Espaces de Sobolev Résumé du cours de MEDP Maîtrise de mathématiques 2001 2002 medp-sobolevtex (2001nov24) Sauf mention explicite du contraire, toutes les fonctions considérées seront à valeurs réelles 1 Notations Soit O(R n ) un ouvert de R n On désignera par C 0 0() l ensemble des fonctions continues à support compact dans, C 0 0() = {f : R fcontinue et Supp(f) } Rappelons que le support Supp(f) d une fonction f continue sur est défini par Supp(f) = {x f(x) 0} Si la fonction f est mesurable sur le support est défini par x Supp(f) ω O x () tq f ω = 0 pp Soit 1 p On dit qu une fonction f : R appartient à L p loc () si f 1 K L p () pour tout compact K 2 Rappels d intégration Pour toute cette section, on renvoie à [2], Chapitre IV On rappelle (et on admettra) les résultats suivants Théorème 21 ([2], Théorème IV3, p 55) L espace C 0 0() est dense dans l espace L 1 (), c est à dire f L 1 (), ε > 0, f ε C 0 0() tq f f ε L 1 ε
Théorème 22 ([2], Théorèmes IV11, p 61 et IV14, p 63) Soit 1 p < et soit p l exposant conjugué de p, c est à dire tel que 1 p + 1 p = 1 (lorsque p = 1, p = ) Étant donnée ϕ (L p ) une forme linéaire continue sur L p (), il existe une et une seule fonction g L p () telle que f L p () ϕ(f) = fg De plus, on a ϕ (L p ) = g L p Théorème 23 ([2], Théorème IV13, p 62) Pour 1 p <, l espace L p () est séparable Remarque On prendra garde au fait que le dual de L ne coincide pas avec L 1 et que L n est pas séparable ([2], p 65 ff) La proposition suivante résulte du Théorème 21 ; son corollaire résulte du Théorème 22 Proposition 24 Soit f L 1 loc () Si uf = 0 pour toute fonction u C0 0(), alors f = 0 presque partout dans Corollaire 25 L espace C 0 0() est dense dans l espace L p () pour 1 p < Exercice 26 L espace C 0 0() est-il dense dans L ()? Soit un ouvert borné de R n, de frontière C 1 et de normale intérieure ν Soit X : R n un champ de vecteurs C 1 On a la formule de la divergence (1) div(x) dx = X, ν σ(dx), où σ désigne la mesure naturelle sur et où div(x) désigne la divergence du champ de vecteurs X, définie par au point x = (x 1,, x n ) div(x)(x) = X 1 x 1 (x) + + X n x n (x), De la formule de la divergence, on déduit la formule d intégration par parties (2) v(x) j u(x) dx = u(x) j v(x) dx u(x) v(x) ν j, σ(dx) pour deux fonctions u, v C 1 (), où j désigne la dérivée partielle par rapport à la j ème variable et où ν j est la j ème composante du vecteur normal unitaire ν = (ν 1,, ν n ) dirigée vers l intérieur de 2
3 Convolution et régularisation On rappelle, et on admettra, les résultats suivants (le premier résulte du théorème de Tonelli et du théorème de Fubini, le second découle du premier et de la définition du support) Théorème 31 ([2], Théorème IV15, p 66)Soient f L 1 (R n ) et g L p (R n ) avec 1 p Alors, pour presque tout x R n, la fonction y f(x y) g(y) est intégrable sur R n Si on pose (f g)(x) = f(x y) g(y) dy R n alors f g L p (R n ) et f g L p f L 1 g L p Proposition 32 ([2], Proposition IV18, p 68) Soient f L 1 (R n ) et g L p (R n ), 1 p Alors, Supp(f g) Supp(f) + Supp(g) Notations On note C k (), 0 k l espace vectoriel des fonctions dont les dérivées partielles d ordre inférieur ou égal à k existent et sont continues dans, On note C k 0 (), 0 k le sous-espace vectoriel des fonctions de C k (), à support compact dans (une fonction de C k 0 () s annule donc au voisinage de dans ) L espace C 0 (), que nous noterons également D(), s appelle l espace des fonctions test sur Remarque On a l inclusion C 0 () C 0 (R n ) et l égalité C 0 () = {u C 0 (R n ) Supp(u) } Exemples 33 1) Pour x = (x 1,, x n ) R n, posons x 2 = n j=1 x2 j La fonction (3) ϕ(x) = { exp ( ( x 2 1) 1) si x < 1, 0 si x 1, est une fonction test sur R n et on a Supp(ϕ) = B(0, 1) 2) Plus généralement, les fonctions ϕ a,ε définies par (4) ϕ a,ε (x) = ϕ( x a ), ε pour tout a R n et pour tout ε > 0, sont des fonctions test sur R n et Supp(ϕ a,ε ) = B(a, ε) Il résulte de l exemple précédent que D() est un espace vectoriel de dimension infinie 3
Proposition 34 Il existe une fonction ρ D(R n ) telle que ρ 0, (5) ρ(x) dx = 1, R n Supp(ρ) = B(0, 1) Notation Pour tout ε > 0, nous noterons ρ ε la fonction (6) ρ ε (x) = ε n ρ( x ε ) Notons que la fonction ρ ε est positive, à support la boule B(0, ε) et d intégrale 1 Notation Pour toute fonction u L 1 loc (Rn ), posons (7) u ε (x) = u ρ ε (x) = ε n u(y)ρ( x y R ε n ) dy = u(x εy)ρ(y) dy R n Théorème 35 (Théorème de régularisation et d approximation) (i) Soit u une fonction intégrable, nulle en dehors du compact K Alors, la fonction u ε appartient à D() dès que ε < δ = dist(k, R n \ ) Si, de plus, u est supposée continue alors u ε tend vers u uniformément quand ε tend vers 0 (ii) Soit u une fonction de L p (), 1 p <, alors, u ε tend vers u dans L p Remarque 36 Il résulte en particulier de ce théorème que l on peut remplacer C 0 0() par D() dans les énoncés de la Proposition 24 et du Corollaire 25 Notations Soit α N n un multi-entier, avec α = (α 1,, α n ) On note x α le monôme x α1 1 xαn n, de degré α = α 1 + + α n, on note α ou x l opérateur de dérivation (d ordre α ) α x α 1 1 on note j l opérateur de dérivation x j 4 Notion de dérivée faible x αn n, Soient un ouvert de R n et α N n Soit u L 1 loc () On dit que la fonction v L1 loc () est la dérivée faible d ordre α de la fonction u si (8) f D(), u α f dx = ( 1) α v f dx Il résulte de la Remarque 36 que la fonction v, si elle existe, est déterminée de manière unique dans L 1 loc par la formule (8) Si la fonction u est de classe C α dans, on a immédiatement v = α u presque partout dans Dans le cas général, on écrira 4
v = α u au sens faible, ou bien v w = α u On dit qu une fonction u L 1 loc () est faiblement différentiable si elle admet des dérivées premières j u, 1 j n au sens faible On dit qu une fonction u L 1 loc () est k-fois faiblement différentiable, k 1, si elle admet des dérivées partielles d ordre inférieur ou égal à k au sens faible Exercice 41 Soit u(x) = x Montrer que cette fonction est dérivable au sens faible sur R et déterminer la dérivée faible Exercice 42 On appelle fonction de Heaviside la fonction Y : R R définie par { 1 si x > 0, Y (x) = 0 si x 0 La fonction de Heaviside est-elle faiblement dérivable sur R? Exercice 43 Soient u, v L 1 loc () Montrer que v w = α u si et seulement s il existe une suite {u m } de fonction C () telle que u m L 1 (ω) u, et α u m L 1 (ω) v 5 Espaces de Sobolev Notation Pour k N et 1 p <, introduisons l espace (9) C, k, p () = { u C () β u L p () pour tout β k }, et munissons le de la norme (10) u k,p = ( α k α u p L p ) 1/p Quand p = 2, cette norme provient d un produit scalaire Il y a deux manières classiques d introduire les espaces de Sobolev Définition 51 Pour tout k N et pour tout 1 p <, on définit l espace de Sobolev H k,p () comme étant le complété de l espace C, k, p () pour la norme k,p Pour tout k N et pour tout 1 p <, on définit l espace de Sobolev W k,p () comme (11) W k,p () = {u L p () α, α k, v α L p (), tq v α = α u au sens faible} 5
On a ainsi deux manières naturelles de définir les espaces de Sobolev Il se trouve que les deux définitions ci-dessus sont équivalentes Cela n a été découvert que relativement tardivement Plus précisément, on a le résultat suivant dû à N Meyers et J Serrin (1964), Théorème 52 ([3], Theorem 79, p 154) Pour tout ouvert de R n, pour tout k N et pour tout 1 p <, on a H k,p () = W k,p () Il est facile de voir que W k,p (), muni de la norme k,p, est un espace de Banach séparable et que H k,p () W k,p () La réciproque se démontre par régularisation 6 Les espaces H k Dans ce cours, nous nous limiterons au cas où p = 2 et nous utiliserons le Théorème 52 chaque fois que cela sera nécessaire Par commodité, nous introduisons la notation suivante Définition 61 Étant donné k N, nous désignerons par Hk () l espace de Sobolev (12) H k () = { u L 2 () α, α k, v α L 2 (), tq v α = α u au sens faible }, On introduit sur H k le produit scalaire (13) u, v k = α u, α v, α k et la norme associée u k = u, u k (ici,, désigne le produit scalaire usuel sur L 2 ()) Théorème 62 Soit un ouvert de R n et soit k N L espace H k () muni du produit scalaire (13) est un espace de Hilbert séparable Remarque L intérêt d avoir un espace séparable est de pouvoir construire une base hilbertienne dénombrable Exercices 63 1) Soit u : R R la fonction 0, si x 1, 1 + x, si 1 x 0, u(x) = 1 x, si 0 x 1, 0, si 1 x Montrer que u H 1 (R) Montrer que la fonction v = 1 u est dans H 1 ([ 2, 2]), mais qu elle n est pas dans H 1 (R) 2) Montrer que l on a l inclusion C 1 () H 1 () pour tout ouvert borné R n Plus généralement, montrer que si u C 1 () et si u, j u L 2 (), 1 j n, alors u H 1 () 6
3) Soit [a, b] un intervalle de R Montrer qu il existe une injection continue de H 1 (]a, b[) dans C 0 ([a, b]) 4) Pour 0 < a < 1 donné, on pose = B(0, a) R 2 Pour k > 0, on définit (sauf en 0) la fonction u : R par u(x, y) = ( ln x 2 + y 2 ) k Montrer que la fonction u est dans L 2 pour tout k > 0 et qu elle n admet pas de représentant continu sur Montrer que u H 1 () si k < 1/2 Déduire de ce qui précède que H 1 () C 0 () Proposition 64 Pour tout m N et pour tout α N n tel que α m, l opérateur de dérivation α est un opérateur linéaire continu de H m () dans H m α () Définition 65 Pour m N, on note H m 0 () l adhérence de D() dans H m () Exercices 66 1) Montrer que H 1 0 (]a, b[) H 1 (]a, b[) 2) Soient u H 1 () et f D() Montrer que f u H 1 0 () Théorème 67 Pour tout m N, l espace D(R n ) est dense dans H m (R n ) Autrement dit, H m 0 (R n ) = H m (R n ) Remarque borné de R n Nous montrerons dans la Section 7 que H 1 0 () H 1 () si est un ouvert Définition 68 Étant donnée u une fonction définie sur un ouvert R n, on note ũ la fonction qui prolonge u par 0 sur R n \ Proposition 69 Si u H m 0 (), alors ũ H m (R n ) 7 Inégalité de Poincaré L inégalité ci-dessous, dite inégalité de Poincaré, joue un rôle important dans l étude des problèmes variationnels Théorème 71 Soit un ouvert de R n, borné dans une direction Alors, il existe une constante C() > 0 telle que (14) u H 1 0 (), n u 0, C() j u 2 0, j=1 1/2 7
Remarque Le théorème précédent est faux pour H 1 () (prendre pour un domaine borné et pour u la fonction identiquement égale à 1) Ceci montre en particulier que les espaces H0 1 et H 1 sont distincts en général Corollaire 72 Soit un ouvert de R n, borné dans au moins une direction La semi-norme n u 1, = j u 2 0, j=1 est une norme sur H 1 0 (), équivalente à la norme 1 1/2 Remarque L inégalité de Poincaré permet d affirmer que la forme bilinéaire D() D() (u, v) du, dv dx est coercive Complément Dans le cas d un ouvert borné, on peut caractériser la meilleure constante C() dans l inégalité de Poincaré comme étant δ 1 () 1/2, où δ 1 () est la plus petite valeur propre du Laplacien avec condition de Dirichlet dans, (15) { u = λ u dans, u = 0 8 Théorèmes de trace Étant donnés un ouvert de R n et m N { }, nous introduisons les notations (16) C m () = { f : R 1 O(R n ), 1, f 1 C m ( 1 ) tq f 1 = f }, et (17) C m 0 () = { f : R 1 O(R n ), 1, f 1 C m 0 ( 1 ) tq f 1 = f } 81 Théorème de trace pour R n + et applications Dans cette section, nous traitons le cas où (18) { = R n + := {x = (x, x n ) = (x 1,, x n ) R n x n > 0}, Γ := = R n 1 {0} Proposition 81 L espace C 0 (R n +) est dense dans H 1 (R n +) 8
On peut bien-sûr parler de la trace d une fonction v de C 0 (R n +) sur R n 1 {0} : on définit γ 0 (v) par (19) γ 0 (v)(x ) = v(x, 0), pour tout x R n 1 Il est clair que l on a γ 0 (v) C 0 (R n 1 ) On a le lemme important suivant Lemme 82 Pour toute v C 0 (R n +), on a γ 0 (v) 0,R n 1 v 1,R n + Corollaire 83 L application γ 0 définie par (19) s étend en une application linéaire continue de H 1 (R n +) dans L 2 (R n 1 ), telle que v H 1 (R n +), γ 0 (v) 0,R n 1 v 1,R n + Remarque Nous utiliserons également la notation u R n + à la place de γ 0 (u) Théorème 84 Soit γ 0 l application trace de H 1 (R n +) dans L 2 (R n 1 ) Pour tous u et v dans H 1 (R n +), on a les égalités (formules de Green) R n + R n + v(x) j u(x) dx = R n + u(x) j v(x) dx, 1 j n 1, v(x) n u(x) dx = R n + u(x) n v(x) dx R n 1 γ 0 (v)(x ) γ 0 (u)(x ) dx Théorème 85 Soit γ 0 l application trace de H 1 (R n +) dans L 2 (R n 1 ) On a l égalité H 1 0 (R n +) = { u H 1 (R n +) γ 0 (u) = 0 } 82 Théorème de trace pour un ouvert et applications Nous admettrons le résultat suivant, dont la démonstration est plus technique, que difficile Théorème 86 ([4], Théorème 132, p 25) Soit un ouvert borné de R n dont la frontière est une sous-variété fermée de classe C k (avec k 1) et de dimension (n 1) Alors, C () est dense dans H 1 () et l application qui à v dans C () associe γ 0 (v) = v se prolonge en un opérateur linéaire continu γ 0 de H 1 () dans L 2 ( ), appelé opérateur de trace Théorème 87 Soit γ 0 l application trace de H 1 () dans L 2 ( ) Pour tous u, v H 1 (), on a l égalité (formule de Green) v(x) j u(x) dx = u(x) j v(x) dx γ 0 (v)(x ) γ 0 (u)(x ) ν j σ(dx ), où ν = (ν 1,, ν n ) est la normale unitaire à dirigée vers l intérieur de et où σ désigne la mesure naturelle sur 9
Théorème 88 ([4], Théorème 132, p 25) Soit γ 0 l application trace de H 1 () dans L 2 ( ) On a l égalité H 1 0 () = { u H 1 () γ0 (u) = 0 } Remarque Les résultats précédents s étendent au cas où la frontière est seulement C 1 par morceaux (penser au cas où est l intérieur d un rectangle de R 2 ou bien d un parallélépipède de R 3 ) 83 Cas de l espace H 2 Soit un ouvert de R n dont la frontière est assez régulière et soit u H 2 () En particulier, u est dans H 1 () et on peut donc définir sa trace γ 0 (u) sur le bord de l ouvert Les fonctions j u, pour 1 j n sont également dans H 1 () et on peut donc définir leurs traces γ 0 ( j u) sur le bord de On définit la dérivée normale intérieure de u le long de (au sens faible) par γ 1 (u) = n ν j γ 0 ( j u), j=1 et on utilisera également les notations ν u et u ν (comme ci-dessus, le vecteur normal unitaire le long de est dirigé vers l intérieur et noté ν = (ν 1,, ν n )) Si u, v H 2 () et si la frontière est assez régulière, on a la formule de Green v u dx = du, dv dx + (ν u) v σ(dx) 9 Théorèmes de compacité Théorème 91 (Théorème de Rellich, [3], Theorem 722 p 167) Soit un ouvert borné de R n Alors, l injection canonique j de H 1 0 () dans L 2 () est un opérateur compact Théorème 92 ([3], Theorem 726 p 171) Soit un ouvert borné de R n, de frontière de classe C 1 Alors, l injection canonique j de H 1 () dans L 2 () est un opérateur compact Remarque Remarquons qu il n y a aucune hypothèse sur la régularité du bord de dans le Théorème 91 Par contre, il existe des ouverts bornés non réguliers de R n pour lesquels l inclusion du Théorème 92 n est pas compacte (mais le théorème s étend au cas des domaines C 1 par morceaux) 10 Théorème de régularité Mentionnons le théorème de régularité Théorème 101 ([3], Theorem 726 p 171) Soit un ouvert borné de classe C 1 dans R n Pour m > k + n/2, il y a une injection continue de H m () dans C k () On pourra trouver une étude exhaustive des espaces de Sobolev dans [1] et des applications dans [3] et [4] (ce dernier ouvrage est orienté vers les applications numériques) 10
Références [1] Adams, RA Sobolev spaces, Academic Press 1975 [2] Brezis, Haïm Analyse fonctionnelle Théorie et Applications, Masson 1973 [3] Gilbarg, David Trudinger, Neil S Elliptic partial differential equations of second order, Grundlehren 224, Springer 1983 [4] Raviart, Pierre-Arnaud Thomas, Jean-Marie Introduction à l analyse numérique des équations aux dérivées partielles, Masson 1983 Pierre Bérard Institut Fourier UMR 5582 UJF CNRS PierreBerard@ujf-grenoblefr www-fourierujf-grenoblefr/~pberard/notes_courshtml 11