Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction

2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux du cours. Elles ne remplcent ni un polycopié complet, ni le cours lui-même. Un polycopié du cours de F. Géndier donné en 29/2 se trouve à l dresse : http://www.iecn.u-nncy.fr/ gendier/ Chpitre : Fonctions nlytiques - introduction Les fonctions dites nlytiques sont des fonctions qui ont des propriétés encore meilleures que celles des fonctions différentibles. Rppelons que les fonctions différentibles dmettent une pproximtion, en un point x donné, pr une fonction polynomile : c est l fmeuse formule de Tylor f(x + h) = f(x ) + f (x )h + 2 f (x )h 2 +... + k! f (k) (x )h k + R k (x, h). Le point essentiel du théorème de Tylor est de fournir un bon contrôle du terme reste R k (x, h) (que l on peut écrire sous forme d une intégrle, ou sous d utres formes). En clcul différentiel, on s intéresse principlement u comportement de ce terme qund h tend vers : s contribution (pour k fixé) est négligeble envers les utres termes qui sont polynomiles en h, insi f est pprochée, u voisinge de x, pr le polynôme p(h) = + h + 2 h 2 +... + k h k, vec i = i! f (i) (x ). Une utre question importnte concerne le comportement du terme reste qund k tend vers l infini (et h et x restent fixés). Les fonctions nlytiques sont précisément celles pour lesquelles le terme reste tend vers :.. Définition. Une fonction f : I R définie sur un intervlle I est dite nlytique si elle est de clsse C et si, pour tout x I, et pour tout h dns un voisinge de, on lim R k(x, h) =. k On écrit lors f(x) = i= i(x x ) i (vec i = i! f (i) (x )), pour x u voisinge de x. Cette dernière écriture suggère un utre point de vue :.2. Définition. Une série entière convergente est l donnée d une suite,,... telle que, pour tout x dns un voisinge de, l limite suivnte existe j= j x j := lim k k j x j. j=

Un vntge de cette définition est qu elle un sens tout ussi bien pour les nombres complexes que réelles. On peut lors démontrer l équivlence suivnte :.3. Théorème. Pour une fonction f : I R sont équivlents : () f est nlytique ; (2) pour tout x I, il existe une série entière convergente telle que, u voisinge de x, f(x) = j (x x ) j. j= Comme dit ci-dessus, l vntge de l formultion (2) est qu elle un sens ussi bien pour une fonction f : U C définie sur un ouvert U de C. On dit lors que f est (complexe) nlytique. Un objectif principl du cours ser l étude des séries entières et des fonctions nlytiques. On montrer que prtiquement toutes les fonctions élémentires sont en effet nlytiques, ce qui permettr de les définir et étudier de fçon rigoureuse, non seulement sur les domines réelles, mis ussi sur des domines complexes..4.exemple. Supposons qu il existe une fonction nlytique telle que f = f et f() =. Alors, pr récurrence, on f (k) = f pour tout k, et donc les coefficients de Tylor de f u point x = sont k = f (k) () =, et insi f est donnée pr l série entière k! k! f(x) = j= j! xj. Nous llons montrer que cette formule définit en effet une fonction nlytique, l fonction exponentielle c est l fonction l plus importnte en mthémtiques. De fçon similire on étudier d utres fonctions élémentires. Voici une liste de telles fonctions et de leurs séries entières : exp(x) = sin(x) = cos(x) = sh(x) = ch(x) = log( + x) = ( + x) α = j= j= j= j= j! xj ( ) j (2j + )! x2j+ ( ) j (2j)! x2j (2j + )! x2j+ j= (2j)! x2j j= ( ) j j + xj+ = x x2 2 + x3 3 +... j= ( ) ( ) α α x j α(α ) (α j + ) où = j j j! 2

Pour toutes ces formules, il fut bien vérifier pour quels x R, resp. pour quels x C, elles sont vlbles. Afin de définir des fonctions nlytiques un peu moins élémentires, nous urons besoin d intégrles générlisées (qui portent sur des intervlles quelconques), comme pr exemple Γ(z) := qui définit l importnte fonction Gmm. t z e t dt Il ne fut ps croire que toute fonction différentible est nlytique : les exemples suivnts donnent des contre-exemples (cf. TD)..5. Exemple. L fonction f : R R, f(x) := { x si x > si x est de clsse C (= continue), mis non de clsse C. L fonction f : R R, f(x) := { x 2 si x > si x est de clsse C, mis non de clsse C 2, etc. Exercice : l fonction f : R R, f(x) := { e x si x > si x est de clsse C, mis non C ω (on écrit C ω pour l clsse des fonctions nlytiques). Ainsi l chine d inclusions de clsses C C C 2... C C ω est stricte. Un utre point de vue sur les fonctions nlytiques consiste à remplcer les monômes f n (x) = x n, qui pprissent dns le développement n nx n, pr d utres fonctions f n, pr exemple pr d utres polynômes, ou pr des fonctions trigonométriques comme f n (x) = sin(nx). Ce dernier choix est prticulièrement dpté us fonctions périodiques, et il mène à l notion de séries de Fourier que nous llons étudier à l fin du cours. Chpitre 2 : Séries notions de bse 2.. Définition. Une série numérique (réelle ou complexe), de terme générl u n, est une suite (S n ) n N, de l forme n S n = u k. k= On dit qu elle est convergente si l suite (S n ) converge u sens usuel, et dns ce cs on écrit u k := lim S n. n k= 2.2. Exemple : l série géométrique. Soit h C et u n = h n. On sit qu lors S n = + h +... + h n = hn+ h, 3

et cette suite converge ssi h <, et dns ce cs s limite est k= hk = lim S n = h. 2.3. Exemple : l série hrmonique. Soit u =, u n = n. Alors l série n u n ne converge ps (elle diverge). En effet, les sommes + 2 + 3 + + } {{ 4} 5 + 6 + 7 + + } {{ 8} 9 +... + +... } {{ 6} 2/4 4/8 8/6 ne sont ps bornées, donc ne définissent ps une suite convergente (nous encourgeons le lecteur de fire une similtion numérique du tbleu (n, S n )). 2.4. Exemple : l série hrmonique lternée. Soit u =, u n = ( ) n+. Alors l série n n u n converge (exercice ; pproche systémtique plus trd). 2.5. Exemple : les sommes télescopiques. Soit b n une suite quelconque et u := b et u n := b n b n si n. Alors S n = b + (b b ) + (b 2 b ) +... + (b n b n ) = b n, et insi l suite b n converge ssi l série k u k converge. Plus générlement, cet exemple montre que toute suite numérique peut être vue comme une série, et réciproquement : il s git u fond du même objet. Ainsi, les preuves des résultts suivnts sont simplement des ré-interpréttions de resultts connus pour les suites : 2.6. Théorème (Critère de Cuchy pour les séries). Une série (réelle ou complexe) un converge si, et seulement si, pour tout ε >, il existe N N tel que pour tout m n N, m u k < ε. k=n Rppelons que l impliction non-trivile de ce théorème repose sur l complétude des nombres réels. Remrquons ussi que, si l série converge, pour m = n, il s ensuit que u n < ε, insi u n converge nécessirement vers. L exemple de l série hrmonique montre que l réciproque est fusse : n converge vers, mis n= diverge. n 2.7. Théorème (Somme et multiples). L somme n (u n + v n ) de deux séries convergentes n u n et n v n est convergente, et un multiple sclire n cu n d une série convergente est convergente. Pour les limites on (u k + v k ) = k= u k + v k, k= k= cu k = c u k. k= k= Ainsi V := {(u n ) n N n u n converge} est un espce vectoriel sur R, resp. sur C. 2.8. Théorème (Monotonie) Soit u n pour tout n. Alors l série n u n converge si, et seulement si, l suite des sommes prtielles S n = n k= u n est bornée. 2.9. Définition. Une série réelle ou complexe n u n est dite bsolument convergente si l série des vleurs bsolues u n converge. Exemple. L série hrmonique lternée converge, mis elle ne converge ps bsolument. 4

2.. Théorème (Convergence bsolue). Toute série bsolument convergente est convergente, et de plus on u n u n. 2.. Théorème (Comprison de séries). Soit c n une suite telle que c n converge. Si (u n ) n N est une suite réelle ou complexe telle que u n c n pour (presque) tout n N, lors n u n converge bsolument. Remrque. Le mot presque veut dire ici : à un nombre fini d exceptions près (on peut toujours modifier, rjouter ou enlever un nombre fini de termes dns une série sns chnger l nture convergente ou non de cette série!). 2.2. Théorème ( Règle de Cuchy ). Soit (u n ) n N une suite réelle ou complexe. S il existe q R vec q < et C > tels que u n Cq n pour (presque) tout n N, lors l série n u n converge bsolument. 2.3. Théorème ( Règle de D Alembert ). Soit (u n ) n N une suite réelle ou complexe. S il existe q R vec q < tel que u n+ q u n pour (presque) tout n N, lors l série n u n converge bsolument. 2.4. Exemple. Soit u n =. Alors u n+ n! u n = n! = < q = /2 pour tout n > 2, (n+)! n+ donc l série n converge bsolument. L limite s ppelle le nombre d Euler, noté e. n! Clculer les sommes prtielles S, S 2, S 3,... à l ide d une clcultrice! Chpitre 3 : L fonction exponentielle Le lecteur oublier temporirement ses connissnces éventuelles sur l fonction exponentielle : motivé pr l exemple.4, nous llons l (re-)définir et étudier de fçon rigoureuse. 3.. Théorème (L série exponentielle). Pour tout x R et tout x C, l série n! xn converge bsolument. S limite est notée exp(x) ou e x. Remrque. À l pge http://fr.wikipedi.org/wiki/exponentielle on trouve une belle illustrtion montrnt comment les sommes prtielles S,..., S 8 pprochent e x. 3.2. Théorème (Éqution fonctionelle). Pour tout z, w C, e z+w = e z e w. 3.3. Corollire (Homomorphisme de groupes). Pour tout z C, e z e z =, insi e z. Les pplictions suivntes sont donc bien définies: exp C : C C, z e z, exp R : R R, t e t, et ce sont des homomorphismes de groupes (de (K, +) vers (K, ), où K = R ou C). Le théorème 3.2 est le résultt clé de ce chpitre. Pour le prouver, il fut multiplier les deux séries n n! zn et n n! wn, puis comprer le résultt vec n (z + n! w)n. Cette comprison repose sur des propriétés générles des séries bsolument convergentes que nous llons triter plus en détil dns le chpitre suivnt. 3.4. Théorème (Positivité de l exponentielle). Pour tout t R et z C, on exp(t) >, exp z = exp(z). 5

Exercice. Montrer que e x = lim n ( + x n )n. 3.5. Théorème (Dérivée de l exponentielle réelle). () L fonction exp R : R R est continue. (b) L fonction exp R : R R est différentible, et exp = exp. (c) L fonction exp R : R R est de clsse C et exp (k) = exp. L preuve repose de fçon essentielle sur l éqution fonctionelle, et elle donne une excellente occsion de revoir les définitions d une fonction continue et d une fonction différentible. De plus, les mêmes rguments montrent: 3.6. Théorème (Dérivée de l exponentielle complexe). () L fonction exp C : C C est continue. (b) L fonction f := exp C : C C est C-différentible (on dit ussi : holomorphe) u sens suivnt : pour tout z C, l limite f (z) := f(z + w) f(z) lim C w,w w existe, et vec cette définition, on (exp C ) (z) = exp C (z). 3.7. Corollire. L fonction exp R : R R + est monotone et bijective. Attention : on verr plus trd que exp C : C C est surjective, mis non injective. 3.8. Théorème (Solution d éqution différentielle). Soient, c R. Alors il existe une unique fonction différentible f : R R telle que f = f et f() = c, à svoir f(x) = ce x. L exponentielle mtricielle. L exponentielle réelle ou complexe dmet plusieures générlistions importntes, souvent liées à des équtions différentielles ordinires. 3.9. Théorème (Exponentielle d une mtrice). Soit A M(m, m; R) une mtrice crrée. Alors chque coefficient (S n ) ij de l suite de mtrices S n := n k= k! Ak est une série bsolument convergente, et insi l limite e A := A k k= existe dns k! M(m, m; R). Si AB = BA (i.e., A et B commutent), lors e A+B = e A e B. En prticulier, e A e A = m (mtrice unité), et insi l mtrice e A est inversible vec mtrice inverse e A. L ppliction exp : M(m, m; R) GL(m, R), A e A est donc bien définie. Pour comprendre l exponentielle mtricielle, il est indispensble de clculer e A pour quelques exmples de mtrices prticulières (pr exemple, digonles, tringulires, etc. cf. TD). 6

Chpitre 4 : Séries bsolument convergentes En générl, il fut être prudent en effectunt une opértion qui consiste à intervertir deux limites. Heureusement, pour les séries bsolument convergentes, prtiquement toutes ces opértions sont licites : 4.. Théorème (Permuttion d indices). Soit u n une série (réelle ou complexe) bsolument convergente, et soit σ : N N une permuttion (i.e., une bijection). Alors l série u σ(n) est, elle ussi, bsolument convergente, et les deux limites coïncident. 4.2. Remrque. Si l série est convergente, mis ps bsolument convergente (i.e., semi-convergente), le résultt devient fux (cf. TD). On peut même montrer que, dns ce cs, et si K = R, n importe quel nombre réel r peut être tteint comme limite u σ(n) pour une permuttion convenble. 4.3. Définition. Rppelons qu un ensemble I est dit dénombrble s il existe un dénombrement, i.e., une bijection φ : N I. Si φ : N I est un utre dénombrement, lors σ := φ φ est une permuttion de N. Ainsi, si (u i ) i I est une fmille de nombres réels ou complexes indexée pr I, l série i= u φ(i) converge bsolument si, et seulement si, c est le cs de i= u φ (i). Nous écrivons lors i I u i pour s limite, et nous dirons que l série i I u i converge bsolument. Rppelons ussi que N N (l ensemble des points à coordonnées entières non-négtives dns le pln) est dénombrble. Essentiellement, choisir un dénombrement revient à choisir une fmille A A A 2... de prties finies de N N qui est exhustive (i.e., pour tout (i, j) N N, il existe k N tel que (i, j) A k ; représenter plusieurs tel choix grphiquement!). Une fmille de nombres réels ou complexes (u n,m ) (n,m) N N indexée pr N N s ppelle une suite double. 4.4. Théorème (Théorème de Fubini pour les séries doubles). Soit (u n,m ) (n,m) N N une suite double. Alors sont équivlentes : () L série double (m,n) N N u n,m converge bsolument vers une limite L; (2) pour tout n N fixé, l série m= u n,m converge vers une limite notée A n, et l série A n converge (lors les limites n = m= u n,m et S := n existent); (3) pour tout m N fixé, l série u n,m converge vers une limite notée B m, et l série m= B m converge (lors les limites m = u n,m et S := m= b m existent). Si ces propriétés sont vérifiées, lors les trois limites coïncident : L = S = S, i.e., (m,n) N N u n,m = ( u n,m ) = m= ( u n,m ). Ce résultt est à voir en nlogie vec l importnt théorème de Fubini en théorie d intégrtion, qui dit que (sous une hypothèse de convergence) ( f(, b) ddb = f(, b) db ) ( d = f(, b) d ) db. m= A B A B B A 7

Attention : pour une série double semi-convergente, comme pr exemple de terme générl u n,m =, les limites dns (2) et (3) peuvent exister sns être égles (ou encore, l une m 2 n 2 existe, mis non l utre). 4.5. Théorème (Produit de séries bsolument convergentes). Soient n u n et n v n deux séries bsolument convergentes, et posons w n := n k= u kv n k. Alors l série n w n converge bsolument, et s limite est w n = ( u n ) ( v n ). Pour l preuve, il suffit d ppliquer le théorème de Fubini à l suite double u n,m := u n v m, en utilisnt un dénombrement φ : N N N, n (φ (n), φ 2 (n)) ynt l propriété que n n implique φ (n) + φ 2 (n) φ (n ) + φ 2 (n ). Finlement, dns le cs prticulier u n = x n!, v m = y m!, ce théorème ensemble vec l formule du binôme pour (x + y)n nous donne l éqution fonctionelle e x+y = e x e y. Chpitre 5 : Les fonctions hyperboliques et trigonométriques A. Fonctions hyperboliques. Heuristique. Ces fonctions sont des solutions de l éqution différentielle f = f. Si on pose g := f, l condition f = f est équivlente ux deux conditions f = g } g. = f 5.. Théorème (Solution de f = f). Soient, b R. Alors il existe une unique fonction f : R R de clsse C 2 telle que f = f et f() =, f () = b, à svoir f(x) = + b 2 ex + b 2 e x. Preuve. Unicité : étnt donnée f, poser φ := f + f et ψ = f f. Alors φ = f + f = f + f = φ, φ() = + b, et ψ = ψ, ψ() = b. Le théorème 3.8 implique que φ(x) = ( + b)e x et ψ(x) = ( b)e x, ce qui donne f comme dns l énoncé. Existence : vérifiction immédite! 5.2. Définition. Les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique sont définies pr sh : C C, sh(x) := ex e x, ch : C C, ch(x) := ex + e x. 2 2 5.3. Théorème. Les fonctions sh et ch sont données pr les séries sh(x) = j= (2j + )! x2j+, ch(x) = j= (2j)! x2j qui convergent bsolument pour tout x C, elles sont C-différentibles et elles stisfont le système d équtions différentielles ch = sh, sh = ch vec condition initile ch() =, sh() =. Remrque : les règles bsiques du clcul différentiel sur C sont les mêmes que sur R, pr exemple, (f + g) = f + g, (f g) (x) = f (g(x))g (x), etc., de sorte que les équtions ch = sh et ch = sh sont bien vérifiées sur C. 8

Étude des fonctions ch et sh sur R : sh est impire, monotone, et bijective R R ; ch est pire, et s restriction à R + (resp. à R ) est monotone et bijective R ± [, [. B. Fonctions trigonométriques. Heuristique. L éqution différentielle f = f joue un rôle fondmentl en physique cr elle décrit l oscillteur hrmonique. Elle équivut u système f = g } g. = f Mlheureusement, ucune des fonctions f(x) = e cx vec c R n en est une solution, insi on ne peut ps recopier l preuve donnée ci-dessus. 5.4. Théorème (Solution de f = f). Soient, b R. Alors il existe une unique fonction f : R R de clsse C 2 telle que f = f et f() =, f () = b. Preuve. Unicité. Si f et f 2 sont deux solutions, posons u := f f 2 et v := u. Alors v = u, u() =, v() =. On définit le wronskien de u, v pr w(t) := u (t)v(t) v (t)u(t) = v 2 (t) + u 2 (t). Alors w = 2vv + 2uu = 2uv 2uv =, insi w est constnte sur R. L constnte est = w() = v 2 () + u 2 () =, donc v 2 (t) + u 2 (t) = pour tout t, donc v(t) = = u(t), donc f = f 2. Existence. Le plus simple est d utiliser l exponentielle complexe : pour x R, l prtie réelle de e ix est cos(x) := eix +e ix = eix +e ix, et s prtie imginire 2 2 sin(x) := eix e ix. En utilisnt le théorème 3.6 (b), on trouve que sin = cos et cos = sin, 2i d où cos = cos, et comme cos() =, sin() =, f := cos +b sin est une solution. 5.5. Définition. Les fonctions sinus et cosinus sont définies pr sin : C C, x eix e ix 2i = i sh(ix), cos : C C, x eix + e ix 5.6. Théorème. Les fonctions sin et cos sont données pr les séries sin(x) = j= ( ) j (2j + )! x2j+, cos(x) = j= ( ) j (2j)! x2j 2 = ch(ix). qui convergent bsolument pour tout x C, et elles stisfont le système d équtions différentielles cos = sin, sin = cos vec condition initile cos() =, sin() =. Elles vérifient, pour tout x C, les reltions cos x + i sin x = e ix, cos 2 x + sin 2 x =. 5.7. Théorème. Pour tout t R, cos t et sin t sont réelles, et on R(e it ) = cos(t), I(e it ) = sin(t) et e it =. L ppliction Φ : R S := {z C z = }, t e it est un homomorphisme de groupes : Φ(t + s) = Φ(t) Φ(s), Φ() =. Nous llons déterminer le noyu de l homomorphisme Φ, ker Φ = {t R Φ(t) = } = {t R e it = } = {t R cos t =, sin t = }, 9

et en déduire l périodicité des fonctions sin et cos. Le lecteur est prié d oublier temporirement ses connissnces sur l décomposition polire des nombres complexes : celle-ci ser rigoureusement étblie en même temps. On n dmetter que les fits bsiques sur C (écriture R ir, vleur bsolue donnée pr z = z z). Avnt tout, nous devons donner une définition rigoureuse du nombre π! Nous suivons ici l définition l plus cournte en nlyse (voir pour plus d informtion : http://fr.wikipedi.org/wiki/pi, ou encore, plus encyclopédique, le livre Autour du nombre pi pr Pierre Eymrd (un éminent mthémticien nncéin) et Jen-Pierre Lfon, éd. Hermnn, Pris 999, ISBN : 2 756 443 5). 5.8. Lemme. Il existe un unique nombre ρ ], 2[ tel que cos(ρ) =. On peut donner plusieurs preuves différentes : l une consiste en une mnipultion directe des séries de sin et de cos pour montrer que sin(t) > pour tout t ], 2] et que cos(2) < ; on conclut lors en utilisnt le théorème des vleurs intermédiires et un rgument de monotonie. De plus, l reltion cos 2 ρ + sin 2 ρ = implique lors que sin(ρ) =, et donc e iρ = i. 5.9. Définition. On pose π := 2ρ vec ρ comme dns le lemme. 5.. Définition. Une fonction f : R C est dite périodique (de période T ) si, pour tout t R, on f(t + T ) = f(t), et T est le plus petit nombre réel strictement positif vec cette propriété. 5.. Théorème. On e iπ = et e 2πi =. Le noyu de Φ est ker φ = {2πn n Z}, et les fonctions Φ, sin et cos sont périodiques de période 2π. 5.2. Théorème. Les pplictions suivntes sont bijectives : [, 2π[ S, t e it [, 2π[ R C, (t, r) e it e r {z C Iz < 2π} C, z e z. L homomorphisme exp C : C C est surjectif, et son noyu est 2πiZ. Il est mintennt fcile de déduire de ces résultts d utres propriétés élémentires, comme pr exemple les formules pour sin(z + w), cos(z + w), l formule cos(z + π 2 ) = sin( z), etc. On peut ussi montrer que l circonférence du cercle S, définie comme l longueur d rc de l rc [, 2π[ S, t e it, vut 2π. Ainsi les résultts bsiques de l géométrie élémentire sont mintennt étblies sur une bse nlytique rigoureuse. Chpitre 6 : Remrques sur les fonctions logrithme, puissnce, tngente Ces fonctions sont en lien étroit vec l exponentielle complexe, mis leur théorie est plus compliquée, dû u fit qu elles ne peuvent ps être définies sur C tout entier. Elles peuvent être étudiées à l ide de séries, mis ces séries ne convergent plus pour tout z C. Nous llons donc compléter l étude de ces fonctions plus trd, près voir développé l théorie générle des fonctions nlytiques. A. Le logrithme. Rppelons l définition connue dns le cs réel : 6.. Définition. L fonction réciproque de l fonction bijective exp R : R R + s ppelle le logrithme réel, notée log := log R : R + R.

Qu en est-il sur C? Comme exp C : C C n est ps une bijection, l définition d une fonction réciproque pose un problème. Nous pouvons élborer le théorème 5.2 pour définir un logrithme sur une prtie de C, mis le choix de cette prtie reste rbitrire : 6.2. Définition. Soit φ [, 2π[. Le pln coupé (selon l ngle φ) est l prtie C φ := {w C w = re it, r >, t [, 2π[, t φ}. 6.3. Théorème et Définition. Pr restriction, l exponentielle définit une bijection {z C φ < Iz < φ + 2π} C φ, z e z. L ppliction réciproque, définie sur C φ, s ppelle un logrithme complexe. Elle ssocie à z C φ le nombre complexe log(z) = log R ( z ) + i rg(z), rg(z) ]φ, φ + 2π[. Comme le choix de φ est rbitrire (même si souvent on choisit φ = π : vleur principle ), nous n utilisons ps l rticle défini ( le logrithme). L question se pose lors si un logrithme complexe peut être décrit pr une série convergente. Revenons d bord u logrithme réel : un résultt connu de clcul différentiel dit que, comme exp R est différentible, lors l fonction réciproque log : R + R l est elle ussi, et que s dérivée est log (x) = exp (log(x) = exp(log(x)) = x. Pr récurrence on trouve (log) (k) (x) = ( ) k+ (k+)!. Ainsi le développement de Tylor x k u point x = est : log(x) = n k= ( ) k (k )! (x ) k + R n (x) = k! n ( ) k (x ) k + R n (x). k k= En utilisnt le règle de Cuchy, on voit que l série S(x) := ( ) k (x ) k ( x) k = k k k= k= converge si x <, mis pour x =, c est le négtif de l série hrmonique, qui diverge! Ceci indique encore une foix qu il n est ps possible de définir un logrithme sur C entier. B. L fonction puissnce. Rppelons, là ussi, l définition connue dns le cs réel : 6.4. Définition. Pour α R, l fonction puissnce est définie pr f α : R + R, x x α := e α log(x). Elle est différentible et vérifie f α = αf α,..., f (k) α f (k) α () k! = α(α ) (α k + ) k! = α(α )... (α k + )f α k, et = ( ) α k

est le coefficient binomil α sur k, et on ppelle série binomile (d exposnt α) l série k= ( ) α (x ) k. k Si x <, l série converge. Soit mintennt K = C et distinguons quelques cs : ) si α = n N, l série s rrète u rng n, et elle définit insi une fonction polynomile sur C tout entier, à svoir f n (z) = z n = ( + (z )) n ; b) si α =, l série binomile devient l série géométrique = x xn qui donne une série pour f α ( x), mis elle ne converge ps pour x = ; c) si α =, on sit qu il existe toujours deux rcines complexes de z C si z, et en 2 générl il n y ucun choix préféré de rcine. Un tel choix est toujours plus u moins rbitrire pr exemple, nous pouvons définir l vleur principle pour z C π : z α := exp C (α log(z)). Si α = n, on prend insi l rcine n-ième dont l rgument est compris entre π n et π n. C. L fonction tngente. Elle est définie pr tn(z) := sin(z) cos(z) pour tout z C tel que cos(z). Remrquons que cos(z) = ssi e iz = e iz, ssi e 2iz = = e πi, insi le théorème 5.2 implique que pour z C: cos(z) = z π 2 + Zπ. Ainsi l fonction tngente ne peut ps être définie sur C entier, et s il existe un développement en série, ce développement ne peut ps converger sur C tout entier. Motivé pr ces exemples, nous llons étudier l théorie générle de fonctions définies pr des séries qui convergent sur une prtie de C seulement. Chpitre 7 : Séries entières 7.. Définition. Une série entière (réelle ou complexe) est une série de l forme S(x) = k= k(x c) k, vec k K, où K = R, resp. K = C. On ppelle le point c K le centre de développement. Noter que les sommes prtielles S n (x) = n k= k(x c) k sont des polynômes. 7.2. Théorème (Ryon de convergence). Soit k= k(x c) k une série entière, et ρ := sup{t [, [: l suite ( k t k ) k N est bornée } [, ]. (i) Si x c < ρ, lors l série converge bsolument. (ii) si x c > ρ, lors l série diverge. 7.3. Définition. L quntité ρ := ρ S [, ] s ppelle le ryon de convergence de l série entière S, et l ensemble D S := {z C z c < ρ} 2

son disque de convergence (si K = R on prle d intervlle de convergence). Remrque : le théorème ne dit rien sur le comportement de l série sur le bord du disque de convergence (i.e., si z c = ρ). Voir le chpitre 9 à ce sujet. 7.4. Théorème (Formule de Hdmrd). Soit k= k(x c) k une série entière, et posons n σ := lim sup n [, ]. n Alors le ryon de convergence est donnée pr : ρ = si σ = ; ρ = si σ = ; ρ = σ sinon. Rppel. L limite supérieure d une suite réelle (c n ) n N est définie pr lim c ( n := lim sup c n := lim sup{ck : k n} ). n n n De fçon nlogue, on définit l limite inférieure ; lors on un encdrement de tous les points d ccumultion de l suite entre ces deux limites. Exemples. En prtique, on utilise souvent le critère suivnt : si l := lim n n+ n existe, lors σ = l. Ainsi, on trouve fcilement : le ryon de convergence de l série ( ) k k= (x ) k et celui de l série binomile est, celui des séries exp, sin, cos est k, celui de n n!xn est. Nous llons montrer que, sur son disque ou intervlle de convergence, une série entière toujours d excellentes propriétés : continuité, différentibilité, etc. Les preuves sont essentiellement les mêmes que celles déj utilisées dns le cs de l exponentielle ; techniquement, elles sont un peu plus compliquées, dû u fit qu on ne dispose plus d éqution fonctionnelle, et qu il fut préciser sous quelles conditions les séries convergent. Pour simplifier les énoncés suivnts, nous llons supposer que c = ; le cs générl s en déduit lors pr trnsltion. Voici l idée pour montrer que l fonction S(x) = n nx n est différentible dns son disque de convergence : on développe le quotient de différences S(x + h) S(x) h = n n(x + h) n n nx n, h on simplifie le nominteur, on le fctorise pr h, on simplifie vec le dénominteur ; près, on peut psser sns problème à l limite. L étpe crucile ici est le développement de S(x + h), qui fit l objet du résultt suivnt : 7.5. Théorème (Chngement du centre de développement). Soit S = n nx n une série entière de ryon de convergence ρ > et soit D S son disque de convergence. Alors, pour x D S fixé, l fonction h S(x + h) = b n h n est donnée pr une série S(h) = n b nh n dont le ryon de convergence est supérieur ou égl à ρ x (qui est positif). Les coefficients b n sont obtenus pr le développement de S(x + h) en puissnces de h ; en prticulier, on trouve que b = S(x) et b = n= n nx n. 3

L preuve utilise le théorème de Fubini (thm. 4.4) pour justifier le développement S(x + h) = n (x + h) n = k= n ( ) n n h k x n k = k k= h k n=k n ( n k ) x n k. 7.6. Théorème ( Dérivbilitée terme à terme ). Soit S = n nx n une série entière et D S son disque de convergence. Alors l fonction S : D S C est de clsse C (u sens usuel, si K = R, et u sens commplexe-différentible, si K = C). L dérivée k-ième est donnée, pour tout x D S, pr l série bsolument convergente S (k) (x) := n(n )... (n k + ) n x n k. n=k L preuve est simple en utilisnt le théorème 7.5. : pour h, S(x + h) S(x) h = S(h) S() h = b h + b 2 h 2 +... h = b + b 2 h + b 3 h 2 +... et on montre fcilement que lim h n= b nh n existe et vut b. Ainsi S est différentible vec dérivée S = S () ; l série de (S ) = S (2) s en déduit, etc. (récurrence). 7.7. Corollire. Avec les nottions du théorème, nous vons S (k) () = k! k, et insi k = S(k) (). Ainsi, si K = R, l série k! k kx k coïncide donc vec l série de Tylor usuelle de S (i.e., pour n, le terme reste R n (x) du développement de Tylor converge vers, pour tout x D S ). 7.8. Corollire. Les coefficients k d une série entière convergente sont uniquement déterminés pr l fonction S : D S C : si n nx n = n c nx n pour x u voisinge de, lors n = c n pour tout n N. Exercice. L conclusion du corollire reste vrie si on suppose seulement n nx n k = n c nx n k pour une suite x k vec x k et lim k x k =. Ainsi, comme pour les fonctions polynomiles, on peut déduire pr comprison des fonctions que les coefficients sont les mêmes. Ceci donne lieu à des reltions intéressntes (pr exemple, en ppliqunt à l fonction puissnce (ci-dessous), le théorème de Vndermonde : pour tout, b C, n k= ( ) ( ) b = k n k ( ) + b n ou des reltions concernnt l célèbre suite de Fiboncci). 7.9. Corollire. Soit S = n nx n une série entière et D S son disque de convergence. Alors l fonction S : D S C dmet une primitive, i.e., une fonction f : D S C telle que f = S. Pr exemple, une primitive est donnée pr l série convergente f(x) = n n + xn+. On sit que, sur un intervlle réel, une primitive est unique à une constnte près. Il en est de même sur un disque complexe : 4

7.. Lemme. Soit B r (x ) = {z C z x < r} le disque de centre x et de ryon r >, et f : B r (x ) C une fonction holomorphe (C-différentible) telle que f (z) = pour tout z B r (x ). Alors f est constnte. L preuve consiste à se rmener u cs réel : d bord, en déclnt, on se rmène u cs x =. Ensuite, soit w B r (x ), et on pose γ(t) := f(tw) et u(t) := Rγ(t), v(t) := Iγ(t) pour t [, ]. Alors, pour h, l limite γ(t + h) γ(t) h = f(tw + hw) f(tw) h = w f(tw + hw) f(tw) hw existe cr f est C-différentible, et elle vut w f (tw) =. Il s ensuit que u (t) = et v (t) =, donc γ(t) est constnte = γ(), donc f(w) = f(), et f est constnte. Le lemme implique clirement que deux primitives de S sur D S se distinguent seulement pr une constnte. Ces résultts donnent une méthode simple pour développer des fonctions élémentires en une série, dès qu on connit l série de l dérivée, ou une éqution différentielle en lien vec l fonction en question : A. Le logrithme. L série géométrique S(z) := ( z)n converge pour tout z D = {z C z < }, et lors S(z) =. Ainsi f(z) := ( ) n +z n+ zn+ est une primitive de S. Or, l vleur principle du logrithme log : C π C donne une utre primitive : z log( + z), et comme f() = = log(), l unicité de l primitive sur D entrine que f(z) = log( + z), d où : 7.. Théorème. Pour tout x D = B (), on log( + x) = ( ) n n+ xn+ (série bsolument convergente), où log est l vleur principle définie sur le pln coupé C π. B. L ( fonction ) puissnce. Le procédé suit de près l exemple précédent : soit S α (x) := α x n n l série binomile. Elle converge bsolument pour x D. En clculnt S α(x) et en utilisnt des propriétés des coefficients binomiux, on trouve que ( + x)s α(x) = αs α (x). Or, l fonction f α (x) = x α stisfit l même éqution différentielle : ( + x)f α( + x) = αf α ( + x). Ainsi, si on pose F (x) := Sα(x), on trouve que F f α(+x) (x) = sur D, insi F est constnte ; cette constnte vut, d où finlement 7.2. Théorème. Pour tout x D = B (), on ( + x) α = ( ) α x n n (série bsolument convergente), où x α est l vleur principle définie sur C π. C. Les fonctions rctngente et rcsin. Soit K = R. On montre comme clssiquement que les fonctions tn :] π/2, π/2[ R et sin :] π/2, π/2[ ], [ sont bijectives, et que les fonctions réciproques, rctn et rcsin, fournissent des primitives de ( + x 2 ), 5

resp. de ( x 2 ) /2. En développnt ces dernières fonctions en séries (sur ], [ l série géométrique donne ( + x 2 ) = ( x2 ) n, et dns l utre cs on utilise l série binomile vec α = /2), et en intégrnt terme à terme, on trouve rctn(x) = ( ) n 2n + x2n+ = x 3 x3 + 5 x5 +... et similirement pour le développement de rcsin (sur ], [) ; cf. TD. On noter que, bien que l fonction rctn puisse être définie sur R entier, l série ne converge ps sur R tout entier. Pour K = C, ces séries convergent sur D, et on peut fire une étude plus fine pour montrer que, là ussi, elles définissent des fonctions réciproques à l tngente, resp. u sinus. Chpitre 8 : Fonctions nlytiques Une fonction nlytique est une function qui, loclement (i.e., u voisinge de chque point où elle est définie), est donnée pr une série entière convergente. Dns l suite, soit K = C ou R et f : U K une fonction définie sur une prtie ouverte U K. (Rppel : une prtie U K est dite ouverte si, pour tout x U, il existe ε > tel que le disque (resp. l intervlle) B ε (x ) = {x K x x < ε} pprtient à U. Exemples de prties ouvertes : U = B r (c) ; le pln coupé ; C.) 8.. Définition. Une fonction f : U K est dite K-nlytique (ou : de clsse C ω ) si, pour tout x U, il existe une série entière et r > tel que B r (x ) U et pour tout x B r (x ), cette série converge vers f(x) : f(x) = n (x x ) n. Les propriétés locles d une fonction nlytique f sont donc les mêmes que celles d une série entière convergente; pr exemple : 8.2. Théorème ( C ω C ). Toute fonction nlytique est de clsse C sur K. Nous vons vu (exemple.5) que l réciproque est fusse si K = R. Il se pose donc l question de svoir comment on peut reconnitre les fonctions C ω prmi les fonctions C voir remrques à l fin du chpitre. 8.3. Exemples. () L prtie C := C \ {} est ouverte dns C, et l fonction C C, x x est nlytique. En effet, soit x = c C. Alors on (vec ryon de convergence égl à c > ) : x = c + (x c) = c + x c c = c (x c c ) n = ( ) n c n+ ( x x ) n (2) L fonction exponentielle exp C est nlytique. En effet, pour obtenir le son développement pr rpport u centre c, on écrit exp C (x) = exp C (c + (x c)) = exp C (c) exp C (x c) = e c 6 n! (x c)n.

Exercice : procéder de fçon nloge pour sin, cos, sh, ch (en utilisnt leurs équtions fonctionnelles). (3) Le logrithme log π : C π C est nlytique. Remrquons d bord que le pln coupé C φ est ouvert dns C, insi pour tout x = c C φ il existe ε > (forcément ε < c ), tel que B ε (c) C φ. Ainsi on peut intégrer terme à terme le développement, centré en c, de donné ci-dessus. L constnte d intégrtion est déterminée en prennt l vleur de x l série u point x = c. Pr unicité de l primitive sur le disque B ε (c) (Lemme 7.), il s ensuit que log(x) = log R ( c ) + i rg(c) (x c) n+, rg(c) ]φ, φ + 2π[. n + c Le point crucil est, dns tous les cs, le chngement du centre du développement. En générl, c est une question délicte. Mis si U est un disque de convergence, le théorème 7.5 implique directement : 8.4. Théorème. Soit S(x) := n n(x c) n une série entière de ryon de convergence ρ >. Alors l fonction S : D S K est nlytique. 8.5. Exemples. () On retrouve le fit que exp, cos, sin sont nlytiques sur C (cr ρ = ). (2) Tout polynôme (= série entière finie) est nlytique sur C (cr ρ = ). (3) Le ryon de convergence de f(x) := n nlytique sur C. Pour x, elle vut ex. x (4) De même, on constte que l série f(x) := n (n+)! xn est ègl à. Cette fonction est donc ( ) n (2n+)! x2n définit une fonction nlytique sur C. Pour x, elle vut sin(x) x. (5) L fonction puissnce f α (z) = z α est nlytique dns le disque B (). Pour montrer qu elle est même nlytique dns le pln coupé C π, il fut trviller un peu plus. Commençons pr montrer que les produits, sommes, composées de fonctions nlytiques sont encore nlytiques : A. Sommes et multiples. Soient f, g : U K deux fonctions K-nlytiques et λ K. Alors les fonctions f + g : U K et λf : U K le sont ussi, et si f(x) = n n(x c) n, g(x) = n b b(x c) n, on (f + g)(x) = n ( n + b n )(x c) n et λf(x) = n λ n(x c) n. Ainsi les fonctions nlytiques forment un espce vectoriel sur K, noté C ω (U, K). B. Produits. Soient f, g comme ci-dessus. D près le théorème 4.5, le produit (prfois ppelé produit de Cuchy) (f g)(x) = n (x c) n b n (x c) n = c n (x c) n, c n = n k b n k, k= converge bsolument si c est le cs de chque fcteur. Ainsi le produit f g est nlytique. On dit ussi que l espce C ω (U, K) des fonctions K-nlytiques est une K-lgèbre. (Exercice : montrer que si f g =, lors f = et g = ; on dit que l lgèbre C ω (U) est intègre. Montrer ussi que ceci est en défut pour les fonctions C (R, R).) 7

C. Crrées, cubes,... Du point B on déduit que les fonctions f 2 = f f et f 3 = f 2 f, etc., sont nlytiques, et on le développement en série f k (x) = (k) n (x c) n, vec (k) n = (m,...,m k ): P k i= m i=k m mk. Remrquons que, si f(c) =, i.e., =, lors le plus bs terme de f k est d ordre k, et lors l somme porte en rélité sur n = k,...,. D. Composée (substitution). 8.6 Théorème (Composée de fonctions nlytiques). Soient f : U K et g : U K deux fonctions K-nlytiques telles que f(u) U. Alors l fonction g f : U K est K-nlytique. En effet, soit c U, f(x) = n n(x c) n, donc f(c) = =: d, et g(y) = n b n(y d) n, lors on développe, en utilisnt le théorème de Fubini (4.4), g(f(x)) = = = = = b k (f(x) d) k k= b k ( n (x c) n d) k k= b k ( n (x c) n ) k k= k= b k n= m=k (k) m (x c) m c m (x c) m vec c m = m= m j= b j (j) m Exemple : L fonction x α = e α log(x) est une composée des fonctions nlytiques f(x) = α log(x) et g(y) = e y, et elle est donc nlytique sur C π. E. Quotients. 8.7. Théorème (Quotient de fonctions nlytiques). Soient f, g : U K nlytiques et f(x) pour tout x U. Alors et sont nlytiques sur U. g(x) f(x) f(x) En effet, on vu que h(x) := est nlytique sur x K, et d près le théorème 8.6, h f(x) = est nlytique sur U, et donc g (x) = g(x) l est ussi. De plus, l f(x) f f(x) preuve donne le développement (nottions cf. point D, où h(x) = n ( x)n et c = d = ) f(x) = c l (x ) l, c l = l= l j= ( ) j (j) l. Cependnt, en prtique, on détermine souvent les coefficients de g f (x) = n c n(x c) n à prtir de f(x) = n n(x c) n et g(x) = n b n(x c) n pr comprison : b n (x c) n = n n c n (x c) n n (x c) n, 8 n

donc b n = n k= c k n k. Ceci donne un système tringulire d équtions c = b, c + c = b, c 2 + c + c 2 = b 2,... qu on peut résoudre de proche en proche pour trouver c, c,... 8.8. Exemples. () Toute frction rtionnelle p(x) (p, q polynômes) est nlytique (sur le domine de q(x) définition U = {z C q(z) }). On développer, pr exemple (exercice : TD), f(x) := x x = c 2 n x n en une série utour de x = : on trouve une reltion de récurrence remrquble pour les coefficients c n (suite de Fiboncci). En fctorisnt le polynôme q(x) = x x 2 = (x )(x b), on peut écrire f ussi sous l forme f(x) = c( ) vec une constnte x x b c, et en développnt ceci, on trouve une formule explicite pour c n, à svoir c n = ( ( + 5) n ( 5) ) n. 5 2 2 (2) L fonction tngente tn(x) = sin(x) cos(x) : elle est nlytique sur U = {z C z / π 2 + Zπ}. En écrivnt cos(x) tn(x) = sin(x), pr comprison on trouve les premiers coefficients (exercice : clculer les 2 coefficients suivnts) tn(x) = sin(x) cos(x) = x + 3 x3 + 2 5 x5 +... (3) Nous vons vu que l fonction f(x) = (n+)! xn = ex est nlytique sur C. Il x s ensuit que l fonction = x est nlytique sur C \ f(x) e x 2πiZ x. Soit = e x n c nx n son développement u voisinge de. On pose B n := n! c n (nombre de Bernoulli). Ainsi les coefficients B n sont déterminés pr (n + )! xn B n n! xn =. En fisnt le produit de Cuchy, et en multiplint pr n!, on obtient l formule de récurrence n ( ) n B n = B k k. k= On obtient insi B =, B = 2, B 2 = 6, B 3 =, B 4 = 3, B 5 =. On remrque que x e x + 2 = x ch(x/2) 2 sh(x/2), et pr un rgument de prité on déduit que B 2n+ = pour n. De plus, on obtient insi une formule explicite pour les coefficients du développement des fonctions x coth(x) et x cotn(x). Finlement, en utilisnt que tn(x) = cotn(x) 2cotn(2x), on en déduit que tn(x) = ( ) n 22n (2 2n )B 2n (2n)! 9 x 2n.

8.9. Compléments. Le sujet des fonctions nlytiques est riche et donne lieu à des développements mthémtiques plus vncés et qu on ne pourr ps triter dns ce cours pour en donner une idée, indiquons simplement quelques grndes lignes de ces théories. () Le rôle prticulier de l théorie complexe. L théorie complexe se distingue profondement de l théorie réelle pr le résultt suivnt : Toute fonction C-différentible de clsse C est nlytique. L preuve ser donnée dns le cours d nlyse complexe en L3. L nlogue de ce résultt pour K = R est fux puisqu il existent des fonctions différentibles, mis non R-nlytiques (exemple.5). Ainsi, pour K = C, il est très fcile de reconnitre des fonctions nlytiques : il suffit de démontrer qu une fonction est différentible. Pour K = R, c est plus difficile. On peut énoncer une condition suffisnte, qui découle directement de l formule de Tylor vec terme reste de Lgrnge : si f :] r, r[ R est une fonction de clsse C telle que les dérivées sont mjorées u sens suivnt : C, M R + : x ] r, r[, n N : f (n) (x) CM n, n! lors f est nlytique sur ] r, r[. On peut montrer que cette condition est ussi nécessire, cf. [AF]: Arnudières-Frysse, Cours de Mths 3, Thm. III.4.2. Il existe d utres critères, plus fciles à vérifier, pour ssurer qu une fonction est R-nlytique (Théorème de Bernstein sur les séries entières: cf. exercices dns [AF].). Une utre différence entre les cs réels et complexes concerne les domines de définition U : dns le cs réel il n y ps de vri lien entre le ryon de convergence et le domine de définition mximl de f (exemple : f(x) = = +x 2 n ( )n x 2n ). Dns le cs complexe, un tel lien existe : le disque de convergence est toujours le plus grnd disque sur lequel l fonction est encore nlytique (pour l exemple : il y des singulrités pour x = ±i, l fonction n est ps nlytique sur un disque de ryon > ). (2) Cs de plusieurs vribles. On peut définir des fonctions nlytiques de plusieurs vribles (réelles ou complexes). Pr exemple, l fonction exponentielle mtricielle exp : M(n, n; K) M(n, n; K) est lors nlytique, et de même l inversion mtricielle J : GL(n, K) M(n, n; K), X X = (E (E X)) = (E X) n. Plus générlement, on peut remplcer dns n importe quelle série entière n nx n l rgument x pr une mtrice crrée X, et étudier l convergence de l série insi obtenue. Cel donne lieu à un clcul fonctionnel ynt beucoup d pplictions. (3) Groupes d pplictions ; inversion locle. On peut montrer que, si U et U sont deux ouverts de K et si f : U U est bijective et nlytique, lors son ppliction inverse f : U U est églement nlytique (cf. [AF], Thm. III..5). Ainsi les pplictions bijectives et nlytiques f : U U forment un groupe pr rpport à l composition. En dmettnt ce résultt, il n est ps difficile de clculer les coefficients de f à prtir de ceux de f pr un lgorithme tringulire. Une forme explicite de cet lgorithme est connue sous le nom de théorème de Lgrnge-Bürmnn. De plus, il existe un critère simple pour décider si f est, loclement, u voisinge de x, une bijection : une condition nécessire est que f (x ), i.e.,. C est condition est ussi suffisnte : ceci est une version nlytique du théorème d inversion locle (cf. cours Clcul Différentiel en L3). 2