EXERCICES SUR LE COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS Calculer, lorsque c est possible, les limites des fonctions f définies ci-dessous en + et : a f + + 4 b f + + + c f + d f + e f f f e e + g f ln ln h f ln i f ch sh Dans chacun des cas ci-dessous, trouver une fonction simple équivalente en + à la fonction proposée En déduire sa limite en + si elle eiste Dans cet eercice, a désigne un nombre réel quelconque, et n un entier naturel a f a + + a b f + a + c f d f 4 cos + ln 6 + n + e f e f f cos + ln ln + g f + epln h f ln + i f ln 5 +, 5 En utilisant la formule de Taylor-Young, calculer le dl de arctan à l ordre au voisinage de Puis retrouver ce résultat à partir du dl de la dérivée d arctan au voisinage de 4 Calculer le développement limité en des fonctions suivantes a + arctane + sin ordre b 4 ordre c e + arctan cos ln + sin g e + cos ordre 4 d ordre f e ordre 5 + cos ordre ordre h + / ordre i ln sin ordre 4 j + ln + ordre k cose cos ordre 4 l argch + ordre
5 Trouver les développements limités des fonctions suivantes : a f sin à l ordre en π/6 b f à l ordre en c f tan tan à l ordre en π/4 6 Montrer que, quel que soit n >, le développement limité d ordre n en de th vaut + n 7 Trouver un équivalent simple, lorsque tend vers zéro des fonctions suivantes : a + cos tan b e cos + e ch e c sin 4 tan d e cos e + ln e + ln cos ln ch f tan + e 4 4 + 8 Calculer les limites des fonctions suivantes en utilisant les développements limités a c e g i arcsin sin b 8 4 d e e e e f / h + ch / cos / ch cos / sin sh e e ln a/ + b / / /4 j cotan 9 Etudier au voisinage de zéro, la fonction f définie par f ln e Etudier à l infini, les fonctions suivantes a f + e / b f + + + c f + d f lne e + e + Soit n un entier positif Dans l ensemble des fonctions numériques définies sur R, on définit une relation R n par f R n g si et seulement si f g n Montrer que c est une relation d équivalence
Corrigé a A l infini, le limite de f est celle du rapport des termes de plus haut degré, donc lim ± f b Lorsque tend vers +, il n y a pas de forme indéterminée, et l on obtient immédiatement lim f + + Par contre, en, il y a une forme indéterminée, et on utilise la quantité conjuguée du numérateur : f + + On met alors en facteur, en remarquant que puisque est négatif f + + + lim f c La fonction n est définie que sur l intervalle ], + [ Lorsque tend vers +, on met en facteur, donc + f, d où lim f + d Lorsque tend vers +, on obtient, en mettant en facteur f + +, et donc lim f + Lorsque tend vers, on obtient, en mettant en facteur, et puisque pour <, f + +,
et donc lim f e Quand tend vers l infini, on écrit f, lim f ± f En +, on met e en facteur, d où et comme la limite de e est nulle, on en déduit f e + e, lim f + En, on met en facteur, d où + e f + e, et comme la limite de e / est nulle, on en déduit lim f g La fonction f est définie sur ], + [ On écrit f ln ln ln ln On sait que la fonction u ln u ln ln u admet pour limite en + par composition des limites ln admet pour limite, et f également, comme produit de fonctions ayant pour limite h La fonction f est définie sur ], + [On écrit Et comme 5 et ln f 5 ln, admettent pour limite en +, il en est de même de lafonction f i En développant, on obtient e + e f e e + e 4
Et f admet pour limite a Si a, f, et l epression entre parenthèses admet pour limite f, et f admet + comme limite Si a, on a, en divisant par dans la fraction, puis en mettant en facteur f f + a, + a + + a + a L epression entre parenthèses admet pour limite, donc est équivalente à la fonction constante f et f admet comme limite b Si a, en mettant en facteur f + a +, et l epression entre parenthèses admet pour limite a +, donc f a +, et f admet + comme limite si a >, et si a < Si a, on utilise la quantité conjuguée, puis on met en facteur f + + + +, et l epression entre parenthèses admet pour limite, donc et f admet pour limite f, c Si n > 6, on met n/ en facteur au numérateur n/ + n/ n 6 + n f n/ + n/ n 6 + n Et l epression entre parenthèses admet pour limite, donc La fonction f admet comme limite f n/ 5
Si n 6, on met en facteur au numérateur + 6 f + 6 L epression entre parenthèses admet pour limite, donc et f admet pour limite Si n < 6, on utilise la quantité conjuguée f f, n + 6 + n +, puis on met n en facteur au numérateur et 4 au dénominateur n + f n 4 + + 6 n + n 4 + 6 L epression entre parenthèses admet pour limite /, donc + n + 6 n + 6 f n 4, et f admet pour limite si n > 4, / si n 4, et, si n < 4 d On met en facteur au dénominateur f La fonction ln admet pour limite zéro, donc Si l on pose on a 4 cos + ln cos + ln f cos g cos, gnπ 4n π et gnπ + π/, et ces deu suites n admettent pas la même limite, donc ni g ni f n admettent de limite en + e On met en facteur et donc et f admet pour limite + f e 6
f On met ln en facteur au dénominateur f cos + ln ln La fonction ln admet pour limite zéro, donc que l on peut encore écrire, en divisant par f f cos + ln ln + ln cos + ln ln Mais la fonction cosinus est bornée sur R, et la fonction ln admet comme limite Elle est donc bornée sur un intervalle [α, + [ sur cet intervalle la fonction cos + ln est bornée, et la fonction ln Remarque : on n a pas l équivalence admet pour limite à + f admet pour limite cos + ln cos, sinon, il eisterait un intervalle [ a, + [ sur lequel les fonctions seraient simultanément nulles Or cos s annule pour tout multiple entier de π, et pas cos + ln, g Remarquons que epln e ln ln ln Mettons ln en facteur f ln + ln L epression entre parenthèses admet pour limite, donc f ln, et f admet + comme limite h On écrit Mais f ln + ln et cette epression admet comme limite et f admet comme limite + ln /6, ln f ln, i On écrit ln 5 +, 5 ln 5, 5 + ln 5, 7
et comme les fonctions, 5 et /ln 5 admettent comme limites, on a puis ln 5 +, 5 ln 5, f On en déduit que f admet + comme limite ln 5 /5 5 ln On calcule les dérivées successives de la fonction arctan puis On en déduit d où, en utilisant la formule de Taylor, on trouve f f + f! f +,, f + +, f + + + f π/4, f /, f /, f /, f π 4 + f! + + f! 4 + Partons d un dl à l ordre de f En posant + u, on obtient, en intégrant terme à terme f + + u + u [ f u + u [ u + u u + u + +, + + u + u / u + u + u ] ] + u + u + u u + u 4 + u ce qui redonne le même résultat f f + u u 4 + u + u, 4 a On part des dl de arctan, e et sin à l ordre en zéro + arctan + +, 8
et e + sin + + + + + + + 6 6 6 + On effectue le produit en tronquant à l ordre b On développe et on tronque à l ordre + arctane + sin + 4 + 7 + 4 8 + 4 7 + 8 + 4 7 + c Le dénominateur de la fraction ne s annulant pas en zéro, on effectue la division suivant les puissances croissantes à l ordre 4 + / / + 4 /4 + / 4 /4 + + / + /6 +5 4 /4 + / / 4 /4 + / / + /6 4 /4 / + 4 /4 /6 +5 4 /4 /6 +5 4 /4 5 4 /4 + arctan cos + + + 6 + 54 4 + 4 d Le premier terme non nul du dl du dénominateur étant de degré, on part de l ordre 6 On a e + + 6 + 4 4 + 5 + 6 7 + 6 Et donc e + + 6 + 4 + 4 + 5 7 + 5 On effectue la division suivant les puissances croissantes à l ordre 5 suivante : +/ + /6 + /4 + 4 / + 5 /7 / /6 /4 4 / 5 /7 / + / 4 /7 / /6 /4 4 / 5 /7 / + /4 + / + 4 /48 + 5 /4 / + /4 + 4 /8 + 5 /6 / /4 4 /7 5 /88 4 /7 5 /44 4 /7 + 5 /44 9
On a donc finalement e + 7 4 + 5 e Le premier terme non nul du dl du dénominateur est de degré On part donc de dl à l ordre 6 et sin 6 5 + 6, ln + 6 + 6 f On a tout d abord ln + sin 6 + 6 6 5 + 6 6 + + 6 + + + 6 + + + cos +, + cos + / + On utilise le dl de + u m en zéro avec m / + cos + 6 + g En utilisant l eercice précédent e + cos e 6 + + e 6 e On utilise alors le dl de e en zéro, d où h On écrit e + cos e + / e + 6 ln + Puisque l on divise par, on part d un dl de ln + à l ordre ln + + +
On obtient e ln + @ + + e On utilise alors le dl de e à l ordre en zéro e ln + [ e + + + A @ + + e e ] + + e i Puisque l on divise par, on part d un dl de sin à l ordre 5 ln sin sin 6 + 5 + 5 ln 6 + 4 + 4 A + + 4 On utilise alors le dl à l ordre 4 en zéro de ln + En tenant compte du fait que l epression ne dépend que de, l ordre suffira ln sin 6 + 4 6 + 4 + 4 6 4 8 + 4 j En partant du dl à l ordre en zéro de ln +, on a donc / + ln + + + + On utilise le dl de + u / à l ordre en zéro : + u / + u + u + u 6 + u + u u 9 + 5u 8 + u + ln + + + + + 9 + 5 8 + 8 + + 9 + 5 8 + + 5 8 + + k On part du dl en zéro à l ordre de cos cos + g e cos + + + + + 4 cos «@ + + 4 e A
En utilisant le dl en zéro à l ordre 4 de l eponentielle, on a «e cos + + + + + 6 + + + + 4 + 6 + 4 4 + 4 + u, + + 4 4 + + 4 où u + + + 4 4 + 4 cosg cos + u coscosu sin sin u Comme u, on peut utiliser maintenant les dl de sin et cos à l ordre 4 en zéro On a donc ainsi que cosu + + + 4 + 4 4 + + 4 4 + 44 sin u, en remplaçant 4 4 + 4, cosecos cos sin + 4 4 + 4 + + + 4 + 4 6 + + + 4 4 6 + + + 74 4 + 4 cos + sin + 4 4 + + + 4 + 4 4 + + 4 + 4 4 + 4 cos + sin 8 cos + 7 sin 4 + 4 4 l On cherche un dl de la dérivée f + + + + / + 4 f 4 4 + Puis en calculant la primitive, qui vaut argch ln + en, argch + ln + + 4 + 5 a On se ramène à un dl en zéro en posant h π/6 On a alors f sin h + π 6 sin h + cosh, / +
d où et finalement f f + h h 6 + h + h + h π 6 4 π π + π 6 6 6, b On se ramène à un dl en zéro en posant h f hh h h h + h h h + h, donc f + o c On se ramène à un dl en zéro en posant h π/4 On obtient alors tan tan h + π 4 tan h + tan π 4 tan h tan π 4 + tanh tan h Par ailleurs, où π tan tan + h f f h + π 4 tan h tanh /tan h + tanh e gh, tan h gh + tanh tanh ln tanh Comme tan h s annule en zéro, et que le premier terme non nul de son dl est de degré, il faut donc commencer le calcul avec un dl d ordre 4 en zéro de tanh : On a alors tan h h + h + h4 ln + tanh en changeant h en h, ln + h + h + h4 h + h h + h + + h h + h h h + h 7h4 + h4 h + h 4 + h h4 4 + h4 ln tan h h h h 7h4 + h4, 4 h + h + h 4
et finalement ln + tanh 4h ln + tanh ln tan h h + tanh + h4 Remarque : la fonction qui à h associe ln + tanh étant impaire, il est normal que son dl le soit + tanh également Par ailleurs On a alors gh f tan h h + 8h + h4 h + 4h + h4 h + 8h + h4 + h + h + 4h + h + h 4h h + h h + π 4 e gh + h @ + h + h e @ h e + h e A A Il ne reste plus qu à utiliser le dl de e en zéro pour obtenir f h + π 4 e + h + h Finalement f e + π + π 4 4 6 On a donc th e / + e /, th e / + e / n th n e / + e / 4
En posant u /, n e / n/ e u u n/, et cette epression admet pour limite lorsque u tend vers + donc lorsque tend vers th, lim n donc et l on a bien th n, th + n 7 Remarque : dans cet eercice on ne peut savoir a priori à quel ordre choisir les dl que l on utilise, les démonstrations sont données avec l ordre nécessaire pour obtenir l équivalent cherché En général, on choisit un ordre de départ, s il est insuffisant pour conclure, on recommence les calculs en augmentant l ordre a En effectuant un dl à l ordre, + cos tan + + b En effectuant un dl à l ordre 4, e cos e + 4 4 + 4 e e + 4 4 4 [ e + + 4 4 De même e ch e + 4 6 + + 7 6 + 7 6 + + 4 + ] 4 4 + 4 + e + 4 4 + 4 e e + 4 4 4 [ e + + 4 + 4 + 4 + ] 4 4 e + + 4 + 4 6 e cos + e ch e e4 + 4 e4 c Pour tendant vers +, on a sin 6 + / 6 + 5
, en utilisant le dl en zéro de + u /, sin + De même, 4 tan 4 + 4 + 4, en utilisant le dl en zéro de + u /4, tan + + /4 + + 4 sin tan 6 + 5/ 6 + 5/ 5/ 6 d On peut transformer l epression en mettant e en facteur dans la parenthèse e cos e + ln e ln cos e ln cos e ln Or, en utilisant un dl d ordre en zéro, cos e + + +, donc ln cos e ln + + lnln cos e ln, et cette epression tend vers zéro lorsque tend vers + e lnln cos e cos e ln tend vers, et il en résulte que où ε tend vers e cos e + ln ε e cos e + ln e On part de dl à l ordre 4 De même ln cos ln + 4 4 + 4 4 + 4 4 + 4 ln ch ln + + 4 4 + 4 4 + 4 6 + 4 4 4 + 4 + 4 4 + 4 + 4
On en déduit donc f On part de dl à l ordre et ln cos ln ch + 4 + 4 4 + 4 6 + 6 + 6 + 6 + + ln cos ln ch + tan +, + e + 6 + On effectue alors la division suivant les puissances croissantes pour obtenir un dl du quotient / + / /6 + / + /6 /4 5 /4 / /6 + / /4 5 / +5 / Par ailleurs Finalement tan + e 4 5 4 + 4 4 + + 4 4 + tan + e 4 4 + 5 4 + 5 4 8 a Le dl du dénominateur ayant son premier terme non nul de degré, on cherche un dl d ordre du numérateur Pour obtenir le dl d arcsin, on part du dl d ordre de la dérivée en intégrant, et puisque arcsin, / + + arcsin + 6 + 7
et d où et arcsin 6 + 6, sin, arcsin sin 6, arcsin lim sin 6 b Comme sh a un dl en zéro dont le premier terme non nul est de degré, et que l on effectue une division par, on partira de dl d ordre On a donc Puis Finalement tend vers e / sin 6 + et sh + 6 +, sin sh 6 + + 6 + 6 + + 6 + 6 6 + + ln sin sh ln + + sin ln sh + / sin sh sin @ ln sh e A c On part du dl d ordre en zéro de α e ln α qui vaut + lnα + On a donc 8 4 + ln 8 + ln 4 + ln + ln, et donc + ln + ln + ln + ln, 8 4 lim ln ln/ 8
d On pose tout d abord h e, et l on cherche la limite lorsque h tend vers zéro de e + h e gh lne + h On regarde le dénominateur lne + h ln + h h e e On cherche donc un dl d ordre du numérateur e + h e e + h e e + he + h h e D où et la fonction tend vers e/ gh h e h e e, e On effectue le même changement de variable que dans d et l on cherche la limite lorsque h tend vers zéro de gh e + he e e+h h On cherche un dl d ordre du numérateur Tout d abord h + e e e e + h e e On utilise le dl de + α en zéro, pour α e, et h/e h + e e e e + e h ee h + + h e e e e + h + e e h + h En utilisant le dl de l eponentielle, on aura e h+e e e e h e e + h + h + h D où h + e e e h+e ee h + h e e ee lim e e f Posons tout d abord h / On cherche donc la limite quand h tend vers zéro de gh /h ah + b h 9
Comme dans le calcul figure une division par h, on part de dl à l ordre Comme dans c on a ah + b h + h lna + + h lnb + h + lna + lnb + h + h ln ab + h et cette epression tend vers ln ab tend vers e ln ab ab h ln ah + b h h ln ab + h ln ab +, h gh ep [ ] h ln ah + b h lim a/ + b / ab g Comme dans le calcul figure une division par, on part de dl à l ordre On a tout d abord puis tend vers e lorsque tend vers zéro + +, + ln + ln + + + / [ ep + ln ] + h Posons tout d abord h On cherche donc la limite quand h tend vers zéro de gh + h + h / + h + h /4 Le premier terme non nul du dl de +h /4 vaut h/4 et est de degré On cherche un dl d ordre du numérateur + h + h / + h + h + h / h + h / h + h, et + h + h + h + h + h / + h 5h 6 + h 5h 6 5h gh 6 h 4 9 / /4 tend vers /9 i Le premier terme non nul du dl du dénominateur est de degré, puisque ch cos + + +
Par ailleurs il eiste dans l epression de la fonction des divisions par On commence les calculs avec des dl d ordre 4 ln ch ln + + 4 4 + 4 + 4 4 + 4 4 4 8 + 4 4 + 4 ch / ln ch @ e A + 4 + 4 4 @ + + e @ + A A e / e e / + + De même On en déduit et finalement ln cos ln + 4 4 + 4 4 + 4 + 4 4 4 8 + 4 4 + 4 cos / e @ ln cos A + 4 4 @ + e @ A + + 4 A e / e e / + ch / cos / e / 6 + / e 6 ch / cos / ch cos / e 6 6 e
j On écrit Or et ch / cos / lim ch cos cotan tan tan tan 6 e + tan tan tan tan + + +, + tan +, tan 4 cotan 4 cotan lim 9 Il y a dans l epression deu divisions par On commence le calcul avec des dl d ordre 5 e + + + 6 + 4 4 + 5 + 5 e + + 6 + 4 + 4 + 4, et ce dl est à l ordre 4 On utilise le dl en zéro à l ordre 4 de ln + u ln + u u u + u u4 4 + u4, Dans lequel on remplace u par + 6 + 4 + 4 On a alors f + 6 + 4 + 4 + 6 + 4 + 4 + + 6 + 4 + 4 4 4 + 6 + 4 + 4 + 4 En mettant en facteur dans chaque parenthèse le terme de plus bas degré, on peut encore écrire f + 6 + 4 + 4 + + 8 + 4 + 4 64 + 4,
et en développant Finalement f + 6 + 4 + 4 + + 8 6 + 9 f + 6 8 + + + 4 4 64 + 4 + 4 + 4 48 7 + 4 64 4 + 4 On en déduit alors f + 4 88 + La fonction f se prolonge en zéro par la valeur / L équation de la tangente à la courbe en est donnée par le dl d ordre : y + 4 f + 4 88 + 88 Lorsque tend vers + la différence est négative et la courbe est en dessous de sa tangente Elle sera au-dessus lorsque tend vers La courbe admet donc un point d infleion en 5
a En mettant en facteur sous la racine, il vient f + e / + e/ Posons h /, et faisons un dl de f h f + he h h On obtient + he h + h 8 h + h + h + h + h + h + h, si est positif f + + +, et si est négatif f + La courbe admet la droite d équation y +, comme asymptote à + et se trouve au-dessus de l asymptote car f + + est du signe de / donc positif Elle admet la droite d équation y, comme asymptote à et se trouve également au-dessus de l asymptote car f + + + est du signe de / donc encore positif 4
b Posons h / On a alors f hf + h h + h h h + h On cherche le dl d ordre en effectuant la division suivant les puissances croissantes +h h +h h +h +h h +h 5h h h +h h +h 6h 5h 5h f + 5 + La courbe admet à ± l asymptote d équation y + La différence f + 5 + 5, est du signe de 5/ La courbe est en dessous de son asymptote à ± c Posons h / On a alors On effectue un dl à l ordre f hf h h + h h + h h h + h + h h + h + h 5
On a donc h + h h + h + h / + h + h 8 h + h + h h + h + h f + + La courbe admet à ± l asymptote d équation y La différence f +, est du signe de / La courbe est en dessous de son asymptote à, et au-dessus à + d Lorsque tend vers + le terme prépondérant à l intérieur du logarithme est e On le met en facteur f ln[e e + e + e 5 ] + ln e + e + e 5 Posons alors e h, cette quantité tend vers zéro On peut effectuer un dl à l ordre en zéro de On obtient donc ln h + h + h 5 ln h + h ln h + h + h 5 h + h, f e + e La courbe admet comme asymptote la droite d équation y Et la différence f e + e e, 6
est du signe de e La courbe est en dessous de son asymptote à + Lorsque tend vers le terme prépondérant à l intérieur du logarithme est e On le met en facteur f ln [e + e e4 + ] e5 + ln + + e e4 + e5 Posons alors e h, cette quantité tend vers zéro On peut effectuer un dl à l ordre en zéro de ln + h h4 + h5 ln + h + h On obtient donc ln + h h4 + h5 h + h, f + ln + e + e La courbe admet comme asymptote la droite d équation y + ln Et la différence f + ln e + e e, est du signe de e / La courbe est au-dessus de son asymptote à On a bien f f n donc R n est réfleive Si f g n, on a aussi g f n donc R n est symétrique Si l on a f g n et g h n, alors en additionnant f h n donc R n est transitive On a bien une relation d équivalence 7