8 èe Cogrès Fraçais de Méaique Greoble, 7-3 aoû 007 Aorçage de fissure au voisiage des ierfaes fibre/arie : oparaiso d u rière ixe e des odèles de zoe ohésive Beoî Poiou,*, Eri Mari, Niolas Carrère 3, Doiique Leguillo, Jea-Marie Ga CEA Cadarahe, DEN/CAD/DEC/SESC, Sai Paul Lez Durae Laboraoire des Coposies Therosruuraux, CNRS UMR 580, Uiversié Bordeaux 3 ONERA, DMSE / LCME, 930 Châillo LMM, CNRS UMR 7607, Uiversié P. e M. Curie, Paris * Corresp. : LCTS, 3 Allée de la Boéie, 33600 Pessa, Tel. : 05568700, poiou@ls.u-bordeaux.fr Résué : Le oporee à rupure o fragile des uliouhes éraiques déped priipalee de la déviaio des fissures le log des ierfaes. L aorçage du éaise de déohésio ierfaiale au voisiage d ue fissure ariielle es odélisé par deux approhes différees : i) la éaique de la rupure ave l uilisaio d u rière ixe «oraie/éergie», ii) la éaique de l edoagee via u odèle de zoe ohésive. Les deux éhodes so oparées. O ore que les résulas so siilaires e dépede das erais as que d ue odiio e oraie. Absra : The ierfae is he key regio whih deeries he ehaial behaviour of erais ulilayers. Ideed, ireasig he reliabiliy of brile oposies or laiaed syses requires orollig ierfaial rak defleio. Iiiaio of his fraure ehais i he viiiy of a arix rak is aalysed wih wo kids of odels: oe is based o fraure ehais approah wih he help of a sress/eergy rierio; he oher uses daage ehais haks o a ohesive zoe odel. The resuls are opared ad show a good agreee bewee he wo approahes. Moreover, a sress odiio is suffiie for boh ehods uder pariular geoerial ad aerials odiios. Mos-lefs : Crière d aorçage, Modèle de zoe ohésive, Ierfae, Rupure fragile, Coposie à arie éraique Iroduio Le oporee o fragile des oposies à arie éraique ou des sraifiés éraiques déped esseiellee des propriéés de l ierfae ere osiuas (Naslai, 993). Ue rupure fragile es éviée lorsque l ierfae rearde la rupure d ue ouhe e favorisa la déviaio des fissures. L aalyse de e éaise es do prépodérae puisqu elle pere de déerier les propriéés opiales de l ierfae. Les observaios expérieales déore que la présee d ue fissure peu provoquer ue déohésio ierfaiale lorsqu elle se rouve au voisiage de l ierfae (Xu e al., 003). La déviaio de fissure par ue ierfae doi do êre éudiée o pas oe u éaise de propagaio ais oe u éaise d aorçage. Pari les différees éhodes qui peree de dérire l aorçage d ue fissure au voisiage d ue oeraio de oraie das u aériau fragile, o disigue les approhes e oraies (Sewery e al., 00), les approhes e éergie (Yosibash e al., 00) e les odèles de zoe ohésive (Moerie, 000). Das le preier as, o osidère que la rupure se produi si la oraie d ouverure ou sa oyee exède ue valeur riique à ue eraie disae le log du hei aiipé de rupure. Das le seod as, l aorçage es prédi si l éergie élasique oyee das u erai volue aei ue valeur riique. Pour évier que la logueur d aorçage e soi syséaiquee ue valeur fixe araérisique du aériau, Leguillo a proposé u rière ixe (CM) qui ouple ue odiio e éergie e ue odiio e oraie (Leguillo, 00). Efi, pour les odèles
8 èe Cogrès Fraçais de Méaique Greoble, 7-3 aoû 007 de zoe ohésive (MZC), o uilise u odèle d edoagee d ierfae pour siuler u aorçage. L objeif de e papier es de oparer ue approhe de ype «rière ixe (CM)» ave ue approhe de ype «zoe ohésive (MZC)» pour dérire l aorçage d ue fissure ierfaiale e ao d ue fissure priipale. Modélisaio Afi d êre représeaive d u sysèe oposie, la géoérie éudiée es de ype irooposie. Le volue éléeaire représeaif (VER) es do axisyérique e assoie deux ylidres oeriques de rayos respeifs (fibre) e Rf / V f (arie) où V f es la fraio voluique de la fibre (figure -a). La haueur L du VER es hoisie grade par rappor à l épaisseur des osiuas. Ue parie de la arie es fissurée aulairee das le pla z = 0. La disae ere l ierfae e la poie de ee fissure es appelée ligae e oée l. Le hargee es u déplaee oooe roissa appliqué sur la parie supérieure de la ellule. Les aluls so réalisés par élées fiis e les odiios de syérie géoérique e de hargee peree de e odéliser qu u quar du VER oe le ore la figure -b. Ue éude de overgee au aillage pere de déduire la aille adéquae des élées das la zoe ierfaiale afi de bie predre e ope la sigularié des oraies e fod de fissure. Efi, les osiuas fibre e arie o u oporee élasique isorope do les odules d Youg e oeffiies de Poisso so respeivee oés ( f, f ) E υ e (, ) E υ. Les résulas préseés das la suie so issus de aluls réalisés pour = 7.5 µ, V f = 0., E f = E = 00 GPa, υ = υ = 0. e l = 0. µ afi de dérire l aorçage d ue fissure ierfaiale de logueur d. f U z Marie Fibre d z r U r =0 E f Fibre Marie E l L=0 a) b) FIG. a) Volue éléeaire représeaif ; b) Modélisaio du VER.. Crière ixe d aorçage Le rière ixe uilise ue odiio éergéique qui opare la variaio d éergie poeielle ere l éa fial (fissuré) e l éa iiial (sai) à la éaié du aériau : i W (0) W ( d) G ( d ) = = A ( l, d ) Eiε G ave d où W es l éergie poeielle à hargee iposé, ν f ν Ei E f E = + () G la éaié de l ierfae, ε la déforaio iposée e A( d ) u oeffiie adiesioé e dépeda que de la géoérie du odèle. Il s agi d ue relaio faisa ierveir u aux de resiuio d éergie «iréeal» i G d das la esure où l irée ifiiésial de fissuraio es replaé par u ( ) irée de fissure de logueur fiie d.
8 èe Cogrès Fraçais de Méaique Greoble, 7-3 aoû 007 Ue seode relaio es ue odiio de ype oraie qui ipose ava la rupure ue oraie d ouverure rr supérieure à la résisae de l ierfae sur ue disae au ois égale à la logueur d aorçage : krr (, ) (, ) rr rr i l z = k l z E ε () La proédure uérique uilisé pour le alul des oeffiies adiesioés A (, d ) ( l, z) es dérie par ailleurs (Mari e al., 998).. Modèle de zoe ohésive l e L iroduio d u odèle de zoe ohésive (MZC) pere l aorçage e la propagaio d ue fissure ierfaiale. L évoluio de la zoe ohésive es dérie e ere de relaio ere la oraie appliquée e la disoiuié de déplaee [u]. Cee relaio défii e pariulier ue oraie iale e u déplaee riique δ au delà duquel la fore de ohésio es ulle. O ore que ee approhe revie à osidérer la fissure oe ue surfae aérielle posséda u oporee edoageable. Le MZC uilisé es elui de Needlea-Tvergaard (003) qui eploie ue relaio polyoiale pour défiir la relaio u e qui auorise u ouplage ere les odes d edoagee oraux e ageiels ([ ]) de l ierfae. La variable d edoagee de l ierfae es < u > u λ = + δ δ ave 0 λ (3) où u e u. La foio ( ) 7 F λ = ( λ ) pere de défiir les oraies ( T, T ) de ohésios orale e i ageielle (pour λ 0 ) : u u T = F ( λ ) e T F ( λ ) δ = δ () u so les oposaes orales e ageielles de [ ] E ode oral ( u = 0 ), la oraie orale iale es T =, la rupure es obeue 9 pour u = δ e l éergie osoée par uié de surfae es δ. E ode ageiel 6 ( u = 0 ), la oraie ageielle iale es T = α, la séparaio de l ierfae se produi lorsque u = δ e l éergie de rupure par uié de surfae es 9 α δ. Le MZC es 6, δ, δ, α. Les aluls o éé réalisés ii sas do défii à l aide des quare paraères ( ) différeier les odes oraux e ageiels ave δ = δ e α =. 3 Résulas e disussios 3. Crière ixe Les figures -a e -b présee les oeffiies k ( l, z) e A(, d ) respeivee de la oordoée axiale z e de la logueur de déohésio d. rr l e foio 3
8 èe Cogrès Fraçais de Méaique Greoble, 7-3 aoû 007 A(l,d) 0,6 0, 0, 0 0 5 0 5 Logueur de déohésio d/ (%) K rr (l,z) 6 5 3 0 0 3 6 9 5 Logueur axiale z/ (%) Déforaio à l'aorçage ε * (%) 0 0, =00 MPa 0,0 0,00 =000 MPa =0 MPa a) b) ) 0,00 0,0 0, 0 00 Téaié ierfaiale G (J/) FIG. a) Taux de resiuio d éergie iréeal e foio de la logueur de déohésio ierfaiale ; b) Coeffiie de oeraio de oraie e foio de la logueur axiale ; ) Déforaio à l aorçage e foio de la éaié ierfaiale. La figure -a ore que le aux de resiuio d éergie iréeal es roissa puis déroissa e foio de la logueur de déohésio d e passe do par ue valeur iale z = d l. Aisi, pour u hargee oooe roissa ε, la odiio e éergie pour ( ) es saisfaie pour la preière fois lorsque A( l, d ) Ei ε = G (5) L aorçage d ue fissure ierfaiale de logueur d ( ) l éessie que la odiio e oraie (6) soi saisfaie rr ( l, d ) = krr ( l, d ) Eiε (6) Il fau do que L A( l, d ) L ( l) = (7) R f krr ( l, d ) Rf où Ei G = es la logueur araérisique de l ierfae e L ( l) L ( ) logueur araérisique de la géoérie de la sruure. La oparaiso ere pere de disiguer deux as : a) la logueur araérisique A( l, d ) = k (, ) rr l d ue L e L ( l ) L es suffisae grade pour que L L ( l ) C es le as lorsque l ierfae es eae e/ou que la oraie riique es faible. Pour u hargee oooe roissa ε, la odiio e oraie (6) es alors oujours saisfaie sur ue logueur supérieure à d ava que la odiio e éergie e le soi. Cee derière qui es la plus diffiile à replir, piloe do le éaise d aorçage. La logueur d aorçage es d* = d e la déforaio à l aorçage e déped pas de la oraie à rupure de l ierfae ave : ε * W ( l) ε ( l) G = = A ( l, d ) Ei
8 èe Cogrès Fraçais de Méaique Greoble, 7-3 aoû 007 b) la logueur araérisique L es suffisae faible pour que L < L ( l) L ierfae es alors résisae e/ou de faible éaié. Elle es ropue à l aorçage sur ue logueur d* < d obeue e résolva A( l, d ) L = k (, ) R rr l d f. (8) Das le as liie où G = 0, la odiio éergéique es oujours saisfaie e le rière d aorçage se rédui à ue odiio e oraie ave ε S ( l) = ε ( l) =. E k i rr ( l,0) La figure - illusre lairee es deux siuaios. Aisi, pour de faibles valeurs de grades valeurs de (faibles valeurs de 5 (9) G e L ), la odiio e oraie prédoie e la oraie d aorçage déped peu de la éaié ierfaiale. Au oraire lorsque G augee ( L grad), la logueur d aorçage devie osae e l aorçage es alors uiquee piloé par la odiio e éergie. 3. Modèle de zoe ohésive Das le as du MZC qui es défii par le ouple (, ) δ, o osidère qu il y a aorçage à l ierfae dès que la odiio λ = es aeie e u œud. La figure 3-a représee aisi la déforaio à l aorçage pour fixée e foio du déplaee riique δ. O osae que les résulas so siilaires à eux obeus à l aide du rière ixe. E effe, l aorçage e déped que de la oraie lorsque la logueur araérisique de l ierfae défiie par i E δ MZC = es faible. Lorsque augee ave > 0.00, la déforaio à MZC l aorçage devie dépedae des araérisiques (, ) MZC δ. Afi de oparer les deux G approhes, o irodui das le as du rière ixe u déplaee riique δixe = qui odui à la logueur araérisique déforaio d aorçage das les deux as e foio de E δ Ei G = i ixe ixe = = L. La figure 3-b qui rae la ( ) MZC e ixe pere de vérifier que les résulas so équivales. O oe epeda que l eploi du MZC e pere pas de représeer l eseble des propriéés ierfaiales puisque l hypohèse d ue résoluio e δ déforaios ifiiésiales ipose e praique ue faible valeur de δ ave 0,%. O rearque aussi que les deux approhes e so pas équivalees e ere d éergie osoée 9 par uié de surfae à l aorçage puisque l o obie Gixe = δ e GMZC = δ. Les 6 résulas ore aussi que l eploi d u MZC différe, oe elui de Criesfield (Alfao e
8 èe Cogrès Fraçais de Méaique Greoble, 7-3 aoû 007 al, 00), e fouri pas les êes résulas que eux obeus ave le odèle de Needlea u ai pas d iporae lorsque l o aalyse Tvergaard. Bie que le hoix de la relaio ([ ]) la propagaio d ue fissure saioaire, ee relaio odifie la desripio de l aorçage (Moerie, 000). Déforaio à l'aorçage ε * (%) 0, 0,0 =000 MPa =00 MPa =0 MPa 0,00 0-5 0,000 0,00 0,0 0, / 6 Déforaio à l'aorçage ε * (%) 0,5 0, 0,05 odèle zoe ohésive rière ixe =00 MPa =0 MPa 0 0-6 0-5 0,000 0,00 0,0 0, 0 / a) b) FIG. 3 a) Déforaio à l aorçage pour le MZC e foio de la logueur araérisique oralisée / ; b) Déforaio à l aorçage pour le rière ixe e le MZC. Colusios U rière ixe ( G, ) e u odèle de zoe ohésive (, ) δ o éé oparés pour dérire l aorçage d ue fissure ierfaiale e ao d ue fissure priipale. Les deux approhes fourisse des résulas siilaires. O ore e pariulier que l aorçage es piloé par ue odiio e oraie dès lors que la logueur araérisique de l ierfae Ei G Ei δ ou es faible deva la logueur araérisique de la sruure. ( ) Référees Naslai R. 993, Fibre arix ierphases ad ierfaes i erai arix oposies proessed by CVI, Coposies Ierfaes,, 53-86 Xu L.R., Huag Y.Y., Rosakis A.J. 003, Dyai rak defleio ad peeraio a ierfaes i hoogeeous aerials: experieal sudy ad odel prediios, J. Meh. Phys. Solids, 5, -86 Sewery A., Lukaszewiz A. 00, Verifiaio of brile fraure rieria for elees wih V- shaped ohes, Eg. Fra. Mehais, 69, 87-50 Yosibash Z., Bussiba A., Gilad I. 00, Failure rieria for brile elasi aerials, I J. Fra., 5, 307 333 Leguillo D. 00, Sregh or oughess? A rierio for rak ose a a oh, Eur. J. Meh. A/ Solids,, 6-7 Moerie Y. 000, Fissuraio des aériaux oposies : role de l ierfae fibre/arie, Thèse de l Uiversié Aix-Marseilles II, Frae. Mari E., Peers P.W.M., Leguillo D., Queisse J.M. 998, Codiios for arix rak defleio a a ierfae i erai arix oposies, Maer. Si. Eg. A., 50, 9-30 Tvergaard V. 003, Cohesive zoe represeaios of failure bewee elasi or rigid solids, Eg. Fra. Mehais, 70, 859-868 Alfao G., Crisfield M.A. 00, Fiie elee ierfae odels for he delaiaio aalysis of laiaed oposies : ehaial ad opuaioal issues, I. J. Nuer. Meh. Egg, 50, 70-736