ROYAUME DU MAROC Minisère de l Éducaion Naionale, de l Enseignemen Supérieur, de la Formaion des Cadres e de la Recherche Scienifique Présidence du Concours Naional Commun 26 École Mohammadia d Ingénieurs EMI Concours Naional Commun d Admission aux Grandes Écoles d Ingénieurs ou Assimilées Session 26 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I Durée 4 heures Filière MP Cee épreuve compore 4 pages au forma A4, en plus de cee page de garde L usage de la calcularice es inerdi
L énoncé de cee épreuve, pariculière aux candidas du concours MP, compore 4 pages. L usage de la calcularice es inerdi. Les candidas son informés que la précision des raisonnemens ainsi que le soin apporé à la rédacion seron des élémens pris en compe dans la noaion. Les candidas pourron admere e uiliser le résula d une quesion non résolue s ils l indiquen clairemen sur la copie. Il convien en pariculier de rappeler avec précision les références des quesions abordées. Si, au cours de l épreuve, un candida repère ce qui peu lui sembler êre une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie e poursui sa composiion en expliquan les raisons des iniiaives qu il es amené à prendre. Définiions e noaions Dans ce problème, E désigne le R -espace vecoriel des applicaions coninues de R + dans R, e E 2 le sous ensemble de E formé des applicaions de carrés inégrables sur R +. À oue foncion f E on associe la foncion, noée ψ(f), définie sur R + par ψ(f)() = f() e x >, ψ(f)(x) = 1 x f() d. Si Φ es un endomorphisme de E, on di que λ R es une valeur propre de Φ s il exise f E el que Φ(f) = λf e f ; dans ce cas, on di que f es un veceur propre de Φ associé à λ e Ker (Φ λid E ) s appelle alors le sous-espace propre de Φ associé à la valeur propre λ. 1. Soien a e b deux réels sricemen posiifs. Première parie 1-1. Monrer que la foncion e a e b es inégrable sur ], + [. + e a e b Dans la suie, on pose I(a, b) = d. 1-2. Monrer que I(a, b) = I(b, a) e que I(a, b) = I(1, b/a). + e e x 1-3. On noe ϕ l applicaion définie, pour ou x 1, par ϕ(x) = d. 1-3-1. Monrer que ϕ es coninue sur l inervalle [1, + [. 1-3-2. Monrer que ϕ es de classe C 1 sur l inervalle [1, + [ e calculer ϕ (x) pour x 1. 1-3-3. Que vau alors ϕ(x) pour x 1? 1-4. En déduire soigneusemen la valeur de l inégrale I(a, b) en foncion de a e b. 2. 2-1. Monrer que la foncion ln(1 + ) es inégrable sur l inervalle ], 1]. 2-2. Préciser le rayon de convergence e la somme de la série enière ( 1) n n + 1. n 2-3. Monrer que cee série enière converge uniformémen sur le segmen [, 1]. 2-4. On rappelle que + n=1 1 n 2 = π2 ; monrer alors que 6 1 ln(1 + ) d = π2 12. Épreuve de Mahémaiques I 1 / 4 Tournez la page S.V.P. xn
Deuxième parie 1. Soi f un élémen de E ; on noe g la foncion définie sur R + par x, g(x) = f() d. 1-1. Jusifier que g es de classe C 1 sur R + e que la foncion ψ(f) es un élémen de E. 1-2. On suppose que la foncion f end vers une limie finie λ lorsque x end vers + ; monrer qu il en es de même de la foncion ψ(f). Éudier la réciproque. 1-3. Que peu-on dire dans le cas où cee limie es égale à +? 1-4. On pose h(x) = xf(x), x. 1-4-1. Monrer que g ψ(g) = ψ(h). 1-4-2. En déduire que si f es inégrable sur [, + [ alors ψ(h) adme comme limie en +. Éudier la réciproque. 1-5. Monrer que si f es posiive alors, ψ( f) ψ(f) ; dans quel cas y a -il égalié? 2. 2-1. Monrer que ψ es un endomorphisme de l espace vecoriel E. 2-2. Monrer que ψ es injecif. 2-3. L endomorphisme ψ es-il surjecif? 3. Soi λ un réel non nul. 3-1. Déerminer les applicaions f de ], + [ dans R dérivables e vérifian x >, λxf (x) + (λ 1)f(x) =. 3-2. Pour quelles valeurs du réel λ ces foncions son-elles prolongeables à droie en? 4. 4-1. Es-ce que es valeur propre de ψ? 4-2. Monrer que si f E es un veceur propre de ψ associé à une valeur propre µ alors f es une foncion dérivable sur ], + [. 4-3. Déerminer l ensemble des valeurs propres de ψ e préciser pour chacune d elles le sousespace propre associé. Troisième parie 1. 1-1. Monrer que si f e g son deux élémens de E 2, leur produi fg es une foncion inégrable sur R +. 1-2. Monrer alors que E 2 es un sous-espace vecoriel de E. 1-3. Monrer que l applicaion (f, g) + f()g() d es un produi scalaire sur E 2. Dans la suie, ce produi scalaire se noera (..) e. désignera la norme associée. 2. Soi f un élémen de E 2 ; on noe oujours g la foncion définie sur R + par x, g(x) = f() d. Épreuve de Mahémaiques I 2 / 4
2-1. Calculer la limie en + de la foncion g2 (). 2-2. Monrer que, pour ou réel b >, la foncion g2 () 2 es inégrable sur ], b] e que ψ(f) 2 () d = 2-3. En déduire que, pour ou réel b >, g 2 () 2 d = bψ(f) 2 (b) + 2 f()ψ(f)() d. (1) ( ) 1 ( ψ(f) 2 () d 2 f 2 2 b ) 1 () d ψ(f) 2 2 () d. 2-4. Conclure que ψ(f) E 2 e que ψ(f) 2. 2-5. On noe ψ 2 l endomorphisme indui par ψ sur E 2. Que peu-on alors dire de ψ 2 en an qu endomorphisme de l espace vecoriel normé (E 2,. )? 3. Soi f un élémen de E 2. 3-1. En uilisan la formule (1) monrer que la foncion x xψ(f) 2 (x) end vers lorsque x end vers +. 3-2. Monrer alors que (ψ(f) ψ(f)) = 2(f ψ(f)). 4. Soi f E 2 une foncion elle que ψ(f) = 2. Calculer ψ(f) 2f 2 e monrer que f es la foncion nulle. Quarième parie 1. On considère un réel a > e on noe f a la foncion définie sur R + par f a (x) = e ax, x. 1-1. Monrer que la foncion f a E 2 e calculer f a 2. 1-2. Calculer ψ(f a )(x) pour ou x puis donner les valeurs de (f a ψ(f a )) e de ψ(f a) f a. 2. On considère la foncion f définie sur R + par f(x) = 1, x. x + 1 2-1. Calculer ψ(f)(x) pour ou x. 2-2. Vérifier que f E 2 e monrer que (f ψ(f)) = 2-3. Trouver une primiive de la foncion 1 ln(1 + ) ( ln(1 + ) + ln 1 + ln ) d. 1 + puis calculer ψ(f). 3. Monrer plus généralemen que si f E 2 es posiive, décroissane e non nulle, alors ψ(f) > 2. 4. 4-1. Monrer que l applicaion f ψ(f) es coninue sur E 2 \ {}. 4-2. En déduire que ψ(f) ; f E 2 \ {} es un inervalle conenu dans ], 2[. Épreuve de Mahémaiques I 3 / 4 Tournez la page S.V.P.
5. Dans cee quesion, on va monrer ces deux ensembles coïnciden. 5-1. Pour ou s ] 1, 1 2 [ on noe f s la foncion définie sur R + par f s () =, f s () = s si 1, e f s affine sur [, 1]. 5-1-1. Vérifier que f s E 2 e calculer f s 2 en foncion de s puis en donner un équivalen lorsque s end vers 1 2. 5-1-2. Calculer ψ(f s ) 2 en foncion de s e en donner un un équivalen lorsque s end vers 1 2. 5-1-3. En déduire que la borne supérieure de l ensemble ψ(f) ; f E 2 \ {} vau 2. 5-2. Soi α > ; on noe f la foncion définie sur R + par f() = α si [, 1], e f() = α 1 si [1, + [. 5-2-1. Vérifier que f E 2 e calculer 2 en foncion de α. 5-2-2. Calculer ψ(f) 2 en foncion de α e en donner un équivalen au voisinage de +. 5-2-3. En déduire que la borne inférieure de l ensemble ψ(f) ; f E 2 \ {} es nulle. FIN DE L ÉPREUVE Épreuve de Mahémaiques I 4 / 4 FIN