Livret de Trigonométrie. Christian CYRILLE

Livret de Trigonométrie Christian CYRILLE 11 mars 015

"Il s agit, non seulement d avoir des idées sur les suites, mais d avoir de la suite dans les idées" Anonyme

Table des matières 1 Maîtriser le cercle trigonométrique 5 1.1 Lemme................................. 5 1. Cercle trigonométrique........................ 5 1.3 De l angle géométrique à l angle orienté.............. 6 1.4 3 notions équivalentes........................ 6 1.5 Mesures d un angle orienté de vecteurs............... 7 Rapports trigonométriques 9.1 Définition............................... 9. Propriétés............................... 10..1 Conditions d existence.................... 10.. Formule Fondamentale de la Trigonométrie........ 10..3 Valeurs prises par les fonctions circulaires......... 10..4 Périodicité.......................... 10..5 Angles opposés de mesures x et x............. 11..6 Angles complémentaires de mesures x et π x...... 11..7 Angles de mesures x et π + x................ 1..8 Angles supplémentaires de mesures x et π x....... 13..9 Angles de mesures x et π + x................ 13.3 Formules de multiplication des arcs................. 14.4 Formules de transformations de sommes en produits....... 14.5 3 équations trigonométriques fondamentales............ 14.5.1 Exemples........................... 15.6 Les fonctions trigonométriques................... 15.6.1 Tableaux de variations.................... 15.6. Tableaux de valeurs..................... 15.6.3 Courbes............................ 15 3 Forme trigonométriques des nombres complexes 17 3.1 Affixe d un point, affixe d un vecteur................ 17 3.1.1 Théorème........................... 17 3.1. Théorème........................... 18 3.1.3 Démonstration........................ 18 3. Module d un nombre complexe................... 18 3..1 Définition........................... 18 3.. Interprétation géométrique de la notion de module.... 18 3..3 Exemples........................... 19 3..4 Propriétés........................... 0 3

4 TABLE DES MATIÈRES 3..5 Démonstrations........................ 0 3..6 C est un espace vectoriel euclidien réel........... 1 3.3 Argument d un nombre complexe non nul............. 1 3.3.1 Rappels sur les angles de vecteurs............. 1 3.3. Argument d un nombre complexe de module 1...... 3.3.3 Argument d un nombre complexe non nul......... 3.3.4 Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique 3 3.3.5 Propriétés........................... 3 3.3.6 Module et argument de z B z C.............. 4 z A z C 3.3.7 Racines n-ièmes complexes d un nombre complexe non nul 5 3.3.8 Applications trigonométriques................ 8 3.3.9 Résolution de l équation du second degré az + bz + c = 0 d inconnue z C...................... 9 4 Exercices 31 4.1 Equations trigonométriques..................... 31 4.1.1................................. 31 4.1.................................. 31 4. Linéarisation de polynômes trigonométriques........... 3 4..1................................. 3 4.3 Intégration et trigonométrie - bac Rennes C 77.......... 33

Chapitre 1 Maîtriser le cercle trigonométrique 1.1 Lemme Soit un cercle de centre O et de rayon R. On admet qu un arc de ce cercle d angle α a pour longueur R α. Donc le périmètre d un cercle de rayon R est P = π R. 1. Cercle trigonométrique 1. On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1.. Le périmètre d un cercle mesure donc π 3. Un tour de cercle trigonométrique mesure π radians. 4. Un demi-tour de cercle trigonométrique mesure π radians. 5. Un quart de tour de cercle trigonométrique mesure π radians. Le sens de parcours direct ou positif sur ce cercle trigonométrique est le sens inverse des aiguilles d une montre. L autre sens est dit indirect ou rétrograde. 5

6 CHAPITRE 1. MAÎTRISER LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE 1.3 De l angle géométrique à l angle orienté Comment passe-t-on d un angle géométrique de demi-droites à un angle orienté de demi-droites? A partir de deux demi-droites de même origine O, on peut créer un angle géométrique de demi-droites. Dorénavant, nous orienterons un angle de demi-droites : de façon positive ou directe si on parcourt dans le sens inverse des aiguilles d une montre. de façon négative ou indirecte ou rétrograde sinon. 1.4 3 notions équivalentes L angle orienté des demi-droites [DD 1 ) et [DD ) est l angle orienté des vecteurs non nuls OU et OV. C est aussi l angle orienté des vecteurs unitaires(c est-à-dire de norme 1) : vecteur OA = 1 OU et vecteur OM = 1 OV. OU OV On écrira (DD 1, DD ) = ( OU, OV ) = ( OA, OM)

1.5. MESURES D UN ANGLE ORIENTÉ DE VECTEURS 7 1.5 Mesures d un angle orienté de vecteurs Voici le cercle trigonométrique et un fil représentant l axe des réels : Colorions ce fil avec couleurs : l une pour R + et l autre pour R. Posons le zéro du fil en A et enroulons ce fil qui représente R autour du cercle trigonométrique : les réels positifs dans le sens direct les réels négatifs dans l autre sens Alors en A vont se poser les points du fil correspondants aux réels :, 4 π; π; 0; π; 4 π; en M vont se poser les les points du fil correspondants aux réels :,, x 4 π; x π; x; x + π; x + 4 π;

8 CHAPITRE 1. MAÎTRISER LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE

Chapitre Rapports trigonométriques.1 Définition Si l angle ( OA, OM) mesure x, si C est le projeté orthogonal de M sur la droite (OA) et si S est le projeté orthogonal de M sur la droite (OB) alors cosinus(x) = cos(x) = OC sinus(x) = sin(x) = OS tangente(x) = tan(x) = sin(x) cos(x) = AT 1 cotangente(x) = cotan(x) = tan(x) = cos(x) sin(x) = BT 9

10 CHAPITRE. RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES. Propriétés..1 Conditions d existence 1. sin(x) existe pour tout réel x donc D sin = R.. cos(x) existe pour tout réel x donc D cos = R. 3. tan(x) existe pour tout réel x π + kπ où k Z donc D tan = R { π + kπ / k Z}. 4. cotan(x) existe pour tout réel x kπ où k Z donc D cotan = R {kπ / k Z}... Formule Fondamentale de la Trigonométrie 3 formes équivalentes : x R sin (x) + cos (x) = 1 sin (x) = 1 cos (x) cos (x) = 1 sin (x)..3 Valeurs prises par les fonctions circulaires x R 1 sin(x) 1 x R 1 cos(x) 1 x D tan < tan(x) < + x D cotan < cotan(x) < +..4 Périodicité 1. x R sin(x + kπ) = sin(x) donc sin est périodique de période T = π. x R cos(x + kπ) = cos(x) donc cos est périodique de période T = π 3. x R { π +kπ/k Z} tan(x+kπ) = tan(x) donc tan est périodique de période T = π 4. x R {kπ/k Z} cotan(x + kπ) = cotan(x) donc cotan est périodique de période T = π

.. PROPRIÉTÉS 11..5 Angles opposés de mesures x et x 1. x R l on a : x R et sin( x) = sin(x) donc sin est impaire. Par conséquent, C sin admet O comme centre de symétrie.. x R l on a : x R et cos( x) = cos(x) donc cos est paire. Par conséquent, C cos admet l axe des ordonnées (Oy) comme axe de symétrie. 3. x D tan l on a : x D tan et tan( x) = tan(x) donc tan est impaire. Par conséquent, C tan admet O comme centre de symétrie. 4. x D cotan l on a : x D cotan et cotan( x) = cotan(x) donc cotan est impaire. Par conséquent, C cotan admet O comme centre de symétrie...6 Angles complémentaires de mesures x et π x

1 CHAPITRE. RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES x R sin( π x) = cos(x) x R cos( π x) = sin(x) x D tan tan( π x) = cotan(x) x D cotan cotan( π x) = tan(x) Les angles de mesure x et π x sont dits complémentaires. Des angles complémentaires échangent donc leurs sinus et cosinus, leurs tangente et leur cotangente...7 Angles de mesures x et π + x x R sin( π + x) = cos(x) x R cos( π + x) = sin(x) x D tan tan( π + x) = cotan(x) x D cotan cotan( π + x) = tan(x)

.. PROPRIÉTÉS 13..8 Angles supplémentaires de mesures x et π x x R x R sin(π x) = sin(x) cos(π x) = cos(x) x D tan tan(π x) = tan(x) x D cotan cotan(π x) = cotan(x) Les angles de mesure x et π x sont dits supplémentaires...9 Angles de mesures x et π + x x R x R x D tan x D cotan sin(π + x) = sin(x) cos(π + x) = cos(x) tan(π + x) = tan(x) cotan(π + x) = cotan(x)

14 CHAPITRE. RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES.3 Formules de multiplication des arcs Si a R, b R cos(a + b) = cos(a)cos(b) sin(a)sin(b) cos(a b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a) sin(a b) = sin(a)cos(b) sin(b)cos(a) Si a D tan, b D tan, a + b D tan tan(a) + tan(b) tan(a + b) = 1 tan(a)tan(b) Si a D tan, b D tan, a b D tan tan(a) tan(b) tan(a b) = 1 + tan(a)tan(b) Si a R, cos(a) = cos (a) sin (a) = cos (a) 1 = 1 sin (a) sin(a) = sin(a)cos(a) cos (a) = 1 + cos(a) sin (a) = 1 cos(a) cos ( a ) = 1 + cos(a) sin ( a ) = 1 cos(a) cos ( a 4 ) = 1 + cos( a ) sin ( a 4 ) = 1 cos( a ).4 Formules de transformations de sommes en produits.5 3 équations trigonométriques fondamentales 1. cos(x) = cos(x 0 ) k Z x = x 0 + kπ ou x = x 0 + kπ. sin(x) = sin(x 0 ) k Z x = x 0 + kπ ou x = π x 0 + kπ 3. tan(x) = tan(x 0 ) k Z x = x 0 + kπ

.6. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 15.5.1 Exemples 1. cos(x) = 0 cos(x) = cos( π ) k Z x = π + kπ ou x = π + kπ k Z x = π + kπ ou x = π π + kπ = π + (k 1)π k Z x = π + kπ. sin(x) = sin(x 0 ) k Z x = x 0 + kπ ou x = π x 0 + kπ 3. tan(x) = tan(x 0 ) k Z x = x 0 + kπ.6 Les fonctions trigonométriques.6.1 Tableaux de variations.6. Tableaux de valeurs.6.3 Courbes

16 CHAPITRE. RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES

Chapitre 3 Forme trigonométriques des nombres complexes 3.1 Affixe d un point, affixe d un vecteur 3.1.1 Théorème Soit P le plan affine euclidien associé au plan vectoriel P. P est muni du repère orthonormé (O, e 1, e ) Alors l application f de C dans P qui à tout nombre complexe z = a + ib associe le vecteur v = a e 1 + b e est une bijection. On dit alors que le vecteur v est le vecteur-image de z ou encore que z est l affixe de v. Ceci se note v (z) l application g de C dans P qui à tout nombre complexe z = a + ib associe le point M de coordonnées (a, b) dans la base ( e 1, e ) est une bijection. On dit alors que le point M est le point-image de z ou encore que z est l affixe de M. Ceci se note M(z) b M(z) v(z) e O e1 a 17

18CHAPITRE 3. FORME TRIGONOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES 3.1. Théorème Soient z = a + ib et z = a + ib. Soit M(z) et M (z ) alors z z est l affixe du vecteur MM 3.1.3 Démonstration MM = MO + OM = OM OM = a e 1 + b e a e 1 b e = (a a) e 1 + (b b) e Or z z = (a a) + i(b b) donc MM (z - z). CQFD M (z ) MM (z z ) M(z) O 3. Module d un nombre complexe 3..1 Définition Si z = a + ib, on appelle module de z nombre réel positif suivant noté z = zz = a + b 3.. Interprétation géométrique de la notion de module z = OM ; z = OM ;

3.. MODULE D UN NOMBRE COMPLEXE 19 ir M(z) i OM = z O 1 R z A z B = z AB = AB = AB y B y A B(z B ) AB A(z A ) e O e1 x B x A 3..3 Exemples 0 = 0 i = 1 i = 1 = 1+i 3 = 1+i =

0CHAPITRE 3. FORME TRIGONOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES 3..4 Propriétés Soient les nombres complexes z et z 1. z = z = z = z. z 0 3. z = 0 z = 0 4. zz = z z 5. si z 0 alors ( 1 z ) = 1 z 6. si z 0 alors ( z z ) = z z 7. Re(z) z 8. Im(z) z 9. z + z z + z (Inégalité triangulaire de Minkowski) 10. z z z z z + z 3..5 Démonstrations 1. évident. évident 3. évident 4. zz = zz zz = zz zz = zz z z = z z 5. 1 z = 1 z ( 1 z ) = 1 z 1 z = 1 z z = 1 z 6. évident en utilisant les propriétés précédentes. 7. Re(z) = a a = a a + b = z 8. Im(z) = b b = b a + b = z 9. Comme les membres de l inégalité sont tous deux positifs, il suffit de comparer leurs carrés ( z + z ) = (z + z )(z + z ) = (z + z )(z + z ) = zz + zz + z z + z z = z + zz + z z + }{{} z = z +Re(zz )+ z zz +zz z + zz + z car Re(z) z ( z + z ) CQFD 10. l inégalité de droite z z z + z est l expression de l inégalité triangulaire de Minkowski car z = z Reste à démontrer l inégalité de gauche : z = z + (z z) z + z z donc α = z z z z = β De même, en permutant les rôles de z et de z, l on a : α = z z z z = β De ces deux inégalités, α β et α β on en déduit que α β c est-à dire que z z z z

3.3. ARGUMENT D UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL 1 3..6 C est un espace vectoriel euclidien réel Théorème L application f de C dans R + qui à tout nombre complexe z associe z est un homomorphisme non injectif de (C, ) dans (R +, ) Théorème L application φ de C C dans R qui à tout couple de nombres complexes (z,z ) associe le nombre réel φ(z,z ) = 1 (zz + zz ) est un produit scalaire sur C c est-à-dire une forme bilinéaire définie positive. De plus, z = φ(z, z) = 1 (zz + zz) = zz = z Proposition (1, i) est une base orthonormée de C ir M(z) i OM = z O 1 R 3.3 Argument d un nombre complexe non nul 3.3.1 Rappels sur les angles de vecteurs 1. ( u, v ) existe lorsque u 0 et v 0. ( MA, MB) existe lorsque M A et M B 3. si α est une mesure en radians de l angle ( u, v ) alors k Z α + kπ est aussi une mesure de ( u, v )

CHAPITRE 3. FORME TRIGONOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES 4. ( u, v ) + ( v, w ) = ( u, w ). C est la relation de Michel CHASLES pour les angles de vecteurs 3.3. Argument d un nombre complexe de module 1 On appelle U = { z C/ z = 1}. Alors (U, ) est un sous-groupe du groupe ((C*, ) Démonstration : U C soit z U soit z U alors zz = z z = 1 1 = 1 donc z z U soit z U alors 1 z = 1 z = 1 1 = 1 donc 1 z U remarque : soit z U alors 1 z = zz z = z 3.3.3 Argument d un nombre complexe non nul M(z = re iθ ) e OM = z = r ( e 1, OM) = arg(z) = θ O e1 Si z 0 alors on peut considérer l angle ( e 1, OM) de mesure θ en radians Si l on note r le module de z, on obtient : z = x + i y = r cos(θ) + i r sin(θ) = r (cos(θ) + i sin(θ)) = r exp(iθ) = r e iθ (Notation d Euler) Cette écriture s appelle la forme trigonométrique de z. θ = une mesure de l angle( e 1, OM)s appelle un petit argument de z et se note arg(z) z a une infinité d arguments qui diffèrent de k π L angle ( e 1, OM) s appelle grand argument de z et se note Arg(z) 1 1. 0 est le seul nombre complexe qui a un module 0 mais qui n a pas d argument!

3.3. ARGUMENT D UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL 3 3.3.4 Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique 3 démarches pour trouver cette forme trigonométrique : 1. utiliser la position géométrique de z lorsqu elle est évidente : Par exemple : 1 = 1[cos(0) + sin(0)] = e i0 = e iπ 1 = 1[cos(π) + sin(π)] = e iπ d où la formule divine d Euler : e iπ + 1 = 0 i = 1[cos( π ) + i sin( π ] = ei π i = 1[cos( 3π ) + i sin( 3π ] = ei 3π. Bien observer l écriture de z et la mettre sous la forme z = nombre positif [ cos(mesure d un angle) + i sin(cette même mesure d angle] : Exemples : 1 + i = ( 1 + i 1 ) = (cos( π 4 ) + i sin( π 4 )) = e i π 4 sin(θ) + i cos(θ) = cos( π θ) + i sin( π θ) = ei π θ (1 )e i π 4 n a pas pour module (1 ) qui est un réel négatif! En réalité,(1 )e i π 4 = ( 1)( 1)e i π 4 = ( 1)e iπ e i π 4 = ( 1)e 5i π 4 donc a pour module et pour argument 5π 4 3. utiliser les formules de passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique (ou vice-versa) : si z = x + iy alors x = r cos(θ) y = r sin(θ) r = x + y cos(θ) = x r sin(θ) = y r 3.3.5 Propriétés 1. r e iθ r e iθ = r r e i(θ+θ ) 1. = 1 r e iθ 3. re iθ re iθ = r r ei(θ θ ) r e iθ 4. Formule d Abraham Moivre (Vitry le François 1667-Londres 1754) : k Z (cos(θ) + i sin(θ)) k = cos(kθ) + i sin(kθ) Démonstration : Par récurrence sur N puis extension à Z

4CHAPITRE 3. FORME TRIGONOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES 3.3.6 Module et argument de z B z C z A z C B A e C e1 O e1 Soit A(z A ) et B(z B ) alors AB a pour affixe zb z A z A z B = z AB = AB = AB ( e 1, AB) = arg(z AB ) = arg(z B z A ) donc pour tout C(z C ) on a : CB CA = z B z C z A z C = z B z C z A z C ( CA, CB) = ( e1, CB) ( e1, CA) = arg(z ) arg(z CB CA ) = arg( z CB ) = arg( z B z C ) z CA z A z C Théorème Dans un repère orthonormé direct. Soit A, B et C d affixes respectives z A, z B et z C. Soit un réel r > 0 et un réel θ alors on a l équivalence logique suivante : CB = r et ( CA, z B z C CB) = θ = re iθ CA z A z C Conditions nécessaires et suffisantes d appartenance à R, R +, R z R Im(z) = 0 z = z z = 0 ou k Z arg(z) = kπ z R + Im(z) = 0 et Re(z) 0 z = 0 ou k Z arg(z) = kπ z R Im(z) = 0 et Re(z) 0 z = 0 ou k Z arg(z) = π + kπ

3.3. ARGUMENT D UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL 5 Conditions nécessaires et suffisantes d appartenance à ir,ir +,ir z ir Re(z) = 0 z = z z = 0 ou k Z arg(z) = π + kπ z ir + Re(z) = 0 et Im(z) 0 z = 0 ou k Z arg(z) = π + kπ z ir Re(z) = 0 et Im(z) 0 z = 0 ou k Z arg(z) = π + π + kπ Applications géométriques Dans un repère orthonormé direct. Soit A,B et M d affixes respectives z A, z B et z. Soit un réel r > 0 et un réel θ alors on a l équivalence logique suivante : Si r = 1 z B z z A z = reiθ MB = r et ( MA, MB) = θ (moduloπ) MA MB MA Si r 1 = 1 M la médiatrice de [AB] MB = r M au cercle d APPOLONIUS associe à A, B et r. MA Ce cercle est le cercle de diamètre [IJ] où I est le barycentre de {(A, 1), (B, r)} et J est le barycentre de {(A, 1), (B, r)} Si θ = 0 + kπ alors : ( MA, M B) = 0 (modulo π) M la droite (AB) privée du segment [AB] Si θ = π + kπ alors : ( MA, MB) = π (modulo π) M le segment ouvert ]AB[ Si θ kπ alors : ( MA, M B) = θ (modulo π) M l arc de cercle capable associé à A,B et θ 3.3.7 Racines n-ièmes complexes d un nombre complexe non nul 1. Lemme : x > 0 y > 0 n N {0; 1} y = x n x = n y

6CHAPITRE 3. FORME TRIGONOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES. Etude Soit Z 0. Posons Z = Re iα. Soit n N {0; 1}. z n = Z (re iθ ) n = Re iα r n e inθ = Re iα r n = R et k Z nθ = α + kπ r = n R et k Z θ = α n + kπ n. Lorsque k décrit Z, les kπ n ne prennent que n valeurs distinctes : ce sont celles qui correspondent aux n cas suivants : k = 0, k = 1,..., k = n-1 3. Théorème Soit n N {0; 1}. Soit Z 0 L équation z n = Z d inconnue complexe z admet n solutions complexes : Ce sont les nombres z k = n R e i( α n + kπ n ) où k {0, 1,,..., n 1}. Ces n solutions s appellent les racines-nièmes complexes de Z. 4. Corollaire : Racines n-ièmes de l unité Soit n N {0; 1}. Soit Z 0 L équation z n = 1 d inconnue complexe z admet n solutions complexes : Ce sont les nombres z k = e i kπ n où k {0, 1,,..., n 1}. Ces n solutions s appellent les racines-nièmes complexes de l Unité. Leur ensemble s appelle U n 5. Racines carrées complexes de 1 L équation z = 1 d inconnue complexe z admet solutions complexes : Ce sont les nombres z k = e i kπ où k {0, 1} c est-à-dire 1 et - 1. 6. Racines carrées cubiques complexes de 1 L équation z 3 = 1 d inconnue complexe z admet 3 solutions complexes : Ce sont les nombres z k = e i kπ 3 où k {0, 1, } c est-à-dire 1, j = cos( π 3 ) + i sin( π 3 ) et j = cos( 4π 3 ) + i sin( 4π 3 ) 7. Racines carrées quatrièmes complexes de 1 L équation z 4 = 1 d inconnue complexe z admet 4 solutions complexes : Ce sont les nombres z k = e i kπ 4 où k {0, 1,, 3} c et-à-dire 1, i, -1, -i 8. Images des racines carrées n-ièmes complexes de 1 Les racines n-ièmes de l unité ont des images sur le cercle trigonométrique qui forment un polygône régulier convexe dont un des sommets est 1.

3.3. ARGUMENT D UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL 7 j i -1 1 j -i De plus leur somme est nulle. en posant w = e iπ n S = 1 + w 1 + w 1 + + w n 1 1 = 1 wn 1 1 w 1 = 0 Par exemple, pour n = 3, on a 1 + j + j = 0 Autre propriété : w n k 1 a pour conjugué et pour inverse w k 1 9. Relations entre les racines carrées n-ièmes complexes de Z et celles de 1 Soit n N {0; 1}. Soit Z 0. Soit v une racine n-ième de Z z n = Z z n = v n ( z v )n = 1 z est une racine n-ième del unité v Théorème : Si on connaît une racine n-ième v de Z 0, pour trouver toutes les racines n-ièmes de Z, il suffit de multiplier v par toutes les racines n-ièmes de l unité. Par exemple, si l on cherche les solutions de Z 3 = 7, on peut vérifier que 3 3 = 7 donc 3 est une racine-troisième de 7 donc toutes les racines troisièmes de 7 sont 3, 3j et 3j 10. U n est un groupe cyclique d ordre n 11. Résolution de l équation az + bz + c = 0 où a, b, c C

8CHAPITRE 3. FORME TRIGONOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES 3.3.8 Applications trigonométriques Formules de multiplication des arcs Il s agit de calculer cos(nθ) et sin(nθ) pour n =, 3, 4 à l aide des formules du binôme de Newton et de Moivre. 1. soit θ R alors (cos(θ) + i sin(θ)) = cos (θ) sin (θ) + i cos(θ) sin(θ) Or (cos(θ) + i sin(θ)) = cos(θ) + i sin(θ) donc cos(θ) = cos (θ) sin (θ) et sin(θ) = cos(θ) sin(θ). soit θ R alors (cos(θ) + i sin(θ)) 3 = cos 3 (θ) + 3 cos (θ)i sin(θ) + 3 cos(θ)(i sin(θ)) + (i sin(θ)) 3 = cos 3 (θ) + 3 cos (θ)i sin(θ) 3 cos(θ)(sin(θ)) i(sin(θ)) 3 Or (cos(θ) + i sin(θ)) = cos(3θ) + i sin(3θ) donc cos(3θ) = cos 3 (θ) 3 cos(θ) sin (θ) = 4 cos 3 (θ) 3 cos(θ) sin(3θ) = 3 cos (θ) sin(θ) sin 3 (θ) = 3 sin(θ) 4 sin 3 (θ) 3. De même, cos(4θ) = cos 4 (θ) 6 cos (θ) sin (θ) + sin 4 (θ) sin(4θ) = 4 cos 3 (θ) sin(θ) 4 cos(θ) sin 3 (θ) Linéarisation d un polynôme trigonométrique Il s agit de transformer un polynôme en sin(x) et en cos(x) en une somme de cosinus et de sinus d un multiple de x. Procédé : Si z = e iθ = cos(θ) + i sin(θ) U alors 1 z U. Comme z U alors z = e iθ = cos(θ) + i sin(θ) alors z = cos(θ) i sin(θ) et zz = z = 1 donc { z = cos(θ) + i sin(θ) z = cos(θ) i sin(θ) d où cos(θ) = 1 (z + z) sin(θ) = 1 (z z) i D après la formule de Moivre { z n = cos(nθ) + i sin(nθ) z n = cos(nθ) i sin(nθ) d où cos(nθ) = 1 (zn + z n ) sin(nθ) = 1 i (z zn ) Exemples :

3.3. ARGUMENT D UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL 9 1. Linéariser cos 3 (θ). cos 3 (θ) = [ 1 (z3 z 3 )] = 1 8 (z3 +3z z +3zz +z 3 ) = 1 8 (z3 +z 3 +3zz(z +z)) = 1 8 ( cos(3θ) + 3. cos(θ)) = 1 4 cos(3θ) + 3 4 cos(θ)). Linéariser sin 3 (θ). sin 3 (θ) = [ 1 i (z3 +z 3 )] = i 8 (z3 3z z +3zz z 3 ) = i 8 (z3 z 3 3zz(z z)) = i 1 (i sin(3θ) 3.i sin(θ)) = 8 4 sin(3θ) + 3 4 sin(θ)) 3. Linéariser cos 4 (θ). On démontrera en exercice que : cos 4 (θ) = 1 8 cos(4θ) + 1 cos(θ) + 3 8 4. Linéariser sin 4 (θ). On démontrera en exercice que : sin 4 (θ) = 1 1 cos(4θ) + 8 cos(θ) + 3 8 5. Linéariser sin 3 (θ) cos 4 (θ). cos 4 (θ) sin 3 (θ) = (sin(θ) cos(θ)) 3 cos(θ) = ( sin(θ) ) 3 cos(θ) = 1 8 ( 1 4 sin(6θ) + 3 sin(θ)) cos(θ) 4 3.3.9 Résolution de l équation du second degré az +bz+c = 0 d inconnue z C a,b, c complexes Soit l équation az + bz + c = 0 où a C, b C,c C. Soit le discriminant = b 4ac 1. ou bien = 0 alors l équation a une seule solution z = b a. ou bien 0 alors l équation a solutions z = b δ et z = b + δ a a où δ est une racine carrée complexe de a,b, c réels Soit l équation az + bz + c = 0 où a R, b R,c R. Soit le discriminant = b 4ac 1. ou bien = 0 alors l équation a une seule solution z = b a. ou bien > 0 alors l équation a solutions réelles distinctes : z = b et z = b + a a 3. ou bien < 0 alors l équation a solutions complexes conjuguées z = b i et z = b + i a a

30CHAPITRE 3. FORME TRIGONOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES

Chapitre 4 Exercices 4.1 Equations trigonométriques 4.1.1 Résoudre dans R l équation (E) : 4 sin(x) sin(3x) cos(x) + 1 = 0 Démonstration L ensemble de définition de cette équation est : R x R, (E) 4 1 [cos(x 3x) cos(x + 3x)] cos(x) + 1 = 0 [cos( x) cos(4x)] cos(x) + 1 = 0 cos(x) cos(4x)] cos(x) + 1 = 0 cos(4x)] + 1 = 0 cos(4x) = 1 = cos(π 3 ) k Z 4x = π 3 + kπ ou k Z 4x = π 3 + kπ k Z x = π 1 + k π ou k Z x = π 1 + k π L ensemble S des solutions est { π 1 + k π ; π 1 + k π /k Z ; k Z} Il est représenté par les 8 points suivants sur le cercle trigonométriques : 4.1. Résoudre dans R l équation suivante : cos(x) + sin(x) = démonstration Méthode 1 : 1 cos(x) 1 et 1 sin(x) 1 donc cos(x) + sin(x) Par conséquent cos(x) + sin(x) = cos(x) = 1 et sin(x) = 1 Donc cos (x) + sin (x) =. Ceci est impossible car cos (x) + sin (x) = 1 Par conséquent, l ensemble des solutions de cette équation est S = 31

3 CHAPITRE 4. EXERCICES Méthode : cos(x) + sin(x) = ( cos(x) + cos(x) ) = ( 1 cos(x) + 1 sin(x)) = (cos( π 4 ) cos(x) + sin(π 4 ) sin(x)) = (cos(x π 4 ) = cos(x π 4 ) = Cette équation est impossible à résoudre car 1, 414 et 1 cos(x) 1 4. Linéarisation de polynômes trigonométriques 4..1 Linéariser sin 5 (x) démonstration On utilisera les formules d Euler-Moivre. { e inx = cos(nx) + i sin(nx) e inx = cos(nx) i sin(nx) donc cos(nx) = 1 (einx + e inx ) sin(nx) = 1 i (einx e inx ) Alors sin 5 (x) = (sin(x)) 5 = ( 1 i (eix e ix )) 5 = e5ix 5e 4ix e ix + 10e 3ix e ix 10e ix e 3ix + 5e ix e 4ix e 5ix 5 i 5 = e5ix e 5ix 5(e 3ix e 3ix ) + 10(e ix e ix ) 3i = i sin(5x) 5(i sin(3x)) + 10(i sin(x)) 3i = 1 16 sin(5x) 5 16 sin(3x) + 5 8 sin(x)

4.3. INTÉGRATION ET TRIGONOMÉTRIE - BAC RENNES C 77 33 4.3 Intégration et trigonométrie - bac Rennes C 77 π Soit I 1 = 0 1. Calculer I. Calculer I 1 3. En déduire I π cos(x) 1 + sin(x) dx ; I = 0 sin(x) 1 + sin(x) dx et I = I 1 + I