Inégraion numérique d ODE PCSI 2018 2019 I Méhode d Euler La modélisaion d un grand nombre de problèmes ayan leur origine en géomérie, mécanique, physique, sciences de l ingénieur, chimie, biologie, économie ou démographie... condui à rechercher les soluions de sysèmes de la forme : { y () = f(y(),) équaion différenielle y( i ) = y 0 condiion iniiale On appelle problème de Cauchy la recherche des soluions d un el sysème. Le cours de mah donne des condiions suffisanes poran sur f pour que ce problème admee une seule soluion. Nous nous placerons dans la suie dans un cas où le problème adme bien une unique soluion sur l inervalle [ i, f ]. Pour rouver des valeurs approchées de y() à parir d une condiion iniiale y( i ) = y i, on peu employer une méhode rès simple la méhode d Euler. On décide de calculer les valeurs de y à des insans successifs n = i + nδ, séparés d une durée δ appelée pas de emps. Noons y n = y( n ). Pour obenir approximaivemen y n+1 à parir y n, on calcule d abord y ( n ) = f(y n,) puis on sui la angene à la courbe. Cela s exprime par un développemen de Taylor à l ordre 1 : y n+1 y n + δ y ( n ) y y n+1 y n Soi y n+1 y n + δ f(y n, n ) n n+1 À parir de y 0, cee relaion perme d obenir de proche en proche des valeurs approchées de y 1, y 2,... y n,... y N ec. II Les bases Exercice n 1 Uilisez la méhode d Euler pour racer une approximaion de la primiive 1 de la foncion x e x2 qui vau 1 en x = 5. On pourra se limier à l inervalle x [ 5,10] pour le racé. e 2 d v() x 2 x 1. À peu de chose près, cee foncion correspond à la foncion d erreur de Gauss : e 2 d π 0 1
Inegraion numérique d ODE Exercice n 2 Uilisez la méhode d Euler pour racer une soluion approximaive de l équaion différenielle suivane 2 : v () = v() v() 10 ; v(0) = 5 On pourra se limier à l inervalle x [0,5] pour le racé. Exercice n 3 En réuilisan e modifian légèremen vos codes précédens, racer une soluion approximaive de l équaion différenielle suivane 3 (où ω es une consane que l on pourra faire varier) : du() + u() = cos(ω) ; u(0) = 0 d [ ] On pourra superposer sur la même figure la soluion exace : u() = 1 1+ω 2 cos(ω arcan(ω)) e 1+ω 2 III Pour le second ordre 1. Résoluion d un sysème du premier ordre Une méhode fréquene es de se ramener à un sysème d équaion du premier ordre : On se propose de résoudre ainsi l équaion différenielle suivane, correspondan à un oscillaeur de Van der Pol en régime libre 4 : d 2 x() d 2 ǫω 0 ( 1 x 2 () ) () d + ω 2 0 x() = 0 Inroduire la variable v() = () e présener les équaions sous la forme ci dessous à gauche. d On en dédui le schéma d inégraion ci-dessous à droie. { () d dv() d = f 1 (x,v,) = f 2 (x,v,) { x( + d) x() + f1 (x(),v(),) d v( + d) v() + f 2 (x(),v(),) d Exercice n 4 Inégrer ce sysème avec les condiions iniiales suivanes : x(0) = 0,5, v(0) = 0 pour les paramères ω 0 = 5 e ǫ = 2 e avec au moins 1000 poins enre = 0 e = 10 (mais meez des paramères dans les équaions pour pouvoir faire varier les valeurs). Tracer ensuie sur un même graphique x() e v() e dans une aure fenêre le porrai de phase de l oscillaeur (courbe paramérique avec en abscisse x() e en ordonnée v()). Teser pour plusieurs valeurs de epsi e de x(0) (en pariculier «rès pei» ou «rès grand» ) x(), v() v() x() 2. Il s agi de l équaion différenielle d une bille jeée dans l air vers le hau avec des froemen quadraiques. 3. Il s agi ici de l équaion différenielle d un filre avec en enrée un signal sinusoïdal. En faisan varier ω, on pourra observer différens régimes. ( 4. Le erme ǫω 0 1 x 2 () ) () d es rès inéressan d un poin de vue de la physique : il crée une amplificaion lorsqu il es négaif, c es à dire si x es suffisammen faible, e une aénuaion si x es suffisammen élevé. On end vers un cycle limie dans le porrai de phase. PCSI Page 2/4
Inegraion numérique d ODE 2. Uilisaion d ODEINT La foncion odein de scipy nécessie elle aussi un sysème d équaion du premier ordre. Exercice n 5 Uilisez la foncion odein du module scipy.inegrae pour résoudre l équaion différenielle suivane correspondan au mouvemen d un pendule amori par des froemens fluides. θ + λ θ θ + ω 2 0 sin(θ) = 0 (ω 0 = 1 ; λ = 1 ; θ( = 0) = 3 ; θ( = 0) = 0) Dans un premier emps, on programmera la foncioneq(y,) qui renvoie une approximaion des dérivés des variables du sysème sous forme d une lise (comme dans le cours). Tracez ensuie l évoluion emporelle e la rajecoire de phase correspondane (dans deux figures séparées). On rappelle qu odein renvoie un ableau conenan les esimaions des différenes variables à chaque insan. 3. Méhode de Verle La méhode de Verle es fréquemmen uilisée en physique pour résoudre des équaions différenielles d ordre 2 (comme celles qui apparaissen en mécanique). Elle se base sur l approximaion suivane : y (x) y (x + 0,5) y (x 0,5) = y(x+) y(x) y(x) y(x ) = y(x + ) 2y(x) + y(x ) 2 Dans le cas d une équaion différenielle du ype y (x) = f(y(x),x), on en dédui le schéma d inégraion suivan : y(x + ) 2y(x) y(x ) + 2 f(y(x),x) Le premier pas de emps es raié à par puisque dans nore problème de Cauchy, nous disposons de y(x 0 ) e y (x 0 ). On uilise un développemen de Taylor à l ordre 2 : y(x 0 + ) = y(x 0 ) + y (x 0 ) + 1 2 y (x 0 ) 2 = y(x 0 ) + y (x 0 ) + 1 2 f(y(x 0),x 0 ) 2 1 iniialiser les variables ; 2 y[1] y[0] + y 0 + 2 ; 3 (Le premier pas de emps es raié à par en uilisan un développemen de Taylor car on ne dispose pas encore de θ au pas de emps précéden); 4 pour i 1 à n 1 faire 5 y[i + 1] 2y[i] y[i 1] + 2 6 fin PCSI Page 3/4
Inegraion numérique d ODE Exercice n 6 Inégrer à l aide de cee méhode l équaion différenielle suivane enre -1 e 4 : y (x) y + y 3 = sin(x) ; y( 1) = 0 ; y ( 1) = 0 IV Un exemple de problème y y 6y = 0 Inégrez avec la méhode de vore choix l équaion différenielle suivane : y(0) = 1 y (0) = 2 soluion exace es la foncion e 2 don la Exercice n 7 Tracez la soluion exace ainsi que vore soluion approchée pour 0 2, que pensez vous de vore résoluion numérique? Réponse 5 ci-dessous. Exercice n 8 Tracez la soluion exace ainsi que vore soluion approchée pour 0 13, que pensez vous de vore résoluion numérique? Réponse 6 ci-dessous. Exercice n 9 Expliquez ce phénomène. Réponse 7 ci-dessous. V Pour la prochaine fois Exercice n 10 Expliquer le principe de la méhode d Euler e en déduire le schéma correspondan pour résoudre une équaion différenielle de la forme y = f(y,) (oui... encore! c es imporan). Exercice n 11 Résoudre l équaion différenielle y = 3y sur [0,10] avec la condiion iniiale y(0) = 1. Tracez la soluion avec un pas = 0.68 e comparez avec la soluion exace e 3. Exercice n 12 On se propose de résoudre la même équaion différenielle avec un schéma implicie, c es y( + d) y() y( + d) y() à dire que le schéma = 3y() es remplacé par = 3y(+d). En d d déduire le nouvel algorihme e racer la soluion avec le même pas. Commener. 5. Réponse : Si vous avez bien codé, cela doi se superposer assez bien. 6. Réponse : Si vous avez bien codé, la soluion numérique doi diverger alors que que la soluion exace end vers 0 7. Réponse : les soluions générales de l équaion homogènes son de la forme Ae 2 + Be 3. À cause des arrondi, le faceur B qui devrai êre nul avec nos condiions iniiales ne l es pas ou à fai. La soluion éan une exponenielle croissane, même si B es de l ordre de 2 52, la soluion fini par diverger rès rapidemen PCSI Page 4/4
Inegraion numérique d ODE Table des maières I Méhode d Euler II Les bases III Pour le second ordre 1. Résoluion d un sysème du premier ordre 2. Uilisaion d ODEINT 3. Méhode de Verle IV Un exemple de problème V Pour la prochaine fois PCSI Lycée Poincaré