LES NOMBRES COMPLEXES Dans tout ce chapitre, R est identifié au plan euclidien qu on a muni d un repère orthonormal direct (O, u, v). 1.1. Définition. 1. LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES Définition-Proposition 1.1. L ensemble C est défini comme l ensemble des couples de réels (a,b) muni de deux lois internes + et définies par (a,b) + (a,b ) (a + a, b + b ), (a,b) (a,b ) (aa bb, ab + a b). Ces lois sont commutatives, associatives, et la multiplication est distributive sur l addition. L élément (0,0) est neutre pour l addition et (1,0) neutre pour la multiplication. Tout élément (a,b) admet ( a, b) comme opposé pour l addition. Tout élément (a,b) (0,0) admet un inverse pour la multiplication puisque ( a (a,b) a + b, b ) a + b (1,0). Ainsi défini, (C,+, ) est un corps communatif. L application de R dans C qui a tout x réel associe (x,0) est injective et est un morphisme de corps. En effet, (x,0) + (y,0) (x + y,0), Ainsi on identifie x et (x,0) ainsi que R {0} avec R. (x,0) (y,0) (x y,0). Dans cette construction, les racines carrées de 1 sont i (0,1) et i (0, 1). Par ailleurs, (a,b) (a,0)(1,0) + (b,0)(0,1) a1 + bi a + ib. Définition 1. (forme algébrique). Si z est un complexe, il existe un unique couple de réels (x,y) tel que z x + iy. Les réels x et y sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire du complexe z et sont notés : x R(z), y I(z). Un nombre complexe de la forme iy avec y réel, est appelé imaginaire pur. Exercice 1.3. Déterminer les parties réelle et imaginaire de (1 + i), 3 + 6i 3 4i. Définition 1.4. Soit M un point du plan de coordonnées (x,y). On appelle affixe de M, le nombre complexe x + iy ; inversement M est appelé l image de x + iy. Soit u un vecteur de coordonnées (x,y). On appelle affixe de u le nombre x + iy. Dans la mesure où on a identifié R, C et le plan euclidien, on a en réalité M (x,y) x + iy. 1
LES NOMBRES COMPLEXES 1.. Conjugué et module d un nombre complexe. Définition 1.5. Soit z un nombre complexe. On appelle conjugué de z le nombre complexe, noté z, défini par z R(z) ii(z). On appelle module de z, noté z le réel positif ou nul défini par z R(z) + I(z). Proposition 1.6. Pour tous nombres complexes z et z, on a : R(z) z + z z z, I(z), z z, z + z i z + z, zz zz, z 0 z 0, R(z) z, I(z) z, z z z, zz z z, z z z + z z + z. Démonstration. On se contente de démontrer l inégalité triangulaire. z + z z + z ( z + z ) z + z z + z z + z (z + z )( z + z ) z + z z + z z + z + z z + zz z z z z + z z z z R(z z ) z z R(z z ) Théorème 1.7. Soit A un point d affixe a et r > 0. (i) Le cercle de centre A et de rayon r est l ensemble {z C; z a r}. (i) Le disque fermé de centre A et de rayon r est l ensemble {z C; z a r}. (i) Le disque ouvert de centre A et de rayon r est l ensemble {z C; z a < r}. 1.3. Forme trigonométrique et exponentielle. Définition 1.. Soit t R. On appelle exponentielle (de) it, notée e it, le nombre complexe : e it cost + isint. Remarque 1.9. La notation e it, qui cache un cosinus et un sinus n est qu une notation : e it n est pas e à la puissance it, ce qui n a aucun sens, car la fonction exponentielle classique n est définie que sur R. Ce choix est justifié par l assertion du théorème suivant, où l on montre que e it se comporte comme l exponentielle classique. Théorème 1.10. Soient s, t R et n N. (i) cost eit + e it et sint eit e it. (Formules d Euler) i (ii) e it 0, e it 1 et e it e it. (iii) e i(t+s) e it e is. (iv) e int (e it ) n. (Formule de Moivre) Démonstration. (iii) Montrons que e i(t+s) e it e is. e it e is [cost + isint][coss + isins] cost coss sint sins + i(sint coss + cost sins) cos(t + s) + isin(t + s) e i(t+s). (iv) Montrons que e int (e it ) n. Supposons t fixé et raisonnons par récurrence sur n.
LES NOMBRES COMPLEXES 3 (I) : (e it ) 0 1 e i0 t. (H) : Soit n N. On suppose que e int (e it ) n. Montrons que e i(n+1)t (e it ) n+1. On a e i(n+1)t e it e int e it (e it ) n (e it ) n+1. Définition 1.11. Soit z un nombre complexe, on définit exponentielle de z, noté e z, comme le nombre complexe e z e R(z) e ii(z). Théorème 1.1. Pour tous z, z C, e z+z e z e z. Définition 1.13. Soit z C. On appelle argument de z un réel θ tel que z z e iθ. Il existe un unique argument de z compris dans l intervalle ] π,π] : on l appelle l argument principal de z et on le note arg(z). L écriture z z e iarg(z) est appelée forme trigonométrique de z. Remarque 1.14. On note que 0 n a pas d argument.. RACINES n-ièmes.1. Cas général. Pour tout entier naturel n, nous supposons connue la fonction n racine n-ième sur R +, la fonction réciproque de la fonction x x n bijective de R + dans R +. La fonction n est donc définie par x,y R +, y n x x y n. Pour n, on parle de racine carrée et on note simplement. Définition.1. Soient z C et n N. on appelle racine n-ième de z tout nombre complexe ζ tel que z ζ n. Les racines n-ièmes de 1 sont généralement appelées les racines n-ièmes de l unité. Leur ensemble est noté U n. Remarque.. Si z est un nombre complexe qui n est pas un réel positif ou nul, la notation n z est interdite. Théorème.3. Soit n N. La seule racine n-ième de 0 est 0. Soit z C, donné sous une forme trigonométrique z re it. Alors z possède exactement n racines n-ièmes ; ce sont les nombres complexes n re it+iπk n, k décrivant l ensemble {0,1,...,n 1}. { } En particulier, U n e iπk n 1 n. k0 Démonstration. Faite en classe... Racines carrées. Voici une méthode pour déterminer une racine carrée δ d un nombre complexe donnée sous forme algébrique z a + ib. Soient x et y deux réels tels que δ x + iy. On a alors { δ z x y x + ixy a + ib y a xy b. On a de plus δ z, ce qui entraîne x + y a + b.
4 LES NOMBRES COMPLEXES On a donc trois équations qui forment le système suivant : x y a x + y a + b xy b On n a plus qu à résoudre tranquillement ce système pour en déduire les racines carrées de z. Remarque.4. Si z est donné sous forme trigonométrique, il suffit d appliquer le théorème général. Exercice.5. Déterminer les racines carrées de 1 + 5i. Théorème.6. Soient a, b, c C avec a 0. Les solutions de l équation az + bz + c 0 d inconnue z C sont b ± δ, où δ est une racine carrée du discriminant b 4ac. a. 3. LINÉARISATION On utilise la linéarisation pour calculer des primitives de fonctions circulaires ou des intégrales faisant intervenir des fonctions circulaires. Par exemple, comment détermine-t-on une primitive 1 de la fonction t cos 3 (t)? La méthode consiste à se ramener à une somme de fonctions dont on connaît la primitive, ici des fonctions du type t cos(at) et t sin(at). Pour ce ramener à une écriture sous forme de somme de fonctions circulaires, on va utiliser les formules d Euler. Traitons par exemple l exercice 1.19. du poly d exercices. cos 3 ix + e ix ) 3 1 ( e 3ix + 3e ix + 3e ix + e 3ix) 1 (cos(3x) + 6cos(x)) cos(3x) + 3cos(x) 4 On en déduit qu une primitive de t cos 3 (t) est t 1 1 sin(3x) 3 4 sin(x). Je donne la linérisation pour les 4 fonctions suivantes. sin 3 ix e ix ) 3 i 1 ( e 3ix 3e ix + 3e ix e 3ix) i 1 (isin(3x) + 6isin(x)) i sin(3x) + 3sin(x) 4 1 Une primitive est une fonction F qui vérifie pour tout réel t, F (t) cos 3 (t)
LES NOMBRES COMPLEXES 5 cos 4 ix + e ix ) 4 1 ( e 4ix + 4e ix + 6 + 4e ix + e 4ix) 1 (cos(4x) + cos(x) + 6) cos(4x) + 4cos(x) + 3 ) 4 sin 4 ix e ix i 1 ( e 4ix 4e ix + 6 4e ix + e 4ix) 1 (cos(4x) cos(x) + 6) cos(4x) 4cos(x) + 3 4 cos (x)sin ix + e ix ) ix e ix ) i 1 ( e ix + + e ix) ix + e ix) 1 ( e 4ix e ix + 1 + e ix 4 + e ix + 1 e ix + e 4ix) 1 (cos(4x) ) 1 cos(4x) Autre manière cos (x)sin cos (x) ( 1 cos (x) ) cos (x) cos 4 (x) 1 + cos(x) cos(4x) + 4cos(x) + 3 4 + 4cos(x) cos(4x) 4cos(x) 3 1 cos(4x)
6 LES NOMBRES COMPLEXES Pour la suite je ne donne que les résultats cos(x)sin 3 sin(x) sin(4x) cos 3 sin(x) + sin(4x) (x)sin cos 3 (x)sin cos(x) cos(5x) cos(3x) cos (x)sin 3 sin(3x) + sin(x) sin(5x) cos(x)sin 4 cos(5x) 3cos(3x) + cos(x)