Résumé du cours d Analyse 3 (L3 Maths)

Résumé du cours d Analyse 3 (L3 Maths) Yves Driencourt Printemps Table des matières Prologue : La fonction exponentielle 3. Compléments et rappels sur les séries................ 3. Séries entières............................. 4.3 Dé nition de exp(z)......................... 5 Holomorphie et Analycité 9. Fonctions analytiques........................ 9.. Propriétés générales..................... 9.. Les zéros d une fonction analytique et le principe du prolongement analytique.................... 9. Fonctions holomorphes.........................3 Analycité des fonctions holomorphes................ 3.4 Le principe du maximum...................... 4.5 Opérations sur les séries de Laurent................ 7.6 Le logarithme d un nombre complexe................ 7.7 Points singuliers et fonctions méromorphes..............8 La formule de Cauchy pour un cercle et les suites de fonctions holomorphes...............................8. Chemins et intégrales curvilignes...............8. La formule de Cauchy.................... 4.8.3 Le théorème de Weierstrass................. 6.8.4 Application au produits in nis............... 7 3 La théorie de Cauchy 8 3. Lien avec les primitives....................... 8 3. Homotopies de chemins et de lacets................. 9 3.3 Le théorème de Cauchy....................... 3 3.4 La formule intégrale de Cauchy................... 3 3.5 La formule des résidus........................ 3 4 Transformation de Mellin et Fonction 34 4. Intégrales dépendant analytiquement d un paramètre....... 34 4. Transformées de Laplace et de Mellin................ 35 4.3 Prolongement analytique des transformées de Mellin....... 36 4.4 La formule d inversion de Mellin.................. 39

Bibliographie : l auteur a utilisé les sources suivantes, auxquelles le lecteur est renvoyé pour des démonstrations complètes et de plus amples développements. Roger Godement : Analyse Mathématique I et II (Springer). Jean Dieudonné : Calcul In nitésimal (Hermann) 3. Henri Cartan : Théorie élémentaire des fonctions analytiques (Hermann) 4. Patrice Tauvel : Analyse complexe pour la licence 3 (Dunod) 5. Walter Rudin : Analyse réelle et complexe (Dunod) Ces ouvrages sont présents en bibliothèque, la référence 4 contient de plus des exercices pour lesquels est donnée une solution abrégée.

Prologue : La fonction exponentielle. Compléments et rappels sur les séries Dé nition : Le produit de deux séries P a n et P b n est la série P c n où c n est donné, pour tout n ; par la formule c n = nx a k b n k : k= Proposition (produit de séries AC) : Le produit P c n de deux séries P an et P b n absolument convergentes est encore une série absolument convergente et on a : n= c n = n= a n! n= b n! : Proposition 3 (série double) : i) Soient (a ij ) i;j des réels positifs, on a i= j= a ij = a ij j= i= l égalité signi ant que les membres sont ou bien nis et égaux, ou bien simultanément in nis. On note donc le résultat P i;j a ij: ii) Soient (a ij ) i;j des nombres complexes quelconques. On suppose que P i;j ja ijj < + (ce qui signi e que l une ou l autre des deux quantités ou j= i= ja ij j l est, puisqu elles sont égales). Alors on a i= j= a ij = a ij j= i= i= j= Proposition 4 : Soient ( n ) une suite de nombres réels décroissant vers et (v n ) une suite de nombres complexes telle que la suite (V n ) des sommes partielles reste bornée. La série P n v n est alors convergente. Exercice : Prouver cette proposition en utilisant le critère de Cauchy, puis en écrivant v n = V n V n et en ré-ordonnant suivant les V i : Appliquer ce résultat à la série P n v n où v n = e in ; = : Exercice : Soient P a n et P b n deux séries et P c n la série produit. On rappelle que c n = X a i b j et on note A n ; B n ; C n les sommes partielles d indice i+j=n n des 3 séries. ) On suppose que les séries P a n et P b n sont à termes positifs et convergentes. Montrer que l on a C n A n B n C n ; ja ij j 3

en déduire que P c n converge et l égalité n= c n = n= a n : b n : () ) On suppose maintenant que les séries P a n et P b n sont absolument convergentes. Montrer à l aide de ) que la série de terme général jc n j converge. Prouver ensuite l égalité en remarquant par exemple que nx ja n B n C n j A nbn Cn où on note A n = ja i j (resp. Bn; Cn).. Séries entières Dé nition 5 : On appelle série entière (de la variable complexe z) toute série de fonctions de la forme + P f n ; où avec a n C: n= f n (z) = a n z n Proposition 6 (lemme d Abel) : Soient P a n z n une série entière, et z un point de C tel que la suite (a n z n ) nn soit bornée. Alors, pour tout z C tel que jzj < jz j ; la série P a n z n est absolument convergente. De plus, pour tout nombre réel r tel que < r < jz j ; la série P a n z n est normalement convergente dans le disque fermé jzj r: Corollaire 7 : Soient P a n z n une série entière, et z un point de C tel que la suite P a n z n soit convergente. Alors, pour tout z C tel que jzj < jz j ; la série P an z n est absolument convergente. n= i= Soit A l ensemble des réels positifs r tels que la suite (a n r n ) nn soit bornée. Cet ensemble contient et admet donc, dans [; +] une borne supérieure R: - pour jzj < R; la série P a n z n est absolument convergente, - pour jzj > R; la série P a n z n est divergente. Dé nition 8 (rayon de convergence) : Le nombre R ainsi dé ni est appelé le rayon de convergence de la série entière. Exemple 9 : + P n= z n n a pour rayon de convergence, car la série diverge pour z = (d où R ) et converge pour z = (d où R ): Calcul pratique du rayon de convergence Si ja n j n a une limite ` quand n! +; alors R = ` (avec les conventions = + et + = ): Si an+ a n a une limite ` quand n! +; alors R = ` : Plus précisément, le rayon de convergence est donné par la formule d Hadamard 4

Proposition (calcul du rayon) : Le rayon de convergence de la série entière P a n z n est donné par R = lim sup np ja n j: Exemple : La série entière P z n! a pour rayon de convergence : R = : Proposition : Les séries entières + P a n z n rayon de convergence. n= et + P na n z n ont le même n=.3 Dé nition de exp(z) (d après W. Rudin, Real and Complex Analysis, Prologue, Mac-Graw Hill Ed.) Dé nition 3 (exponentielle) : La fonction exponentielle est dé nie, pour z C; par la série absolument convergente z n exp(z) = X n! : n Proposition 4 : exp est une fonction continue de la variable z et que, pour deux nombres complexes a et b; on a la formule exp(a) exp(b) = exp(a + b): Corollaire 5 : On a exp() = et exp(z) 6= pour tout z C: Proposition 6 : exp est dérivable (au sens complexe) et sa dérivée est ellemême. Corollaire 7 : La restriction de exp à R est une fonction strictement croissante et on a lim exp(t) t!+ = + exp(t) = : lim t! Proposition 8 : La fonction t 7! exp(t) est la fonction inverse de la fonction ln dé nie sur R + par ln(t) = ce qui justi e à partir de maintenant l emploi de l une ou l autre des notations exp(z) ou e z : t dx x ; Proposition 9 : On a et donc e it = : e it = e it 5

Dé nition (sinus et cosinus) : On dé nit les fonctions cos et sin par cos t = Re(e it ) et sin(t) = Im(e it ) (t R): On déduit immédiatement de là les relations dites "de Moivre" et le fait que cos t = eit + e it ; sin t = eit e it ; i d (sin t) dt = cos t; d (cos t) dt = sin t: La relation de Moivre jointe à la dé nition de l exponentielle montre que cos s écrit comme somme d une série entière alternée cos t = t! + t4 4! t 6 6! + ::::: et puisque la somme d une série alternée est comprise entre ses sommes partielles par défaut et par excès, on peut remarquer que cos() < : On en déduit (théorème des valeurs intermédiaires) qu il existe un plus petit nombre réel positif t tel que cos(t ) = : Dé nition (le nombre ) : On pose = t où t est le plus petit zéro positif de la fonction cos : On peut d ailleurs véri er, en calculant les 4 premiers termes de la somme pour la valeur t = 3 ; que le nombre est compris entre 3 et 4. Proposition : Le nombre véri e e i= = i et donc pour tout entier n: e in = La réciproque est vraie, à savoir Théorème 3 : On a e iz = () z : De plus, l application t 7! e it est un morphisme de (R; +) sur le cercle unité U C: Plus généralement, l application z 7! e z est un morphisme surjectif de (C; +) sur (C ; ): 6

Autre façon de démontrer ce résultat, cf Tauvel : on prouve d abord, par une méthode di érente, que z 7! e z est un morphisme surjectif de (C; +) sur (C ; ); évidemment continu, ensuite on montre que le noyau de t 7! e it est un sous-groupe non trivial de R; qui est donc dense ou discret. Comme il est fermé, il ne peut être que discret, donc de la forme où est le plus petit élément t positif de R véri ant e it = : On le note : Exercice 3 (preuve du théorème) : Soit z C véri ant e z = ; on veut montrer que z est un multiple entier de i: On pose z = x + iy; montrer que x = : Reste donc e iy = avec un y que l on peut supposer dans [; ] puisqu on sait déjà que e in = pour n entier.par l absurde on suppose que < y < et on dé nit u et v réels tels que e iy=4 = u + iv: Montrer que u > et v > ; puis en calculant e iy = (u + iv) 4 ; que cette quantité ne peut être égale à. Montrer que l application t 7! e it envoie l ensemble R sur le cercle unité (pour prouver la surjectivité, commencer par supposer que le point du cercle est dans le premier quartier, pour s y ramener ensuite). En déduire que l application z 7! e z de C dans C est surjective: Exercice 4 : Montrer que pour tout z C : Exercice 5 : Montrer que l on a je z j e jzj jzj e jzj : pour tout x h ; i. x sin x x Exercice 6 : On pose z = +i et z = p 3+i: Calculer le module et l argument de z; z ; z =z: Ecrire z=z sous forme trigonométrique et sous forme algébrique et en déduire les valeurs de cos et sin : Exercice 7 : Résoudre l équation z 4 = cos et sin : i p 3 et en déduire les valeurs de Exercice 8 : On pose j = e i=3 : Montrer que ; j et j = j = j sont les 3 racines cubiques de, et + j + j = : Montrer que les racines 6-ième de sont ; j; j ; ; + j; + j : Exercice 9 : Montrer que ( j) 6 = 7: Exercice : Résoudre l équation z 4 + z + = : Exercice : On pose! = e i=5 : Montrer que +! +! +! 3 +! 4 = : En déduire que cos 5 véri e une équation du second degré et donner sa valeur. 7

Exercice : Décomposer sur C le polynôme z 3 (5 + 6i)z + 9iz + 3i sachant qu il admet une racine réelle. Exercice 3 : Montrer que le polynôme P (z) = + z + z! pas de racine multiple. Exercice 4 : On pose, pour z C cos z = eiz + e iz Montrer que l on a, pour z et z dans C : et sin z = eiz e iz cos(z + z ) = cos z cos z sin z sin z sin(z + z ) = sin z cos z + cos z sin z cos z + sin z = : Exercice 5 : Montrer que pour x et y réels jsin(x + iy)j = sin x + sh y; jcos(x + iy)j = cos x + sh y: b) Trouver un ouvert U de C non borné sur lequel sin z est borné. c) Déterminer les zéros des fonctions sin az; cos az (où a R ). d) Montrer que si < a < et n > : sin az sin z ch ay ch y i + :::: + zn n! n admet pour z = n + + iy et sin az ch a(n + sin z ) sh (n + ) pour z = x + i(n + ). Exercice 6 : Montrer qu il existe une constante M telle que jcot zj M pour z décrivant le périmètre d un carré de côtés parallèles aux axes, de longueur n + ; centré à l origine. Exercice 7 : On pose f(z) = z + : Montrer que quand jzj! + : z f(z) = O(): Résoudre explicitement z f(z) : Exercice 8 : a) Déterminer tous les zéros, dans C, des fonctions suivantes a) cos z; b) sin z ; c) cosh z; d) sinh z i; e) cos z p=; f) sin z =; g) cos z : 8

Holomorphie et Analycité. Fonctions analytiques.. Propriétés générales Dé nition 4 On dit qu une fonction f dé nie sur un ouvert U de C est analytique dans U si, pour tout point a U; il existe r > tel que f est représentée par une série entière convergente f(z) = n= a n (z a) n dans le disque jz aj < r: Exemple 5 polynômes, z Théorème 6 La somme d une série entière f(z) = + P a n z n de rayon de convergence R > est analytique dans le disque D : jzj < R:: Elle est dérivable (et même C au sens complexe) en tout point de D et son développement au voisinage de est donné par sa série de Taylor f(z) = n= f (n) () z n n! n= où f (p) (z) = X np n(n )::::::(n p + )a n z n p désigne la série dérivée terme à terme de la série f, possédant le même rayon de convergence, et représentant la dérivée d ordre p au sens complexe... Les zéros d une fonction analytique et le principe du prolongement analytique Rappel : la composante connexe d un point On utilisera les résultats suivants (cf par exemple Dieudonné : Fondements de l analyse moderne) : Lemme 7 : Soient E un espace métrique et (A i ) ii une famille d ensembles connexes ayant une intersection non vide. Alors A = [ ii A i est connexe. Il en résulte que la réunion C(x) de tous les sous-ensembles connexes de E contenant un point x E est connexe, donc le plus grand sous-ensemble connexe de E contenant x : on l appelle la composante connexe de x dans E: Si y C(x); on a C(y) = C(x); dans le cas contraire : C(x) \ C(y) = ; (sinon, lemme, C(x) [ C(y) serait un connexe contenant x, plus grand que C(x) ). En n C(x) est fermé dans E; en vertu du résultat suivant : si A est un connexe de E; tout sous-ensemble B de E véri ant A B A est connexe, en particulier l adhérence d un ensemble connexe. 9

Revenons à une fonction f analytique dans U: On a donc, si a U; un développement en série entière absolument convergente f(z) = n= a n (z a) n pour jz aj < r avec un certain r > : Il s ensuit que g(u) = f(a + u) = n= a n u n est une série entière absolument convergente pour juj < r; à laquelle on peut appliquer le théorème 6 : g(u) = n= g (n) () u n ; n! mais g (n) () = f (n) (a) (dérivation composée), d où f(z) = n= f (n) (a) (z a) n n! si jz aj < r: On dit que a est un zéro de f si f(a) = : On écrit alors f(z) = n= f (n) (a) (z a) n n! au voisinage de a et deux situations peuvent se présenter a) les f (n) (a) ne sont pas tous nuls : il existe donc un plus petit p tel que f (p) (a) 6= : On a alors f(z) = (z a) p g(z) avec g(z) = f (p) (a) p! + (z a) + ::::: g est continue comme somme d une série entière de même rayon de convergence que f: g étant non nulle en a; elle est non nulle sur un voisinage de a : il y a donc un disque de centre a tel que f(z) 6= pour tout z du disque autre que a: On dit dans ce cas que a est un zéro isolé. b) f (n) (a) = pour tout n : alors f(z) = dans un disque ouvert de centre a contenu dans U: On va montrer que f = dans la composante connexe de a dans U: Pour cela, on pose N = fb U / f(z) = pour tout z voisin de bg et on montre que N 6= ; (il contient a); ensuite qu il est ouvert et fermé dans U: On a ainsi démontré le

Théorème 8 Soient f une fonction analytique dans un ouvert U de C et a un zéro de f: Ou bien a est un zéro isolé de f, ou bien f est nulle dans la composante connexe de a dans U: Remarque 9 Si U est connexe, les zéros peuvent s accumuler sur un point frontière, ex f(z) = sin(=z) dans U = C : Corollaire 3 (Principe du prolongement analytique) Soient f et g deux fonctions analytiques dans un ouvert connexe U de C. S il existe une suite (a n ) de points du U; de limite a U telle que f(a n ) = g(a n ) pour tout n; alors f = g dans U: Plus généralement, si f est dé nie et analytique dans un ouvert U; on appelle prolongement analytique de f toute fonction dé nie et analytique dans un ouvert U contenant U et qui coïncide avec f sur U: Si U est connexe, le prolongement analytique est évidemment unique. Soit f une fonction dé nie et analytique dans un ouvert U de C. On sait que f(z) = n= f (n) (a) (z a) n n! dans un disque su samment petit centré en a; appelons le D : Cette série, notons g(z) sa somme, converge absolument dans D mais a priori son disque de convergence D contient D : Soit le disque, compris entre D et D dé ni comme le plus grand disque de centre a; contenu dans U; dans lequel la série converge. f est analytique dans (puisque dans U), de même pour g (puisque dans D d après le théorème 6). De plus f = g dans D : En vertu du principe du prolongement analytique, étant connexe, on a f = g dans : La série de Taylor représente donc f dans le plus grand disque ouvert contenu dans U où elle converge. Reste à savoir jusqu où elle converge... Exercice 9 : Montrer que f(z) = z est analytique sur C ; qu en est-il de g(z) = Re(z)? (pour cette dernière, on pourra donner au moins méthodes indirectes en utilisant ce qui précède). Exercice : Existe-t-il une fonction f analytique au voisinage de telle f( n ) = e n? Exercice : Existe-t-il une fonction f analytique au voisinage de telle f( n ) = f( n + ) = lorsque n tend vers +? n Exercice : a) Soit f une fonction analytique dans le disque D(; ) et prenant des valeurs réelles en une suite de points distincts (a n ) de R qui tend vers. Montrer que f(z) = f(z) dans D: b) On suppose de plus que la suite (a n ) est strictement décroissante et que f(a n ) = f(a n+ ) pour tout n : Déduire de a) que f est constante dans D: c) Montrer, à l aide d un exemple, la nécessité de l hypothèse : (a n ) strictement décroissante. Exercice 3 : Ecrire le développement des fonctions cosh z puis sinh z i (resp. en i ): i en

. Fonctions holomorphes Un ouvert U de C s identi e à un ouvert de R modulo la bijection (x; y) 7! x + iy: Si f est une fonction dé nie sur U; on peut donc la regarder comme fonction de deux variables réelles, par abus de notation on la note indi éremment f: On examine d abord le rapport entre dérivabilité au sens complexe et di érentiablité en tant que fonction des variables réelles x et y: Proposition 3 : Soit f une fonction dé nie au voisinage de a = + i U: Les conditions suivantes sont équivalentes i) f est dérivable en a: ii) f est di érentiable en (; ) et on a : f y(a) = if x(a) Pour des raisons de commodité qui apparaîtront plus loin, nous inclurons dans la notion de fonction holomorphe la continuité de la dérivée f : Il en est de toute façon ainsi (on verra qu une fonction dérivable au sens complexe est en fait C, toujours au sens complexe, via le fait qu elle est analytique, ce que l on peut démontrer, mais c est plus délicat, sans supposer a priori la continuité de la dérivée...pour un tel exposé, voir Cartan, Rudin,Tauvel) Dé nition 3 : On dit que f est holomorphe dans U s il existe une fonction continue f dans U telle que f(z + h) = f(z) + f (z)h + o(h) () quand h = u + iv tend vers par valeurs complexes. Il revient au même de dire que la fonction f admet une dérivée au sens complexe f f(z + h) f(z) (z) = lim h! h et que celle-ci est continue. Proposition 33 : Les fonctions holomorphes dans U sont les fonctions f qui, regardées comme fonctions des variables x et y; sont de classe C dans U et véri ent l égalité (dite de Cauchy-Riemann) : f y = if x: En e et, il su t d utiliser ce qui précède et de se rappeler qu une fonction de plusieurs variables est C (dé nition!) si ses dérivées partielles sont continues, ce qui est le cas ici. On en déduit, modulo les règles usuelles concernant le calcul des dérivées partielles, que la somme, le produit, le quotient (là où le dénominateur ne s annule pas) et la composée de deux fonctions holomorphes, sont holomorphes. Exercice 4 : a) On pose f = P +iq où les fonctions P et Q sont réelles. Que devient la condition de Cauchy-Riemann si on l exprime à l aide des fonctions P et Q? b) Calculer, en fonction de dx et dy; les di érentielles dz et dz; puis la di érentielle df comme combinaison linéaire de dz et dz: En déduire que la condition de Cauchy-Riemann peut s écrire : @f @z = ; après avoir donné un sens à cette dernière expression.

Exercice 5 : On suppose f holomorphe dans un ouvert connexe non vide U; avec de plus f (z) = : Montrer que f est constante dans U (indication : commencer par le faire dans une boule ouverte centrée en un point z de U): Exercice 6 : On suppose f holomorphe dans un ouvert connexe non vide U: Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : i) f est constante dans U: ii) Re(f) est constante dans U: iii) Im(f) est constante dans U: iv) jfj est constante dans U: v) f est holomorphe dans U: Exercice 7 : Soient U un ouvert connexe non vide de C; f et g deux fonctions holomorphes dans U a) On suppose que f(z) + g(z) R pour tout z U: Montrer qu il existe c R tel que f(z) + c = g(z) pour tout z U: b) On suppose que g ne s annule pas sur U et que f(z)g(z) R pour tout z U: Montrer qu il existe c R tel que f(z) = cg(z) pour tout z U:.3 Analycité des fonctions holomorphes Ce qui précède prouve que toute fonction analytique dans U y est holomorphe. Nous allons maintenant étudier la réciproque. Théorème 34 : Soit f une fonction holomorphe dans le disque ouvert D(; R): Alors f admet dans ce disque un développement en série absolument convergente f(z) = n= a n z n f est donc analytique dans ce disque d après le théorème 6. Ce théorème est la conséquence d un résultat plus général disant ceci Proposition 35 : On suppose f holomorphe dans la couronne circulaire R < jzj < R : Elle admet alors dans cette couronne un développement absolument convergeant de la forme f(z) = : X n a n z n Noter qu on obtient ici une représentation globale de f sous forme de série. Cette dernière s appelle la série de Laurent de f: Il faut bien voir que la nonexistence d une expression de f sous forme de série entière, à savoir la présence de termes en z dans la série de Laurent, provient du fait que la fonction n est pas holomorphe au voisinage de (ce que traduit la restriction à une couronne du domaine d holomorphie de la fonction, de la même façon qu on traduit la notion d holomorphe au voisinage de a C par "holomorphe dans un disque centré en a"): Remarque 36 : Noter que dans cette démonstration, on a utilisé à deux reprises le fait que f est C : 3

On peut maintenant répondre à la question posée à la n du premier paragraphe de ce chapitre. Théorème 37 : Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert U de C et a un point de U. Alors f est analytique dans U; la série de Taylor de f en a converge et représente f dans le plus grand disque ouvert de centre a contenu dans U: En e et, soit D(a; R) le plus grand disque de centre a contenu dans U ; par composition, la fonction g dé nie par z 7! a + z 7! f(a + z) est holomorphe dans D(; R) et s écrit donc g(z) = n= a n z n ; série convergeant absolument dans le disque D(; R): D où, en posant a + z = u f(u) = n= a n (u a) n ; série convergeant absolument dans le disque D(a; R): Or au voisinage de a; la seule série entière susceptible de représenter f est sa série de Taylor en a: Conclusion : cette dernière converge absolument dans le plus grand disque ouvert centré en a et contenu dans U: Dé nition 38 : On appelle fonction entière toute fonction dé nie et holomorphe dans C tout entier. Théorème 39 (Liouville) : Toute fonction entière bornée est constante. Plus généralement, si une fonction entière véri e f(z) = O(z n ) à l in ni, c est un polynôme de degré n au plus. Théorème 4 (d Alembert-Gauss) : Tout polynôme (de C [X]) de degré possède au moins une racine complexe. Exercice 8 : Soit f une fonction holomorphe et non nulle en a C véri ant (pour simpli er) f(a) = : Montrer que le développement de g = =f en a est donné par g(z) = f (a)(z a) + (f (a) f (a))(z a) + O((z a) 3 ):.4 Le principe du maximum Soit f une fonction dé nie et holomorphe dans un ouvert U de C. Comme corollaire du théorème, on peut véri er que la valeur de f en un point a de U est égale à la valeur moyenne de f sur la circonférence de tout disque de centre a contenu dans U: Dé nition 4 : On dit que f admet un maximum local en un point a de U si l on a jf(z)j jf(a)j dans un disque ouvert de centre a: 4

Théorème 4 : Soit f une fonction dé nie et holomorphe dans un ouvert connexe U. Si f possède un maximum local en un point a de U; elle est constante dans U: Pour une partie A de C et une fonction f dé nie et bornée sur A, on note kfk A = sup jf(z)j : za Corollaire 43 : Soient U un ouvert connexe de C (on dit que U est un domaine) que l on suppose en outre borné, U son adhérence et @U = U U sa frontière. On suppose que f est une fonction dé nie et continue dans U; holomorphe dans U: On a kfk U = kfk U = kfk @U : Remarque 44 : on peut montrer que ce résultat subsiste, même si l on ne suppose plus U borné. Exercice 9 : On suppose f analytique dans le disque jzj < R: Pour < r < R; on pose M(r) = sup jf(z)j : jzj=r Montrer que si f n est pas constante, M(r) est une fonction strictement croissante de r: Exercice 3 : Soit f une fonction analytique dans un ouvert U; et K une partie compacte contenue dans U; d intérieur connexe. Montrer que Re f(z) (resp. Im f(z)) atteint ses extrema sur la frontière de K: Exercice 3 (lemme de Schwarz) : On suppose f analytique dans le disque jzj < véri ant de plus f() = et jf(z)j : i) Montrer que jf(z)j jzj pour jzj < (commencer par montrer, en utilisant le principe du maximum, que pour tout r < : jf(z)j jzj r pourvu que jzj r) ii) Montrer que si l égalité a lieu pour un certain z ; c est que f(z) = z où est une constante de module. Exercice 3 : Soit f une fonction analytique dans le disque ouvert jzj < R: a) On suppose que pour une valeur de r ( < r < R); la fonction 7! f(re i ) est constante et que f(z) 6= pour jzj < r: Montrer que f est constante (utiliser l exercice 9). b) On suppose que f prend des valeurs réelles sur le cercle jzj = r, avec toujours < r < R: Montrer que f est constante (poser g = e if et utiliser a) ). Exercice 33 : Montrer que si f est analytique dans jzj > R et que existe, alors sa série de Laurent est une série entière en z. lim f(z) jzj!+ 5

Exercice 34 : Soit f une fonction analytique dans l extérieur d un disque : jzj > R telle que f(z) existe. Soit r > R; montrer que jf(z)j M(r) (cf lim jzj!+ exercice 9) pour jzj > r et que si f n est pas constante, M(r) est une fonction strictement décroissante de r. Exercice 35 : Soit f un polynôme de degré n: Montrer que si < r < r ; on a M(r ) r n M(r ) r n : Exercice 36 : Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert contenant la couronne fermée r jzj r : Montrer que ln r ln r ln r ln r M(r) M(r ) ln r ln r M(r ) ln r ln r (théorème des trois cercles d Hadamard). (Commencer par appliquer le principe du maximum à la fonction z p f(z) q avec p entier et q entier positif, choisir ensuite réel tel que r M(r ) = r M(r ) et l exprimer comme limite d une suite de rationnels p n avec q n > ): q n Exercice 37 : On veut montrer que kfk U = kfk @U en supposant simplement que U est un ouvert connexe (pas nécessairement borné) de C, f étant une fonction dé nie, continue et bornée dans U: a) Montrer que dans ces conditions kfk U = kfk U et kfk @U kfk U : On suppose de plus f holomorphe dans U: b) Commencer par traiter le cas où f tend vers à l in ni (dans ce cas, pour tout " > ; l inégalité jf(z)j " dé nit une partie compacte de U): c) Dans le cas général, prouver d abord qu il su t de montrer que kfk @U =) kfk U : d) On suppose f non constante dans U (dans le cas contraire, le résultat cherché est évident) et on raisonne par l absurde en supposant qu il existe a U tel que jf(a)j > : Montrer qu il existe r > et M > tel que M = sup jf(z)j zd où D désigne le disque jz aj r: e) On considère la suite de fonctions f n (z) = rf(z)n M n (z a) dans l ouvert V = U D: En utilisant b), montrer que jf n (z)j dans V: f) En déduire que jf(z)j M dans V et donc dans U. g) Par le principe du maximum, prouver que f est constante dans U: Conclure. 6

.5 Opérations sur les séries de Laurent On peut manipuler les séries de Laurent comme les séries entières : en e et une telle série est a priori dé nie dans une couronne R < jzj < R où elle converge absolument. Si on prend la précaution de se placer dans une couronne où séries convergent, on peut y réaliser des opérations comme la somme, le produit etc... grâce au groupement des termes autorisé dans une série double absolument convergente. On peut également les dériver terme à terme en les considérant comme somme d une série entière g en z convergeant pour jzj < R et d une série entière h en z convergeant pour z < R f(z) = g(z) + h( z ): D après la règle de dérivation des fonctions analytiques composées, on en déduit f (z) = g (z) h ( z ) z : Posons alors g(z) = P a n z n et h(z) = P a n z n : On obtient n n f (z) = X X na n z n na n z n+ n n = X na n z n + X na n z n n n = X na n z n en remarquant que la série obtenue ne comporte pas de terme en ; ce qui va z apporter une di érence (par rapport aux séries entières) dans le traitement des primitives : le problème n a pas de solution si la série de Laurent dont on cherche une primitive possède un terme en z : Exercice 38 : On pose f(z) = Laurent de f pour, respectivement jzj < ; < jzj < 3; jzj > 3: z + 3 z.6 Le logarithme d un nombre complexe : Déterminer les développements de On a vu dans le prologue que la fonction exponentielle était un morphisme surjectif de C sur C ; mais non injectif, de noyau i: En particulier tout z C s écrit sous la forme re it où t est unique, à un multiple près de : On appelle t (improprement) l argument de z: A priori, on souhaite dé nir "le" logarithme d un nombre complexe z comme "le" nombre u véri ant u = log z, z = e u : 7

Le problème, comme pour Arc sin dans le domaine réel, c est que l on ne peut dé nir ainsi une fonction, puisque pour une valeur de z; il y a une in nité de valeurs de u: Ecrivant z = jzj e i arg(z) = exp(ln jzj) exp(i arg(z)) = exp(ln jzj + i arg(z)); la relation précédente nous indique que la fonction log cherchée doit se présenter sous la forme log(z) = ln jzj + i arg(z); avec au minimum (on ambitionne de récupérer une fonction holomorphe), une fonction z 7! arg(z) continue. L idée naturelle est donc d inverser la bijection (passage en coordonnées polaires) : (r; ) 7! (r cos ; r sin ) de ]; +[ [ ; [! R f(; )g : Problème : cette bijection n est pas un homéomorphisme, puisque la bijection réciproque n est pas continue en n importe quel point de R ; la demi-droite des réels négatifs. Par contre, si l on considère l intervalle ouvert ] ; [ ; ce qui revient à "ôter" la demi-droite en question, alors est un C -di éomorphisme de ]; +[ ] ; [ sur R R (bijection C ; étale en chaque point) et on peut calculer la fonction arg par la formule : = Arc tan y x + p x + y ; qui est bien dé nie puisque x + p x + y =, (x; y) R ] ; [ : On a donc, pour tout ] ; [ : et à valeurs dans = Arc tan sin cos + : Proposition 45 : La fonction f, dé nie pour z C R ; par Im z f(z) = ln jzj + i(z) avec (z) = Arc tan Re z+jzj,est une bijection C de C R sur la bande horizontale B dé nie par < Im u < : La bijection inverse est la fonction exp : Poursuivant l analogie avec le domaine réel et le fait que exp est un morphisme, on peut se poser la même question pour f = ln, qu on notera de cette façon parce qu il prolonge le logarithme sur R +. En vue une relation entre ln(zz ) et ln(z) + ln(z ). La réponse est ici (partiellement) négative, ainsi que le montre les deux exemples suivants : Exemple 46 : ln(i) = i mais ln(i ) n a pas de sens. Exemple 47 : ln(j ) = i 3 6= ln(j) = 4i 3 : 8

On a malgré tout, si le premier membre a un sens : avec k f; ; g : ln(zz ) = ln(z) + ln(z ) + ki; Proposition 48 : La fonction ln ainsi dé nie sur C R est holomorphe et on a, pour jzj < : ln( + z) = n= ( ) n z n : n Proposition 49 : Toute fonction g dé nie et continue dans C R ; véri ant exp(g(z)) = z pour tout z; est de la forme g k = ln +ik pour un certain entier k: On a donc à faire à une in nité de "déterminations" du logarithme, indexées par la formule g k (z) = ln z + ik; à partir de celle qui est quali ée de "principale" ln z = ln jzj + i arg(z) où arg(z) ] ; [ : On peut noter qu une détermination particulière dans C R est entièrement xée par la connaissance de sa valeur en un point réel x > ; puisque l équation g(x) = ln x + ki donne un unique k : Ainsi, prendre la détermination qui coïncide avec le logarithme usuel sur R +; revient à choisir la détermination principale. Remarque 5 : On pourrait de la même façon "ôter" une autre demi-droite d origine ; par exemple R + ; et considérer la fonction logarithme, dans un autre ouvert cette fois, avec une détermination principale correspondant à un choix d argument dans ]; [ : A partir de la détermination principale du logarithme, on peut dé nir, pour s C; la détermination principale de la fonction z s = exp(s ln z): Les autres déterminations de z s s en déduisent par multiplication d un facteur e iks : Si s est entier, cela signi e qu il n y a qu une détermination de z s ; pour z = p=q rationnel, qu il y a q choix possibles, en n qu il y en a une in nité si s est irrationnel. On a les formules suivantes mais attention z s+t = z s z t ; (z s ) t = z st à condition que z s C R ; d dz (zs ) = sz s ; ( + z) s = n= s(s )::::(s n + ) z n pour jzj < ; n! (zz ) s = z s z s n est vraie que si < arg z + arg z < : 9

z = Exercice 39 : On veut dé nir la quantité i pour z dans le demi-plan Im(z) > ; montrer qu on xe une racine en imposant la propriété suivante : pour z = it; la quantité z i = doit coïncider avec la racine carrée positive de t: Ce choix de la racine carrée permet-il de calculer (iz) =? Calculer le produit z = = z i i pour z = + i; z = i pour R: + i Exercice 4 : Calculer les nombres complexes suivants, en indiquant les di é- rentes déterminations ( + i) = ; ( + j) = ; i 3= ; i i ; j i+ :.7 Points singuliers et fonctions méromorphes Nous étudions maintenant une fonction holomorphe au voisinage d un point a, sauf au point a lui-même. Un tel point est appelé point singulier isolé. D après le théorème 35, on peut écrire f sous forme d un développement de Laurent dans une couronne < jz aj < r f(z) = X n a n (z a) n : Deux cas possibles : a) Il existe une in nité de n < tels que a n = : le point a est un point singulier essentiel. b) Il existe un entier p tel que a n = pour tout n < p et a p 6= : On dit alors que a est un pôle d ordre p de f: On peut écrire f(z) = (z a) p g(z) où g est holomorphe dans jz aj < r et ne s annule pas au voisinage de a; ce qui montre en particulier qu il ne peut y avoir dans ce cas de zéro au voisinage d un pôle. Exemple 5 : h holomorphe dans un ouvert connexe U C, l ensemble discret de ses zéros. Dans l ouvert U ; on pose f(z) = h(z) : Si a est un zéro d ordre p de h; on a h(z) = (z a) p (z) où (a) 6= ; holomorphe et non nulle sur un voisinage de a: On peut donc écrire f(z) = (z a) p (z) avec (a) = (a) 6= et holomorphe dans un voisinage de a: f admet donc un pôle d ordre p en a: Dé nition 5 Une fonction méromorphe dans un domaine U est une fonction dé nie et analytique dans U D où D est une partie discrète de U (pour tout a D; il existe un disque ouvert centré en a ne contenant pas d autre point de D autre que a) et possédant en chaque point de D un pôle (et non pas une singularité essentielle).

Exemple 53 : les fractions rationnelles en z; la fonction simples, sont les points n); la fonction e z ; ::::: sin z (dont les pôles, L ensemble des fonctions méromorphes dans un domaine peut être muni d une structure de corps. Pour cela, notons P (f) (resp. (f) ) l ensemble des pôles (resp. des zéros) de la fonction f: Dans U P (f)[p (g); on peut considérer les fonctions holomorphes z! f(z) + g(z) et z! f(z)g(z): On désigne alors par f + g et fg les fonctions qui s obtiennent en prolongeant analytiquement f(z)+g(z) et f(z)g(z) à ceux des points de P (f)[p (g) qui ne sont pas réellement des pôles de la fonction considérée. De même si f n est pas identiquement nulle, on considère f(z) dans U P (f) [ (f) et on prolonge analytiquement aux points de P (f) [ (f) qui ne sont pas des pôles pour (ce sont les points de f P (f) ). On a évidemment ( f ) = P (f) et P ( f ) = (f): Exemple 54 : f(z) = z ; g(z) = (z )(z ) : On a P (f) = fg ; P (g) = f; g ; mais P (f + g) = fg puisque f(z) + g(z) = z : Moins trivial : f(z) = sin z possède (entre autres) un pôle simple en z = et en z = ; g(z) = sin possède un pôle simple en z = : La somme f + g z possède en z = un pôle simple, mais en z = un zéro simple. Exercice 4 : Soit P une fonction holomorphe et non nulle en un point a C et Q une fonction holomorphe possédant en a un zéro double. Montrer que le développement de Laurent de la fonction f = P=Q au voisinage de a est de la forme A f(z) = (z a) + B z a + O() où A = P (a) Q (a) et B = 3P (a)q (a) P (a)q (a) 3 Q (a) : Exercice 4 : Soit f une fonction holomorphe au voisinage de a C où elle possède un zéro d ordre r: En écrivant f(z) = (z a) r + (z a) + (z a) + O(z a) 3 ; montrer que g = =f admet au voisinage de a un développement en série de Laurent, de la forme g(z) = (z a) r (z a) r + ( ) (z a) r + O((z a) r 3 ): Application : On pose, pour a R f(z) = e iaz ch(z) + : Est-elle holomorphe, méromorphe dans C? Quels sont ses pôles?montrer

qu au voisinage de i f(z) = e a iae a (z i) (z i) + (a + 6 )e a + O(z i): Exercice 43 : En partant des fonctions cos z et e z ; donner un exemple de fonctions méromorphes possédant chacune un pôle double en, mais dont la somme ne possède qu un pôle simple en. Exercice 44 : a) On pose f(z) = sin z : cos z f est-elle holomorphe, méromorphe dans D(; ) (disque centré en et de rayon )? Préciser l ordre de ses zéros et pôles éventuels. b) même question pour dans D(; 4): c) même question pour dans D(; ): g(z) = cosh z + sinh z h(z) = cosh z sinh z.8 La formule de Cauchy pour un cercle et les suites de fonctions holomorphes.8. Chemins et intégrales curvilignes Dé nition 55 : On appelle chemin dans C toute application continue : I = [a; b]! C qui est C par morceaux. (a) est l origine du chemin, (b) son extrémité. Si (a) = (b); le chemin est appelé un lacet. On appelle chemin opposé à et on note le chemin : t! (a + b t): Etant donnés deux chemins et (dé nis respectivement sur les intervalles [a; b] et [c; d] ) tels que (b) = (c); on appelle juxtaposition de ces chemins et on note = _ le chemin : [a; b + d c] dé ni par (t) = (t) si t [a; b] (t b + c) si t [b; b + d c] Exemple 56 : voici un lacet obtenu par juxtaposition de 3 chemins (t) = t pour t [; ] ; (t) = ( t) + it pour t [; ] ; 3 (t) = i( t) pour t [; ] : Exemple 57 : si a C; l application t 7! a + re int représente le cercle de centre a et de rayon r parcouru n fois (n = pour le cercle parcouru dans le sens direct, n = pour le cercle parcouru dans le sens rétrograde) i

Gardant les mêmes notations, on dit que et sont équivalents s il existe une bijection croissante de [c; d] dans [a; b] ; C par morceaux ainsi que sa réciproque, telle que (t) = (t). En particulier, le chemin : t! (t+) où > est équivalent à ; montrant ainsi qu on peut, à équivalence près, ne considérer que les chemins dé nis dans un intervalle xe de R, par exemple [; ] : Soit f une fonction continue sur (I): La fonction t! f((t)) (t) est continue par morceaux sur l intervalle I; donc intégrable. On appelle intégrale de f le long du chemin le nombre f(z)dz = f((t)) (t)dt: Exemple 58 : l intégrale de f sur le cercle C(a; r) s écrit I f(z)dz = f(a + re it )ire it dt: D après la formule du changement de variable, si et sont chemins équivalents, alors f(z)dz = f(z)dz: Si jf(z)j M pour tout z (I); on a la majoration f(z)dz M j (t)j dt = ML() où L() n est autre que la longueur du chemin. En n si résulte de la juxtaposition de chemins et ; on a f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz: I Exercice 45 : On considère une fonction f méromorphe, possédant en un pôle simple. a) Ecrire l intégrale de f le long d un demi-cercle de centre et de rayon r; dans le demi-plan Im z > ; orienté dans le sens direct, en déduire que f(z)dz rm(r); où M(r) = sup jf(z)j : jzj=r b) Montrer que quand r! ; l intégrale tend vers ia ; où a désigne le coe cient de =z dans le développement de Laurent de f en : c) On pose f(z) = eiz z : Montrer que quand r! +; l intégrale tend vers (utiliser l exercice 5). eiaz Exercice 46 : On pose f(z) = et on considère les segments de droite sinh z (resp. ) joignant les points d a xe R et R + ia où A est un réel positif xé (resp. R et R + ia). 3

a) Montrer que si R! +, l intégrale de f le long du chemin (resp: ) tend vers : b) Ecrire l intégrale de f le long du contour formé par le rectangle de sommets R; R + i; en faisant en sorte que les pôles de la fonction restent à l extérieur du rectangle (les contourner par des demi-cercles)..8. La formule de Cauchy Soit f une fonction holomorphe au voisinage de. On peut écrire, pour jzj < R avec f(z) = a n r n = n= a n z n f(re i )e ni d pour tout r < R: Fixons un tel r et soit z véri ant jzj < r: En écrivant f sous la forme f(z) = n= = a n r n z n r n= f(re i ) z re i n d et en intervertissant l intégrale et la série (convergence normale en ; f étant bornée sur le cercle de rayon r); on obtient f(z) = f(re i ) re i re i z d ou encore, sous forme d intégrale curviligne f(z) = f(u) i u z du C(;r) montrant par là qu on peut calculer f à l intérieur du disque de rayon r en fonction de ses valeurs sur la frontière de ce disque (formule de Cauchy pour le cercle). On peut écrire également (en partant des dérivées de f qui s obtiennent en dérivant la série initiale terme à terme) une formule analogue pour la dérivée 4

p-ième de f : f (p) (z) = X np puisque = X np = = p! n(n ):::::(n p + )a n z n p n(n ):::::(n p + )r p z n p r np f(re i )(re i ) p X np f(re i ) (re i re i p+ d z) f(re i )e ni d n(n ):::::(n p + )( z )n p rei X n(n ):::::(n p + )u n p p! = ( u) p+ pour juj < : Finalement on peut écrire f (p) (z) = p! i C(;r) f(u) (u z) p+ du: Réciproquement, on peut montrer que si g est une fonction continue sur le cercle jz z j = r et f dé nie par l intégrale f(z) = C(z ;r) d g(u) du; (3) u z alors f est analytique dans C privé du cercle jz z j = r, ses dérivées successives s obtenant en dérivant formellement par rapport à z f (p) g(u) (z) = p! p+ du: (u z) C(z ;r) Il s agit en e et de montrer que pour tout a = C(z ; r); f est développable au voisinage de a: Pour cela écrivons = d(a; C(; r)) et posons jz aj = q avec q < pour un z du disque ouvert. On a alors u z = = (u a)( z a n= u a ) (z a) n (u a) n+ série convergente puisque le terme général est majoré par qn (vu que ju aj 5

8u C(z ; r) ). On calcule alors f(z) = = = g(z + re i )ire i + X n= n= (z a) n n= C(z ;r) (z a) n (z a) n (z + re i a) g(z + re i )ire i (z + re i a) g(u) (u a) n+ du; n+ d; n+ d; puisque la majoration par qn jointe à celle de g sur le cercle, montre qu il y a convergence normale par rapport à et qu on peut donc intervertir R et P : Utilisant ensuite le fait que le développement trouvé ne peut être que celui de Taylor, on obtient la formule pour f (p) (a):.8.3 Le théorème de Weierstrass Cette réciproque de la formule de Cauchy nous permet d établir le résultat important qui suit (autorisant à dire à quelles conditions la limite d une suite de fonctions holomorphes est elle-même holomorphe). Théorème 59 : Soit (f n ) une suite de fonctions holomorphes dans un ouvert U C; convergeant uniformément sur tout disque fermé contenu dans U vers une limite f: Alors f est holomorphe dans U et pour tout k ; la suite (f n (k) ) converge elle-même uniformément sur tout disque fermé contenu dans U; vers f (k) : Exercice 47 : Soit f une fonction holomorphe et de période dans la bande ouverte B : a < Im(z) < b: a) Montrer que f possède un développement de la forme f(z) = X n a n e inz avec des coe cients a n = f(x + iy)e in(x+iy) dx; b) Montrer que la convergence de cette série est normale dans toute bande fermée B contenue dans la bande ouverte et en déduire que les dérivées de f s obtiennent en dérivant terme à terme la série ci-dessus, en d autres termes f (p) (z) = X n a n (in) p e inz : Exercice 48 : On se propose de prouver l égalité sin z = X (z + n) : n 6

a) Montrer que f(z) = sin z est méromorphe dans la bande verticale Re(z) < avec un unique zéro double en. b) Montrer qu il en est de même de g(z) = P n(z + n) : c) En déduire que la di érence est holomorphe dans la bande, donc entière par périodicité. d) Montrer que les fonctions f et g tendent vers quand Im(z) tend vers + dans la bande. e) En déduire l égalité cherchée (on peut également véri er que la di érence s annule pour z = ; mais cela ne su t pas à remplacer l argument d) )..8.4 Application au produits in nis Nous aurons tout d abord besoin du résultat suivant : Lemme 6 : Soit P u n une série absolument convergente telle que + u n 6= pour tout n: Alors la suite tend vers une limite p 6= : p n = ( + u )( + u ):::::( + u n ) Nous pouvons maintenant utiliser le théorème de Weierstrass pour établir l holomorphie d une fonction donnée par un produit in ni. Théorème 6 : Soit (u n (z)) une suite de fonctions holomorphes dans un domaine U: On suppose que la série P u n (z) converge normalement sur tout compact de U: Alors la fonction p(z) = Y ( + u n (z)) est holomorphe dans U: Les points où elle s annule sont ceux où l un au moins des facteurs du produit s annule et on a pour tout z U tel que p(z) 6= : p (z) p(z) = X u n(z) + u n (z) u k (z) +u k (z) Exercice 49 : Montrer que la dernière assertion du théorème qui précède peut être reformulée comme suit : la série de terme général converge normalement sur tout disque fermé contenu dans U; vers p n (z) p n(z) (en prenant soin d éliminer les points où les facteurs + u n (z) sont susceptibles de s annuler). Indication : reprendre la n de la démonstration du théorème de Weierstrass avec disques concentriques D (; r) et D (; R) et prouver une majoration de la forme u n R D + u n R r ku nk D : 7

Exercice 5 : On considère la fonction -périodique dé nie sur [ ; ] par f(x) = cos zx où z est un nombre complexe non entier. a) Calculer ses coe cients de Fourier et justi er les formules cot z = z + z + X sin z n= = z + z + X n= z n ( ) n z n b) Montrer que la fonction f(z) = z + Q z ( ) représente une fonction n= n entière, s annulant si et seulement si n : Montrer que pour z non entier f (z) f(z) = (sin z) sin z et en déduire que f(z) = c sin z: c) En considérant la limite du rapport f(z) quand z tend vers, conclure z nalement que + Y z sin z = z ( n ): 3 La théorie de Cauchy 3. Lien avec les primitives n= Soient un chemin contenu dans un ouvert U et f une fonction dé nie et continue dans U: Si f est la dérivée, au sens complexe, d une fonction F; alors on sait que F est analytique. Sauf pour un nombre ni de valeurs de t; f((t)) (t) est la dérivée de F ((t)); on a donc f(z)dz = F ((b)) F ((a)): En particulier, si f est une fonction holomorphe dans U et y admettant une primitive (au sens complexe), alors l intégrale de f le long de tout lacet contenu dans U est nulle. C est un fait remarquable que cette condition soit su sante si U est connexe. Théorème 6 : Soit U un domaine (= ouvert connexe) de C. Pour qu une fonction f holomorphe dans U y admette une primitive, il faut et il su t que f(z)dz = 8

pour tout lacet contenu dans U: S il en est ainsi, toute primitive F de f s obtient par la formule F (z) = C + f(u)du (z) où (z) est un chemin quelconque dans U; d origine un point xe arbitraire z U et d extrémité z: La di érence de deux primitives de f dans U est constante. Remarque : la nécessité d un ouvert U connexe intervient pour établir la formule donnant F ; en e et, il faut que points quelconques de U puissent être joints par un chemin (en fait par une ligne brisée), or ceci est vrai pour un ouvert connexe (par contre un fermé connexe n est pas nécessairement connexe par arcs comme le montre le graphe de sin( ) auquel on a rajouté ses points x adhérents). Exemple 63 (illustrant le fait qu il n y a pas toujours de primitive si la condition du théorème n est pas remplie) : U = C avec t [; ] : dz z = idt = i 6= ; fg ; f(z) = et (t) = eit z et f ne possède pas de primitive comme on l a déjà remarqué en étudiant la dérivée d une série de Laurent. Nous allons voir maintenant qu une condition un peu plus forte sur U; de nature purement géométrique, va assurer que toute fonction analytique dans U possède une primitive dans cet ouvert. 3. Homotopies de chemins et de lacets Pour cela, il faut introduire la notion d homotopie de chemins. L idée intuitive est celle d une déformation continue faisant passer de l un à l autre : Dé nition 64 : Soit U un ouvert de C. Deux chemins : [; ]! U et : [; ]! U sont dits homotopes s il existe une application continue : [; ] [a; b]! U telle que (t; a) = (t) et (t; b) = (t) pour tout t [; ] : La relation d homotopie est une relation d équivalence. L homotopie des lacets réclame la propriété supplémentaire suivante (; u) = (; u) pour tout u [a; b] ( l homotopie ne dénoue pas le lacet en cours de route ). Dé nition 65 : On dit qu un domaine U de C est simplement connexe si tout lacet de U est homotope dans U à un lacet constant, de trajectoire réduite à un point (on dira par la suite homotope à un point ). 9

Exemple 66 : un ouvert U C étoilé par rapport à un point a U est simplement connexe (cela signi e que pour tout z U; le segment joignant a à z est tout entier contenu dans U); un tel ouvert est évidemment connexe (puisque connexe par arcs) et si : I! U est un lacet, l application : I [; ]! U dé nie par (t; u) = u(t) + ( u)a réalise l homotopie de sur le lacet constant a puisque (t; ) = a et (t; ) = (t) pout tout t [; ] (en écrivant la formule ci-dessus sous la forme (t; u) a = u((t) a) on constate que pour u xé et t variable, (t; u) est l homothétique de (t) dans l homothétie de centre a et de rapport u): Concrètement un disque ouvert, un demi-plan, l intérieur d un rectangle ou d une ellipse sont étoilés par rapport à chacun de leurs points, le plan C privé d une demi-droite d origine O est étoilé par rapport à tous les points de la demi-droite opposée. 3.3 Le théorème de Cauchy Il exprime le fait que l intégrale d une fonction analytique dans un ouvert connexe U; ne dépend que de la classe d homotopie de ce lacet dans U: Théorème 67 (Cauchy) : Soient U un domaine de C, f une fonction analytique dans U, et deux lacets homotopes dans U: On a alors f(z)dz = f(z)dz: En particulier si U est simplement connexe, on a f(z)dz = pour tout lacet contenu dans U: Corollaire 68 : Si U est un domaine simplement connexe de C; toute fonction analytique dans U y admet une primitive. 3.4 La formule intégrale de Cauchy Il nous faut au préalable dé nir l indice d un point par rapport à un lacet et en donner quelques propriétés. Dé nition 69 : Soit : I! C un lacet et = C (I): Pour tout z ; on appelle indice du point z par rapport au lacet le nombre j(z; ) = du i u z : (4) 3