BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE Sesson 2016 Épreuve : MATHÉMATIQUES Sére : SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LABORATOIRE Spécalté : BIOTECHNOLOGIES Durée de l épreuve : 4 heures Coeffcent : 4 L usage de la calculatrce est autorsé Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1/6 à 6/6 Du paper mllmétré sera ms à dsposton des canddats Le canddat dot s assurer que le sujet dstrbué est complet La clarté des rasonnements et la qualté de la rédacton ntervendront pour une part mportante dans l apprécaton des copes Le canddat est nvté à fare fgurer sur la cope toute trace de recherche, même ncomplète ou non fructueuse, qu l aura développée 16MABIAG1 Page 1 sur 6
EXERCICE 1 (3 ponts) Le tableau c-dessous donne la solublté du doxyde de carbone dans l'eau (en cm 3 /ml d'eau) à la presson de 1 bar, pour dfférentes valeurs de la température (en C) Température t 0 10 20 30 40 50 80 Solublté y 1,8 1,3 0,88 0,65 0,52 0,43 0,29 Le nuage de ponts représentant cette sére est donné par le graphque suvant : 1 La forme de ce nuage condut à envsager un ajustement exponentel de la sére ( t ;y ) On pose z = ln ( y ) Recoper sur votre cope et compléter le tableau c-dessous On arrondra les valeurs dez à 10-3 près Température t 0 10 20 30 40 50 80 z = ln ( y ) 2 Détermner une équaton de la drote d'ajustement de z en t de la sére( t ;z ) par la méthode des mondres carrés On arrondra les coeffcents à 10-3 3 Dans la sute, on retent pour drote d'ajustement la drote d équaton z = - 0,023t+0,41 Dédure de cette équaton que la relaton entre la solublté y du doxyde de carbone et la température t -0,023t peut se modélser sous la forme y=ae où A = 1,51 à 10-2 près 4 En supposant que l ajustement précédent est valable pour toute valeur de t comprse dans l ntervalle [0 ; 80], détermner une valeur approchée à 10-2 près de la solublté du doxyde de carbone dans l'eau à la température de 65 C 16MABIAG1 Page 2 sur 6
3 Au EXERCICE 2 (4 ponts) Intalement, une populaton de bactéres compte 50 000 ndvdus L évoluton du nombre de bactéres, en foncton du temps, est étudée dans un laboratore où travallent deux techncens PARTIE A : L un des deux techncens émet l hypothèse que cette populaton augmente de 23% toutes les heures On modélse l évoluton du nombre de bactéres par ( u n) une sute de nombres réels 1 Donner la valeur de u 0 Calculer u et u (arrondr les valeurs à l enter le plus proche) 1 2 2 a Exprmer u en foncton de u n+1 n b En dédure que ( un) est une sute géométrque de rason 1,23 3 a Exprmer u en foncton de n n b Calculer u à l enter près Que représente ce nombre? 7 4 Au bout de comben d heures, selon l hypothèse émse par ce techncen, le nombre de bactéres dépasse-t-l 500 000? PARTIE B : Le deuxème techncen du laboratore émet une hypothèse un peu dfférente et consdère que le nombre de bactéres augmente de p % toutes les heures ( p 23) Pour détermner au bout de comben d heures, selon son hypothèse, le nombre de bactéres dépasse 500 000, l a réalsé l algorthme suvant Cependant, une parte de l algorthme a été effacée, et on ne dspose que des premers résultats affchés par celu-c Algorthme Varables : N est un nombre enter p et U sont des nombres réels Début : Lre p N prend la valeur 0 U prend la valeur 50 000 Tant que U < N prend la valeur U prend la valeur Affcher la valeur de N Affcher la valeur de U Fn du tant que Affcher N Affcher U Fn Résultats de l algorthme N=0 U = 50 000 N=1 U = 63 500 N=2 U = 80 645 N=3 U = 10267315 1 En utlsant les premers résultats affchés par l algorthme, détermner la valeur de p 2 Sur votre cope, recoper l algorthme fgurant dans la colonne de gauche du tableau, et compléter les partes manquantes (repérées par des pontllés) bout de comben d heures, selon cette hypothèse, le nombre de bactéres dépasse-t-l 500 000? 16MABIAG1 Page 3 sur 6
EXERCICE 3 (5 ponts) PARTIE A : RÉSOLUTION D UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE Les fonctons ntervenant dans cette parte sont défnes et dérvables sur [0; + [ On consdère l équaton dfférentelle (E) : y' + 0,6y = 45 1 Détermner une foncton constante soluton de l équaton dfférentelle (E) 2 Résoudre l équaton dfférentelle (E) 3 Détermner la soluton f de l équaton dfférentelle (E) telle que f ( 0) = 20 PARTIE B : ÉTUDE D UNE FONCTION Dans cette parte, on consdère la foncton f défne sur 0;+ On appelle (C) la courbe représentatve de la foncton f -0,6t par f(t) = -55 e +75 1 Calculer la lmte de f en + Que peut-on en dédure pour la courbe représentatve (C)? 2 a Détermner la foncton dérvée f' de f b Étuder le sgne de f' et en dédure le tableau de varaton de f c Tracer la courbe (C) sur une feulle de paper mllmétré à remettre avec la cope Untés graphques : 1cm en abscsse ; 2 mm en ordonnées 3 Résoudre par le calcul l équaton f (t) = 70 (on donnera la valeur exacte pus la valeur arronde à l unté) 4 Calculer 4 (on donnera la valeur exacte pus la valeur arronde à 10-2 ) 0 I= f(t)dt Donner une nterprétaton graphque du résultat PARTIE C : UTILISATION DES RÉSULTATS Dans cette parte, toute trace de recherche même ncomplète ou d ntatve même nfructueuse sera prse en compte dans l évaluaton Le prncpe de la haute pasteursaton consste à chauffer dans un autoclave, pendant un laps de temps de 15 secondes, les alments à une température comprse entre 70 C et 75 C Du lat dont la température ntale est de 20 C est ntrodut dans un autoclave dont la température est constante et égale à 75 C La température du lat est donnée par la foncton f défne dans la parte B, où t est le temps en secondes Détermner comben de temps, au total, le lat dot rester dans l autoclave afn d être pasteursé 16MABIAG1 Page 4 sur 6
EXERCICE 4 (5 ponts) On étude le taux de glycéme dans une populaton donnée, exprmé en g/l PARTIE A : On suppose que le taux de glycéme est une varable aléatore X qu sut une lo normale de moyenne µ =1 et d écart-type σ = 0, 03 On mesure la glycéme chez une personne chose au hasard dans la populaton 1 Justfer que la probablté pour que la glycéme de cette personne sot comprse entre 0,94 et 1,06 a pour valeur approchée 0,95 2 En dédure qu une valeur approchée de P( X 1, 06) est 0,975 Justfer votre rasonnement 3 Sachant que P( X 0, 97) a pour valeur approchée 0,84, en dédure une valeur approchée à -3 10 près de (0, 97 1, 06) P X PARTIE B : Un médecn, qu ne connaît pas l hypothèse émse dans la PARTIE A, souhate estmer la proporton p nconnue des personnes de cette populaton dont le taux de glycéme est supéreur à 1,06 Il prélève au hasard un échantllon de 1000 personnes dans la populaton étudée Il constate que 29 personnes ont un taux de glycéme supéreur à 1,06 1 Détermner l ntervalle de confance au nveau de 95% de la proporton p 2 Le résultat précédent est-l cohérent avec la réponse à la queston A) 2? Justfer PARTIE C : On admet que, dans la populaton étudée, la probablté qu une personne at un taux de glycéme supéreur à 0,99g /L est p 1= 0,64 On tre un échantllon de 100 personnes au hasard On suppose que la populaton est suffsamment mportante pour assmler le chox de cet échantllon à un trage avec remse de 100 personnes On appelle Y la varable aléatore qu compte le nombre de personnes dont la glycéme est supéreure à 0,99g/L 1 Justfer que Y sut une lo bnomale dont on précsera les paramètres On suppose que les condtons permettant d approxmer une lo bnomale par une lo normale sont remples On appelle µ ' la moyenne et σ ' l écart type de la lo normale Z approxmant la lo bnomale Y 2 Justfer que µ' = 64 et σ' = 4,8 3 Détermner une valeur approchée de P( Z 78,4) 78,4 = µ' + 3σ' 16MABIAG1 Page 5 sur 6 à -2 10 près On remarquera que
EXERCICE 5 (3 ponts) QUESTIONNAIRE À CHOIX MULTIPLE Pour chaque queston, une seule des réponses proposées est exacte Chaque bonne réponse rapporte un pont, une mauvase réponse ou l absence de réponse n enlève pas de pont Reporter sur la cope le numéro de la queston suv de la lettre de la réponse chose Aucune justfcaton n est demandée 1 Sot f la foncton défne sur R par ( ) = ln( 2 +3) f x x, et sot (C) sa représentaton graphque dans un repère du plan La tangente à la courbe (C) au pont A(1; ln(4)) a pour coeffcent drecteur : a 0,25 b 0,5 c 1 d ln 4 2 On consdère deux varables aléatores Y et Z Y sut une lo unforme sur l ntervalle [1;3] Z sut une lo unforme sur l ntervalle [0;2] a Y et Z ont la même varance b Y et Z ont la même espérance c La varance de Z est strctement nféreure à la varance de Y d La varance de Z est nulle 3 Une culture bactérologque comporte ntalement 8 000 bactéres Leur nombre augmente de 20% par heure Dans la cope de la feulle de tableur c-dessous, quelle formule peut-on rentrer en B3, pus recoper vers le bas, pour calculer le nombre de bactéres en foncton de l'heure? A B 1 Temps (heures) Nombre de bactéres 2 0 8 000 3 1 4 2 a = B2 + 0,20 b = 0,8 * B2 c = 1,2 * B2 d = 1,2 * $B$2 16MABIAG1 Page 6 sur 6