L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction

L3 MASS Calcul différentiel (cours et exercices) John BOXALL (Année universitaire 2009 2010 ) Introduction (0.1) Ce cours s articule autour du calcul différentiel et, en particulier, son application au calcul des extremums d une fonction, assujettie ou non à des contraintes. Voici quelques exemples typiques : (0.1.1) Déterminer si oui ou non la fonction la fonction (x, y) x 1+x 2 +y 2 a un maximum ou un minimum sur R 2 et, le cas échéant, les trouver. (0.1.2) Quelles sont les valeurs maximales et minimales de la fonction (x, y, z) x + 2y + 3z sur la sphère x 2 + y 2 + z 2 = 1 et pour quelles valeurs de (x, y, z) sont-elles atteintes? (0.1.3) Parmi les triangles de périmètre donnée, lesquels ont la plus grande aire? (0.1.4) Soient a, b, α, β quatre réels tels que a < b. Pour toute fonction f : [a, b] R de classe C (1) telle que f(a) = α et f(b) = β on pose L(f) = b a 1 + f (t) 2 dt. Quelle est la valeur minimale de L(f) et pour quelles fonctions f est-elle atteinte? Notons que L(f) est la longueur de la courbe joignant les points (a, α) et (b, β) et définie par y = f(x). Le problème peut alors être reformulé ainsi : quelle est la courbe la plus courte joignant (a, α) et (b, β)? Bien que ce problème soit classiquement posé pour les fonctions de classe C (1), nous nous limiterons par souci de simplicité aux fonctions de classe C (2). (0.2) Nous étudierons ensuite quelques équations différentielles, et notamment les notions d équilibre et de stabilité des solutions. En général, on s intéresse à une solution particulière d une équation différentielle (par exemple une solution constante), dite solution d équilibre. L équation est alors dite stable si toutes les autres solutions s approchent (dans un sens qui doit être précisé selon le contexte) à la solution d équilibre lorsque t +. Voici quelques exemples, x, x désignant les dérivées successives de x par rapport à t : (0.2.1) Soient a, b, c trois réels tels que b 0. L équation x (t) + ax (t) + bx(t) = c a alors comme solution d équilibre la solution constante x 0 (t) = c. Pour quelle valeurs de a, b, c l équation b est-elle stable, c est-à-dire on a lim t + x(t) = c pour toute solution x? b (0.2.2) On considère le système x (t) = 1 x(t)y(t) y (t) = x(t). Quelles sont les solutions constantes de ce système? Y-a-t-il stabilité locale autour de ces solutions d équilibre? Notons que chaque solution (x(t), y(t)) paramètre une courbe dans le plan : il y a stabilité locale lorsque toute solution qui se trouve suffisamment proche à une solution d équilibre lorsque t est assez grand converge vers l équilibre lorsque t +. (0.2.3) Le dernier thème est consacré à la démonstration de l existence locale et l unicité de solutions de systèmes d équations différentielles sous des hypothèses convenables. Nous verrons sur un exemple commment la méthode de démonstration, dans l absence de solution exprimable en 1

termes des fonctions familières (puissances, exponentielles, logarithmes, trigonométriques) permet de construire une suite de solution approchées. (0.3) Voici donc le contenu du cours. Thème 1. Ouverts et fermés de R p, fonctions continues R p R ; Thème 2. Compacts, connexes par arcs et connexes de R p ; Thème 3. Dérivées partielles, formule de Taylor ; Thème 4. Formes quadratiques, extremums libres ; Thème 5. Extremums liés d une fonction R p R, méthode des multiplicateurs de Lagrange ; Thème 6. Équations différentielles, équilibre, stabilité ; Thème 7. Systèmes d équations différentielles ; Thème 8. Solutions périodiques, cycles limites ; Thème 9. Calcul des variations ; Thème 10. Applications aux équations différentielles. Le texte conclut avec un appendice contenant quelques rappels. Chaque thème est suivi par une collection d exercices. Le numéro de chaque exercice est précédé par une lettre e minuscule ; ainsi (e4.5) désigne l exercice 5 qui se trouve à la fin du thème 4. Thème 1. Ouverts, fermés, fonctions continues (1.1) On note K l un des corps R et C. Soit E un K-espace vectoriel. On rappelle qu une norme sur E est une application. : E R qui vérifie les propriétés (i) On a x 0 pour tout x E, (ii) L élément x de E vérifie x = 0 si et seulement si 0, (iii) On a x + y x + y pour tout x, y E, (iv) On a λx = λ x pour tout λ K et pour tout x E. Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel muni d une norme. (1.1.1) Lorsque K = R, un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire symétrique (voir le paragraphe (A.4) de l appendice pour plus de rappels) notée.,. et vérifiant (i) On a x, x > 0 pour tout x E, (ii) L élément x de E vérifie x, x = 0 si et seulement si 0. Lorsque c est le cas, la fonction x x, x 1/2 est une norme, appelée norme associée. (1.1.2) De même, lorsque K = C, un produit hermitien sur E est une forme R-bilinéaire telle que y, x = x, y pour tout (x, y) E 2 et vérifiant (i) ix, y = i x, y pour tout (x, y) E 2, (ii) On a x, x 0 pour tout x E, (iii) L élément x de E vérifie x, x = 0 si et seulement si 0. Un K-espace préhilbertien est un K-espace vectoriel muni d un produit scalaire (lorsque K = R) ou un produit hermitien (lorsque K = C). Lorsque E est de dimension finie, on parle d un espace euclidien (lorsque K = R) ou d un espace hermitien (lorsque K = C). (1.1.3) On dit que x et y sont orthogonaux (ou perpendiculaires) si x, y = 0. L inégalité de Cauchy-Schwarz est alors l inégalité x, y x y qui est valable quelque soit (x, y) 2

E 2. Elle a pour conséquence l inégalité triangulaire x+y x + y, qui est encore valable quelque soit (x, y) E 2. On trouvera au (e1.12) une étude des cas d égalité dans l inégalité de Cauchy-Schwarz et l inégalité triangulaire. (1.2) Dans ce cours, et au moins jusqu au thème 8, l exemple au centre de nos préoccupations est celui du R-espace vectoriel R p, p 1 étant un entier. Si x = (x 1, x 2,..., x p ) R p et si a R, on note ax = (ax 1, ax 2,..., ax p ). Si encore y = (y 1, y 2,..., y p ) R p, on a x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x p + y p ). Trois normes interviennent particulièrement souvent : si x R p, on pose x 1 = x 1 + x 2 + + x p, x 2 = (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 p) 1/2, x = max{ x 1, x 2,..., x p }. Parmi ces trois normes, seule. 2 est associée à un produit scalaire, à savoir x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x p y p. (1.3) Soient E un espace vectoriel normé et soient x, y E. Intuitivement, au moins lorsque E = R p et. est la norme. 2, y x est la distance entre les points d un espace euclidien dont les affixes sont x et y. Ainsi, si r R + et si x E, on appelle sphère de centre x et de rayon r et on note S(x; r) l ensemble des y E vérifiant y x = r. De même, on appelle boule fermée de centre x et de rayon r l ensemble des y E tels que y x r : elle est notée K(x; r). Enfin, la boule ouverte de centre x et de rayon r, notée B(x; r), est l ensemble des y E vérifiant y x < r. Notons que, contrairement à l usage générale, l usage mathématique des mots sphère et boule en donnent un sens précis : une sphère est creuse alors qu une boule est solide. Lorsque p = 2, on parle respectivement d un cercle et d un disque. (1.3.1) Soit x E. Un voisinage de x est une partie V de E contenant une boule ouverte B(x; r) avec r > 0 convenable. (1.4) Soit U une partie de E. On dit que U est ouverte (ou : un ouvert), si, quelque soit y U, il existe r > 0 telle que B(y; r) U. (1.4.1) Pour tout x E et pour tout r R +, la boule ouverte B(x; r) est un ouvert.. Démonstration. Soit y B(x; r). Posons r = y x. Par hypothèse, r < r. Soit z R p tel que z y < r r. Or, on a z x = (z y) + (y x) z y + r ( r r ) + r = r, d où z B(x; r). On en tire que la boule B(y, r r ) est contenue dans B(x; r). (1.4.2) La partie F de E est dite fermée (ou un fermé) si son complémentaire F c est un ouvert. (On consultera l appendice pour la notation concernant les ensembles.) (1.4.3) Pour tout x E et pour tout r R +, la boule fermée K(x; r) est un fermé. On vérifie que K(x; r) c est un ouvert par un argument semblable à la démonstration de (1.4.1). (1.4.4) Proposition. (i) Toute réunion d ouverts de E est ouverte. Toute intersection d un nombre fini d ouverts de E est ouverte. (ii) Toute intersection de fermés de E est fermée. Toute réunion d un nombre fini de fermés de E est fermée. 3

La démonstration a été vue en deuxième année. (1.5) Notons encore E un K-espace vectoriel normé. Soit X une partie de E. Rappelons qu une suite (u n ) à valeurs dans X est convergente s il existe l E avec la propriété suivante : quelque soit ε > 0, on peut trouver N ε tel que pour tout n N ε on ait u n l ε. On rappelle que l est alors unique, et est appelé la limite de (u n ). On dit alors que (u n ) converge vers l, et on écrit u n λ lorsque n + ou encore lim u n = l. n + On dit que la suite (u n ) converge dans X si elle converge et sa limite appartient encore à X. Exemple. Prenons p = 1, X =]0, 1]. La suite ( 1 ) converge vers 0 mais, puisque 0 / X, elle ne n converge pas dans X. (1.5.1) Théorème. Soit X une partie de E. Pour que X soit fermée, il faut et il suffit que la limite de toute suite convergente et à valeurs dans X appartienne à E. À nouveau, ce résultat a été vu en deuxième année. (1.6) Soit X E et soit x X. On dit que x est un point intérieur de X s il existe r R + tel que B(x; r) X. L ensemble des points intérieurs de X est un ouvert de E contenu dans X, appelé l intérieur de X et noté X. Si U X est ouvert, alors tout point de U est un point intérieur de X et donc U X. On a X X et X = X si et seulement si X est ouvert. Exemples. (i) Soit X = [0, 1[. Alors X =]0, 1[. (ii) Soit X = Q. Si x X et si r > 0, l intervalle ]x r, x + r[ contient toujours un irrationnel. On en tire que ]x r, x + r[ n est pas contenu dans Q quelque soit la valeur de r. Donc x / Q et Q =. (1.6.1) Soit X E et soit x E. On dit que x est un point adhérent de X si tout voisinage de x rencontre X. L ensemble des points adhérents de X est appelé l adhérence de X et est noté X. Alors X est un fermé, comme on peut voir en remarquant que tout x / X possède un voisinage qui ne rencontre pas X. De même, si F est un fermé contenant X, alors F X. On a X X et X = X si et seulement si X est fermé. Le point x est un point adhérent de X si et seulement s il existe une suite d éléments de X convergeant vers x. Démonstration. En effet, si x E et si n N, la boule B(x; 1 ) rencontre E en un point n u n. La suite (u n ) converge alors vers x. Réciproquement, si (u n ) est une suite à valeurs dans E convergeant vers x et si r > 0, la définition de convergence d une suite implique que u n B(x; r) pour tout n assez grand. Exemples. (i) Si X = [0, 1[, alors X = [0, 1]. (ii) Soit X = Q. Si x R, il existe une suite de rationnels convergeant vers x. On en tire que x Q. Donc Q = R. (1.6.2) Soient X, Y deux parties de E telles que X Y. On dit que X est dense dans Y si X Y. On dit que X est dense si X = E. D après l exemple précédent, Q est dense dans R. (1.6.3) Soit X E. La frontière de X est l ensemble X X, noté Fr(X). Si par exemple X est une boule (ouverte ou fermée) de centre x et de rayon r, alors X = K(x; r), X = B(x; r) et Fr(X) est alors la sphère S(x; r). (1.7) Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés, soit X une partie de E et soit f : X F 4

une fonction. Soit x 0 X. On dit que f est continue en x 0 si, quelque soit ε > 0, on peut trouver δ (dépendant de ε), tel que pour tout x X vérifiant x x 0 δ, on ait f(x) f(x 0 ) ε. On dit que f est continue (ou continue sur X) si f est continue en tout point x 0 de X. (1.7.1) Soient X, Y deux parties de E telles que Y X et soit x 0 Y. Si la fonction f : X R est continue en x 0, alors la restriction de f à Y est continue en x 0. Rappelons que la réciproque de cet énoncé est fausse : si la restriction de f à Y est continue en x 0, on ne peut pas conclure que f y est continue. Prenons comme exemple le cas où E = R, E = [0, + [, x 0 = 0 et f(x) = 1 si x E, f(x) = 0 si x / E (faire un croquis). Soient f, g deux fonctions de X dans R et soit a R. On note respectivement f + g, f g, af, f, max(f, g), min(f, g) les fonctions définies par (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f g)(x) = f(x) g(x), (af)(x) = a f(x), f (x) = f(x), max(f, g)(x) = max ( f(x), g(x) ) et min(f, g)(x) = min ( f(x), g(x) ) quelque soit x X. Si f(x) 0 pour tout x X, on définit 1 f par 1 f (x) = 1 f(x). (1.7.2) Proposition. Soit x 0 X et soient f, g : X R deux fonctions. (i) Si f et g sont continues en x 0, il en est de même pour f + g, pour f g, pour af, pour fg, pour f, pour max(f, g), pour min(f, g) et, le cas échéant, pour 1. f (ii) Si f et g sont continues sur E, il en est de même pour f + g, pour f g, pour af, pour fg, pour f, pour max(f, g), pour min(f, g) et, le cas échéant, pour 1. f Résumé de la démonstration. (i) Les cas de f +g, de f g, de af, de fg et de 1 sont familiers. f En ce qui concerne f, on utilise l inégalité u v u v valable quelque soit les réels u et v. Si ε > 0, et x E sont tels que f(x) f(x 0 ) ε, on a certainement f(x) f(x 0 ) ε. En ce qui concerne les cas de max(f, g) et de min(f, g), on les déduit des cas précédents en utilisant les formules u + v + u v u + v u v max(u, v) =, min(u, v) =, 2 2 valables quelque soit les réels u et v. La partie (ii) découle de la partie (i) en faisant varier x 0. (1.7.3) Proposition. Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels normés. Soit X E, soit Y F et soient f : X Y, g : Y G deux fonctions. (i) Soit x 0 X. Si f est continue en x 0 et si g est continue en f(x 0 ), alors la fonction composée g f est continue en x 0. (ii) Si f est continue sur X et si g est continue sur Y, alors g f est continue sur X. On sait que les fonctions usuelles (fonctions puissance, exponentielle, polynôme, logarithmique, trigonométrique et trigonométrique réciproque) sont continues sur leur domaine de définition. En outre, les projections π k : R p R définies par π k (x 1, x 2,..., x p ) = x k pour 1 k p sont continues. Cela permet d établir la continuité de fonctions numériques E R. Exemples. (i) Les fonctions x x et x sin( x ) sont continues sur R p. (Ici, si x = (x 1, x 2,..., x p ), alors x désigne la norme x 2 = x 2 1 + x 2 2 + + x 2 p.) Puisque chacune des fonctions x x k est continue, et t t 2 est continue, les fonctions composées x x 2 k sont continues. La somme de fonctions continues étant continue, x x 2 1 + x 2 2 + + x 2 p est continue. Enfin, la fonction t t est continue, et x x est la composée de t t avec x x 2 1 + x 2 2 + + x 2 p. D où la continuité de x x. Enfin, la fonction x sin( x ) est le composé de la fonction sinus avec la fonction x x. La fonction t sin t étant continue, il en de même pour la fonction x sin( x ). (ii) La fonction (u, v) min(e max(u,v), 1) est continue sur {(u, v) v R2 v 0}. En effet, puisque la fonction (u, v) min(u, v) est continue, il suffit de vérifier la continuité de chacune des deux fonctions (u, v) e max(u,v) et de (u, v) 1. La continuité de la première découle de v 5

la continuité de (u, v) max(u, v) est de la fonction exponentielle et celle de la seconde de la continuité de (u, v) v ainsi que de t 1 t sur R. (1.8) Théorème. Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés, soit X une partie de E, soit f : X F une fonction et soit x 0 E. Pour que f soit continue en x 0, il faut et il suffit que pour toute suite (u n ) à valeurs dans X telle que u n x 0, on ait f(u n ) f(x 0 ). La démonstration se trouve dans les cours de première ou de deuxième année. (1.8.1) Théorème. Soient E, F deux K-espaces vectoriels normés, soit X une partie de E et soit f : X F une fonction. (i) On suppose que X soit un ouvert. Pour que f soit continue sur X, il faut et il suffit que, quelque soit l ouvert V de F, f 1 (V ) soit un ouvert de E. (ii) On suppose que X soit un fermé. Pour que f soit continue sur X, il faut et il suffit que, quelque soit, le fermé W de F, f 1 (W ) soit un fermé de E. À nouveau, ce résultat a été vu en deuxième année. Son utilité est qu il permet de construire facilement des exemples d ensembles ouverts et fermés. (1.8.2) Exemples. (i) Vérifions à nouveau qu une boule fermée est effectivement un fermé. En effet, si x E et si r R +, alors K(x; r) = f 1 ([0, r]), où f est la fonction continue y y x. Notons que [0, r] est bien un fermé de R, car son complémentaire est ], 0[ ]r, + [ ce qui est la réunion des intervalles ouverts ], 0[ et ]r, + [, donc un ouvert selon (1.4.4) (i). (ii) On voit de même façon que les sphères S(x; r) sont fermés, car S(x; r) = f 1 ({r}) et le singleton {r} est fermé. (iii) Posons X = {(A, B, C) R 3 B 2 > 4AC}. Alors X est ouvert, car si f désigne la fonction f(a, B, C) = B 2 4AC, alors f est continue et X = f 1 (]0, + [). De même, l ensemble {(A, B, C) R 3 B 2 < 4AC} est ouvert et l ensemble {(A, B, C) R 3 B 2 = 4AC} est fermé. (iv) Soit X = {(x, y, z) R 3 x + y + z 1 et x 2 + y 2 + z 2 = 1}. Alors X = Y Z, où Y = {(x, y, z) R 3 x + y + z 1} et Z = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1}. Puisque la fonction f : (x, y, z) x + y + z est continue et ], 1] est fermé Y = f 1 (], 1]) est fermé. De même, Z est fermé. En appliquant (1.4.4) (ii), on conclut que X est fermé. (1.9) Avertissement. Sauf indication contraire, l espace vectoriel R p est toujours considéré comme muni de la norme. 2. Ainsi, dans ce contexte,. désigne. 2, x, y désigne le produit scalaire introduit dans le (1.2) et B(x; r), K(x; r) et S(x; r) désignent respectivement la boule ouverte B 2 (x; r), la boule fermée K 2 (x; r) et la sphère S 2 (x; r). EXERCICES (e1.1) Vérifier que la fonction (x, y) x, y introduite dans (1.2) est bien un produit scalaire sur R p. (e1.2) Soit E un R-espace normé. (i) Montrer que x y x y quelque soit x, y E. (D abord remplacer x par x y dans l inégalité triangulaire.) (ii) Soient x, y E et soit r 0. Montrer que si y x r, alors y x + r. (e1.3) Soit E un R-espace préhilbertien. (i) Montrer que si x, y E sont orthogonaux, alors x + y 2 = x 2 + y 2. (ii) Montrer que pour tout x, y E, on a x, y = 1 2( x + y 2 x 2 y 2). (e1.4) (i) Montrer que l ensemble Z des entiers relatifs est un fermé de R. 6

(ii) Montrer qu une suite à valeurs dans Z est convergente si et seulement si elle est stationnaire (c est-à-dire constante à partir d un certain rang). (e1.5) Reprenons l exemple (1.8.2) (iii). Que dire de {(A, B, C) R 3 B 2 4AC} et de {(A, B, C) R 3 B 2 4AC}? (e1.6) On note respectivement U et F les parties n Z B(ne 1; 1 2 ) et n Z K(ne 1; 1 2 ) de Rp, où e 1 désigne le point (1, 0,..., 0) de R p. (Ici, comme expliqué dans le (1.9), B désigne B 2 et K désigne K 2.) (i) Faire un croquis de U et de F lorsque p = 1 et lorsque p = 2. (ii) Montrer que U est ouvert et F est fermé, quelque soit la valeur de p. (e1.7) Soit E un espace vectoriel normé et soit X une partie de E. Montrer que E X = E X et que l intérieur de E X est égale à E X. (e1.8) Soit encore E un espace vectoriel normé et soient X, Y E. (i) Montrer que X Y = X Y et que X Y X Y. (ii) Trouver un exemple où X Y X Y. (e1.9) Soit x = (x 1, x 2,..., x p ) R p. On note respectivement B 1 (x; r), B 2 (x; r), B (x; r) les boules ouvertes de R p pour les normes. 1,. 2 et. (voir (1.2)). (i) On prend p = 2. Tracer sur le même croquis les ensembles B 1 ((0, 0); 1), B 2 ((0, 0); 1), B ((0, 0); 1) et B 1 ((0, 0); 2). (ii) Montrer que pour tout pour tout z R p, on a z z 2 z 1 p z. (iii) En déduire que pour tout x R p et pour tout r > 0, on a B 1 (x; r) B 2 (x; r) B (x; r) B 1 (x; pr). (iv) En déduire que la propriété d une partie de R p d être ouverte (ou fermée) ne dépend pas de la norme choisie (. 1,. 2 ou. ). (v) Soit (u n ) une suite à valeurs dans R p et soit λ R p. Montrer que la propriété que (u n ) converge vers λ ne dépend pas de la norme choisie (. 1,. 2 ou. ). (e1.10) (i) Notons (u n ) = ( ) (u n ) 1, (u n ) 2,..., (u n ) p une suite à valeurs dans R p et λ = (λ 1, λ 2,..., λ p ) un élément de R p. Montrer que u n λ si et seulement si pour tout k {1, 2,..., p} on a (u n ) k λ k. (Utiliser (e1.9).) (ii) Étudier la convergence dans R2 de la suite de terme général ( 1 + 1 n, sin n ) 2 ainsi que celle de terme général (1, ( 1) n ). n (e1.11) Soit (u n ) une suite à valeurs dans E. Montrer que si (u n ) converge vers λ, alors ( u n ) converge vers λ. (Utiliser (e1.2) (ii).) Donner des exemples où (u n ) n est pas convergente mais ( u n ) converge. (e1.12) Le but de cet exercice est d étudier les cas d égalité dans l inégalité de Cauchy-Schwarz et l inégalité triangulaire. Pour simplicité, on suppose que le corps K soit égal à R. Soit donc E un R-espace préhilbertien et soient x, y E. Il est clair que lorsque x = 0, les deux inégalités deviennent des égalités. On suppose donc que x 0. (i) Vérifier qu il existe (A, B, C) R 3 avec A > 0 tel que tx + y 2 = At 2 + 2Bt + C quelque soit t R. Préciser les valeurs de A, B et de C en termes de x et de y. (ii) En utilisant le fait que tx + y 2 0 pour tout t R, montrer que B 2 AC avec égalité si et seulement s il existe t R tel que tx + y = 0. (iii) En déduire que x, y x y avec égalité si et seulement si y est un multiple scalaire de x, et que x, y = x y si et seulement si y est un multiple de x par un scalaire positif. (iv) En développant x + y 2, retrouver l inégalité triangulaire et démontrer qu elle devient une égalité si et seulement si y est un multiple de x par un scalaire positif. (v) On munit R 2 de la norme. 1. Vérifier que si x = (1, 0) et si y = (0, 1) alors x + y 1 = x 1 + y 1. Qu en conclure? 7

Thème 2. Compacité, connexité par arcs (2.1) Notons encore K l un des corps R ou C et E un K-espace vectoriel normé. On dit que la partie X de E est bornée si { x x X} est une partie bornée de R. La suite (u n ) à valeurs dans X est dite bornée si l ensemble de ses valeurs {u n n N} est une partie bornée de R. Rappelons le résultat suivant. (2.1.1) Proposition. Toute suite convergente est bornée. (2.2) On dit que la suite (u n ) à valeurs dans E vérifie la propriété de Cauchy (ou est de Cauchy) si, étant donnée ε > 0, il existe N ε tel que u m u n ε quelque soient m, n N ɛ. (2.2.1) Théorème. (i) Toute suite convergente est de Cauchy. (ii) Si E est de dimension finie, alors toute suite de Cauchy est convergente. À nouveau, ce résultat fondamental a été vu en deuxième année. (2.3) La partie X de E est dite compacte (ou un compact) si toute suite à valeurs dans X possède une suite extraite convergente dans X. (2.3.1) Théorème de Bolzano-Weierstrass. (i) Une partie compacte de E est fermé et borné. (ii) Si E est de dimension finie, alors toute partie fermée et bornée de E est compacte. Exemple. Lorsque E est de dimension finie, les boules fermées et les sphères sont compactes. C est le cas notamment lorsque E = R p. (2.4) Il est important de souligner que l hypothèse que E soit de dimension finie est indispensable dans les parties (ii) des théorèmes (2.2.1) et (2.3.1). Nous revenons sur ce point brièvement dans le thème 9. En général, on appelle espace de Banach (respectivement espace de Hilbert) un espace vectoriel normé (respectivement un espace préhilbertien) où toute suite de Cauchy est convergente. Il existe des espaces de Hilbert et de Banach de dimension infinie. Par contre, dans un espace vectoriel normé de dimension infinie, on peut montrer qu une boule fermée n est jamais compacte. (2.4.1) Mentionnons brièvement un exemple simple d un espace vectoriel normé (E,. ) qui n est pas un espace de Banach. On prend pour E l espace vectoriel des suites (u n ) n 1 telles que u n = 0 pour tout indice n à un nombre fini d exceptions près. La loi d addition est donnée par : si (u n ) et (v n ) sont deux éléments de E, (u n ) + (v n ) est la suite (u n + v n ). L élément 0 est la suite dont tous les termes sont nuls et l opposé de la suite (u n ) est la suite ( u n ). Enfin, si λ K et si (u n ) E, on pose λ(u n ) = (λu n ). Munissons E de la norme (u n ) = sup n u n. Nous cherchons une suite d éléments de E qui vérifie la propriété de Cauchy mais qui n est pas convergente. Considérons pour cela la suite (u (1) n ), 8

(u (2) n ),..., (u (k) n ),..., (indexée par k), où u n (k) = 1 n (u (1) si n k et u(k) n n ) = (1, 0, 0, 0,..., 0, 0, 0,..., ) (u (2) n ) = (1, 1, 0, 0,..., 0, 0, 0,..., ) 2 (u (3) n ) = (1, 1, 1, 0,..., 0, 0, 0,..., ) 2 3 (u (k) On remarque que si l < k, alors. n ) = (1, 1, 1, 1,..., 1, 0, 0,..., ) 2 3 4 k (u (k+1) n ) = (1, 1, 1, 1,..., 1, 1, 0,..., ) 2 3 4 k k+1. = 0 pour tout n > k. Ainsi, (u (k) n ) (u (l) n ) = (u (k) n u (l) 1 n ) = (0, 0, 0, 0,...,, 1,..., 1, 0, 0,..., ), l+1 l+2 k (autrement dit, u (k) n u (l) n = 0 si n l ou si n > k et u (k) n u (l) n = 1 n si l < n k). On a alors (u (k) n ) (u (l) n ) = 1, l+1 ce qui tend vers 0 lorsque l tend vers +. On voit donc que (u (k) n u (k) n suite Si on fixe l indice n, on voit que u (k) n converge vers 1 n = 0 si k < n et u (k) n = 1 n. Ça suggère que, lorsque k +, la suite (u(k) n ( ) (u n ) = (1, 1 2, 1 3,..., 1 n,..., ). ) est bien une suite de Cauchy. si k n et donc la suite de réels ) devrait converger vers la Le problème est que la suite ( ) n appartient pas à E, car elle contient une infinité de termes non-nuls. (En fait, tous les termes sont non-nuls). Afin de justifier rigoureusement que (u (k) n ) ne converge vers aucun élément de E, on raisonne par l absurde. Supposons donc que (u n (k) ) converge vers une suite (v n ) appartenant à E. Choisissons un indice m tel que v m = 0. Pour tout k > m, on a u (k) m = 1. Mais u(k) m m v m max n u n (k) v n = (u (k) n ) (v n ) ce qui tend vers 0 lorsque k +. Puisque u (k) m = 1 lorsque k m et v m m = 0, on en tire que 1 = m u(k) m v m 0 lorsque k +, ce qui est absurde. (2.4.2) Remarquons également que, avec les notations qui viennent d être introduites, on a (u n (k) ) = 1 quelque soit k et, par conséquent, tous les membres de la suite (u (k) n ) appartiennent à la boule unité fermée unité de E. Mais (u n (k) ) ne contient aucune suite extraite convergente. La démonstration est essentiellement la même que celle du fait que la suite elle-même n est pas convergente. Par conséquent, la boule fermée unité de E n est pas compacte, ce qui montre que la conclusion du point (ii) du théorème de Bolzano-Weierstrass n est pas forcément vraie si on omet l hypothèse que E soit de dimension finie. (2.5) Théorème. Soit X une partie compacte non-vide de R. Alors X possède un plus grand élément et un plus petit élément. Démonstration. Considérons le cas du plus grand élément : un raisonnement semblable permet alors de traiter le cas du plus petit élément. D après le théorème de Bolzano-Weierstrass, X est bornée, et possède donc une borne supérieure sup X. Il s agit de montrer que sup X X (voir (A.2.2)). Soit alors n N. Il existe u n X tel que (sup X) 1 n u n sup X. La suite (u n ) 9

converge alors vers sup X. Puisque X est fermée, sa limite appartient à X, et on a donc bien sup X X. (2.6) Théorème. Soient E, F, deux espaces vectoriels normés et soit X une partie de E. Si f : X R une fonction continue et si Y X est compact alors f(y ) est compact. Démonstration. Soit (α n ) une suite à valeurs dans f(y ). Pour tout n, il existe u n Y tel que f(u n ) = α n. Puisque Y est compact, on peut extraire de (u n ) une suite convergente (u nk ). Notons λ sa limite : puisque Y est fermé on sait que λ X. Il s ensuit que f(λ) f(y ). Enfin, f étant continue, (α nk ) = ( f(u nk ) ) converge vers f(λ). (2.6.1) Corollaire. Soit X une partie de E, soit Y X un compact et soit f : X R une fonction continue. Alors f possède un maximum et un minimum sur Y. Démonstration. Dire que f possède un maximum sur Y signifie qu il existe x Y tel que f(y) f(x) quelque soit y Y. Autrement dit, qu il existe x Y tel que f(x) = sup f(y ). D après le théorème, on sait que f(y ) est compact. Il suffit alors d appliquer le théorème (2.5). De même pour le minimum. Exemple. Reprenons l exemple (0.1.2) de l Introduction. La sphère S = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1} étant compacte et la fonction f : (x, y, z) x + 2y + 3z étant continue, le corollaire montre que f a un maximum et un minimum sur S. Par contre, il ne fournit pas de méthode convenable pour trouver les valeurs de (x, y, z) qui réalisent le maximum ou le minimum. Nous décriverons une telle méthode dans le thème 5. Le corollaire montre encore que toute fonction continue sur S a un maximum et un minimum sur S. (2.7) Soit E un K-espace vectoriel et soit. et. deux normes sur E. On dit que la norme. domine la norme. s il existe une constante A > 0 telle que x A x pour tout x E. Deux normes sur le même espace vectoriel sont dites equivalentes si chacune domine l autre. L équivalence des normes est une relation d équivalence sur l ensemble des normes sur un espace vectoriel donné. (2.7.1) Proposition. Si la norme. domine la norme., alors la fonction x x est une fonction continue de l espace normé (E,. ) vers R. En effet, par hypothèse il existe A > 0 tel que x A x pour tout x E. Fixons x 0 E et montrons la continuité en x 0. Soit ε > 0. On pose δ = ε A. Alors x x 0 ε dès que x x 0 δ. L exercice (e1.9) montre que, sur R p, les normes. 1,. 2 et. sont équivalentes. C est un cas particulier du résultat suivant. (2.7.2) Théorème. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Alors toutes les normes sur E sont équivalentes. Démonstration. La démonstration peut se faire par récurrence sur la dimension de E. Mais le théorème peut également être vu comme une application des résultats précédentes. Puisque l équivalence de normes est une relation d équivalence, il suffit de montrer que toute norme sur E est équivalente à une norme fixée. Soit (x 1, x 2,..., x n ) une base de E. On note. 1,E la norme définie par x 1,E = n i=1 λ i, où les λ i sont les coefficients dans l écriture x = i λ ix i de x dans la base (x 1, x 2,..., x n ). Nous allons montrer que toute norme. sur E est équivalente à la norme. 1,E. Soit donc. une norme sur E. Montrons d abord que. 1,E domine.. Posons pour cela 10

A = max i x i 1,E. Si x = n i=1 λ ix i, alors n n x = λ i x i λ i x i A i=1 i=1 n λ i = A x 1,, ce qui montre bien que. 1, domine.. Il s ensuit que x x est une fonction continue de l espace normé (E,. 1,E ). Puisque E est de dimension finie, la sphère unité S de cet espace est compact et, par conséquent, la fonction x x a un minimum sur cette sphère. Il existe donc B et z S tel que y z = B pour tout y S. Puisque z S, on a z 0 et donc B > 0. Soit enfin x E, x 0. Alors x/ x 1,E S et donc x/ x 1,E B. Par conséquent, x B x 1,E et donc x 1,E 1 x, ce qui veut B dire que. domine. 1,. (2.7.3) L intérêt des normes équivalentes réside dans le fait que les notions de convergence, continuité, ouvert, fermé, compacte,..., ne dépendent pas de la norme à équivalence près. Autrement dit, si. et. sont deux normes équivalentes sur E, la suite (u n ) d éléments de E converge dans (E,. ) si et seulement si elle converge dans (E,. ) (et alors les deux limites sont les mêmes), elle vérifie la propriété de Cauchy dans (E,. ) si et seulement si elle la vérifie dans (E,. ), un ensemble de E est un ouvert de (E,. ) si et seulement s il est un ouvert de (E,. ),.... En particulier, lorsque E est de dimension finie, on peut parler de convergence, propriété de Cauchy,..., sans avoir besoin de préciser la norme. (2.8) Soit X une partie de E. On dit que X est connexe par arcs si, étant donné x, y X, il existe une fonction continue φ : [0, 1] X telle que φ(0) = x et φ(1) = y. Une telle fonction f s appelle un arc joignant x à y. Intuitivement, X est connexe par arcs si on peut bouger de façon continue entre deux points de X sans le quitter. Par exemple, E est connexe par arcs. En effet, si x, y E l arc le plus simple joignant x à y est sans doute le segment droit, où φ(t) = (1 t)x + ty. (2.8.1) Soit X E et soient x, y et z E. S il existe un arc dans X joignant x à y et un arc dans X joignant y à z, alors il existe un arc dans X joignant x à z. Intuitivement, il suffit de suivre le premier arc puis le second. Mathématiquement, on peut exprimer ce fait ainsi : si φ : [0, 1] X, θ : [0, 1] X sont continues et si φ(0) = x, si φ(1) = y, si θ(0) = y et si θ(1) = z, alors la fonction ψ : [0, 1] X définie par ψ(x) = φ(2x) si x [0, 1 ] et par ψ(x) = θ(2x 1) si 2 x [ 1, 1] est continue et vérifie ψ(0) = x et ψ(1) = y. 2 Exemples. (i) On dit que X est étoilé s il existe x X tel que, pour tout y X, le segment droit joignant x à y appartienne à X. D après ce qui précède, toute partie étoilée est connexe par arcs. En particulier, toute boule (ouverte ou fermée) est étoilée, donc connese par arcs. (ii) Si X et Y sont connexes par arcs et si X Y, alors X Y est connexe par arcs. En effet, si par exemple y 1 X et y 2 Y, on construit un arc passant de y 1 à y 2 en passant d abord de y 1 à un point x X Y puis de x à y 2. (iii) Si X est connexe par arcs, alors tout translaté {x+a x X} (où a A) est connexe par arcs. Si F est un second K-espace vectoriel normé, si f : E F est continu et si X E connexe par arcs, alors f(x) est connexe par arcs. Les démonstrations de ces résultats sont faciles. (iv) Une notion voisine à celle de connexité par arcs et celle de connexité. Tout connexe par arcs est connexe mais il existe des connexes qui ne sont pas connexes par arcs. Toutefois, pour des ouverts d un espace vectoriel normé, les deux notions sont équivalentes. Elles sont également équivalentes pour les parties de R ; dans ce cas, les connexes par arcs sont les intervalles. On trouvera des plus amples détails dans les cours de topologie destinés aux étudiants en licence de mathématiques. i=1 11

(2.9) Un arc polygonal joignant x à y est un arc γ de la forme suivante : il existe un entier n 1 et des points x r (0 r n) tels que x = x 0 et x n = y et γ est obtenu en prenant successivement les segments droits joignant x r 1 à x r pour r = 1, 2,..., n. (2.9.1) Proposition Soit U E un ouvert et soient x, y U. S il existe un arc paramétré dans U joignant x à y, alors il existe un arc polygonal dans U joignant x à y. Pour la démonstration, on se reporte à nouveau au cours de licence de mathématiques. (2.10) La partie X de E est dite convexe si, quelque soit x, y E, le segment droit joignant x à y est contenu dans X. Il est clair que tout convexe est connexe par arcs, mais la réciproque est inexacte. L intersection d une famille de parties convexes de E est convexe. Si X est convexe, alors tout translaté de X, {x + a x X} (où a A) est convexe. Si F est un second K-espace vectoriel normé, si φ : E F est linéaire et si X est un convexe de E, alors φ(x) est convexe. À nouveau, les démonstrations de ces résultats sont faciles. (2.10.1) Toute boule (ouverte ou fermée) est convexe, donc connexe par arcs. Démonstration. Quitte à effectuer une translation, il suffit de considérer le cas d une boule centrée à l origine. Soient x, y E et soit r > 0 tel que x < r, y < r. Si t [0, 1], alors 1 t [0, 1] et (1 t)x + ty (1 t)x + ty (1 t) x + t y (1 t)r + tr = r. Le résultat en découle aussitôt. On remarquera que la définition de partie convexe de E ne fait pas intervenir la norme de E, mais seulement la structure d espace vectoriel. Le fait qu une boule soit necéssairement convexe est donc tout à fait remarquable. Réciproquement, on peut utiliser des ensembles convexes convenables sur un espace vectoriel pour construire des normes (voir (e2.11)). (2.10.2) Soit X E un convexe et soit f : X R une application. On dit que f est convexe (respectivement concave) si, quelque soient x, y X et quelque soit t [0, 1], on a f((1 t)x + ty) (1 t)f(x) + tf(y) (respectivement f((1 t)x + ty) (1 t)f(x) + tf(y)). EXERCICES (e2.1) Soit (u n ) = ( (u n ) 1, (u n ) 2,..., (u n ) p ) une suite à valeurs dans R p. Montrer que (u n ) est de Cauchy si et seulement si chacune des suites réelles (u n ) k, 1 k p est de Cauchy. (S inspirer de (e1.10).) En déduire le théorème (2.2.1) à partir du cas p = 1. (e2.2) Soit X = {(x, y) R 2 x y 2x}. Faire un croquis de X. Montrer que X est fermé. X est-il compact? connexe par arcs? (e2.3) Posons X = {(x, y) R 2 x + 2 y < 1}. Faire un croquis de X. Montrer que X est borné. X est-il compact? connexe par arcs? (e2.4) Soit X l ensemble n Z K 2((n, 0), 1 2 ) dans R2. Croquis! (i) Montrer que X est connexe par arcs. (ii) X est-il compact? (e2.5) Soit X une partie finie de E. Montrer que X est compacte. Donner une condition necéssaire et suffisante pour que X soit convexe. (e2.6) Quels sont les intervalles compacts dans R? (e2.7) Soit I R un intervalle et soit f : I R une fonction continue. Utiliser les résultats sur la connexité de ce thème ainsi que l exercice précédent pour démontrer les deux résulats suivants, vus en 1ère année : 12

(i) (Théorème des valeurs intermédiaires). f(i) est un intervalle. (ii) Si I est un intervalle fermé et borné, alors f(i) est un intervalle fermé est borné. (e2.8) Soit f : R 2 R 3 la fonction définie par f(x, y) = (cos x, sin x cos y, sin x sin y). (i) Expliquer pourquoi f est continue. (ii) Montrer que f(r 2 ) = S((0, 0, 0), 1), la sphère de centre l origine et de rayon 1. (iii) En déduire que S((0, 0, 0), 1) est connexe par arcs. (e2.9) Soit X une partie non-vide de E. Pour tout x E, on pose d(x, X) = inf{ y x y X}. Ainsi, x d(x, X) est une fonction E R, appelée souvent la distance de x à X. (i) Montrer que d(x, X) = 0 si et seulement si x X. (ii) Montrer que pour tout x, x E, on a d(x, X) d(x, X) x x. (Montrer d abord que si y X, alors d(x, X) x y x x + x y.) En déduire que x d(x, X) est continue. (iii) Soit K un compact de E. Montrer que x d(x, X) a un minimum et un maximum sur K. (iv) On suppose X compact. Montrer que {x E d(x, X) r} est fermé et borné quelque soit r 0. En déduire que, lorsque E est de dimension finie, {x E d(x, X) r} est compact. Si Y est une seconde partie de E, on pose d(x, Y ) = inf{ y x x X, y Y }. (v) Montrer que si K est compact, si Y est fermé et si K Y =, alors d(k, Y ) > 0. (vi) Donner un exemple de deux fermés A et B de R 2 tels que A B = et d(a, B) = 0. (e2.10) (i) Soit (K n ) une suite de compacts non-vides dans E telle que K n K n+1 pour tout n. Montrer que n N K n est non-vide. (Considérer une suite (u n ) avec u n K n pour tout n.) (ii) Donner un exemple d une suite (F n ) de fermés non-vides de R telle que F n F n+1 pour tout n mais n N F n =. (e2.11) Soit E un R-espace vectoriel et soit X une partie de E vérifiant les propriétés suivantes. (a) X est convexe, (b) si x X, alors x X, (c) si x E, alors il existe λ > 0 tel que λx X, (d) si x E {0}, alors il existe µ > 0 tel que µx / X. (i) Montrer que 0 X et que, si x 0, l ensemble {λ R + λx X} est un intervalle qui est de l une des formes [0, t] ou [0, t[, où t > 0. On pose x = 0 lorsque x = 0 et x = 1/t lorsque x 0, t étant comme dans la question (i). (ii) Montrer que. est une norme sur E. (iii) Montrer que B(0; 1) X K(0; 1). (e2.12) On reprend l espace E introduit au (2.4.1). On note encore. la norme sur E définie au (2.4.1) et. la norme définie par (u n ) = n 1 u n. (i) Justifier en détail que. est bien une norme. (ii) Montrer que. domine. mais que. ne domine pas.. (On pourra considérer les éléments (v n (k) ) (où k = 1, 2,...) de E définis par v n (k) = 1 si n k et v n (k) = 0 si n > k.) La question (ii) montre que, sur un espace vectoriel de dimension infinie, il peut exister des normes qui ne sont pas équivalentes. Thème 3. Dérivées partielles, formule de Taylor (3.1) Soit E un R-espace vectoriel normé. On appelle domaine de E toute partie ouverte connexe par arcs de E. (3.1.1) Fixons un entier p 1. On note (e 1, e 2,..., e p ) la base standard de R p : par définition, e k est l élément (0, 0,..., 0, 1, 0,..., 0) de R p, la k-ième coordonnée étant égale à 1 et toutes les autres coordonnées étant nulles. 13

Soit Ω un domaine dans R p et soit f : Ω R une fonction. Soit a Ω et soit k {1, 2,..., p}. La k-ième dérivée partielle de f en a est, par définition, la limite f(a + te k ) f(a) (*) lim, t 0 t si cette limite existe. Lorsque c est le cas, on la note f k f (a) ou x k (a), si la variable est désignée par x = (x 1, x 2,..., x p ). Notons que, puisque Ω est ouvert, a+te k appartient bien à Ω lorsque t est suffisamment petit. Si E Ω et si f k (a) existe pour tout a E, on obtient ainsi une fonction E R qui est encore notée f k f ou x k. Si toutes les dérivées partielles f 1, f 2,..., f p existent sur E, on appelle gradient de f et on note grad(f) ou f la fonction E R p définie par f (x) = ( f 1(x), f 2(x),..., f p(x) ). Si a = (a 1, a 2,..., a p ), l existence de la limite ( ) équivaut à la dérivabilité en a k de la fonction d une seule variable t définie par t f(a 0, a 1,..., a k 1, t, a k+1,..., a p ). Si par exemple p = 2, Ω = R 2 et f(x, y) = e x sin y, on trouve f 1(x, y) = f x = (sin y) ex sin y, f 2(x, y) = f y = x(cos y) ex sin y. Il s ensuit que f (x, y) = ( (sin y) e x sin y, x(cos y) e x sin y). (3.1.2) Notons que si la k-ième dérivée partielle de f existe en a, alors où ε(t k ) 0 lorsque t k 0. f(a + t k e k ) = f(a) + t k f k(a) + t k ε(t k ), (3.1.3) Soit v R p {0}. La dérivée directionnelle de f en a dans la direction v est, par définition, la limite f(a + tv) f(a) lim, t 0 t si cette limite existe. En particulier, la k-ième dérivée partielle est égale à la dérivée directionnelle dans la direction e k. (3.2) On dit que f est de classe C (1) sur Ω si, pour tout k {1, 2,..., p}, f k continue sur Ω. existe et est (3.2.1) Théorème. Soit f de classe C (1) sur Ω. Alors pour tout h = (h 1, h 2,..., h p ) R p avec h suffisamment petit, on a f ( a + h 1 e 1 + h 2 e 2 + + h p e p ) = f(a) + h, f (a) + ε(h) h, où ε(h) 0 lorsque h 0. Pour tout v R p {0}, la dérivée directionnelle de f en a dans la direction de v existe et vaut v, f (a). Le produit scalaire.,. est celui défini au (1.2). (3.2.2) Démonstration de (3.2.1). Limitons-nous au cas p = 2, le cas général se traitant de la même manière. On écrit alors f(a + h 1 e 1 + h 2 e 2 ) f(a) = ( f(a + h 1 e 1 + h 2 e 2 ) f(a + h 2 e 2 ) ) + ( f(a + h 2 e 2 ) f(a) ). 14

Ici, f(a + h 2 e 2 ) f(a) = h 2 f 2(a) + h 2 ε 2 (h 2 ) et f(a + h 1 e 1 + h 2 e 2 ) f(a + h 2 e 2 ) = h 1 f 1(a + h 2 e 2 ) + h 1 ε 1 (h 1 ) où ε k (h k ) 0 lorsque h k 0 (k = 1, 2). On peut donc écrire Or, f(a+h 1 e 1 + h 2 e 2 ) = = f(a) + h 1 f 1(a) + h 2 f 2(a) + h 1 ( f 1 (a + h 2 e 2 ) f 1(a) ) + h 1 ε 1 (h 1 ) + h 2 ε 2 (h 2 ) = f(a) + h, f (a) + h, (f 1(a + h 2 e 2 ) f 1(a) + ε 1 (h 1 ), ε 2 (h 2 )). h, (f 1(a + h 2 e 2 ) f 1(a) + ε 1 (h 1 ), ε 2 (h 2 )) h (f 1(a + h 2 e 2 ) f 1(a) + ε 1 (h 1 ), ε 2 (h 2 )) et f 1(a + h 2 e 2 ) f 1(a) 0 lorsque h 2 0 car f est de classe C (1). On en tire que (f 1(a + h 2 e 2 ) f 1(a) + ε 1 (h 1 ), ε 2 (h 2 )) (0, 0) lorsque h 0. Si v R p {0} et si t R, alors d après ce qui précède, on a f(a + tv) = f(a) + tv, f (a) + ε(tv) tv = f(a) + t v, f(a) + ( ε(tv) v ) t d où f(a + tv) f(a) t ce qui tend vers v, f (a) lorsque t 0. = v, f (a) + ε(tv) v (3.3) Soit a Ω. On dit que la fonction f : Ω R est différentiable en a, s il existe une application linéaire L a : R p R telle que pour tout h R p dont la norme est suffisament petite, on ait f(a + h) = f(a) + L a (h) + ε(h) h. Ici comme précédemment, on suppose ε(h) 0 lorsque h 0. On montre que si f est différentiable en a, alors l application L a est unique. On l appelle alors la différentielle de f en a et on la note df a. La fonction f est dite différentiable sur Ω si elle est différentiable en tout point de Ω. (3.3.1) Proposition. Toute fonction f sur Ω de classe C (1) est différentiable. Si a Ω, alors df a (h) = h, f (a) quelque soit h R p. Démonstration. Il suffit d appliquer (3.2.1). (3.3.2) Proposition. Soit f : Ω R de classe C (1). Pour tout a Ω, on a df a = p f k(a)(dx k ) a. k=1 Démonstration. Soit h R p. On a (dx k ) a (h) = h, e k et f (a) = p k=1 f k (a)e k. Il suffit de substituer ces formules dans la proposition précédente. (3.3.3) Soit f de classe C (1) sur Ω. On note alors df l application a df a. Il s agit d une application de Ω dans le R-espace vectoriel L(R p, R) des application linéaires de R p dans R. Avec cette notation, la proposition précédente implique que df = p f k dx k. k=1 (3.4) Soit U un ouvert de R et soit γ : U R p une application. Alors γ = (γ 1, γ 2,..., γ p ) où chacune des γ k est une application de U dans R. Si a U, on dit que γ est dérivable en a si 15

chacune des γ k l est. De même, γ est dérivable sur U si chacune des γ k l est et de classe C (1) si chacune des γ k est continûment dérivable. Soit Ω un domaine de R p. Supposons que γ prenne ses valeurs dans Ω. Si f : Ω R p est une application, on a l application composée f γ : U R. Si f et γ sont continues, il en est de même pour f γ. Si f et γ sont de classe C (1), on a la formule pour la dérivée d une fonction composée : a (3.4.1) Proposition. Soient f : Ω R, γ : U Ω de classe C (1). Alors pour tout t E, on (f γ) (t) = γ (t), (f (γ(t))). Démonstration. Soit u R suffisament petit pour que t + u E. Posons alors a = γ(t), h = φ(t + u) φ(t), de sorte que φ(t + u) = a + h. On en tire que f γ(t + u) = f(a + h) = f(a) + h, f (a) + ε(h) h = f(γ(t)) + h, f (γ(t)) + ε(h) h. Dans cette formule, on écrit h = γ(t + u) γ(t) = uγ (t) + uη(u), où η(u) 0 lorsque u 0. Étudions d abord le terme h, f (γ(t)). On trouve h, f (γ(t)) = u γ (t), f (γ(t)) + u η(u), f (γ(t)). D après l inégalité de Cauchy-Schwarz, η(u), f (γ(t)) η(u) f (γ(t)), ce qui tend vers 0 lorsque u 0. En ce qui concerne le terme ε(h) h, on a d abord h = u γ (t) + η(u) puis ε(h) h = ε ( u(γ (t) + η(u)) ) u γ (t) + η(u). Ici, γ (t) + η(u) reste borné lorsque u 0 et donc ε ( u(γ (t) + η(u)) ) 0 lorsque u 0. Au total, donc, on a f γ(t + u) = f(γ(t)) + u γ (t), f (γ(t)) + θ(u) u où θ(u) 0 lorsque u 0, ce qui permet de conclure en utilisant (3.2.1). (3.5) Théorème des accroissements finis. Soit Ω un domaine de R p et soit f : Ω R une fonction de classe C (1). Soit a, b Ω, soit [a, b] le segment droit joignant a à b et soit ]a, b[= [a, b] {a, b}. On suppose que [a, b] Ω. Alors il existe c ]a, b[ tel que f(b) f(a) = b a, f (c). Pour la démonstration, on réduit au cas d une fonction d une seule variable, dont nous rappelons d abord l énoncé : (3.5.1) Théorème. Soient u < v deux réels et soit φ : [u, v] R une fonction continue, dérivable sur ]u, v[. Alors il existe w ]u, v[ tel que φ(v) φ(u) = (v u)φ (w). Démonstration de (3.5). On applique ce résultat avec φ : [0, 1] R définie par φ(t) = f ( (1 t)a + tb ). Autrement dit, φ = f γ, où γ : [0, 1] Ω est donnée par γ(t) = (1 t)a + tb. En appliquant (3.4.1), on trouve φ (t) = γ (t), f (γ(t)) = b a, f (γ(t)). D après (3.5.1), il existe w ]0, 1[ tel que φ(1) φ(0) = φ (w). Si l on pose c = γ(w), alors c ]a, b[ et f(b) f(a) = b a, f (c) comme voulu. 16

(3.5.2) Corollaire. Soit Ω un domaine et soit f : Ω R une application de classe C (1). Si f = 0, alors f est constante. Démonstration. Fixons a Ω. Il suffit de montrer que f(b) = f(a) quelque soit b Ω. Or, d après (2.9.1), il existe un arc polygonal joignant a à b. Un tel arc est réunion de segments droits [a, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, b], chacun de ces segments étant contenu dans Ω. D après le théorème (3.5), il existe c 1 ]a, x 1 [ tel que f(x 1 ) f(a) = x 1 a, f (c 1 ). Puisque f = 0, on en tire que f(x 1 ) = f(a). En appliquant le théorème (3.5) de la même manière sur chacun des segments [x 1, x 2 ],..., [x n 1, b], on trouve successivement f(x 2 ) = f(x 1 ),..., f(b) = f(x n 1 ). Donc f(b) = f(x n 1 ) = = f(x 2 ) = f(x 1 ) = f(a). (3.6) Soit Ω un domaine dans R 2 et soit f : Ω R une application de classe C (1). Le théorème des fonctions implicites affirme que si (a, b) Ω vérifie f(a, b) = 0 et f 2(a, b) 0, alors il existe un intervalle ouvert I contenant a et une application γ : I R de classe C (1) telle que γ(a) = b et f ( u, γ(u) ) = 0 pour tout u I. Si en outre on suppose I suffisamment petit, alors γ est uniquement déterminée par ces conditions. Géométriquement parlant, cela veut dire que sur un voisinage du point (a, b), l ensemble des solutions (u, v) de f(u, v) = 0 est représenté par la courbe v = γ(u). En outre, en appliquant (3.4.1) à la fonction u f(u, γ(u)) = 0, on trouve f 1(u, γ(u)) + γ (u)f 2(u, γ(u)) = 0. Par conséquent, la pente de la tangente de la courbe au point (u, v), où v = γ(u), est γ (u) = f 1 (u,v) et le vecteur f (u, v) est normale à la courbe. f 2 De la même façon, si (u,v) f 1(a, b) 0, il existe un voisinage de (a, b) sur lequel l ensemble des solutions (u, v) de f(u, v) = 0 est une courbe de la forme u = δ(v), δ étant une fonction de classe C (1) telle que δ(b) = a. À nouveau, le vecteur f (u, v) est normale à la courbe. On en tire donc que si f : Ω R est de classe C (1) et si f n a pas de point critique dans Ω, alors l ensemble des solutions (u, v) de f(u, v) = 0 est une courbe (ou réunion de courbes) contenue dans Ω (pourvu qu il soit non-vide). Le vecteur f (u, v) est toujours normale à la courbe au point (u, v). (3.7) Soit Ω R p un domaine. Rappelons que toute fonction f : Ω R q s écrit f = (f 1, f 2,..., f q ), où les f k sont des fonctions de Ω dans R. On dit que f est de classe C (1) si chacune des fonctions f k est de classe C (1). Lorsque c est le cas, il existe pour tout a Ω une unique application linéaire df a : R p R q telle que f(a + h) = f(a) + df a (h) + ε(h) h pour tout h R p tel que a + h Ω, et ε(h) 0 lorsque h 0. À nouveau, df a s appelle la différentielle de f en a. On a alors df a = ( (df 1 ) a, (df 2 ) a,..., (df q ) a ). Si Ω est un domaine de R q, si f : Ω Ω et g : Ω R r sont de classe C (1), alors g f : Ω R r est de classe C (1) et pour tout a Ω on a d(g f) a = dg f(a) df a. (3.7.1) Soit f : Ω R q une fonction de classe C (1) et soit a Ω. La matrice jacobienne de f en a est par définition la matrice à q lignes et p colonnes f 1 f x 1 (a) 1 f x 2 (a) 1 x p (a) f 2 f M f (a) = x 1 (a) 2 f x 2 (a) 2 x p (a)....... f q f x 1 (a) q f x 2 (a) q x p (a) Il s agit de la matrice de df a par rapport aux bases standard de R p et de R q. (3.7.2) Lorsque q = p, le jacobien de f en a est par définition le déterminant de M f (a) : il est noté J f (a). Notons alors que a J f (a) est une fonction de classe C (1) de Ω dans R. 17

( ) 2xy x Exemple. Soit f : R 2 R 2 définie par f(x, y) = (x 2 y, xy 2 2 ). Alors M f (x, y) = y 2. Il 2xy s ensuit que J f (x, y) = 3x 2 y 2. (3.7.3) Proposition. Soit Ω R q un domaine. Soient f : Ω Ω et g : Ω R r deux applications et soit a Ω. (i) Si f est différentiable en a et si g est différentiable en f(a), alors g f est différentiable en f(a) et l on a d(g f) a = dg f(a) df a. Par conséquent, M g f (a) = M g (f(a))m f (a). (ii) Si f et de classe C (1) sur Ω et si g est de classe C (1) sur Ω, alors g f est de classe C (1) sur Ω. (3.8) Nous allons conclure ce thème en énonçant sans démonstration deux résultats importants, dont des cas particuliers ont déjà été évoqués. (3.8.1) Théorème (de la fonction réciproque). Soit Ω R p un domaine et soit f : Ω R p est une fonction de classe C (1). Soit a Ω tel que J f (a) 0. Alors il existe un ouvert U Ω contenant a tel que f restreinte à U est une bijection de U sur son image f(u). En outre l application réciproque f 1 : f(u) U est de classe C (1) et l on a df 1 f(a) = (df a) 1. On remarque que la différentielle de l application identique est l application identique, dont la matrice jacobienne est la matrice identité. En appliquant (3.7.3), on constate ainsi que M f 1(f(a)) = M f (a) 1. Exemple. Dans l exemple de (3.7.2), on a J f (a 1, a 2 ) 0 si et seulement si soit a 1 0 soit a 2 0. Ainsi, le théorème s applique au voisinage de tout point de R 2 qui n est pas situé sur l un des axes. (3.9) Soient p 1, q 1 deux entiers, soit Ω 1 un domaine de R p et soit Ω 2 un domaine de R q. On identifie R p+q avec R p R q, de sorte qu un point de R p+q s écrit (x, y) avec x R p et y R q. On pose Ω = {(x, y) x Ω 1, y Ω 2 }, de sorte que Ω est un domaine de R p+q. Soit f : Ω R q une fonction de classe C (1). Si (a, b) Ω, on note D 1 f (a,b) la différentielle en a de la fonction x f(x, b) et D 2 f (a,b) la différentielle en b de la fonction y f(a, y). Les matrices jacobiennes de D 1 f (a,b) et de D 1 f (a,b) sont alors respectivement et f 1 x 1 (a, b) f 2 M f,1 (a, b) = x 1 (a, b). f q x 1 (a, b) f 1 y 1 (a, b) f 2 M f,2 (a, b) = y 1 (a, b). f q y 1 (a, b) Le résultat suivant se réduit à (3.6) lorsque p = q = 1. f 1 f x 2 (a, b) 1 x p (a, b) f 2 f x 2 (a, b) 2 x p (a, b)...... f q f x 2 (a, b) q x p (a, b) f 1 f y 2 (a, b) 1 y q (a, b) f 2 f y 2 (a, b) 2 y q (a, b)...... f q f y 2 (a, b) q y q (a, b) 18

(3.9.1) Théorème (des fonctions implicites). Soient p 1, q 1 deux entiers. On identifie R p+q avec R p R q. Soit Ω 1 un domaine de R p et soit Ω 2 un domaine de R q. On pose Ω = Ω 1 Ω 2 : c est un domaine de R p+q. Soit f : Ω R q une fonction de classe C (1). Soit alors (a, b) Ω tel que f(a, b) = 0. On suppose que D 2 f (a,b) soit inversible. Alors il existe un voisinage U Ω 1 de a et une unique fonction φ : U Ω 2 de classe C (1) tels que b = φ(a) et f(u, φ(u)) = 0 quelque soit u U. En outre, on a dφ u = (D 2 f (u,φ(u)) ) 1 D 1 f (u,φ(u)). Le lecteur reformulera la dernière alinéa de l énoncé en termes des matrices M f,1 et M f,2. Elle se démontre en remarquant que, puisque u f(u, φ(u)) est la fonction nulle, sa différentielle encore est la fonction nulle. Mais la différentielle se calcule à l aide de la formule pour la différentielle d une fonction composée (3.7.3). On trouve alors que 0 = D 1 f (u,φ(u)) + D 2 f (u,φ(u)) dφ u. EXERCICES (e3.1) Soit f : R p R la fonction définie par f(x) = x, a, où a R p est une constante. Calculer f. Même chose lorsque f est la fonction x x 2 2, la fonction x x 4 2, de la fonction x x, a 2, de la fonction x e x,a et de la fonction x log(1 + x 2 2 ). (e3.2) Calculer les dérivées partielles de la fonction x x, en précisant les points x R p où elles existent. (e3.3) Soit f : (R +) 3 R la fonction (x, y, z) x yz. Calculer f x, f y et f z. (e3.4) (i) Déterminer toutes les fonctions f : R 2 R de classe C (1) qui vérifient f 1 (x, y) = x et f 2 (x, y) = y pour tout (x, y) R2. En déduire toutes les fonctions f de classe C (1) qui vérifient df = xdx + ydy. (ii) Déterminer toutes les fonctions g : R 2 R de classe C (1) qui vérifient g 1 (x, y) = 3y2 y 3 + x 2 et g 2 (x, y) = 3xy(2 y). En déduire toutes les fonctions g de classe C(1) vérifiant dg = (3y 2 y 3 + x 2 )dx + 3xy(2 y)dy. (iii) Déterminer toutes les fonctions f : R 3 R de classe C (1) vérifiant f 1 (x, y, z) = y, f 2 (x, y, z) = z et f 3 (x, y, z) = y. (e3.5) Soient p 1, r deux entiers. La fonction f : R p {0} R est dite homogène de degré r lorsque f(λx) = λ r f(x) quelque soit λ R et quelque soit x R p {0}. Montrer que si f est homogène de degré r, alors f (x), x = rf(x) quelque soit x R p {0}. (e3.6) Soit f : R 2 R la fonction définie par f(x, y) = (x 1)(x + 2)(x 2 + 1) + y 2. On considère le lieu X = {(x, y) R 2 f(x, y) = 0}. (i) Montrer que X est compact. (Pour montrer que E est borné, montrer d abord que si (a, b) X, alors a [ 2, 1].) (ii) Calculer f. Montrer que si (a, b) X, alors f (a, b) 0. (iii) Soit (a, b) X avec f 2 (a, b) 0. Quel résultat du cours vous permet d affirmer qu il existe un intervalle ouvert I contenant a et une fonction γ : I R vérifiant γ(a) = b et f(t, γ(t)) = 0 pour tout t I? On précisera γ. Calculer γ (a). (iv) Soit (a, b) X avec f 1 (a, b) 0. Expliquer pourquoi il existe un intervalle ouvert J contenant b et une fonction γ : J R vérifiant δ(b) = a et f(δ(u), u) = 0 pour tout u I? Existe-t-il une formule explicite pour δ analogue à celle de γ dans la question (iii)? Calculer δ (b). (e3.7) Soit α R, α 0, et soit f : R 2 R la fonction définie par f(x, y) = x 3 + y 3 3αxy, où (x, y) R 2. On note X le lieu {(a, b) R 2 f(a, b) = 0}. (i) Calculer f. Montrer que le seul point (a, b) de X où f (a, b) = (0, 0) est l origine. (ii) Trouver les points (a, b) X tels que f (a, b) 0 mais soit f 1 (a, b) = 0 soit f 2 (a, b) = 0 (tangente verticale ou horizontale). (iii) Soit (a, b) X tel que f 2 (a, b) 0. Quel résultat du cours vous permet d affirmer qu il existe un intervalle ouvert I contenant a et une fonction γ : I R vérifiant γ(a) = b et f(u, γ(u)) = 0 pour 19

tout u I? Calculer γ (a). (e3.8) (i) Soient a, b, c trois réels. Montrer que si le polynôme x 3 + ax 2 + bx + c a trois racines réelles deux-à-deux distinctes distinctes, alors il existe des intervalles ouverts I a contenant a, I b contenant b et I c contenant c tels que si a I a, b I b et c I c, alors le polynôme x 3 + a x 2 + b x + c a encore trois racines réelles. (ii) Montrer que si α < β sont deux réels et si ε est suffisament petit, le polynôme (x α)(x β)+εx 3 a trois racines réelles. (e3.9) Soit f : R 2 R 2 l application définie par f(u, v) = (e u cos v, e u sin v). Montrer que J f (u, v) 0 quelque soit (u, v) R 2 mais que f n est pas une bijection de R 2 sur lui-même. Thème 4. Formes quadratiques, matrices symétriques, dérivées d ordre 2, extremums locaux (4.1) Notons encore Ω un domaine de R p. Soit f : Ω R une fonction et soient k, l {1,...,, p}. Supposons que f k existe. Si, à son tour f k possède une dérivée partielle (f k ) l, on la note f l,k (ou 2 f x l x k ). Il s agit alors de la dérivée partielle seconde par rapport à x k, x l. Fort heureusement, il n est pas en pratique necéssaire de se souvenir de l ordre des indices k et l, en raison du résultat suivant qui sera admis : (4.1.1) Théorème. Soit f : Ω R une application et soient k, l {1, 2,..., p}. On suppose que f l,k existe et est continue sur Ω. Alors f l et f k,l existent et on a f l,k = f k,l. (4.1.2) On dit que f est de classe C (2) si toutes les dérivées partielles secondes f k,l existent et sont continues. Soit f = Ω R de classe C (2) et soit a Ω. On appelle matrice hessienne de f en a la matrice carrée d ordre p définie par f 1,1(a) f 1,2(a) f 1,p(a) f H f,a = 2,1(a) f 2,2(a) f 2,p(a)....... f p,1(a) f p,2(a) f p,p(a) D après (4.1.1), il s agit d une matrice symétrique. Soit H = (H i,j ) une matrice carrée symétrique d ordre p. On note alors q(h, ) sa forme quadratique associée : celle-ci est définie par la formule q(h, x) = i,j x ix j H i,j quelque soit x = (x 1, x 2,..., x p ) R p. (Bien que la formula définissant q(h, x) ait un sens quelque soit la matrice carrée H d ordre p, nous ne parlerons d une forme quadratique associée que lorsque H est symétrique.) (4.2) Théorème. Soit f : Ω R une application de classe C (2) et soient a, b Ω tels que [a, b] Ω. Alors il existe c ]a, b[ tel que f(b) f(a) = b a, f (a) + 1 2 q( H f,c, b a ). Ce résultat se déduit de la formule de Taylor en une variable par un argument semblable à celui utilisé dans la démonstration du théorème (3.5). 20