Travaux dirigés de trasports et trasferts thermiques Aée 015-016 Araud LE PADELLEC alepadellec@irap.omp.eu
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page 3 P r é s e t a t i o Tous les exercices de trasports et de trasferts thermiques qui serot abordés e Travaux Dirigés cette aée sot regroupés das ce fascicule. Ces exercices sot regroupés par thème. Il est demadé aux étudiats de préparer la séace de travaux dirigés.
page 4 Thème 1 : Diffusio de particules Exercice 1 : Diffusio de porteurs das u semi-coducteur O cosidère u barreau semi-coducteur cylidrique d axe Ox, de rayo a et de logueur L (L >> a). O étudie la diffusio des porteurs de charges électros ou trous, das la directio Ox. Soit (x, t) leur ombre par uité de volume. O demade d évaluer etre les istats t et t + dt la variatio dn du ombre de porteurs compris etre les sectios d abscisses x et x + dx. O suppose à cet effet que : - des porteurs peuvet être créés das le matériau; leur ombre par uité de volume et de temps est supposé costat et oté τ 0 (0 et τ costates) - des porteurs peuvet disparaitre à cause des recombiaisos, leur ombre par uité de volume et de temps est proportioel à et oté - τ. 1. Eocer la loi de Fick et e déduire l équatio satisfaite par (x, t).. O suppose le régime statioaire atteit, détermier (x). O l exprimera e foctio de 0, (0) valeur de à l abscisse 0 et de la logueur de diffusio LP. LP est défiie par la relatio LP = ( Dτ ) 1 / où D est le coefficiet de diffusio des porteurs. E déduire l itesité I(x) du courat de diffusio des charges q à travers le barreau. Exercice : Diffusio de eutros das u réacteur ucléaire e régime statioaire O cosidère u milieu das lequel se produit la diffusio d u espèce chimique caractérisée e u poit de vecteur positio r r et à l istat t par la desité particulaire V (,t ). U processus de productio fait apparaître σ particules par uité de volume et par uité de temps. 1. E cosidérat u volume quelcoque, établir la relatio liat σ, vecteur courat de particules ou desité de flux r différetielle vérifiée par (,t )? v V t et la divergece du J r. Quelle est, e régime statioaire, l équatio O cosidère, das u réacteur ucléaire foctioat e régime statioaire, u boulet sphérique de rayo R jouat le rôle de source de eutros. Cette source est supposée seule et l o admet que la foctio σ est costate à l itérieur du boulet et ulle à l extérieur de celui-ci. E trasformat l itégrale portat sur la divergece du vecteur courat de particules sphérique cocetrique avec le boulet, e ue itégrale portat sur le flux de surface de la sphère : J r, étedue à u volume J r étedue à la. Exprimer e foctio de R, r, σ et du coefficiet de diffusio D, la desité particulaire r V ( ) de eutros, à la distace r du cetre du boulet (o utilisera la propriété de cotiuité de r V ( ) e r = R). 3. Faire ue représetatio graphique de la variatio de V et de la orme du vecteur foctio de r lorsque r varie etre 0 et l ifii. J r e
page 5 Exercice 3 : Diffusio de molécules à travers ue membrae Soit ue membrae poreuse de surface S, de faible épaisseur L, comportat p pores cylidriques idetiques par uité de surface. Cette membrae sépare deux compartimets 1 et cylidriques de même axe Ox et de volume costat respectif V1 et V coteat la même solutio moléculaire mais à des cocetratios différetes 1 et avec 1 >. Das chacu des pores de la membrae s établit u flux de molécules suivat Ox, doé par la loi de Fick. O ote (x,t) la cocetratio moléculaire à travers u pore à l abscisse x et à l istat t et D le coefficiet de diffusio supposé uiforme. O admet que das u pore la cocetratio moléculaire est ue foctio affie de l abscisse x : (x,t) = A(t) x + B(t). A chaque istat t, les cocetratios 1(t) et (t) restet uiformes das chacu des compartimets. O ote (t) = 1(t) (t) l écart des cocetratios au temps t. 1. Détermier le flux de molécules Φp à travers u pore de logueur L et de rayo R. L épaisseur L de la membrae état cosidérée comme très faible, à quelle expressio peut-o assimiler dv(x, t) / dx?. Motrer que le flux de molécules Φm à travers toute la membrae a pour expressio : Φm = K (t) S où K est la perméabilité de la membrae. Détermier l expressio de K e foctio de p, D et L. Calculer umériquemet le rayo R d u pore e µm ; o doe K = 10-6 m s -1, D = 10-9 SI, L = 10 µm, p = 10 6 pores cm -. 3. Doer les variatios des ombres de particules dn1(t) et dn(t) respectivemet das les compartimets 1 et etre les istats t et t + dt. 4. Etablir l équatio différetielle de diffusio à laquelle obéit (t) e posat 1/τ = (1/V1 + 1/V) K S. O otera (t=0) = 0. Itégrer cette équatio et motrer que (t) est de la forme C exp(-αt). Expliciter C et α. Calculer le temps t1 au bout duquel (t = t1) = 0/10. Exercice 4 : Ijectio d u soluté das ue veie (A faire après le TD) Ue veie est schématisée par u tube horizotal d'axe x'x et de très faible sectio S das lequel s'écoule le sag à la vitesse d etraîemet costate v e = ve ex (v > 0). Au poit O d'abscisse x = 0 o ijecte goutte à goutte u soluté avec u débit tel que la cocetratio 0 de soluté e ce poit reste costate. Soit (x, t) la cocetratio à la date t das ue sectio d'abscisse x. O ote le vecteur courat volumique J dû à la diffusio du soluté das le sag, le coefficiet de diffusio D état cosidéré comme costat. L'étude porte sur le phéomèe de diffusio à cotre-courat c'est-à-dire e tout poit défii par ue abscisse x < 0. 1. Rappeler la loi de Fick, pour ue diffusio axiale, e précisat les gradeurs physiques itroduites aisi que leur uités SI. Rappeler la défiitio de J e foctio de et v e.. Etablir, e foctio de J, S, dt et dx, le bila du ombre dn de molécules de soluté pedat l itervalle de temps dt pour la portio de veie comprise etre les abscisses x et x + dx. 3. Etablir l'équatio aux dérivées partielles vérifiée par (x, t). Résoudre cette équatio e régime statioaire et exprimer alors (x) e foctio de 0, ve, D et x (x < 0). O détermiera les costates d itégratio e appliquat les coditios aux limites de e x = 0 et x = -.
page 6 Exercice 1 : Equilibre d u mammifère Thème : Diffusio thermique U mammifère peut être schématisé par ue sphère de muscle de cetre O et de rayo R dot le métabolisme dégage ue quatité de chaleur σ par uité de temps et de volume. L aimal, au repos, est plogé das l eau ou l air, dot o ote D, pour r > R, le coefficiet de diffusio thermique (D = cte). La température, pour r, est la température ambiate T0 = 0 C. 1. Eocer la loi de Fourier e précisat les gradeurs itroduites et leurs uités.. Compte teu de la symétrie du problème, expliciter les composates du vecteur desité de flux thermique das la base locale associée au poit M de coordoées sphériques (r, ϕ, θ). 3. O cosidère la sphère de rayo r > R. Expliciter sa variatio d éergie itere, sas travail, du etre les istats t et t + dt compte teu du régime statioaire. E déduire que pour r > R : σr T r) = 3λ 1 + T. r ( 0 3 4. Représeter, pour u aimal doé, et u milieu extérieur doé la température à l extérieur de l aimal. Commetaire. Représeter sa température cutaée (TC = T(R)) e foctio du coefficiet de diffusio thermique du milieu extérieur. Commetaire. 5. Pour u milieu extérieur doé, représeter TC e foctio de R. Commetaire. 6. Quelles doivet être les valeurs de σ pour avoir TC = 30 C das l eau, puis das l air pour u aimal tel que R = 5 cm? O doe D(eau) = 500 W.m -1.K -1 et D(air) = 5 W.m -1.K -1 Exercice : Isolatio thermique d ue caalisatio U fluide circule à l itérieur d ue caalisatio cylidrique que l o suppose ifiimet logue. Elle est etourée d u macho cylidrique isolat. O ote ri et re les rayos itérieur et extérieur du macho et λ sa coductivité thermique. O suppose le régime statioaire atteit. La température imposée par le fluide sur la face itere du macho (ri) est Ti ; la face extere (re) au cotact de l air est à la température Te (Ti > Te). 1. Idiquer les variables dot déped la température T du macho à ue distace r de l axe (ri < r < re). dt. Ecrire l équatio différetielle satisfaite par T. E déduire les expressios de Ti - T et e dr foctio de r, ri, re, Ti et Te. 3. Eocer la loi de Fourier et détermier l équatio aux dimesios du coefficiet de coductivité thermique λ. 4. Calculer la puissace thermique traversat le macho sur ue logueur L à ue distace r de l axe. E déduire la résistace thermique du macho sur ue logueur L. Exercice 3 : Coductio thermique à symétrie cylidrique et effet Joule Soit u fil cylidrique homogèe de cuivre (voir figure 1), d axe z z, de sectio S1, de rayo b1 =1 cm, supposé ifiimet log (o égligera les effets de bord), de coductivité thermique λc = 390 W m -1 K -1 et de résistivité électrique ρc = 1.7 10-8 Ω m. Ce fil de cuivre, de résistace R
page 7 (R = ρc L / S1), est parcouru par u courat électrique (uiformémet réparti) d itesité costate I = 300 A. Le fil est eveloppé d ue gaie isolate, de coductivité thermique λi, de sectio S et de rayo b = b1 et coaxiale au fil. La paroi extere de la gaie est maiteue à la température Ta = 93 K. E régime statioaire, la chaleur dissipée par effet Joule das le cuivre traverse la gaie isolate. b Ι Gaie isolate cuivre Gaie isolate er ez b1 Fig. 1 1. Calculer la puissace σu produite par effet Joule das ue sectio de logueur L du fil de cuivre par uité de volume.. Doer l expressio du courat volumique d éergie itere JU (r) das le fil pour 0 r b1. σu 3. Motrer qu e régime statioaire, l équatio différetielle das le fil s écrit : T =. λ Etablir la loi de variatio de la température T(r) e foctio de T(r = 0) = T0, r, b1, I, ρc et λc. O retiedra ue costate d itégratio qui assure que T(r = 0) reste fiie. Pourquoi le gradiet de température das le fil de cuivre est égligeable? 4. Détermier le flux thermique I U(r) et le courat volumique d éergie itere J U(r) à travers la gaie isolate. Etablir la loi de variatio de la température T(r) das la gaie isolate pour b1 r b e foctio de Ta, r, b1, b, I, ρc et λi. E déduire la température de la surface de cotact métal-isolat T(r = b1) = Tc. 5. O mesure TC = 98 K, détermier la valeur de la coductivité thermique de l isolat λi. Exercice 4 : Coductio thermique das u combustible ucléaire (A faire après le TD) Das u barreau cylidrique d uraium, utilisé comme combustible ucléaire, la puissace volumique (ou taux de productio d éergie itere) produite par les réactios ucléaires est σu = 480 MW m -3. La coductivité thermique de l uraium est Λ = 30 W m -1 K -1 et sa température de fusio est Tf = 1405 K. La surface latérale du barreau est maiteue à la température Ts = 443 K. O cherche à détermier la distributio de la température das le barreau e régime statioaire et e foctio de sa géométrie. Le barreau est u cylidre plei homogèe de rayo R = cm, de logueur L. O cosidère le barreau suffisammet log pour que la température T e dépede que de r. 1. Rappeler la loi de Fourier de la diffusio thermique e précisat les gradeurs physiques itroduites aisi que leur uités SI. Doer l expressio du vecteur courat volumique d éergie itere J U et du flux d éergie itere IU das le barreau.. Etablir, à l aide du bila de l éergie itere U das u volume V, l équatio différetielle de la U m diffusio thermique. O rappelle ρ u = l éergie itere volumique et ρ =. V V 3. Motrer que la loi de variatio de la température e tout poit du combustible, à la distace r de l axe, est de la forme T(r) = A B r. Calculer les coefficiets A et B. Faire l applicatio umérique. C
page 8 Que représete A? Commeter les résultats. La géométrie du barreau est elle bie adaptée pour u tel combustible? 4. Détermier la puissace volumique maximale σumax que l o peut extraire du barreau si l o e veut pas dépasser sa température de fusio. Le combustible occupe maiteat l espace etre deux cylidres de rayos respectifs Re = R = cm et Ri = 1 cm (tube creux). La surface itérieure du tube est recouverte d u isolat parfait (ΛI 0) et la surface extérieure est toujours maiteue à la température Ts = 443 K. 5. Motrer que le courat volumique d éergie itere JU, à ue distace r de l axe, s écrit : σ = U R i T J r U. E déduire le gradiet de température das le barreau. r r 6. Motrer que la ouvelle loi de variatio de la température est de la forme: T(r) = A' + C L r - B r. Détermier A et C. Quelle est alors la valeur de la température maximale Tmax atteite das le barreau? Commeter. 1 f 1 f f O doe le Laplacie e coordoées cylidriques: f ( r, φ, z) = ( r ) + + r r r r φ z