lace ue paire de dés différeciés et o observe la face supérieure de chaque dé. Calculer la probabilité pour qu u des dés doe comme résultat 2 sachat que la somme des poits obteus est 6 Cosidéros les évéemets qui itervieet. A : U dé doe 2 = {(2,), (2,2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),(2,6), (,2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)} B : La somme des poits vaut 6 : = {(,5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) (5, )} A B = {(2,4), (4, 2)} (A B) = ( A B ) = 2 / 36 2 ( B) 5/ 36 5 4.3 Exercices.. O jette u dé deux fois de suite. Quelle est la probabilité qu'u des poits soit 6 sachat que la somme des poits est 9. 2. Das ue ville doée, 40% de la populatio a les cheveux brus, 25% a les yeux marros et 5% a à la fois les cheveux brus et les yeux marros. O choisit au hasard ue persoe. Si elle a les cheveux brus, quelle est la probabilité qu elle ait les yeux marros? 5. Evéemets idépedats. 5. Exemple : Das u jeu de 52 cartes, o extrait carte. a) Quelle est la probabilité que cette carte soit u huit? b) Quelle est la probabilité que cette carte soit u huit sachat que c'est u cœur? c) Quelle est la probabilité que cette carte soit u huit sachat que ce 'est pas ue image? Cosidéros les évéemets A : la carte est u huit B : la carte est u cœur C : la carte 'est pas ue image Nous trouvos aisémet : XV - 6 CND Erpet - robabilités 4/0/204
4 a) (A) = 52 b) (A B) = 3 c) (A C) = 3 4 40 0 Et ous costatos : (A) = (A B) : la réalisatio de B (ou sa o-réalisatio) 'ifluece pas la probabilité de A. Les évéemets A et B sot dits idépedats. Au cotraire : (A) (A C) : ici la réalisatio de C chage la probabilité de A. Les évéemets A et C sot dépedats. Nous arrivos aturellemet à la défiitio suivate : 5.2 Défiitio. A et B sot idépedats ssi (A B) = (A) c.-à-d. deux évéemets d'ue même catégorie d'épreuve sot idépedats ssi la réalisatio de l'u est sas ifluece sur la probabilité de l'autre. Coséquece : o sait que (A B) = ( A B ) et A et B sot idépedats ssi (A B) = (A) ( B) et ous avos doc : A et B idépedats ssi (A B) = (A). (B) Remarque. Ne pas cofodre évéemets disjoits et évéemets idépedats. A et B sot disjoits ssi A B = A et B sot idépedats ssi (A B) = (A). (B) Exemple. O tire ue carte au hasard d'u jeu de 52 cartes. A : la carte tirée est u pique. (A) = 3/52 B : la carte tirée est u roi. (B) = 4/52 A B : A et B e sot pas disjoits. (A B) = /52 (probabilité d'avoir le roi de pique) (A). (B) = 3 4 52 Et ous avos bie (A B) = (A). (B) A et B sot idépedats. 52 52 2 52 52 5.3 Exercices.. Das ue classe de 23 élèves, 8 suivet le cours de éerladais et 0 le cours d aglais, 7 suivet les 2 cours et 2 e suivet aucu. Quelle est la probabilité qu u élève suive le cours d aglais sachat qu il suit le cours de éerladais. Les évéemets "suivre le cours de éerladais" et "suivre le cours d'aglais" sot-ils idépedats? 2. Das u jeu de 52 cartes, o tire ue carte. Quelle est la probabilité que la carte tirée soit u 8 sachat que cette carte est strictemet comprise etre 5 et 0 Ces évéemets sot-ils idépedats? 3. U couple a deux efats. Quelle est la probabilité que les 2 soiet des filles sachat que la ère est ue fille? Ces évéemets sot-ils idépedats? 4. Das u lycée, 25% des élèves échouet e math, 5% e chimie et 0% à la fois e math et e chimie. O choisit u élève au hasard. Les 2 évéemets suivats sot-ils idépedats? A : l élève a échoué e math B : l élève a échoué e chimie. 4/0/204 CND Erpet - robabilités XV - 7
6. Théorème des probabilités totales. Le théorème des probabilités totales va ous permettre de résoudre des problèmes tels que celui ci-dessous Exemple. Je desceds e ville demai avec ue probabilité de /5 s il pleut et de /2 s il e pleut pas. La probabilité qu il pleuve demai est de 2/3. quelle est la probabilité que je descede e ville demai? Soit A, A 2,...A ue partitio de c.-à-d. tels que i, j {,...} : A i A j = A A 2... A = et i {,...} A i ( (A i ) 0) alors B : (B) = (A ). (B A ) + (A 2 ). (B A 2 ) +...+ (A ). (B A ) Justificatio. B = (B A ) (B A 2 )... (B A ) Or (B A ) (B A 2 ) = (B A ) (B A 3 ) = et de même i, j {,...} : (B A i ) (B A j ) = c.-à-d. tous les B A i sot disjoits 2 à 2. Doc (B) = [(B A ) (B A 2 )... (B A )] = (B A ) + (B A 2 ) +...+ (B A ) = (A ) (B A ) + (A 2 ) (B A 2 )...+ (A ) (B A ) (car e gééral : (A B) = (A B). (B)) A A 2 A 3 A i B Repreos maiteat l'exemple ci-dessus : Soit : A = il pleut demai A 2 = il e pleut pas demai B = je desceds e ville (B) = (A ) (B A ) + (A 2 ) (B A 2 ) = 2/3. /5 + /3. /2 = 3/0. /5 desced leut O peut schématiser cette situatio par u diagramme e arbre. 2/3 4/5 desced pas Et ous avos de même : desced (B) = 2/3. /5 + /3. /2 = 3/0. /2 /3 l. pas /2 desced pas 6. Exercices.. O dispose de 3 ures. La première cotiet 3 boules blaches et ue oire. La deuxième 2 blaches et 3 oires. Et la troisième 3 blaches et 4 oires. O tire ue boule das ue des ures. Quelle est la probabilité que la boule soit blache? 2. Trois machies A, B, et C produiset respectivemet 50, 30 et 20% du ombre total de pièces fabriquées das ue usie. Les pourcetages de pièces défectueuses de ces machies sot de 3, 4 et 5%. Si l o pred ue pièce au hasard, quelle est la probabilité pour qu elle soit défectueuse? 3. U sac cotiet des boules de même rayo et de même poids; il y a 3 boules blaches et 5 boules oires. O tire au hasard et successivemet deux boules du sac (sas replacer la première boule). Quelle est la probabilité pour que les deux boules tirées soiet de la même couleur? 4. Deux élèves doivet préseter ue épreuve e équipe. Le premier coaît parfaitemet la matière de 6 chapitres sur 2 et le secod coaît celle de 8 chapitres. O pose ue questio au hasard sur l'u des chapitres. Quelle est la probabilité de réussite de l'équipe? 5. Les probabilités pour que 3 tireurs atteiget ue cible sot respectivemet de /6, /4 et /3. Chacu tire ue seule fois. XV - 8 CND Erpet - robabilités 4/0/204
a) quelle est la probabilité que seul u tireur atteige la cible? b) si seulemet l u d eux atteit la cible, quelle est la probabilité pour qu il s agisse du premier? 6. Ue boîte cotiet 4 dés ormaux et u dé truqué pour lequel 6 apparaît 2 fois sur 3. O choisit u dé au hasard et o le lace. Si le résultat est 6, quelle est la probabilité d avoir choisi le dé truqué? 7. Das u collège, 4% des garços et % des filles mesuret plus de m85. O sait de plus que 60% des élèves sot des filles. O choisit u élève au hasard. Les évéemets "mesurer plus de m95" et "être ue fille" sot-ils idépedats? 7. Exercices gééraux : série. A l exame, u élève doit tirer 2 fiches das chacu des 3 paquets coteat 0, 5 et 20 fiches. L élève e coaît que 3 questios pour chaque paquet. Quelle est la probabilité a) qu il tire 6 fiches qu il coaît? b) qu il tire au mois ue fiche qu il coaît? 2. U bassi comporte 30 poissos. Il y a 5 carpes, 0 brochets, 5 gardos. O pêche 4 poissos d u seul coup d épuisette. Quelle est la probabilité a) d avoir 4 gardos. b) qu'au mois u poisso soit ue femelle sachat qu il y a respectivemet 2, 4 et 5 femelles das chaque groupe. 3. a) Détermier la probabilité pour que 0 idividus aiet des jours aiversaires différets. b) Motrer que das le cas où il y a 23 idividus, cette probabilité est proche de 0.5 4. Ue ure A referme 5 billes rouges et 3 blaches Ue ure B referme 2 billes rouges et 6 blaches. a) Si l o tire ue bille das chaque ure, quelle est la probabilité pour qu elles soiet de la même couleur? b) Si l o tire 2 billes das chaque ure, quelle est la probabilité pour qu elles soiet toutes de la même couleur? 5. Ue boîte A cotiet 8 pièces détachées dot 3 sot défectueuses. Ue boîte B cotiet 5 pièces détachées dot 2 sot défectueuses. O tire au hasard ue pièce das chaque boîte. Calculez la probabilité pour que a) aucue pièce e soit défectueuse. b) ue seule pièce soit défectueuse. 6. U sac cotiet 20 jetos umérotés de à 20 a) O tire u jeto. Tous les jetos ayat même probabilité d'être extraits, quelle est la probabilité pour que le ombre tiré : soit impair 2 soit impair et divisible par 3? b) O tire esemble 2 jetos. Toutes les paires de jetos ayat la même probabilité d'être extraites, calculez la probabilité pour que : la somme des ombres tirés soit 2 2 le produit des ombres tirés soit 2. 7. U sac cotiet 7 boules blaches, 5 rouges et 3 vertes. Das l'épreuve qui cosiste à tirer 3 boules simultaémet, quelle est la probabilité : a) de tirer 3 boules de couleurs différetes; b) de tirer 3 boules dot deux au mois sot rouges c) de tirer au mois ue boule blache sur les trois? 8. Vous possédez 0 pièces de moaie dot trois sot fausses. Vous doez au hasard deux de ces pièces. Quelle est la probabilité pour que a) les deux pièces soiet boes? b) ue seule soit fausse? c) les deux pièces soiet fausses? 9. O jette 5 dés de couleurs différetes et o ote la suite des poits obteus. Calculer la probabilité d'avoir : a) ue suites de ciq poits différets? b) ue paire (exactemet deux poits égaux)? c) ue double paire? d) u brela (exactemet trois poits égaux)? e) u full (u brela et ue paire)? 4/0/204 CND Erpet - robabilités XV - 9
f) u carré (exactemet quatre poits égaux)? g) u poker (ciq poits égaux)? 0. Deux joueurs formet ue équipe au jeu de trivial-poursuit. L'u coaît e moyee deux fois sur 5 la répose aux questios de la rubrique "Ciéma" et l'autre fois sur 4. Quelle est la probabilité de cette équipe de e pas trouver la répose à ue questio de cette rubrique? 8. Exercices gééraux : série 2. Ue ure cotiet 2 boules blaches, ue boule oire, 7 boules rouges. O extrait successivemet deux boules de l'ure. Quelle est la probabilité d'avoir ue boule blache puis ue boule oire. a) e remettat la boule tirée das l'ure après le premier tirage? b) sas la remettre? 2. Sortat d'u théâtre, trois philosophes repreet au hasard leurs chapeaux au vestiaire. Quelle est la probabilité que l'u au mois d'etre eux ait so chapeau? 3. Dix chevaux preet part à ue course. Quelle est la probabilité de proostiquer a) u tiercé correct das l'ordre? b) u tiercé correct das le désordre (ou das l'ordre)? 4. Ue famille est formée de 2 garços et 3 filles. Quelle est la probabilité que la successio, par âge, des filles et des garços soit représetée par la suite (, G,, G, )? 5. Ue famille compte 6 efats. Quelle est la probabilité qu'il y ait autat de garços que de filles? 6. O jette u dé trois fois de suite. Quelle est la probabilité d'avoir les poits a), 4, 6 das l'ordre? b), 5, 5 das l'ordre? c), 4, 6 das l'ordre ou das le désordre? d), 5, 5 das l'ordre ou das le désordre? e) 4, 4, 4? 7. O jette u dé quatre fois de suite. Quelle est la probabilité a) que les 4 poits obteus formet ue suite strictemet croissate? b) Que le chiffre 6 apparaisse au mois ue fois? c) Que la suite e compree que des ombres pairs? 8. D'u jeu de 32 cartes, o extrait huit cartes. Soiet les évéemets A et B. A : "la mai de huit cartes compred exactemet 3 coeurs" B : "la mai de huit cartes compred exactemet 3 piques" A et B sot-ils idépedats? 9. Ue ure cotiet deux boules oires, trois boules blaches et ue boule rouge. O extrait simultaémet deux boules de l'ure. Quelle est la probabilité qu'ue des boules soit oire et l'autre rouge, sachat que les boules tirées sot de couleurs différetes? 0. Ue ure cotiet 2 boules blaches, ue oire et ue rouge. O y pred au hasard ue boule et o la place das ue secode ure qui cotiet déjà 2 boules rouges et ue boule oire. Quelle est la probabilité de tirer ue boule rouge das la secode ure? 9. Solutios des exercices du chapitre. 9. Solutios du N 3.5. ) a)/52 b) /4 c) 3/3 2) 5/ A 2 = 5/320 = /264 3)a) /2 4 = /6 b) 6/6 = 3/8 4) a) 5/36 b) 0/36 c) 2/36 5) (2) = /36 = (2) (3) = 2/36 = () (4) = 3/36 = (0) (5) = 4/36 = (9) (6) = 5/36 = (8) (7) = 6/36 6) k + 2k + 3k + 4k + 5k + 6k = k = /2 a)/2, 2/2,...6/2 b) 2/2 c) 9/2 4 7) 4/ A 2 = ¼ 8) a) (/) 4 = /464 b) 0 9 8 7920 9) 8/ 4 = /3 0) /32 XV - 0 CND Erpet - robabilités 4/0/204
9.2 Solutios du N 4.3 ) 2/4 = /2 2) 5/40 = 3/8 9.3 Solutios du N 5.3 ) 7/8 les évéemets sot dépedats 2) ¼ dépedats 3) (2 filles) / (la première est ue fille) = (/4) / (/2) = ½ dépedats 4) (A) = 25/00 (B) = 5/00 (A B) = 0/00 (A). (B) évéemets dépedats. 9.4 Solutios du N 6.. A= ère ure A2 = 2ème ure A3= 3ème ure (A) = /3. 3/4 + /3. 2/5 + /3. 3/7 = 22/420 0,52 2. A, A2, A3 = pièce fabriquée respectivemet par machies A, B ou C A : pièce défectueuse (A) = 50/00. 3/00 + 30/00. 4/00 + 20/00. 5/00 = 37/000 3. = {(N,N) (N,B) (B,B) (B,N)} par le diagramme e arbre : (B,B) = 5 4 0 (même couleur ) = 3/28 8 7 28 4. (c,c) + (c,cp) + (cp,c) = (48 + 24 + 48)/44 = 20/44 = 5/6 3 2 8 7 3 28 et (N,N)= 5. par le diagramme e arbre : a) a = atteit, r = raté (a,r,r) + (r,a,r) + (r,r,a) = (/6).(3/4).(2/3) + (5/6).(/4).(2/3) + (5/6).(3/4).(/3) = 3/72 b) (A B) = (seul le premier l'atteit)/ ( seul tireur l'atteit) = (6/72) /(3/72) = 6/3 6. ({6}) = (4/5).(/6) + (/5).(2/3) = 2/5 + 2/5 = 4/5 (truqué si 6) = p(truqué et 6)/ (6) = (2/5) : (4/5) = ½ 7. ( >,9) = ( et >,9)/(>,9)= (0,6/00) : (2,2/00) = 0,6/2,2 = 3/ dépedats 9.5 Solutio du N 7. A B, C = 2 fiches tirées respectivemet du premier, du secod ou du troisième paquet sot coues. (A) = 3/0. 2/9 = /5 (B) = 3/5. 2/4 = /35 (C) = 3/20. 2/9 = 3/90 a) (A B C) = (A). (B). (C) = 3/99750 b)a = au mois ue fiche coue A c = aucue fiche coue A = aucue fiche coue das le paquet A 2 = aucue fiche coue das le paquet 2 A 3 =...(A ) = 7/0. 6/9 = 7/5 (A 2 ) = 22/35 (A 3 ) = 68/95 (A c ) = 7/5. 22/35. 68/95 = 0472/49875 = 0,209.. (A) = - (A c ) = 0,79003 4 4 5 C30 2. a) C / = 0,05 b) (A c ) = Nbre de choix de 4 poissos parmi 9 mâles / Nbre de choix de 4 poissos parmi 30 = 0,4 (A) = - 0,4 = 0,86 3. cas possibles = 365 0 cas favorables : 365. 364. 363...(365-0 + ) (A) = 0,88 Si 23 persoes alors o obtiet ue probabilité proche de ½ : (A) = 0.4927 (si 22 pers : 0.5243) 4. sol : a) (r,r) + (b,b) = 5/8. 2/8 + 3/8. 6/8 = 7/6 = 0.4375 b) (r,r) das ure A = 20/56 (r,r) das l'ure B = 2/56 (r,r,r,r) = 40 / 56 2 (b,b) das l'ure A = 6/56 (b,b) das l'ure B = 30/56 (b,b,b,b) = 80/56 2 (toutes les billes de même couleur) = 220/56 2 = 0,070 5. sol : ar le diagramme e arbre : a) (2 o défectueuses ) = (5/8). (3/5) = 3/8 b) (ue seule défectueuse) = (3/8). (3/5) + (5/8) (2/5) = 9/40. 6. a) : /2 2 : 3/20 b) : 0/ A 2 20 = /380 = /38 2 : 6/ A 2 20 = 3/90 4 4 9 / C30 C = 7. a) (7.5.3)/ C 3 5 =3/3 b) 2 3 C5.0 C5 0 22 = 3 3 C C 455 9 5 5 3 C8 399 57 c) - 3 C 455 65 5 4/0/204 CND Erpet - robabilités XV -
8. a) 7 6 0 2 9 45 b) 3 7 0 7 3 9 42 7 0 9 90 5 c) 3 2 0 9 5 A 3 2 2 2,2 6 720 C 9. a) = = 0.09259 b) 5.6.5 3600 C = 5 A 7776 5 = 0.4629 c) 6.C 4.5 A 6 6 7776 5 A 6 2 3 3,2 6 C5.5 200 6.5. d) = 5 = 0.5432 e) 5 300 6.5.5 = A 6 7776 5 = 0.038 f) A 6 7776 5 A 6 g) 6 6 = = 0.0007 5 A 7776 6 0. (cp,cp) = (3/5).(3/4) = 9/20 9.6 Solutios du N 8. a) 2/00= 0,02 b) 2/90 = 0,0222... 2. 4/6 = 0,666... 3. a) /720 = 0,003888 b) /20 = 0,008333 4. /0 = 0, 5. 20/64 = 0,325 5 800 = = 0.235 7776 50 = = 0.09 7776 6. a) /26 = 0,0046296... b) /26 = 0,0046296 c) 6/26 = 0,027777... d) 3/26 = 0,03888... e) /26 = 0,0046296 7. = 6 4 = 296 a) A = C 4 6 = 5 (A) = 0,0574 b) B = A A (B) = 0,5777469 c) C = 8 3 5 24 8. (A) = C. C 8 C 32 (B) = C 4 A 3 =3 4 = 8 (C) = 0,0625 8 3 C 5. 24 8 C32 (A B) (A). (B) évéemets dépedats. 8 3 8 3 6 2 (A B) = C. C. C 8 C 2 2 2 ( NetR) 9. (par le diagramme e arbre) ( 2couleurs ) =. 6 5 6 5 ( meme couleur ) = 5 = 2 (même couleur) = (NN) + (BB) = 2 6 5 6 = 5 0. ar le diagramme e arbre ou par le théorème des probabilités totales : (R das 2 ème ure) = 2 2 + 2 + 3 = 9 4 4 4 4 4 4 6 3 2 5 4 32 5 6 4 5 4 =296-625 = 67 XV - 2 CND Erpet - robabilités 4/0/204