Loi biomiale Répétitio idépedate d expérieces aléatoires idetiques 1. Le cotexte 1.1. Répétitio idépedate d expérieces aléatoires. Das otre perspective de modéliser les phéomèes observés, comme par exemple la répétitio du lacer d u dé, d ue pièce de moaie, du choix d u échatillo de taille doée das ue populatio,, o se place das l hypothèse d idépedace des répétitios d ue même expériece aléatoire miimale. À chaque répétitio, la probabilité d ue issue de cette expériece aléatoire miimale est idetique. Cela correspod à otre ituitio lorsque ous laços plusieurs fois la même pièce de moaie, le même dé, ou bie plusieurs dés bie équilibrés, choisissos au hasard plusieurs objets das u sac e coteat u grad ombre. Cette situatio correspod aussi à des tirages successifs das ue ure avec remise. E effet, à chaque tirage, les ures sot à ouveau das le même état. Par cotre, das u tirage d ue ure sas remise, ous e sommes plus das ue situatio d idépedace. E effet, après chaque tirage, les états des ures ot chagés. La probabilité d obteir ue boule aussi. Remarque: Cette hypothèse d idépedace est pas la seule possible et e coviet pas toujours. O développe alors d autres modèles pour étudier ces phéomèes. Reveos à plusieurs lacers d u dé cubique. Chaque lacer a 6 issues. Doc après 2 lacers, 36 issues, le ombre d issues deviet vite grad. Nous ous cocetreros das la suite du chapitre à étudier les répétitios d ue même expériece aléatoire, la plus simple possible: à 2 issues. Notos tout de suite qu après répétitios, il y a 2 issues distictes. O doit doc recetrer la questio. Par exemple: O lace 10 fois de suite ue pièce de moaie bie équilibrée. Quelle est la probabilité d obteir au mois 6 fois «FACE»? E laçat u dé cubique, o s itéresse au ombre de fois où o obtiet 6 Das ue ure coteat ue proportio p de boules rouges et 1 - p de boules vertes, o tire avec remise 5 fois de suite ue boule de l ure et o ote sa couleur. Quelle est la probabilité d obteir 4 rouges exactemet? Au mois 4 rouges? O répod au hasard aux 20 questios d u QCM (1 seule boe répose). Quelle est la probabilité d avoir la moyee? O modélise de telles répétitios d expérieces aléatoires à 2 issues e cosidérat le ombre de succès possibles parmi les répétitios. Notos qu u succès est toujours relatif. Cela déped du poit de vue. 1.2. Épreuve de Beroulli de paramètre p, 0 p 1 Ue épreuve de Beroulli de paramètre p est ue expériece aléatoire à 2 issues, souvet otée S (succès) et E = S (échec), telle que p(s) = p. Ue variable aléatoire de Beroulli est la variable aléatoire X à valeurs das {0, 1} défiie par p(x = 0) = p(e) = 1 - p et p(x = 1) = p(s) = p. La loi suivie par X est appelée loi de Beroulli de paramètre p. C est doc l expériece aléatoire élémetaire qui va être répétée à l idetique. @.crouzet 2016
2 Première S, Loi biomiale O a la loi de X. Valeurs de X 0 1 p ( X = k ) 1 - p p 1.3. Schéma de Beroulli U schéma de Beroulli d ordre N * et de paramètre p [0; 1] (o dit aussi de paramètres et p ) est l expériece aléatoire obteu e répétat fois de maière idépedate le même schéma de Beroulli de paramètre p. O défiit alors X la variable aléatoire qui déombre le ombre de succès obteus après répétitios. O a doc X à valeurs das {0; 1; 2; ; }: o peut e effet obteir de 0 à succès. La loi biomiale de paramètres et p, otée B(; p), est la loi de probabilité de la variable aléatoire X. La loi biomiale décrit doc la probabilité p(x = k) pour k = 0; 1; ;, c est à dire la probabilité d avoir obteu de 0 succès à succès, sas différetiatio de l ordre das lequel ces succès ot été obteus. Il s agit maiteat de doer explicitemet cette loi. 2. Descriptio de la loi biomiale 2.1. Les premiers cas = 1, 2, 3, 4 et 5 Pour = 1, X 1 est ue loi de Beroulli de paramètre p. Pour = 5: = 2, 3, 4: à vous D où la loi biomiale B(5; 0, 4): 2016 @.crouzet
Première S, Loi biomiale 3 Nombre de succès 0 1 2 3 4 5 Probabilité 0,4 5 5 0,4 4 0,6 10 0,4 3 0,6 2 10 0,4 2 0,6 3 5 0,4 0,6 4 0,6 5 2.2. La gééralisatio Soit u etier aturel et p u réel de [0; 1]. Soit X la variable aléatoire qui deeombre le ombre de succès du schéma de Beroulli d ordre et de paramètre p. Remarquos que toute brache de l arbre de probabilité représetat la situatio cotiet «sous-braches». Soit k {0; 1; ; }. Alors ue brache de l arbre qui mèe à k succès est ue brache qui est composée de k braches meat à u succès S doc de probabilité p - k braches meat à u échec E doc de probabilité 1 - p. La probabilité d ue telle brache est doc doée par p k (1 - p) -k. O associe l évéemet (X = k), c est à dire l évéemet «k succès» à tous les mots de lettres comportat k lettres S et - k lettres E. Par exemple, pour = 5, l évéemet (X = 3) est la réuio des 10 évéemets: SSSEE, SSESE, SSEES, SESSE, SESES, SEESS, ESSSE, ESSES, ESESS, EESSS. La probabilité d u évéemet coteat p succès est doée par p k (1 - p) -k : e effet u tel évéemet correspod à k braches meat à u succès de probabilité p et doc à ( - k) braches meat à u échec de probabilité 1 - p. Il reste à compter le ombre d évéemets meat à k succès. Cela reviet à déombrer le ombre d aagrammes d u mot de lettres coteat k lettres S idetiques et - k lettres E idetiques. O déombre das u premier temps le ombre d aagrammes de lettres distictes: S 1,, S k, E 1,, E -k. Il y e a!, permutatios de lettres. Esuite, comme les k lettres S sot idetiques, il y a k! permutatios des lettres S 1,, S k possibles. Par exemple, les mots: S 1 S 2 S 3 E 1 E 2, S 1 S 3 S 2 E 1 E 2, S 2 S 1 S 3 E 1 E 2, S 2 S 3 S 1 E 1 E 2, S 3 S 1 S 2 E 1 E 2, S 3 S 2 S 1 E 1 E 2 ot été comptés das les 5! permutatios et pourtat sot idetiques au mot S S S E 1 E 2. De même, comme les - k lettres E sot idetiques, il y a ( - k)! permutatios des lettres E 1,, E -k possibles. Par exemple, les mots S S S E 1 E 2 et S S S E 2 E 1 sot idetiques au mot S S S E E.! Fialemet, o déombre doc k! ( - k)! = mots disticts coteat k lettres S et - k lettres E. k Das u schéma de Beroulli de paramètre de succès p et d ordre, il y a doc braches meat à k succès (et - k k échecs), chacue de probabilité p k (1 - p) -k doc la probabilité de k succès est k pk (1 - p) -k. Fialemet, o obtiet: Théorème: Soit u schéma de Beroulli de paramètre de succès p et d ordre. Soit X la variable aléatoire à valeur das {0; 1; 2; ; } déombrat le ombre de succès et B(; p) la loi biomiale associée. Alors pour tout etier k {0; 1; ; }, p(x = k) = k pk (1 - p) -k avec k =! pour k {0; 1; ; }. k! ( - k)! Les s appellet les coefficiets biomiaux. k La loi biomiale B(; p) est doc décrite par la probabilité d obteir k succès est k pk (1 - p) -k, o pourra reteir (combiaisos de k élemets parmi ) (probabilité de succès) ombre de succès (probabilité d ' échec) ombre d' échecs. Aisi o a les cas particuliers: @.crouzet 2016
4 Première S, Loi biomiale Aisi o a les cas particuliers: 0 succès, échecs: 0 p0 (1 - p) -0 = (1 - p) 1 succès, - 1 échecs: 1 p1 (1 - p) -1 = p(1 - p) -1 2 succès, - 2 échecs: 2 ( - 1) p2 (1 - p) -2 = p 2 (1 - p) -2 2 k succès, - k échecs: k! pk (1 - p) -k = ( - k)! k! pk (1 - p) -k - 2 succès, 2 échecs: - 2 ( - 1) p-2 (1 - p) 2 = p -2 (1 - p) 2 2-1 succès, 1 échec: - 1 p-1 (1 - p) = p -1 (1 - p) succès, 0 échecs: p (1 - p) - = p. O peut observer ue sorte de symétrie du au fait que pour tout k, k = - k. O a la représetatio graphique pour = 10, p = 0, 4: =10 et p = 0.4 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 ombre de succès probabilité 0 0.0060466176 1 0.040310784 2 0.120932352 3 0.214990848 4 0.250822656 5 0.2006581248 6 0.111476736 7 0.042467328 8 0.010616832 9 0.001572864 10 0.0001048576 2 4 6 8 10 O a aussi k pk (1 - p) -k = (p + (1 - p)) = 1 = 1: la somme de toutes les probabilités est 1, grâce à la formule du k=0 biôme de Newto. Efi 4 évéemets à reteir: «que des succès» ou «aucu échec» de probabilité p «aucu succès» ou «que des échecs» de probabilité (1 - p). «au mois 1 succès», complémetaire de 0 succès et doc de probabilité 1 - (1 - p) «au mois 1 échec», complémetaire de succès et doc de probabilité 1 - p. 2.3. Paramètres de la loi biomiale. Propriété: Soit u etier aturel et p [0; 1]. Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale B(; p). Alors: l espérace est E(X) = p la variace est V(X) = p (1 - p) et l écart-type σ(x) = p(1 - p). Il faudra surtout reteir l espérace qui permet d obteir le gai moye d u jeu de hasard par exemple. 2016 @.crouzet
Première S, Loi biomiale 5 3. combiatoire: complémets 3.1. Combiatoire Les coefficiets biomiaux appartieet à la brache dite du déombremet ou de la combiatoire: il s agit de compter les cas. Pour ue grade part, le calcul de probabilités demade de savoir compter les cas. Par exemple: quelle est la probabilité d obteir u carré d as sur ue mai de 5 cartes? quelle est la probabilité de choisir 3 persoes ayat ue qualité doée das u groupe dot o coaît la proportio globale de cette qualité? Das toutes ces situatios, le calcul de probabilités peut être rameé à déombrer le ombre de cas favorables par rapport au ombre total de cas. Par exemple, pour le carré d as, o peut cosidérer qu il y a, avec u jeu de 52 cartes, 48 mais distictes de 5 cartes avec u carré d as (les 4 as et ue autre carte qui est pas u as). D autre part il y a 52 51 50 49 48 = 311 875 200 mais distictes (52 choix pour la 1 ière carte, 51 pour la 2 de, jusqu à la 5 ième ). 48 Doc la probabilité d obteir u carré d as est de 52 51 50 49 48 = 1 6 497 400 1, 5 10-7. Pour modéliser, o peut associer chaque carte du jeu à u esemble fii de 52 élémets. Ue mai de 5 cartes reviet à cosidérer u esemble costituée de 5 élémets de cet esemble. Soit u etier aturel. O cosidère u esemble fii à élemets E = {e 1,, e }. O peut assimiler E à {1; 2; 3; ; }. 3.2. Listes o ordoées: parties, combiaisos Ue partie de E est u esemble costituée d élémets de E. Ue partie à k élémets est ue partie de E coteat k élémets disticts de E. Le ombre d élémets d u esemble fii Ω est appelé le cardial de cet esemble. O le ote souvet card(ω) ou <Ω= {e 1 ; e 2 ; e 3 } est ue partie à 3 élémets de E. O ote card({e 1 ; e 2 ; e 3 }) = 3. Covetio: L esemble vide est ue partie de tout esemble. C est la seule partie à 0 élémet. Ue partie de l esemble E à élémets peut avoir de 0 élémet (l esemble vide ) à élémets. Exemple: Avec E = {A; B; C}, o peut cositituer les parties:, {A}, {B}, {C}, {A : B}, {A; C}, {B; C} et {A; B; C}. Remarquos sur cet exemple, que la ature des objets de l esemble importe peu sur la costitutio des parties. Avec E = { ; ;@}, o obtiet, { }, { }, {@}, { ; }, { ;@}, { ;@}, { ; ;@}m doc 8 parties aussi. L esemble des parties d u esemble E est oté @(E). Propriété: card(@(e)) = 2 card(e). Autremet dit avec u esemble à élémets, o peut costruire 2 parties distictes coteat de 0 à élemets. Soit u etier aturel et k u etier tel que 0 k. O appelle combiaiso de k élémets parmi, toute partie à k élémets que l o peut costituer avec u esemble à élémets. O ote k (parfois C k ) le ombre de combiaisos, coefficiets biomiaux. O lit «k parmi». Aisi o a par défiitio: = 1 pour tout etier 1 (il y a ue seule partie à 0 élémet): 0 @.crouzet 2016
6 Première S, Loi biomiale = 1 pour tout etier 1. = : il est facile de voir qu il y a autat de parties à 1 élémet que d élémets das l esemble E 1 = : il y a autat de parties à - 1 élémets que de parties à 1 élémet. E effet, choisir - 1 élémets - 1 reviet à e mettre u de côté. k k = - 1 k - 1 Covetio: 0 = 1. Il y a ue seule partie à 0 élémet que l o peut costituer à partir de l esemble à 0 élémets. 0 Propriété: Pour tout etier aturel, pour tout etier k avec 0 k, k = - k. E effet, choisir k élémets, reviet à choisir les - k restats. Aisi à chaque partie à k élémets, correspod ue seule partie à - k élémets, so complémetaire das E. Propriété: Pour tout etier aturel, k = 2 k=0 E effet la somme des ombres de parties à k élémets pour k allat de 0 à est égal àu ombre total de parties. Propriété: formule de récurrece. Pour tout etier aturel 2, pour tout etier k avec 1 k, k = - 1 k - 1 + - 1 k. Notos a u des élémets de E. Alors E = {a} E où E est u esemble à - 1 élémets. Alors comme ue partie A à k élémets de E : ou cotiet a ou o, alors ou A = a A avec A ue partie à k - 1 élémets de l esemble à - 1 élémets E ou A E et doc A est ue partie à k élémets de E. Par suite il y a autat de parties à k élémets choisis parmi élémets que de parties à k élémets parmi - 1 ou de parties à k - 1 élémets choisis parmi - 1. O a doc la relatio proposée. O peut aisi pas à pas géérer les combiaisos. C est le triagle de Pascal. 2016 @.crouzet
Première S, Loi biomiale 7 esemble à 0 élémets 1 esemble à 0 élémets 0 0 esemble à 1 élémets 1 1 esemble à 1 élémets 1 0 1 1 esemble à 2 élémets esemble à 3 élémets esemble à 4 élémets esemble à 5 élémets esemble à 6 élémets esemble à 7 élémets 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 esemble à 2 élémets esemble à 3 élémets esemble à 4 élémets esemble à 5 élémets esemble à 6 élémets esemble à 7 élémets 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 3 3 4 0 4 1 4 2 4 3 4 4 5 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 6 0 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 7 0 7 1 7 2 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de parties à parties à parties à parties à parties à parties à parties à parties à 0 élémets 1 élémets 2 élémets 3 élémets 4 élémets 5 élémets 6 élémets 7 élémets ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de ombre de parties à parties à parties à parties à parties à parties à parties à parties à 0 élémets 1 élémets 2 élémets 3 élémets 4 élémets 5 élémets 6 élémets 7 élémets Note: Les applicatios des coefficiets biomiaux sot multiples et variées. e combiatoire bie sur, mais ils itervieet das ombre de problèmes d aalyse. Par exemple, o a la célèbre formule du biôme de Newto (gééralisatio de l idetité remarquable (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 ): Formule du biôme de Newto: Soit a et b deux ombres réels (ou complexes), (a + b) = i ai b -i pour tout etier aturel. i=0 Aisi par exemple (a + b) 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 a b 4 + b 5. Cas particulier : 2 = (1 + 1) = i. O retrouve que le cardial de l esemble des parties d u esemble de cardial fii est 2. i=0 Chaque est exactemet le ombre de parties à i élémets. i 3.3. Listes ordoées (1): les permutatios Ue permutatio de l esemble E est ue liste ordoée des élémets de E. Exemple: Avec E = {1; 2; 3}, les permutatios sot (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3), (2; 3; 1), (3; 1; 2) et (3; 2; 1). Ce sot doc toutes les faços d arrager les 3 élémets de l esemble sas répétitios. Propriété: Soit u etier aturel. Le ombre de permutatios des élémets de l esemble E est 1 2 3. Ce ombre est oté! et se lit factorielle de. Covetio: 0! = 1. Aisi par exemple, les 21 élèves d ue classe peuvet se préseter suivat 21!= 51 090 942 171 709 440 000 faços différetes à l etrée e classe. De même, les aagrammes du mot SUPER sot au ombre de 5 120. @.crouzet 2016
8 Première S, Loi biomiale Remarque: les permutatios sot sas cesse utilisées e mathématiques et e combiatoire e particulier. 3.3. Listes ordoées (2) avec répétitio: les uplets Soit et p deux etiers aturels. O appelle p uplet d élémets de E toute liste ordoée costituée de p élémets de E, disticts ou o. Aisi u p-uplet peut avoir la logueur que l o veut. Le lagage iformatique utilise les listes ordoées costituées à partir de l alphabet {0; 1} pour foctioer. U octet est u 8 uplet ou octuplet. 10 001 111 = (1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1) est ue liste de 8 élémets ordoées. Les mots d u alphabet sot des p uplets costitués avec les lettres de l alphabet. D ailleurs o cofod souvet la liste et le mot comme ous l avos fait pour la loi biomiale. O associe l issue (S; S; E; E; S) au mot S S E E S. Propriété: Pour tout etier et tout etier p, il y a p p uplets disticts costitués avec u esemble de élémets. E effet, il suffit de voir que pour chaque élémet de la liste, il y a choix possibles. O retrouve aisi que le ombre d issues d u schéma de Beroulli d ordre est 2. Il y a 2 uplets disticts costitués avec les 2 lettres S et E. 3.4. Listes ordoées (3) sas répétitio: les arragemets E iterdisat la répétitio d u élémet, avec u esemble fii à élemets E = {e 1,, e }, o peut obteir des listes ordoées sas répétitio de logueur 0 (la liste vide) jusqu à la logueur. Soit u etier aturel et k u etier tel que 0 k. Ue liste ordoée sas répétitio de k élémets d u esemble à élémets est appelé u arragemet de k élémets parmi. Propriété: Le ombre d arragemets de k élémets parmi est doé par ( - 1) ( - k + 1) =! ( - k)!. E effet, il suffit de voir que l o a choix pour le premier élémet, - 1 pour le suivat et doc - k + 1 pour le k ième. Remarque: o ote A k ce ombre. Aisi par exemple, o peut costituer 21 20 19 = 7980 groupes de 3 persoes distictes avec u groupe de 21. Corollaire: k =! k! ( - k)! = A k k!. Preuve: Remarquos qu u arragemet de k parmi est ue permutatio des k élémets d ue combiaiso doée. Il y a k! permutatios pour chaque ocmbiaiso, et doc A k = k! k. O obtiet aisi ue formule explicite pour détermier les coefficiets biomiaux. 2016 @.crouzet