Fonctions de R n dans R p

partie Fonctions de R n dans R p 1 Applications de R n dans R p éfinition 1 Soit A une partie de R n. Une application de A dans R p est définie par : f : A R p x x 1. x n f x f 1 x 1,..., x n f x 1,..., x n. f p x 1,..., x n Les applications f 1 : A R, f : A R,..., f p : A R sont appelées les fonctions coordonnées de f. f est appelée aussi champ de vecteurs, sauf si p 1 espace d arrivé réel, où on parle de champ de scalaire. Exemples. On a déjà étudié certains types de ces fonctions : Si n 1 et p 1, ces fonctions sont juste les fonctions réelles. Si n 1 et p, ces fonctions sont les courbes paramétriques. Si n et p 1, ces fonctions sont les fonctions réelles de deux variables. 1.1 Limite et continuité éfinition Soient A un ouvert de R n, f une application de A dans R p, a a 1,..., a n un point de A ou sur sa frontière et l l 1,..., l p R p. On dit que f admet l pour limite en a et l on note lim x a fx l si et seulement si chaque fonction coordonnée f i : U R admet l i pour limite en a. ans ce cas, la limite l est unique. éfinition 3 Si a A, on dit que f est continue en a si et seulement si f admet une limite en a qui est nécessairement fa. Si f est continue en tout point de A, on dit que f est continue sur A. L ensemble CA, R p des fonctions continues sur un ouvert A R n est un espace vectoriel. Proposition 4 La fonction f est continue sur A si et seulement si ses applications coordonnées sont continues sur A. Exemple. L application f : R R x, y x + xy, x. x + y + 1 est continue sur R car ses deux applications coordonnées sont continues. 1

1. érivées partielles éfinition 5 Soient A un ouvert de R n, f une application de A dans R p, a a 1,..., a n un point de A. On dit que f admet une dérivée partielle en a suivant la j ième variable si et seulement si les p fonctions coordonnées de f admettent une dérivée partielle par rapport à la j ième variable et l on pose alors j 1 j,..., p j On dit que f est de classe C 1 A si et seulement si ses fonctions coordonnées sont de classe C 1 A. La matrice jacobienne de f en a est la matrice de M p,n R définie par i Jfa a j 1 i p 1 j n Lorsque n p, la matrice jacobienne de f en a est une matrice carrée et son déterminant est appelé le jacobien de f en a.. Exemple. Calculer la matrice jacobienne au point 1,, de la fonction f : R 3 R. x, y, z x y 3 z 4, xy z +x +1 Exemples. La fonction permettant de passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires est une fonction de R dans R définie par fρ, θ ρ cos θ, ρ sin θ. Au point r, θ, la matrice jacobienne est cos θ ρ sin θ Jfρ, θ et detjfr, θ ρ sin θ ρ cos θ La fonction permettant de passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques est une fonction de R 3 dans R 3 définie par fρ, θ, z ρ cos θ, ρ sin θ, z. Au point ρ, θ, z, la matrice jacobienne est cos θ ρ sin θ Jfρ, θ, z sin θ ρ cos θ et detjfρ, θ, z ρ 1 La fonction permettant de passer des coordonnées cartésiennes aux des coordonnées sphériques est une fonction de R 3 dans R 3 définie par fr, θ, ϕ r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ. Au point r, θ, ϕ, la matrice jacobienne est sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ Jfr, θ, ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ r sin θ onc detjfr, θ, ϕ cos θ[r cos θ sin θ cos ϕ + r cos θ sin θ sin ϕ] + r sin θ[r sin θ cos ϕ + r sin θ sin ϕ] detjfr, θ, ϕ r cos θ sin θ + r sin 3 θ r sin θ 1.3 Matrice jacobienne d une fonction composée et d une fonction réciproque Théorème 6 Soit p, q, r {1,, 3}. Soit A un ouvert de R n et V un ouvert de R p. Soit f : A R p une fonction de classe C 1 sur A et telle que fa V, soit g : V R q une fonction de classe C 1 sur V. La fonction g f : A R q est de classe C 1 sur A et l on a pour tout a A : Jg fa Jgfa Jfa M q,n R.

Exemple. On considère les fonctions f : R R. r, θ r cosθ, r sinθ, et g : R R 3. x, y x + y, x y, xy Leurs matrices jacobiennes sont 1 1 Jgx, y x y cos θ r sin θ et Jfr, θ sin θ r cos θ y x La composée g f : R R 3 correspond à la fonction g exprimée en coordonnées polaires, et elle est définie par g fr, θ rcosθ + sin θ, r cos θ sin θ, r sin θ cos θ Sa matrice jacobienne est donc 1 1 Jg fr, θ Jgr cos θ, r sin θjfr, θ r cos θ r sin θ cos θ r sin θ sin θ r cos θ r sin θ r cos θ cos θ + sin θ rcos θ sin θ rcos θ sin θ 4r sin θ cos θ r sin θ cos θ r cos θ sin θ, Théorème 7 Soit A un ouvert de R n et f : A R n une fonction de classe C 1 sur A. Si f est une bijection de A sur fa R n, alors f admet une application réciproque f 1 de classe C 1 sur fa R n et l on a pour tout a A, en posant b fa, 1. Jf 1 b Jfa Autrement dit, la matrice jacobienne de l application réciproque f 1 est l inverse de la matrice jacobienne de f. Exemple. On pose A ], + [ ], + [ R. Soit f : A A. x, y x, xy x La matrice jacobienne de f est Jfx, y. y x Montrons que f est une bijection. Soit a, b A donc par définition a et b sont strictement positifs, on cherche x, y A tel que fx, y a, b, c est à dire x et y strictement positifs vérifiant { { a x x a b xy y b a onc tout a, b A admet un unique antécédent x, y A. onc f est bien une bijection de A dans A. Sa bijection réciproque est définie par f 1 : A A a, b. b a, a On calcule sa matrice jacobienne en inversant la matrice Jfx, y : Jfx, y 1 1 x y 1 x x puis en remplaçant x a et y b a. On obtient Jf 1 a, b Jf a, b 1 1 a a b a a 1 a 3

Opérateurs et champs de vecteurs ans cette partie, on se place dans l espace muni d un repère orthonormé O; ı, j, k. Cette section est dédiée à un certain nombre de notations utiles en physique. éfinition 8 L opérateur formel nabla est défini par Cette notation permet d exprimer un certain nombre d opérateur sur les champs de vecteurs ou les champs scalaire de manière commode. éfinition 9 Soit f un champ de scalaire, c est à dire une application de R 3 dans R 1 R. Le gradient de f est défini par Le Laplacien de f est grad f f f f + f + f f éfinition 1 Soit F un champ de vecteurs, c est à dire une application de R 3 dans R 3, ayant pour applications coordonnées F x, F y, F z. La divergence de F est définie par div F F x + F y + F z F Le rotationnel de F est défini par Rot F F z F x F y Fy Fz Fx F Le Laplacien de F est F F x F y F z + F x + F y + F z + F x + F y + F z F Proposition 11 Soit F un champ de vecteurs application de R 3 dans R 3 et f un champ de scalaire application de R 3 dans R, tous les deux de classes C. On a les relations suivantes 1. Le rotationnel d un gradient est le vecteur nul : Rot grad f. La divergence d un rotationnel est nulle : div Rot F 3. Le laplacien est la divergence du gradient : f div grad f 4. Rot Rot F grad div F F à conditions que certaines hypothèses soient vérifiées 4

Les deux premières propriété admettent une réciproque Proposition 1 Sous certaines conditions : 1. si Rot F, alors il existe un champ de scalaire f application de R 3 dans R tel que F grad f.. Si div F alors il existe un champ de vecteur f application de R 3 dans R 3 tel que F Rot f. Exemple. Soit F défini par F x, y, z yz, xz, xy pour tout x, y, z R 3. On a y z Rot F x, y, z z y x x y y z z yz, xz, xy z z onc il existe un champ de scalaire f tel que F grad f, c est à dire,, yz xz xy On primitive la première équation par rapport à x, on obtient fx, y, z, xyz + cy, z avec cy, z une constante par rapport à x, mais contenant y et z. On reporte dans la deuxième équation : xz xz + cy, z xz cy, z On en déduit que cy, z est constant par rapport à y. onc cy, z cz. On reporte dans la troisième équation xy xy + cz xy cz onc c est une constante pour z aussi. Finalement fx, y, z xyz + c avec c une constante. 3 Equations aux dérivées partielles EP ans cette section, on considère surtout des fonctions de deux ou trois variables, mais c est généralisable à plus. 3.1 éfinition et solutions éfinition 13 Une équation aux dérivées partielle EP est une équation contenant une fonction inconnue u de plusieurs variables, ses dérivées par rapport aux variables premier ordre, second ordre..., d autres fonctions connues et qui se termine par. L ordre de cette équation est le plus élevé des ordres des dérivées partielles. Une solution de cette EP est une fonction f qui, une fois reportée dans l équation, donne. Exemples. L équation de Laplace u avec u fonction de trois variables est une EP, qui correspond à u + u + u. Elle est d ordre. L équation + 3 u + 6u 3 avec u une fonction de deux variable est une EP d ordre 3. ans l exercice précédent, trouver f tel que grad fx, y, z v, c est aussi des EP. Une EP peut s accompagner de conditions : Valeur de la fonction ou de ses dérivées à un instant donné conditions initiales. Valeur de la fonction ou de ses dérivées sur un domaine. Valeur de la fonction ou de ses dérivées quand une variables tend vers l infini. 5

Ces conditions peuvent changer radicalement les solutions de l équations. e plus, des fonctions ordinaires ne suffisent pas toujours à donner les solutions... en bref, résoudre une EP est un problème difficile. On va se contenter de faire des exemples simples. Exemple. Résoudre l équation avec u une fonction de trois variables et la condition u1,, 3. Exercice 1. Résoudre l équation u avec u une fonction de trois variables. 3. Changement de variables Pour résoudre une EP sur f fonction de x, y, on peut parfois poser un changement de variables. On va en voir deux types : le changement de variable affine et le changement de variable polaire. Changement de variable affine. On pose de nouvelles variables u ax + by et v cx + dy avec a, b, c, d des constantes. Exemple. On considère l équation x, y x, y E On pose u x + y et v x y, ce qui revient à définir une fonction Φx, y x + y, x y. On pose gu, v tels que fx, y gu, v gux, y, vx, y g Φx, y On veut trouver des relations entre les dérivées de f par rapport à x, y et celles de g par rapport à u, v. Comme on a une composée, on exprime les dérivées partielle en utilisant les matrices jacobiennes. onc x, y, u, v, Jfx, y JgΦx, y JΦx, y x, y u, v 1 1 1 1 x, y On reporte dans l équation E : E : u, v, u, v + u, v, u, v + u, v u, v + u, v, u, v x, y x, y x, y u, v u, v u, v gu, v Hu Avec H une fonction réelle. On en déduit que Ce sont toutes les solutions de l équation E. fx, y Hux, y Hx + y x, y x, y u, v u, v u, v u, v Changement de variable polaire. On pose de nouvelles variables r et θ qui vérifient x r cos θ et y r sin θ, avec r >. Exemple. On veut résoudre l équation suivante E : x x, y + y x, y x + y On pose r et θ telles que x r cos θ et y r sin θ, ce qui revient à définir Ψr, θ r cos θ, r sin θ. On pose gr, θ tel que gr, θ fx, y fr cos θ, r sin θ fψr, θ f Ψr, θ 6

On veut trouver des relations entre les dérivées de f par rapport à x, y et celles de g par rapport à r, θ, donc on écrit la relation des matrices jacobiennes. r r, θ, θ r, θ r r, θ, Jgr, θ JfΨr, θ JΨr, θ r cos θ r cos θ x, y, x, y r r, θ, θ r, θ r sin θ r sin θ r r, θ, θ r, θ θ r, θ x, y, x, y cos θ, r sin θ sin θ, r cos θ Or c est f que je veux isoler en fonction de g. On doit donc multiplier de chaque coté, à droite, par la matrice cos θ, r sin θ inverse de. Calculons l inverse : sin θ, r cos θ onc 1 L r cos θ sin θ /r cos θ sin θ x, y, cos θ, r sin θ 1 cos θl1, sin θl sin θ, r cos θ 1 cos θ, r sin θ cos θ cos θ sin L θ, r cos θ sin θ 1 L 1 + L sin θ 1 sin L θ, r cos θ sin θ L sin cos θ sin θ θl 1 sin θ cos θ sin θ cos θ cos θ sin θ sin θ sin 3 θ cos θ sin θ 1 cos θ sin θ 1 x, y, x, y x, y cos θ r sin θ r r r, θ, r, θ sin θ r cos θ r sin θ r θ r, θ cos θ θ r, θ, Et on peut reporter dans E sans oublier de remplacer x et y r cos θ cos θ sin θ r, θ r, θ + r sin θ r r θ On primitive en r : sin θ r sin θ cos θ r, θ + r r sin θ cos θ r r, θ + cos θ r r cos θ + sin θ r, θ r r, θ r r gr, θ r + hθ sin θ sin θ cos θ θ r, θ r, θ r θ avec h une fonction. Si on veut revenir à x et y, on a r x + y, mais pour θ, c est plus difficile. 4 Intégrales doubles On considère une fonction réelles f de deux variables, c est-à-dire de la forme fx, y z. onc le domaine de définition de f est une surface et sa représentation graphique est une surface d altitude variable. On veut intégrer f, on va commencer par s intéresser aux domaines de définition où c est simple d intégrer avant de définir l intégrale. 7

4.1 omaines d intégration simples 1. Parties de R définies comme la surface comprise entre le graphe de deux fonctions de x. Soit a et b deux réels tels que a b et ϕ 1 et ϕ deux fonctions définies sur [a, b] à valeurs dans R et telles que x [a, b], ϕ 1 x ϕ x. On considère le domaine défini par {x, y a x b, ϕ 1 x y ϕ x}. Parties de R définies comme la surface comprise entre le graphe de deux fonctions de y. Soit c et d deux réels tels que c d et ψ 1 et ψ deux fonctions définies sur [c, d] à valeurs dans R et telles que y [c, d], ψ 1 y ψ y. On considère le domaine défini par {x, y c y d, ψ 1 y x ψ y} Exemples. 1 [ 1; 1] [; ], {x, y x 1 et x y x} et 3 {x, y y 1 et y x y}. 4. éfinition de l intégrale double éfinition 14 Soit a et b deux réels tels que a b et ϕ 1 et ϕ deux fonctions définies sur [a, b] à valeurs dans R et telles que x [a, b], ϕ 1 x ϕ x. On considère le domaine défini par {x, y a x b et ϕ 1 x y ϕ x}. Soit f une fonction continue sur. L intégrale double de f sur est le nombre réel défini par b ϕ x f fx, ydxdy fx, ydy dx. a ϕ 1 x éfinition 15 Soit c et d deux réels tels que c d et ψ 1 et ψ deux fonctions définies sur [c, d] à valeurs dans R et telles que y [c, d], ψ 1 y ψ y. On considère le domaine défini par {x, y c y d et ψ 1 y x ψ y}. Soit f une fonction continue sur. L intégrale double de f sur est le nombre réel défini par d ψ y f fx, ydxdy fx, ydx dy. c ψ 1 y Interprétations graphiques : Si f est positive sur, f représente le volume situé sous la surface représentant f. Si est un domaine défini comme précédemment, l aire de est donnée par A dxdy. Exemple. Soit {x, y R x 1 et x y x}. Calculer x ydxdy. 8

4.3 Théorème de Fubini Théorème 16 de Fubini Soit un domaine de R tel que l on puisse définir des deux façons suivantes : {x, y a x b, ϕ 1 x y ϕ x} {x, y c y d, ψ 1 y x ψ y}, comme dans les définitions précédentes. Soit f une fonction continue sur. On a b ϕ x d ψ y f fx, ydy dx fx, ydx dy. a ϕ 1 x c ψ 1 y Exercice. Soit [, 1] [1, ] et f : R. x x, y 1 + xy 1. Calculer f en intégrant f d abord en x, puis en y.. Calculer f en intégrant f d abord en y, puis en x.. 4.4 Passage en coordonnées polaires Proposition 17 Soit f une fonction de x, y définie sur un domaine de R. Le passage en coordonnées polaires ρ, θ telles que x ρ cosθ et y ρ sinθ transforme en le domaine en ρ, θ et l intégrale devient : fx, ydxdy fρ cosθ, ρ sinθ ρ dρdθ. Remarque. L élément ρ rajouté dans l intégrale est la valeur absolue du jacobien au point ρ, θ de l application ξ. Exemple. Soient {x, y R x >, y > et 1 x + y 4} et f la fonction définie sur R \, par On calcule fx, y f en exprimant f en coordonnées polaires : fρ cos θ, ρ sin θ ρ cos θρ sin θ ρ cos θ + ρ sin θ xy x + y cos θ sin θ cos θ + sin θ cos θ sin θ 1 sinθ On exprime le domaine en fonction de ρ et θ. Les conditions x >, y > signifient que θ [, π/]. Et 1 x + y 4 équivaut à 1 ρ. onc {ρ, θ, θ [, π/], 1 ρ }. On passe en coordonnées polaire dans l intégrale π xy x + y dxdy 1 sinθ ρ dρdθ [ ] 1 4 sinθρ dθ 1 π π 3 [ 4 sinθdθ 38 ] π cosθ 1 1 sinθρdρdθ 6 8 3 4 9

5 Intégrales triples 5.1 éfinition et exemple On considère des parties de R 3 définies par des conditions simples, par exemple, des parties de la forme : {x, y, z R 3 a x b, ϕ 1 x y ϕ x et ψ 1 x, y z ψ x, y}. Si f est une fonction à valeurs réelles définie et continue sur, l intégrale triple de f sur est définie par b ϕ x ψ x,y f fx, y, zdz dy dx notée aussi fx, y, zdxdydz. a ϕ 1 x ψ 1 x,y Exemple. Soit {x, y, z R 3 x 1, y 1 et z xy} et f la fonction définie sur R 3 par fx, y, z x y 3 z. f 1 1 xy x y 3 zdzdydx 1 [ x 4 y 6 dx 1 Remarque. Le volume de la partie est égal à ] 1 1 1 1 x y 3 [ z x 4 1 dx dxdydz. [ x 5 6 ] xy ] 1 dydx 1 6 1 1 x 4 y 5 dydx 5. Passage en coordonnées cylindriques Proposition 18 Soit f une fonction de x, y, z définie sur un domaine de R 3. Le passage en coordonnées cylindriques ρ, θ, z telles que x ρ cosθ, y ρ sinθ et z z transforme en et fx, y, zdxdydz fρ cosθ, ρ sinθ, z ρ dρdθdz. Remarque. L élément ρ rajouté dans l intégrale est la valeur absolue du jacobien au point ρ, θ, z de l application ξ. Exemple. Calcul du volume du cylindre C de rayon r > et de hauteur h >. On calcule C dxdydz en utilisant le changement de variable. Le domaine d intégration est {ρ, θ, z, z h, ρ r, θ [, π]}. On a alors C dxdydz h π r ρ dρdθdz h π r r dθdz πh πhr 5.3 Passage en coordonnées sphériques Proposition 19 Soit f une fonction de x, y, z définie sur un domaine de R 3. Le passage en coordonnées cylindriques ρ, θ, ϕ telles que x ρ sinθ cosϕ, y ρ sinθ sinϕ, z ρ cosθ transforme en et fx, y, zdxdydz fρ sinθ cosϕ, ρ sinθ sinϕ, ρ cosθρ sinθ dρdθdϕ. Exemple. Volume d une sphère de rayon r > : La sphère correspond au domaine {ρ, θ, φ, ρ [, r], ϕ [, π], θ [, π]}. On passe en sphérique : π π r dxdydz ρ sinθ dρdθdϕ ρ sinθ dρdθdϕ S π π S r 3 3 sinθdθdϕ π [ r3 3 cosθ 1 ] π dϕ π r 3 4πr3 dϕ 3 3

6 Bonus : Theorèmes de Guldin On considère un arc de courbe plane C et une droite qui ne coupe pas la courbe. On fait pivoter cet arc de courbe autour de la droite d un angle α, ce qui crée une surface surface de révolution. Remarque. La courbe peut être fermée ou ouverte. L angle de la rotation est entre pas de surface et π le tour complet Si l arc de courbe est fermé, il définit une surface S. ans ce cas, on peut considérer le volume V engendré par la rotation de cette surface. Exemple. Un cercle est une courbe fermée qui délimite un disque. Quand ce cercle fait un tour complet autour d un axe, il génère un tore un donut. On peut s intéresser à la surface du tore ou à son volume. Notre objectif est de déterminer l aire de la surface engendrée par un arc de courbe, et le volume dans le cas d un arc fermé. Ce sont les théorèmes de Guldin, pour lesquels nous avons besoin du centre de gravité d une courbe ou d une surface. 6.1 Théorème de Guldin pour une courbe homogène On se place dans plan muni d un repère orthonormal O, i, j et on considère un arc de courbe C dans ce plan. On cherche G le centre de gravité de la courbe. On a normalement besoin de définir la répartition de la masse dans la courbe. Mais dans la plupart des cas, comme cette masse se répartit de manière homogène, les formules se simplifient et la masse n intervient plus. Proposition f : [t Si l arc de courbe C est paramètré par 1, t ] R t xt, yt avec x et y fonctions de classe C1, alors les coordonnées du point G centre de gravité de C sont données par x G t t 1 t t 1 xt x t + y tdt, y G x t + y tdt t t 1 yt x t + y tdt, x t + y tdt t t 1 Remarque. x t + y tdt dl est l élément infinitésimal de longueur de la courbe. onc le dénominateur correspond à la longueur de la courbe. Théorème 1 Soient C un arc de courbe plane et une droite de traversant pas la courbe. On note A l aire de la surface engendré par la rotation d axe et d angle α appliqué sur la courbe. Alors A α GH L avec L la longueur totale de la courbe, G le centre de gravité de la courbe et H le projeté orthogonal de G sur. Autrement dit, l aire est le produit de la longueur de la courbe L avec la longueur de l arc parcouru par G pendant la rotation αgh Exemple. On considère un tore engendré par un cercle de rayon a et dont le centre Ω est à une distance d de la droite. Le centre de gravité d un cercle est son centre donc G Ω et GH d. L angle de la rotation est π et la longueur du cercle est L πr. L aire du tore est donc A π d πr 4π rd 11

6. Théorème de Guldin pour une surface homogène On se place dans plan muni d un repère orthonormal O, i, j et on considère un arc de courbe C fermé dans ce plan, délimitant une surface S d aire A. On cherche G le centre de gravité de la surface. On supposera encore que la masse est répartie de manière homogène dans la surface Proposition Les coordonnées du point G centre de gravité de C sont données par x,y S x G xdxdy x,y S, y G ydxdy, A A Théorème 3 Soient C un arc de courbe plane fermée définissant une surface d aire A et une droite ne traversant pas la courbe. On note V le volume engendré par la rotation d axe et d angle α appliqué sur la surface. Alors V α GH A avec G le centre de gravité de la surface et H le projeté orthogonal de G sur. Autrement dit, le volume est le produit de l aire de la surface A avec la longueur de l arc parcouru par G pendant la rotation αgh Exemple. On reprend le tore. L aire du disque est L πr. Le volume du tore est donc V π d πr π r d Exemple. On considère C un demi-cercle de centre O et de rayon r, on note A et B les extrémités du demi cercle. On considère la surface S délimitée par le demi-cercle et par le segment [AB]. C est un demi-disque, donc son aire est A πr. On cherche à déterminer la position de G le centre de gravité du demi-disque S. Par symétrie, on sait que G se situe sur l axe de symétrie du demi-disque. Il reste à déterminer la distance d OG par rapport au centre O. On pose AB et on fait pivoter le demi-cercle d un angle π autour de, on génère une sphère de volume V 4 3 πr3. après le théorème de Guldin V π d A onc le point G se situe à la distance 4r 3π 4 3 πr3 π d πr π r d d 4 3 de O. πr 3 π r 4r 3π 1