sur 0 CH Taux d évoluions TSTMG Séance I. Rappels sur les proporions Exercice n : Uiliser une proporion, calculer une proporion Un lycée de 600 élèves compe 65% de filles. 92 élèves de ce lycée son en filière STMG don36 son des filles. a) Calculer l effecif des filles dans le lycée. b) Calculer la proporion, en %, d élèves en filière STMG dans ce lycée. c) Calculer la proporion, en %, de filles parmi les élèves de STMG. d) Les filles de la filière STMG son-elles sous ou surreprésenées dans ce lycée? II. Evoluions e coefficien muliplicaeur. coefficien muliplicaeur Exercice n 2 : a) - Le prix d'un survêemen es de 40. Il augmene de 7 %. - Le prix d'un ee-shir es de 6. Il diminue de 5 %. Calculer les nouveaux prix. b) Après une augmenaion de 5 %, le prix d un jean es de 78,75. Calculer l ancien prix. Proposiion e définiion n : Si es le aux d évoluion en % de V 0 valeur de dépar à V valeur d arrivée, alors Le nombre ( + Conséquence : V = ( + 00 ) V 0 00 ) es appelé coefficien muliplicaeur de V 0 à V, noé CM. CM = ( + 00 ) On peu déerminer le coefficien direceur à l aide de V 0 e V : CM = V V 0. Exercice n 3 : le prix du gasoil es de,07 euros. Quelle es son prix après une augmenaion de 20%?
2 sur 0 2. Taux d évoluion Exercice n 4 : Calculer une évoluion a) La populaion d'un village es passée de 6500 à 9000 habians enre 2007 e 205. Calculer le aux d évoluion de la populaion enre 2007 e 205. b) Enre deux années successives, le monan des imporaions d un pays es passé de 25 millions à 23 millions d euros. Calculer le aux d évoluion en % du monan des imporaions. c) Si un prix double, quelle es son aux d évoluion? Proposiion n 2 : Si une quanié varie d une valeur iniiale V 0 à une valeur finale V alors le aux d évoluion en pourcenage de V 0 à V es donné par la formule : = V V 0 V 0 00 Si on connai CM de V 0 à V alors = 00(CM )
3 sur 0 Séance 3 3. Taux d évoluion réciproque Exercice n 5 : Une hausse de 0 % suivie d'une baisse de 0 % se compensen-elles? Remarque : Une hausse de % suivie d'une baisse de % ne se compense pas. Proposiion e définiion n 3 : Soi le aux d évoluion en pourcenage de V 0 à V. On considère le coefficien muliplicaeur permean de passer de V à V 0 que l on noe CM d où : CM = + 00 CM es appelé coefficien muliplicaeur du aux d évoluion réciproque. Le aux d évoluion de V à V 0 es appelé aux d évoluion réciproque de V 0 à V, on noe : = ( + 00 ) 00 Exercice n 6 : Si une acion baisse de 0%, quelle hausse devra--elle subir le lendemain pour rerouver sa valeur iniiale?
4 sur 0 III. Evoluions successives Exercice n 7 : Déerminer un aux d'évoluion global a) Un gagnan à un jeu de loerie place la somme de 0 000 sur un compe rémunéré à 3% par an. De quelle somme disposera--il au bou de 2 ans? (Faire le calcul de deux façons différenes) b) Une enreprise consae qu en 204, le prix de la maière première uilisée a diminué de 0%. En 205, ce nouveau prix a augmené de 5%. Calculer le aux d'évoluion global sur les deux années. Proposiion n 4 : Si 0 es le aux d évoluion de V 0 à V e celui de V à V 2 alors le coefficien muliplicaeur de V 0 à V 2 noé CMG es donné par le formule suivane : CMG = ( + 0 ) ( + ) (on reien les coefficiens muliplicaeurs se muliplien enre eux, 00 00 faire un schéma) CMG es appelé coefficien muliplicaeur global. Conséquence : le aux d évoluion globale en % de V 0 à V 2 es donnée par la formule suivane : = (( + 0 ) ( + ) ) 00 00 00 On a le Schéma suivan : Généralisaion : Soi n un enier non nul Si une quanié subi n évoluions successives (augmenaions ou diminuions) de aux, 2, n en pourcenage à parir d'une valeur iniiale V, alors la quanié finale V n, es donnée par la formule suivane : V n = [( + 00 )( + 2 00 ) ( + n 00 ) ] V ( + 00 )( + 2 00 ) ( + n ) es le coefficien muliplicaeur global. 00 Conséquence : Le aux d évoluion global de V à V n es donnée par la formule suivane : = [( + 00 )( + 2 00 ) ( + n ) - ] 00 00 Exemple n : Un aricle subi une inflaion (hausse) annuelle de 2% pendan 0 ans. Quel es son aux d évoluion globale?..
5 sur 0 Séance 4 IV. Taux d évoluion moyen Acivié n : Calculer un aux d évoluion moyen Compléer : Enre 202 e 204, le prix du gaz a augmené de 25%. On cherche à calculer le aux d évoluion moyen annuel. On noe M le aux d évoluion moyen annuel. Le coefficien muliplicaeur correspondan à une augmenaion sur un an es égal à : Le coefficien muliplicaeur correspondan à une augmenaion sur deux ans (de 202 à 204) es égal à :... Or, sur deux années, le prix a augmené de 25% donc ce coefficien muliplicaeur es égalemen égal à On a donc : ( + M )² =.25, soi : 00 M =. Soi a 0, l équaion x 2 = a a pour soluion x = a ou x = a Le aux d évoluion moyen annuel es environ égal. Propriéé n : Soi a un nombre sricemen posiif, n un enier naurel non nul. L équaion x n = a d inconnu x adme une unique soluion noée x = a n ( puissance n ) Remarque : n a es appelé la racine n-ième de a. On peu égalemen noé n a. Exemple n 2 : x 5 = 5 équivau à ( à la calcularice, on uilisera la ^ ou x y ) A l aide de vore calcularice donner une valeur approchée de la soluion à 0.0 prés : Proposiion e définiion n 5 : Soi le aux d évoluion globale sur n années (ou mois, ou semaines ) d un produi en %. Le aux d évoluion moyen M en % es le aux d évoluion qu il devra subir pendan n années pour qu au final, l évoluion globale soi de %. ( + M 00 )n = + 00
6 sur 0 On a le Schéma suivan : Conséquence : Le aux d évoluion moyen M en % es donnée par la formule suivane M = (( + 00 ) n ) 00 Exercice n 8 : Une enreprise a augmené son chiffre d affaire de 50% en 3 ans, déerminer son évoluion annuelle. Exercice n 9 : Quelle l évoluion annuelle d un produi ayan subi une de 20% en 5 ans?
7 sur 0 Séance 5 VI. Indice en base 00 Je vous déconseille de ne pas apprendre les formules sur les indices car il suffi d uiliser une proporionnalié. Acivié n 2 : L objecif es le suivan : voici un ableau présenan la producion d engrais en onnes d une enreprise : Année 200 20 202 203 204 Producion en onnes 4230 4780 3974 4992 50 Indices On aimerai d un coup d œil, pouvoir décrire l évoluion de l enreprise depuis 200 e comparer avec celle de l enreprise concurrene suivane : Année 200 20 202 203 204 Producion en onnes 3200 3780 3250 4000 4230 Indices Le principe es le suivan : On choisi 200 comme année de référence puis on calcule les indices à l aide d un calcul de proporionnalié.. Compléer les ableaux. 2. A l aide des indices e sans calcul, déerminer le aux d évoluion de la producion a) enre 200 e 203 b) enre 202 e 204 c) Que remarquez-vous? 3. A l aide des indices, déerminer le aux d évoluion de la producion enre 203 e 204. 4. Comparer la producion des deux enreprises.
Correcion des aciviés e des exercices 8 sur 0 Exercice n : 65 a) 65% de 600= Ce lycée compe 040 filles. 600 = 040. 00 b) 92 élèves en STMG sur 600 en ou. 92 = 0,2 = 2%. 600 2% des élèves du lycée son en filière STMG. c) 36 élèves son des filles sur 92 élèves de STMG. 36» 0,708 = 70,8%. 92 Environ 70,8% des élèves de la filière STMG son des filles. d) 70,8 % > 65 % donc les filles de la filière STMG son surreprésenées dans ce lycée. Exercice n 2 : a) 40 augmené de 7% 42,80 6 diminué de 5% 3,60 x,07 x0,85 7 00 5 00 Le nouveau prix du survêemen es égal à Le nouveau prix du ee-shir es égal à 7 40,07 40 42,80 00 5 6 0,85 6 3,60. 00 Remarque :,07 e 0,85 son appelés les coefficiens muliplicaeurs. b) Le nouveau prix du jean es égal à où x es l ancien prix cherché. On a donc :,05 x 78,75 78,75 x 75,05 L ancien prix du jean es 75. 5 x,05 x 78,75 00.
Exercice n 4 : 9 sur 0 a) Il s agi ici d une augmenaion de 9000 6500 = 2500 habians par rappor à l année 2007. 9000 6500 00 = 2500 00 38.46 6500 6500 Le aux d'évoluion de la populaion es donc égal à d augmenaion 38.46 %. b) Il s agi ici d une diminuion par rappor à la première année. 2 00 = 8 25 Le aux d'évoluion du monan des imporaions es donc égal à 8%. Exercice n 5 : Par exemple, si un prix de 40 subi une augmenaion de 0% suivie d'une diminuion de 0% alors on ne rerouve pas le prix de dépar de 40. En effe, 40 x, = 44 e 44 x 0,9 = 39,60! Exercice n 6 : On applique la formule ( 0 ) 00, % 00 Si une acion baisse de 0%, elle devra subir une hausse d environ,% le lendemain pour rerouver sa valeur iniiale. Exercice n 7 : a) éme méhode : Au bou d un an, le gagnan disposera de 0 000 x,03 = 0 300 Au bou de 2 ans, le gagnan disposera de 0 300 x,03 = 0 609 2éme méhode : Le coefficien muliplicaeur correspondan à une augmenaion sur un an es égal à : Le coefficien muliplicaeur sur les 2 années es égal à :,03² Au bou de 2 ans, le gagnan disposera de 0 000 x,03² = 0 609 b) Le coefficien muliplicaeur correspondan à la diminuion en 204 es égal à : 0 = 0,9. 00 Le coefficien muliplicaeur correspondan à l augmenaion en 205 es égal à : 5 =,05. 00 Le coefficien muliplicaeur sur les deux années es égal à : 0,9,05 0,945. Il s agi d une diminuion : 0,945 = 0,055 Le aux d'évoluion global sur les deux années es donc égal à 5,5% de diminuion. 3 =,03. 00
0 sur 0 Exercice n 8 : Une enreprise a augmené son chiffre d affaire de 50% en 3 ans. (( + 50 00 ) 3 ) 00 = (.5 3 ) 00 4.47 Son évoluion annuelle es égale à 4.47 %. Acivié n 2 : ) En 204, un lycée compai 450 élèves. En 205, il en compai 550. Si on prend l année 204 pour indice 00, quel es l indice du nombre d élèves en 205? 2) Le ableau suivan présene les indices de 202 à 205 pour le chiffre d affaire d une enreprise : Année 202 203 204 205 Indice 00 05 6 23 a) Quel es le aux d évoluion enre 202 e 203? b) Même quesion enre 203 e 204. c) Le chiffre d affaire de l enreprise s élevai à 45 000 en 204. Calculer le chiffre d affaire en 202, puis en 205. ) On présene les données dans un ableau : Année 204 205 Elèves 450 550 Indice 00?? = 550 x 00 : 450 = 06,9. L indice du nombre d élèves en 205 es environ égal à 06,9. 2) a) 05 00 = 5 pour un indice de00 au dépar, soi 5% d augmenaion. b) Il s agi ici d une augmenaion de 6 05 = par rappor à l année 203. Le aux d évoluion es donc égal à : 0,05 0,5% 05 d augmenaion. c) On complèe le ableau : Année 202 203 204 205 Indice 00 05 6 23 Chiffre d affaire? 45000?? = 00 x 45000 : 6 = 38793,0 Le chiffre d affaire en 202 éai environ égal à 38793,0.? = 23 x 45000 : 6 = 4775,52 Le chiffre d affaire en 205 éai environ égal à 4775,52.